• Author / Uploaded
• Enrique ZG

Citation preview

Curvas Circulares Simples Las curvas circulares simples se definen como arcos de circunferencia de un solo radio que son utilizados para unir dos alineamientos rectos de una vía. Una curva circular simple (CCS) está compuesta de los siguientes elementos: 









Ángulo de deflexión [Δ]: El que se forma con la prolongación de uno de los alineamientos rectos y el siguiente. Puede ser a la izquierda o a la derecha según si está medido en sentido antihorario o a favor de las manecillas del reloj, respectivamente. Es igual al ángulo central subtendido por el arco (Δ). Tangente [T]: Distancia desde el punto de intersección de las tangentes (PI) -los alineamientos rectos también se conocen con el nombre de tangentes, si se trata del tramo recto que queda entre dos curvas se le llama entretangencia– hasta cualquiera de los puntos de tangencia de la curva (PC o PT).

Radio [R]: El de la circunferencia que describe el arco de la curva.

Cuerda larga [CL]: Línea recta que une al punto de tangencia donde comienza la curva (PC) y al punto de tangencia donde termina (PT).

Externa [E]: Distancia desde el PI al punto medio de la curva sobre el arco.







Ordenada Media [M] (o flecha [F]): Distancia desde el punto medio de la curva hasta el punto medio de la cuerda larga.

Grado de curvatura [G]: Corresponde al ángulo central subtendido por un arco o una cuerda unidad de determinada longitud, establecida como cuerda unidad (c) o arco unidad (s). Ver más adelante para mayor información. Longitud de la curva [L]: Distancia desde el PC hasta el PT recorriendo el arco de la curva, o bien, una poligonal abierta formada por una sucesión de cuerdas rectas de una longitud relativamente corta. Ver más adelante para mayor información.

Ahora vamos a detenernos en dos aspectos con un poco más de detalle:

Grado de curvatura Usando arcos unidad: En este caso la curva se asimila como una sucesión de arcos pequeños (de longitud predeterminada), llamados arcos unidad (s). Comparando el arco de una circunferencia completa (2πR), que subtiende un ángulo de 360º, con un arco unidad (s), que subtiende un ángulo Gs (Grado de curvatura) se tiene:

Usando cuerdas unidad: Este caso es el más común para calcular y materializar (plasmar en el terreno) una curva circular, pues se asume que la curva es una sucesión de tramos rectos de corta longitud (también predeterminada antes de empezar el diseño), llamados cuerda unidad (c). La continuidad de esos tramos rectos se asemeja a la forma del arco de la curva (sin producir un error considerable). Este sistema es mucho más usado porque es más fácil medir en el terreno distancias rectas que distancias curvas (pregunta: ¿Se pueden medir distancias curvas en el terreno utilizando técnicas de topografía?¿cómo?). Tomando una cuerda unidad (c), inscrita dentro del arco de la curva se forman dos triángulos rectángulos como se muestra en la figura, de donde:

Longitud de la curva A partir de la información anterior podemos relacionar longitudes con ángulos centrales, de manera que se tiene: Usando arcos unidad:

Usando cuerdas unidad:

La longitud de una cuerda unidad, o de un arco unidad, se toma comúnmente como 5 m , 10 m , ó 20 m .

Localización de una curva circular Para calcular y localizar (materializar) una curva circular a menudo se utilizan ángulos de deflexión.

Un ángulo de deflexión (δ) es el que se forma entre cualquier línea tangente a la curva y la cuerda que va desde el punto de tangencia y cualquier otro punto sobre la curva. Como se observa en la figura, el ángulo de deflexión (δ) es igual a la mitad del ángulo central subtendido por la cuerda en cuestión (Φ). Entonces se tiene una deflexión para cada cuerda unidad, dada por:

Es decir, se puede construir una curva con deflexiones sucesivas desde el PC, midiendo cuerdas unidad desde allí. Sin embargo, rara vez las abscisas del PC o del PT son cerradas (múltiplos exactos de la cuerda unidad), por lo que resulta más sencillo calcular una subcuerda desde el PC hasta la siguiente abscisa cerrada y, de igual manera, desde la última abscisa cerrada antes del PT hasta él.

