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303.04

Curvas verticales 303.04.01

Generalidades

Los tramos consecutivos de rasante, serán enlazados con curvas verticales parabólicas, cuando la diferencia algebraica de sus pendientes sea mayor del 1%, para carreteras pavimentadas y del 2% para las demás. Dichas curvas verticales parabólicas, son definidas por su parámetro de curvatura K, que equivale a la longitud de la curva en el plano horizontal, en metros, para cada 1% de variación en la pendiente, así:

Donde, K : Parámetro de curvatura L : Longitud de la curva vertical A : Valor Absoluto de la diferencia algebraica de las pendientes 303.04.02

Tipos de curvas verticales

Las curvas verticales se pueden clasificar por su forma como curvas verticales convexas y cóncavas y de acuerdo con la proporción entre sus ramas que las forman como simétricas y asimétricas. En la Figura 303.02 se indican las curvas verticales convexas y cóncavas y en la Figura 303.03 las curvas verticales simétricas y asimétricas.

Figura 303.02 Tipos de curvas verticales convexas y cóncavas TIPO 1

TIPO 2

TIPO 2

+P 2 -P1

+P1 A = P1 + P 2 L

-P

2

1

+P

A = P1 - P 2

A = - P1 + P 2

L

L

-P

2

CURVAS VERTICALES CONVEXAS

1

-P

TIPO 3

-P1

+P

2

TIPO 4

TIPO 4

+P

2

-P 2 A = - P1 - P 2 L

A = - P1 + P 2 L

+P1

A = P1 - P 2 L

CURVAS VERTICALES CONCAVAS P1 = Pendiente de entrada P2 = Pendiente de salida

Manual de Carreteras “Diseño Geométrico” (DG – 2013)

A = Diferencia de pendientes L = Longitud de la curva

K = Variación por unidad de pendiente: L K=A

192

Figura 303.03 Tipos de curvas verticales simétricas y asimétricas PIV

+P

-P1

+P1

-P L 2

2

2

PIV

L 2

L 2

L 2

L

L

CURVAS VERTICALES SIMETRICAS PIV

+P

-P1

2

1

+P

-P

2

PIV L1

L2

L1

L

L2 L

CURVAS VERTICALES ASIMETRICAS L = Longitud de la curva

L1 = Longitud rama de entrada

L 2 = Longitud rama de salida

La CURVA VERTICAL SIMÉTRICA está conformada por dos parábolas de igual longitud, que se unen en la proyección vertical del PIV. La curva vertical recomendada es la parábola cuadrática, cuyos elementos principales y expresiones matemáticas se incluyen a continuación, tal como se aprecia en la Figura 303.04.

Figura 303.04 Elementos de la curva vertical simétrica

PIV

Y

y

PTV

y

E

Y

PCV

X

P1

X

x

P2 x

L 2

L

Manual de Carreteras “Diseño Geométrico” (DG – 2013)

193

Donde: PCV

:

Principio de la curva vertical

PIV

:

Punto de intersección de las tangentes verticales

PTV

:

Término de la curva vertical

L

:

Longitud de la curva vertical, medida por su proyección horizontal, en metros (m).

S1

:

Pendiente de la tangente de entrada, en porcentaje (%)

S2

:

Pendiente de la tangente de salida, en porcentaje (%)

A

:

Diferencia algebraica de pendientes, en porcentaje (%)

E

:

Externa. Ordenada vertical desde el PIV a la curva, en metros (m), se determina con la siguiente fórmula:

X

:

Distancia horizontal a cualquier punto de la curva desde el PCV o desde el PTV.

Y

:

Ordenada vertical en cualquier punto, también llamada corrección de la curva vertical, se calcula mediante la siguiente fórmula:

La curva vertical asimétrica está conformada por dos parábolas de diferente longitud (L1, L2) que se unen en la proyección vertical del PIV. Ver Figura 303.05.

Figura 303.05 Elementos de la curva vertical asimétrica

PTV

y2

E y1

PCV

P1

Y

PIV

Y

X

X x2

x1

P2

L2

L1 L

Manual de Carreteras “Diseño Geométrico” (DG – 2013)

194

Donde: PCV

: Principio de la curva vertical

PIV

: Punto de intersección de las tangentes verticales

PTV

: Término de la curva vertical

L

: Longitud de la curva vertical, medida por su proyección horizontal, en metros (m), se cumple: L = L1 L2 y L1 ≠ L2.

S1

: Pendiente de la tangente de entrada, en porcentaje (%)

S2

: Pendiente de la tangente de salida, en porcentaje (%)

L1

: Longitud de la primera rama, medida por su proyección horizontal en metros (m).

L2

: Longitud de la segunda rama, medida por su proyección horizontal, en metros (m).

A

: Diferencia algebraica de pendientes, en porcentaje (%).

