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• Rosa Maria Sanchez Neyra

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2016

UNIVERSIDAD NACIONAL DE UCAYALI

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

TEMA

: REPLANTEO DE CURVAS HORIZONTALES.

CURSO

: TOPOGRAFIA II

DOCENTE

: ING. GUSTAVO HUALLPA ANDRADE.

INTEGRANTES

: CANALES PONCE GIAN LUCA. MANTURANO RIVERA JOSÉ. RIVA ZÚÑIGA LANTIER. SÁNCHEZ NEYRA ROSA MARÍA. TUESTA RAMOS GIAN CARLO.

CICLO

: IV PUCALLPA – PERU 2016

TOPOGRAFIA II INGENIERIA CIVIL UNIVERSIDAD NACIONAL DE UCAYALI

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 1. INTRODUCCIÓN

En el presente informe cuya práctica se realizó en el Campus Universitario (UNU), está basado en una importante área de la topografía que es encontrar el PI(punto de intersección)y el PT(punto de término de una curva), utilizando teodolito , cinta métrica, jalones. Como sabemos los estudios topográficos constituye una parte fundamental en el desarrollo de un proyecto de ingeniería civil, ya que interviene antes, durante y después de la construcción de obras tales como carreteras, ferrocarriles, puentes, canales, presas, etc.

Para llevar a cabo un proyecto de ingeniería es indispensable el uso de la topografía, en este informe se detallará cuidadosamente el desarrollo de la medición de distancias la cual enfoca nuestra curva horizontal a través del teodolito.

Teniendo en cuenta, que las curvas circulares simples comprenden un control básico en el diseño de una carretera, se realizó una práctica de campo utilizando el método de deflexiones y cuerdas para el replanteo de la curva, pues su aplicación permite adquirir destrezas en el manejo del método para un estudiante de Ingeniería Civil.

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 2. OBJETIVOS

Los objetivos de la presente práctica son cuatro básicamente:  Replantear una curva circular simple por el método de las deflexiones y cuerdas.  Calcular los valores de todos los elementos de la curva circular simple.  Aplicar en campo los conceptos adquiridos en la asignatura Topografía II concerniente al tema de curvas horizontales con el propósito de adquirir destrezas en el trazado de ésta.  Calcular y localizar las deflexiones de cada punto de la curva.

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 3. JUSTIFICACIÓN

El estudio de las curvas circulares simples, es de gran importancia en el trazado de carreteras, pues al diseñarse sólo tramos rectos, es necesario utilizar arcos de circunferencia que permitan unirlos con el objetivo de brindar comodidad y seguridad a los usuarios. Es por esto, que la práctica realizada se fundamenta en la aplicación de los conocimientos adquiridos en el aula de clases, pues con ella se obtienen destrezas en el trazado de la curva, que constituye un concepto básico de mucha utilidad en el campo laboral.

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 4. MEMORIA DESCRIPTIVA 4.1. ANTECEDENTES.

Para realizar el replanteo de una curva, los alumnos integrantes del grupo 5 nos reunimos en el lugar de trabajo ubicado(descrito posteriormente) con los equipos y herramientas necesarios para realizar dicho trabajo, en el campo se encontró limpio,sin algunos obstáculos que impidieran realizar el trazo de la curva, por lo cual se tuvo que hacer dos estaciones diferentes en el PC y en el PT. 4.2. UBICACIÓN Y VÍAS DE ACCESO AL CENTRO DE LA PRACTICA LA CUAL ES OBJETO DE ESTUDIO.

El lugar para el estudio de la presente practica está ubicado en la parte interna del campus de la Universidad Nacional de Ucayali, Departamento de la Ucayali – Perú; El acceso es por vía terrestre ya sea en unidad vehicular o simplemente a pie, tomando como referencia la Carretera Federico Basadre Km 6.2,Distrito de Manantay. Es donde se encuentra ubicada la Universidad Nacional de ucayali.  Coordenadas: 8° 23′ 48.11″ S, 74° 35′ 10.93″ W  En decimal: -8.396699°, -74.586368°  UTM: 9071822 545537 18L

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 4.3. ZONA O ÁREA DE LA PRÁCTICA.

La presente práctica se llevó acabo en el campus recreacional de nuestra universidad, este fue el lugar donde se llevó a cabo el trabajo de campo por el método de deflexiones y cuerdas para el replanteo de la curva.

4.4. ASPECTOS CLIMÁTICOS.

 Clima: El clima del área de influencia del proyecto corresponde mayoritariamente a un clima cálido.  Temperatura: La temperatura promedio ambiental es de 30 ºC.

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 4.5. ACCESO A LA ZONA DEL PROYECTO.

Es accesible por vía terrestre por la carretera Federico Basadre a la altura del km 6.2 margen izquierdo está ubicado el área correspondiente para realizar el replanteo de la curva.

4.6. TOPOGRAFÍA DE LA ZONA.

La topografía en la zona es casi llana de fácil acceso y con poca vegetación en todo el tramo. Se puede observar en su mayoría las mismas características topográficas, por lo que no hubo dificultades al momento de intervenir.

4.7. ALTITUD

La altitud se ha precisado aproximadamente entre 150 a 159 msnm en la localidad donde se encuentra ubicada el campus universitario.

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 5. MARCO TEÓRICO 5.1. CURVAS HORIZONTALES CIRCULARES. La planta de una vía al igual que el perfil de la misma están constituidos por tramos rectos que se empalman por medio de curvas. Estas curvas deben de tener características tales como la facilidad en el trazo, económicas en su construcción y obedecer a un diseño acorde a especificaciones técnicas. Estas curvas pueden ser:

 Simples: Cuyas deflexiones pueden ser derechas o izquierdas acorde a la posicion que ocupa la curva en el eje de la vía.



Compuestas: Es curva circular constituida con una o más curvas simples dispuestas una después de la otra las cuales tienen arcos de circunferencias distintos.

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

Inversas: Se coloca una curva después de la otra en sentido contrario con la tangente común.

5.2. ELEMENTOS DE LAS CURVAS CIRCULARES.

 PC: es el punto de comienzo o inicio de la curva.  PT: es el punto donde terminara la curva circular.

 PI: Punto donde se cortan los alineamientos rectos que van a ser empalmados por la curva. Intersección de tangentes.  PM: Es el punto medio de la curva. Página 9

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 E: Secante externa o simplemente Externa equivalente a la distancia desde el PI al PM.  T: Tangente de la curva. Es el segmento de recta entre PC-PI y PT-PI el cual es simétrico. R: Radio de la curva. Este es perpendicular a PC y PT. Este se elige acorde al caso, tipo de camino, vehiculo, velocidad y otros más que estudiaremos posteriormente en el transcurso de nuestra carrera.

 D o LC: es el desarrollo de la curva o longitud sobre la curva el cual está comprendido desde el PC al PT. CM: es la cuerda máxima dentro de la curva que va desde el PC al PT medida en línea recta.  M: es la mediana de la curva la cual corresponde a la ordenada de la curva que une el al PM con el centro de la cuerda máxima

 Δ: Es el ángulo central de la curva que es igual al ángulo de deflexión entre los dos alineamientos rectos y se puede calcular por la diferencia del azimut de llegada y el de salida.

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 6. REPLANTEO DE LA CURVA HORIZONTAL 6.1. METODOS.

 Deflexiones angulares:

Este método consiste en replantear todos los puntos de la curva desde el PC midiendo ángulos de deflexión y cuerdas, el ángulo de deflexión es el ángulo formado por la tangente y cada una de las cuerdas que se miden desde el PC hasta los puntos de la curva. El método de deflexiones angulares es el más utilizado y el método a utilizar.

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 6.2. MATERIALES UTILIZADOS.  Para el trabajo de campo: CINTA MÉTRICA

JALONES

TRÍPODE

TEODOLITO

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL ESTACAS DE MADERA

MACHETE

GPS

 Para el trabajo en gabinete: Calculadora. Libreta de topografica. Lapicero.

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 6.3. PROCEDIMIENTO.