E

: Externa. Ordenada vertical desde el PIV a la curva, en metros (m), se determina con la siguiente fórmula:

X1

: Distancia horizontal a cualquier punto de la primera rama de la curva medida desde el PCV

X2

: Distancia horizontal a cualquier punto de la segunda rama de la curva medida desde el PTV

Y1

: Ordenada vertical en cualquier punto de la primera rama medida desde el PCV, se calcula mediante la siguiente fórmula:

Y2

: Ordenada vertical en cualquier punto de la primera rama medida desde el PTV, se calcula mediante la siguiente fórmula:

En el proyecto de curvas verticales, consideración los siguientes criterios:

Manual de Carreteras “Diseño Geométrico” (DG – 2013)

es

necesario

tomar

en

195

 Debido a los efectos dinámicos, para que exista comodidad es necesario que la variación de pendiente sea gradual, situación que resulta más crítica en las curvas cóncavas, por actuar las fuerzas de gravedad y centrífuga en la misma dirección.  Generalmente se proyectan curvas verticales simétricas, es decir, aquellas en las que las tangentes son de igual longitud. Las tangentes desiguales o las curvas verticales no simétricas son curvas parabólicas compuestas. Por lo general, su uso se garantiza sólo donde no puede introducirse una curva simétrica por las condiciones impuestas del alineamiento.  El criterio de comodidad, se aplica al diseño de curvas verticales cóncavas en donde la fuerza centrífuga que aparece en el vehículo al cambiar de dirección se suma al peso propio del mismo. Generalmente queda englobado siempre por el criterio de seguridad.  El criterio de operación, se aplica al diseño de curvas verticales con visibilidad completa, para evitar al usuario la impresión de un cambio súbito de pendiente.  El criterio de drenaje, se aplica al diseño de curvas verticales cóncavas o convexas en zonas de corte, lo cual conlleva a modificar las pendientes longitudinales de las cunetas.  El criterio de seguridad, se aplica a curvas cóncavas y convexas. La longitud de la curva debe ser tal, que en todo su desarrollo la distancia de visibilidad sea mayor o igual a la de parada. En algunos casos el nivel de servicio deseado puede obligar a diseñar curvas verticales con la distancia de visibilidad de paso. 303.04.03

Longitud de las curvas convexas

La longitud de las curvas verticales convexas, se determina con las siguientes fórmulas: a) Para contar con la visibilidad de parada (Dp). Cuando Dp < L;

Cuando Dp > L;

Donde, para todos los casos: L : Longitud de la curva vertical (m) Manual de Carreteras “Diseño Geométrico” (DG – 2013)

196

Dp: Distancia de visibilidad de parada (m) A : Diferencia algebraica de pendientes (%) h1 : Altura del ojo sobre la rasante (m) h2 : Altura del objeto sobre la rasante (m) La Figura 303.06, presenta los gráficos para resolver las ecuaciones planteadas, para el caso más común con h1 = 1,07 m y h2 = 0,15 m.

Figura 303.06 Longitud mínima de curva vertical convexa con distancias de visibilidad de parada

Altura de Ojo Linea de Visibilidad

Linea de Visibilidad

Dp Dp

h1

h1

h2

P(+%)

P(+%)

= 1.07 m = h1 m = h2

Altura de Ojode Objeto = 1.07 m = Altura =h1 0.15 Altura de Objeto = 0.15 m = h2

P(-% h2)

P(-%

)

LONGITUD MINIMA DE CURVA CONVEXA "L"

LONGITUD MINIMA DE CURVA CONVEXA "L" L = Longitud de la curva vertical (m) Dp = Distancia de Visibilidad de Frenado (m) V = Velocidad de Diseño (Km/h) A = de Diferencia Algebraica de Pendientes (%) Longitud la curva vertical (m)

Para Dp < L

L = 2Dp - 404 A

L = ADp² 404

Para Dp < L

L = 2Dp - 404 A

L = ADp² 404

EA DO )

Para Dp > L

ND

/h

O ED m /h

/h

ON CI

AL

AJ EN R D

70 k

km 80 EN = V AT R O AY /h M km 90 = V

V=

10

E

(R

km/h

60k m V=

12

V=50

14

V=30km/h V=40km/h

A=DIFERENCIA ALGEBRAICA DE PENDIENTES (%)

L = Dp = Distancia de Visibilidad de Frenado (m) V = Velocidad 16 de Diseño (Km/h) A = Diferencia Algebraica de Pendientes (%)

Para Dp > L

8 6

m/h 00k 1 = V

4

/h 0km V=11 0km/h V=12

2 0

0

100

200

300

400

500

600

700

LONGITUD MINIMA DE CURVA VERTICAL, L (m) Manual de Carreteras “Diseño Geométrico” (DG – 2013)

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b) Para contar con la visibilidad de adelantamiento o paso (Da). Cuando: Da < L

Cuando: Da > L

Donde: Da : Distancia de visibilidad de adelantamiento o Paso (m) LyA

: Idem (a)

Se utilizará los valores de longitud de Curva Vertical de la Figura 303.07 para esta condición, asimismo se aplicaran las mismas fórmulas que en (a); utilizándose como h 2 = 1.30 m, considerando h1 = 1.07 m.