 Dado el PI por el Ing. Gustavo Huallpa Andrade, estacionamos el teodolito en el punto 0+00.00 y hacemos ceros en el PI para ir trazando las progresivas cada 10 metros.  Luego nos estacionamos en el PI para hacer ceros en el punto 0+00.00 y barremos hacia el otro alineamiento, para encontrar un ángulo y ese restarlo con 180° y asi obtenemos la deflexión entre los dos alineamientos.

 Y dado el radio de la curva por el Ing. procedemos a calcular los elementos de la curva, las cuerdas (C1, C, Cu,) y las deflexiones(d´).  Después de encontrar la deflexión parcial y la deflexión acumulada hallamos el error para luego compensarlas a ellas mismas, y así obtenemos las direcciones de cada cuerda.  Del PI vamos hacia el primer alineamiento con la longitud de la tangente y encontramos PC y así mismo por el otro alineamiento y encontramos PT.  Luego nos estacionamos en el PC y hacemos ceros en el PI, después ponemos manualmente al ángulo de deflexión parcial acumulada hacia la izquierda, lo intersectamos con la distancia C1.  Ponemos las direcciones encontradas y las intersectamos con la distancia de la cuerda C y en la última cuerda usamos la distancia de Cu.  Y finalmente se obtiene la curva.

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 7. REGISTRO DE DATOS PARA EL TRAZADO Y REPLANTEO DE CURVAS  DATOS DADO POR EL ING. EN EL CAMPO Punto de intersección de los ejes (PI= O+057.89) Radio de curvatura(R=60). Ubicación del 0+00.00 Primer eje y segundo eje

 CALCULO DE ÁNGULO DE DEFLEXIÓN ENTRE LOS ALINEAMIENTOS ∆= 180° − 144°33`50``

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 7.1. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA CURVA .

PI

0 +000

ESTE

NORTE

546393 546391 546389 546398 546397 546398

9072269 9072269 9072270 9072252 9072253 9072253

PROMEDIO ESTE PROMEDIO NORTE 546391

9072269.333

546397.6667

9072252.667

8.

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL efectuando la diferencia entre y1 y y2 que es la que se quiere calcular, resulta:

𝒌𝑳𝒗𝟐 𝑳𝒗𝟐 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 = 𝒌𝒙𝟏 − 𝒌(𝑳𝒗 ∗ 𝒙𝟏) + = 𝒌( − 𝑳𝒗 ∗ 𝒙𝟏 + 𝒙𝟏𝟐 ) 𝟒 𝟒 𝟐

𝑳𝒗

𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 = 𝒌𝒙𝟏𝟐 − 𝒌 ( 𝒌=

𝟐

𝟐

− 𝒙𝟏) = 𝒚

, pero,

𝟒 ∗ 𝒚𝟒 𝟒 ∗ 𝑽𝑨 𝟒 ∗ 𝑬𝒗 = = 𝑳𝒗𝟐 𝑳𝒗𝟐 𝑳𝒗𝟐

𝑳𝒗 − 𝒙𝟏 = 𝑩𝑬 = 𝒙 𝟐 𝒚=

𝟒𝑬𝒗 ∗ 𝒙𝟐 𝑳𝒗𝟐 𝟐

𝒚 = 𝑬𝒗 (

𝒙 ) 𝑳𝒗 𝟐

Esta es la ecuación de la corrección de pendiente en función de la externa Ev, y con origen el punto B o PCV. También se observa que:

𝒚 =∝ +𝜷 Para el caso de perfecta simetría, ∝ debe ser igual a 𝛽:

𝒚 =∝ +∝= 𝟐 ∝, esto es ∝ = 𝐭𝐚𝐧 ∝ = 𝐭𝐚𝐧

𝒚 𝟐

𝒚 𝐭𝐚𝐧 𝒚 = 𝟐 𝟐

Reemplazando los valores de las tangentes :

𝒎 ≈ Regresando a : 𝒚 =

𝟒𝑬𝒗 𝑳𝒗𝟐

𝒊 𝟐

∗ 𝒙𝟐 , y reordenando,

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 𝒚= (

𝟐𝑬𝒗 𝑳𝒗 𝟐

𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 ( 𝒚=(

𝟏

) (𝑳𝒗) ∗ 𝒙𝟐 =

𝑨𝑩

𝟏

( ) ∗ 𝒙𝟐 , esto es, 𝑩𝑫 𝑳𝒗

𝟏 𝟏 𝒊 𝟏 ) ∗ 𝒙𝟐 = 𝒎 ( ) ∗ 𝒙𝟐 = ( ) ∗ 𝒙𝟐 𝑳𝒗 𝑳𝒗 𝟐 𝑳𝒗

𝒊 ) ∗ 𝒙𝟐 𝟐𝑳𝒗

Para que ( ), se tiene que: y = Ev, entonces,

𝑬𝒗 =

𝑳𝒗 ∗ 𝒊 𝟖

Ahora considérese el punto P´ sobre la segunda mitad de la curva. Para situarlo desde el punto C o PTV interesa conocer la distancia x´ y la altura y´. Entonces:

𝒚´ = 𝒚 − 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 𝒊

𝒚 = ( ) ∗ 𝒙𝟐 , referido al PCV 𝟐𝑳𝒗 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝒚𝟐 = 𝒏 (𝒙 −

𝑳𝒗 ) 𝟐

𝑳𝒗 𝟐

) = 𝒎 (𝒙 −

𝑳𝒗 𝟐

), pues aquí m = n, entonces,

𝒚´ = (

𝒊 𝑳𝒗 ) ∗ 𝒙𝟐 − 𝟐𝒎 (𝒙 − ) 𝟐𝑳𝒗 𝟐

𝒚´ = (

𝒊 𝑳𝒗 𝒊 𝑳𝒗 ) ∗ 𝒙𝟐 − 𝒊 (𝒙 − ) = [𝒙𝟐 − 𝟐𝑳𝒗 (𝒙 − )] 𝟐𝑳𝒗 𝟐 𝟐𝑳𝒗 𝟐

𝒚´ =

𝒊 𝟐𝑳𝒗

(𝒙𝟐 − 𝟐𝑳𝒗 ∗ 𝒙 + 𝑳𝒗𝟐 ) =

𝒊 𝟐𝑳𝒗

(𝑳𝒗𝟐 − 𝟐𝑳𝒗 ∗ 𝒙 + 𝒙𝟐 ) =

𝒙)𝟐 Pero 𝑳𝒗 − 𝒙 = 𝒙´, entonces,

𝒚´ = (

𝒊 ) (𝒙´)𝟐 𝟐𝑳𝒗

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𝒊 𝟐𝑳𝒗

(𝑳𝒗 −

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL Las expresiones de las ecuaciones (4-2) y (4-4) para las correcciones de pendiente y y y´ indican que la primera mitad de la curva se calcula desde el PCV y la segunda desde el PTV respectivamente.

CURVA VERTICAL SIMETRICA PUNTO MAXIMO Un elemento geométrico importante de ubicar en curvas verticales es su punto máximo (el punto más alto de la curva), o su punto mínimo (el punto más bajo de la curva). Así por ejemplo, en la figura 4.5 el punto P representa el punto máximo de una curva vertical convexa.

La cota de P a partir de la cota del PCV es: Cota P = Cota P’.y

, donde,

Cota P’ = Cota PCV + mx

𝒚=(

𝒊

𝟐𝑳𝒗

) 𝒙𝟐

, entonces,

Cota P = Cota PCV +mx .(

𝒊

𝟐𝑳𝒗

) 𝒙𝟐

, pero.

Cota P – Cota PCV =z , esto es,

Z = mx . (

𝒊

𝟐𝑳𝒗

) 𝒙𝟐 Página 20

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL La expresión anterior es la ecuación de la parábola, la cal define la posición exacta de P. mediante sus coordenadas (x , z) y de cualquier otro punto sobre la curva. La pendiente 𝑑𝑧

de la tangente a cualquier punto de la curva dada por la primera derivada de 𝑑𝑥, que para el punto máximo es igual a cero. 𝒊

𝟐 𝒅𝒛 𝒅⌊𝒎𝒙−(𝟐𝑳𝒗)𝒙 ⌋ = 𝒅𝒙 𝒅𝒙

m-(

𝒊

𝟐𝑳𝒗

) 𝒙𝟐 = 𝟎

=𝟎 .