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Figura 303.07 Longitud mínima de curvas verticales convexas con distancias de visibilidad de paso Altura de Ojo = 1.07 m = h1 Altura de Obstaculo = 0.30 m = h2

Linea de Visibilidad Da

h1

h2 P(-% )

)

P(+%

LONGITUD MINIMA DE CURVA CONVEXA "L"

L D V A

Para Da < L

Para Da > L

= Longitud de la curva vertical (m) = Distancia de Visibilidad de Paso (m) = Velocidad de Diseño (Km/h) = Diferencia Algebraica de Pendientes (%)

L = 2Da - 946 A

L = ADa² 946

=2 Da

10

00

Da=

175

11

9

0

35

D

40

8

a=

0

3 =4 Da

=5

0

7

Vd=

6

Vd

A=DIFERENCIA ALGEBRAICA DE PENDIENTES (%)

12

0

5

Vd

4

=

=81

Da

60 Vd

Da=

0 =7 =8 Vd

3

0 Vd=

2

90 00 Vd=1 d=110 V

850

850 Da= 00 Da=7

1

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

LONGITUD MINIMA DE CURVA VERTICAL PARABOLICA, L (m)

Manual de Carreteras “Diseño Geométrico” (DG – 2013)

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Los valores del Índice K al que se refiere el Art. 303.04.01 para la determinación de la longitud de las curvas verticales convexas para carreteras de Tercera Clase, serán los indicados en la Tabla 303.02.

Tabla 303.02 Valores del índice K para el cálculo de la longitud de curva vertical convexa en carreteras de Tercera Clase Longitud controlada por visibilidad de parada

Longitud controlada por visibilidad de paso

Velocidad de diseño km/h

Distancia de visibilidad de parada

Índice de curvatura K

Distancia de visibilidad de paso

Índice de curvatur aK

20

20

0,6

30

35

1,9

200

46

40

50

3,8

270

84

50

65

6,4

345

138

60

85

11

410

195

70

105

17

485

272

80

130

26

540

338

90

160

39

615

438

303.04.04

Longitud de las curvas cóncavas

La longitud de las curvas verticales cóncavas, se determina con las siguientes fórmulas: Cuando : D < L

Cuando : D > L

Donde: D

: Distancia entre el vehículo y el punto donde con un ángulo de 1º, los rayos de luz de los faros, interseca a la rasante.

Del lado de la seguridad se toma D = Dp, cuyos resultados se aprecian en la Figura 303.08.

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200

Figura 303.08 Longitudes mínimas de curvas verticales cóncavas

Rayo de la Luz Delantera

-%

(Pe

nd) d) Pen +%(

D

1°0' 0.80

m

LONGITUD MINIMA DE CURVA CONCAVA "L"

L = Longitud de la curva vertical (m) D = Distancia desde los Faros a la rasante (m) V = Velocidad de Diseño (Km/h) A = Diferencia Algebraica de Pendientes (%) D = Dp Dp > L

Dp < L

L= 2Dp-(120+3,50 Dp)

L=

A

A Dp² 120+3.5 Dp

12

10

km/h k =8 V=5 0 km /h k= 12 V= V= 60 70 km /h k km =18 V= /h k= 70 24 km .08 /h (C k= AL 25 CU (R LA E DO V= DO 8 N ) 0 V= DE k m AD 90 /h O) km k= 32 /h k= 40

14

JE NA E R

V=40

V=30 km/h k=4

A=DIFERENCIA ALGEBRAICA DE PENDIENTES (%)

16

N IO

OR AY

C EN T A

AL

D

NA RE

JE

LD 2A 3 /h /h =7 hk km km / 0 0 km 11 10 V= =120 V= V 1

5 k=

8

6

M

6 k=

4

2

0 0

100

200

300

400

500

600

700

L=LONGITUD MINIMA DE CURVA VERTICAL CONCAVA (m)

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201

Adicionalmente, considerando que los efectos gravitacionales y de fuerzas centrífugas afectan en mayor proporción a las curvas cóncavas, se aplicará la siguiente fórmula:

Donde: V

: Velocidad de proyecto (km/h)

L

: Longitud de la curva vertical (m)

A

: Diferencia algebraica de pendientes (%)

Los valores del Índice K al que se refiere el Artículo 303.04.01 para la determinación de la longitud de las curvas verticales cóncavas para carreteras de Tercera Clase, serán los indicados en la Tabla 303.03.

Tabla 303.03 Valores del índice K para el cálculo de la longitud de curva vertical cóncava en carreteras de Tercera Clase

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Velocidad de diseño (km/h)

Distancia de visibilidad de parada (m).

Índice de curvatura K

20

20

3

30

35

6

40

50

9

50

65

13

60

85

18

70

105

23

80

130

30

90

160

38

202