, donde,

𝒎

x = ( ) 𝑳𝒗 𝒊 Quiere decir que para determinar la posición horizontal x o abscisa del punto máximo, referido al PCV, simplemente se multiplica la longitud de la curva Lv por el cociente de dividir a m entre i. esta misma expresión también es válida para el cálculo del punto mínimo de una curva vertical cóncava.

CURVAS EN CRESTA O EN CIMA: Son las curvas que se asemejan a un segmento superior de una circunferencia. Las curvas en crestas se clasifican en:

TIPO I: Se consideran curvas verticales tipo I, si la cota del punto de intersección de curva vertical "PIV" se encuentra por encima de la cota del principio de curva vertical "PCV" y de la cota del principio de tangente vertical "PTV" y la curva se abre en la parte inferior de las tangentes. Página 21

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TIPO II: Se consideran curvas verticales tipo II, si la cota del punto de intersección de curva vertical "PIV" se encuentra entre la cota del principio de curva vertical "PCV" y la cota del principio de tangente vertical "PTV". Pueden darse dos casos, en el primero las pendientes de las tangentes son positivas y la curva se abre en la parte inferior de las tangentes, de tal manera que la cota del PCV es menor que la cota del PIV y la cota del PIV es menor que la cota del PTV (PCV < PIV < PTV o PTV > PIV > PCV); en el segundo caso las pendientes de las tangentes son negativas y la curva se abre en la parte inferior de las tangentes, de tal manera que la cota del PCV es mayor que la cota del PIV y la cota del PIV es mayor que la cota del PTV (PCV > PIV > PTV o PTV < PIV < PC)

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CURVAS EN COLUMPIO Son las curvas que se asemejan a un segmento superior de una circunferencia. Las curvas en crestas se clasifican en

TIPO III: Se consideran curvas verticales tipo III, si la cota del punto de intersección de curva vertical "PIV" se encuentra por debajo de la cota del principio de curva vertical "PCV" y de la cota del principio de tangente vertical "PTV" y la curva se abre en la parte en la parte superior de las tangentes.

TIPO IV: Se consideran curvas verticales tipo IV, si la cota del punto de intersección vertical "PIV" se encuentra entre el principio de curva vertical "PCV" y el principio de tangente vertical "PTV". Pueden darse dos casos, en el primero las pendientes de las tangentes son negativas y la curva se abre en la parte superior de las tangentes, de tal manera que la cota del PCV es mayor que la cota del PIV y la cota del PIV es mayor que la cota del PTV (PCV > PIV >> PTV o PTV < PIV < PCV); en el segundo caso las pendientes de las tangentes son positivas y la curva se abre en la parte superior de las tangente, de tal manera que la cota del PCV es

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL menor que la cota del PIV y la cota del PIV es menor que la cota del PTV (PCV < PIV < PTV o PTV > PIV > PCV).

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

CURVAS VERTICALES ASIMETRICAS Una curva vertical es asimétrica cuando las proyecciones horizontales de sus tangentes son de distinta longitud. Esta situación se presenta cuando la longitud de curva en una de sus ramas está limitada por algún motivo. La figura que se muestra a continuación, ilustra este caso para una curva vertical cóncava. De acuerdo con la ecuación (4-1), las correcciones de pendiente para cada rama se calculan como:

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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 𝒙𝟏 𝟐

𝒚𝟏 = 𝑬𝒗 ( ) 𝑳𝟏

𝒙𝟐 𝟐 𝒚𝟐 = 𝑬𝒗 ( ) 𝑳𝟐 Para las cuales la externa Ev, se calcula así:

𝒂 + 𝒄 + 𝑬𝒗 = 𝒅 Pero, la flecha c es igual a la externa Ev, entonces,

𝑬𝒗 =

𝒅−𝒂

, donde,

𝟐

𝒅 = 𝒎𝑳𝟏

, pero, 𝒂+𝒃

𝒂 = 𝒑𝑳𝟏 = ( ) 𝑳𝟏 𝑳𝟏+𝑳𝟐

, pero,

𝒂 + 𝒃 = 𝒃 − 𝒆 = 𝒎𝑳𝟏 − 𝒏𝑳𝟐

, esto es,

𝒎𝑳𝟏 − 𝒏𝑳𝟐 𝒎𝑳𝟏 − ( ) 𝑳𝟏 𝒎𝑳𝟏 − (𝒎𝑳𝟏 + 𝒏𝑳𝟐)𝑳𝟏 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 𝑬𝒗 = = 𝟐 𝟐(𝑳𝟏 + 𝑳𝟐) 𝒎𝑳𝟏𝟐 − 𝒎𝑳𝟏𝑳𝟐 − 𝒎𝑳𝟏𝟐 + 𝒏𝑳𝟏𝑳𝟐 𝑬𝒗 = 𝟐(𝑳𝟏 + 𝑳𝟐) 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 = 𝑳𝒗 𝑬𝒗 =

(𝒎 + 𝒏)𝑳𝟏𝑳𝟐 𝟐𝑳𝒗

Pero 𝒎 + 𝒏 = 𝒊, por lo tanto,

𝑬𝒗 =

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𝒊𝑳𝟏𝑳𝟐 𝟐𝑳𝒗

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CURVA ASIMETRICA PUNTO MAXIMO Como se vio anteriormente es importante ubicar en curvas verticales su punto máximo o su punto mínimo. Así por ejemplo, en la figura 4.7 el punto P representa el punto mínimo de una curva vertical cóncava asimétrica.

La Cota P es: Cota =Cota P’ + y

, donde,

Cota P’ = Cota PTV . nx 𝑿 𝟐

Y= 𝑬𝒗 ( ) 𝑳𝟐

, entonces, 𝑋 2

Cota P = Cota PTV – nx + 𝐸𝑣 ( )

, pero,

Cota PTV – Cota P = z

, esto es,

𝐿2

𝑿 𝟐

Z =nx . 𝑬𝒗 ( ) 𝑳𝟐

La expresión anterior es la ecuación de la parábola asimétrica, la cual define la posición exacta de P, mediante sus coordenadas (x , z, y de cualquier otro punto sobre la curva. La Página 29

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL pendiente de la tangente a cualquier punto de la curva está dada por la primera derivada

𝑑𝑧 𝑑𝑥

. Que para el punto mínimo es igual a cero: 𝑿 𝟐

𝒅𝒛 𝒅⌊𝒏𝒙− 𝑬𝒗(𝑳𝟐) ⌋ 𝒅𝒙

=

𝒅𝒙

=𝟎

𝟐𝑬𝒚

n - ( 𝑳𝟐𝟐 ) 𝒙 x=

, de donde,

𝒏𝑳𝟐𝟐 𝟐𝑬𝒗

Esta expresión defina la posición horizontal x p abscisa del punto mínimo, referida al PTV, para el caso en que el, punto mínimo se encuentre en la segunda rama de la curva. Si el punto mínimo se encuentra en la primera rama de la curva, la posición horizontal x referida al PCV, se calcula de con la siguiente expresión:

x=

𝒎𝑳𝟏𝟐 𝟐𝑬𝒗

Estas mismas expresiones también son validas para el cálculo del unto máximo de una curva vertical convexa asimétrica.

COEFICIENTE ANGULAR DE UNA CURVA VERTICAL El coeficiente angular Kv de una curva vertical, defina la curvatura de la parábola como una variación de longitud por unidad de pendiente así: Kv =

𝐿𝑣 𝑖

(𝑚𝑡𝑠 1%)

Si i = 1% →Kv = Lv/1% (mts 1%) Entonces Kv es la distancia horizontal en metro, necesario para que se efectue un cambio del 1% en la pendiente de la tangente a lo largo de la curva, tal como se ilustra en la figura 4.8.

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Asa si kv es la distancia horizontal para que se produzca un cambio de pendiente del 1% la longitud necesaria para que se produzca un cambio total de pendiente del 1% será la longitud total Lv de la curva, esto es:

Lv = Kv. i Mediante esta expresión, como se verá más adelante, se puede determinar la longitud mínima de una curva vertical para un coeficiente angular Kv dado, , según los criterios de seguridad, drenaje, comodidad y apariencia, de acuerdo al tipo de vía a proyectarse.

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LONGITUD VERTICAL Los factores que afectan la longitud de una curva vertical son, (a) efecto centrifugo (b) visibilidad. Según (Fonseca Rodrigues, 2010), la condición que se considera optima para la conducción de un vehículo en una curva, corresponde a un movimiento con una componente horizontal de la velocidad constante:

𝑽𝒙 =

𝒅𝒙 =𝑪 𝒅𝒕

Por lo que la componente horizontal de la aceleración es:

𝒅𝑽𝒙 𝒅𝟐 𝒙 𝒂𝒙 = = 𝟐 =𝟎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Para cumplir con lo anterior, normalmente se utiliza una parábola, cuya ecuación general es:

𝒚 = 𝑲𝒙𝟐 Si llamamos A ala diferencia algebraica entre las pendientes de la tangente de entrada y de salida y L a la longitud de la curva vertical, como fracción de 20 metros:

𝑲=

𝑨 ; 𝟏𝟎𝑳

𝑨 = 𝑷𝟐 − 𝑷𝟏

La expresión de la parábola: 𝑥2

𝑌 = 2𝐿 ∗ 𝐾; 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 X:

distancia horizontal variable, medida desde el PCV o el PTV en dirección al PIV.

Y:

ordenada medida verticalmente, correspondiente a la distancia x, desde la tangente hasta la curva vertical.

L:

longitud de la curva vertical.

K: diferencia algebraica de la pendiente, posterior menos la anterior (m2-m1). Este valor se conoce también “el grado cambio de pendiente”. Página 32

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL Considerando la curva parabólico plana que se muestra en la figura, se puede ser que el eje y pasa por el PVC y el eje x también, formando un sistema de coordenadas de referencia. En la curva se tiene que: L=Longitud de curva. P1=pendiente de entrada. P2= Pendiente de salida.

La razón de cambio de la pendiente de la parábola es contante, por lo que, al segunda derivada Y con respecto a X es una constante:

𝒅𝟐 𝒚 = 𝒓 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒙 Integrando se obtiene la primera derivada o pendiente de la curva expresada por:

𝒅𝒚 = 𝒓𝒙 + 𝑯 𝒅𝒙 Ahora, cuando x=0, la pendiente es P1 y cuando x=L, la pendiente de la parábola es P2, obteniéndose: Página 33

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL P1=0+H P2=rL + H Sustituyendo 3 en 4 y despejando r se tiene:

𝒓=

𝑷𝟐 − 𝑷𝟏 𝑳

Donde: R= razón de cambio de la pendiente en porcentaje por unidad de longitud Sustituyendo 5 en 2:

𝒅𝒚 (𝑷𝟐 − 𝑷𝟏) = 𝒙 + 𝑷𝟏 𝒅𝒙 𝑳∗𝟐 Integrando 6 se tiene la altura de la curva y en cualquier punto:

(𝑷𝟐 − 𝑷𝟏)𝒙𝟐 𝒚= + 𝑷𝟏𝒙 + 𝒄 𝑳∗𝟐 Cuando x=0, el valor de y es equivalente a la elevación de PCV, por lo tanto se obtiene lo siguiente:

C=Y*pcv Quedando la ecuación 7 en su expresión final:

𝒚 = 𝒀𝒑𝒄𝒗 + 𝑷𝟏𝒙 +

𝒓 𝟐 𝒙 𝟐

Esta ecuación es la que definió como general para el cálculo de las elevaciones sobre la parábola.

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BIBLIOGRAFIA  http://sjnavarro.files.wordpress.com/2008/08/viii-curvas verticales.pdf  http://nodubitatio.foroactivo.net/t17-curvas-verticales  http://www.buenastareas.com/ensayos/Curvas  Verticales/3050981.html  http://leiscod.atwebpages.com/articulos/curvas_verticales.ht ml  DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS – JAMES CARDENAS GRIALES

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