Para tales subcuerdas se puede calcular una deflexión conociendo primero la deflexión correspondiente a una cuerda de un metro (1 m ) de longitud δm: Entonces la deflexión de las subcuerdas se calcula como: δsc = δm · Longitud de la subcuerda La deflexión para el PT, desde el PC, según lo anotado, debe ser igual al la mitad del ángulo de deflexión de la curva: δPT = Δ/2 Lo cual sirve para comprobar la precisión en los cálculos o de la localización en el terreno.

Ejemplo Para una curva circular simple se tienen los siguientes elementos: 

Rumbo de la tangente de entrada: N 76º20′ E



Rumbo de la tangente de salida: N 19º40′ E



Abscisa del punto de intersección de las tangentes, PI: k2+226



Coordenadas del PI: 800 N , 700 E



Cuerda unidad: 20 m



Radio de curvatura: 150 m

Calcular los elementos geométricos de la curva; las abscisas del PC y el PT; las coordenadas del PC, el PT y el centro de la curva; y las deflexiones de la curva.

Solución 

Elementos geométricos de la curva

El ángulo de deflexión de la curva está dado por la diferencia de los rumbos de los alineamientos (no siempre es así, en este caso sí porque los dos están en el mismo cuadrante NE): Δ = 76º20′ – 19º40′ = 56º40′ Izquierda (A la izquierda porque el rumbo de la tangente de salida es menor que el de la de entrada) Conociendo el radio y el ángulo de deflexión se pueden calcular los demás elementos geométricos: Tangente: T = R · Tan (Δ/2)

Grado de curvatura: Gc = 2 · Sen-1[ c / (2R) ] Longitud de la curva: Lc = c·Δ/Gc Cuerda Larga: CL = 2·RSen(Δ/2)

Externa: E = R(1/Cos(Δ/2) – 1)

Ordenada Media (Flecha): M = R[1 – Cos(Δ/2)]

Deflexión por cuerda:

Deflexión por metro:



Abscisas del PC y el PT

Conociendo la abscisa del PI y las longitudes, tanto de la tangente (T) como de la curva (Lc): Abscisa del PC = Abscisa del PI – T Abscisa del PC = k2 + 226 – 80,879 m = k2 + 145,121 Abscisa del PT = Abscisa del PC + Lc Abscisa del PT = k2 + 145,121 + 148,243 m = k2 + 293,364 Se debe tener en cuenta que la abscisa del PT se calcula a partir de la del PC y NO del PI, pues la curva acorta distancia respecto a los alineamientos rectos. 

Coordenadas de los puntos PC, PT y O

Conociendo los rumbos de las tangentes de entrada y salida se pueden calcular sus azimutes: Azimut del PC al PI = 76º 20′ Azimut del PI al PC = Contra azimut de PC-PI = 76º 20′ + 180º = 256º 20′ Azimut del PC a O = 256º 20′ + 90º = 346º 20′ (porque el radio es perpendicular a la tangente de entrada en el PC) Azimut del PI al PT = 19º 40′

Nota: Debe tenerse mucho cuidado con el cálculo de estos azimuts, pues las

condiciones particulares de cada curva pueden hacer que cambie la manera de calcularlos. Especialmente el hecho de si el ángulo de deflexión es a la izquierda o a la derecha. Lo que yo recomiendo para no cometer errores es, primero que todo, tener bien claro el concepto de azimut, y luego hacer un dibujo representativo para ubicarse, que sea claro y más o menos a escala.

Recordemos que, conociendo las coordenadas de un punto A (NA y EA), las coordenadas de un punto B (NB y EB) se calculan a partir de la distancia y el azimut de la linea que une los dos puntos (AB) así: NB = NA + DistanciaAB · Cos(AzimutAB) EB = EA + DistanciaAB · Sen(AzimutAB) Coordenadas del PI: 800N 700E Coordenadas del PC: N = 800 + T·Cos(256º 20′) = 800 + 80,879 Cos(256º 20′) N = 780,890 E = 700 + T·Sen(256º 20′) = 700 + 80,879 Sen(256º 20′) E = 621,411 Coordenadas del centro de la curva (O): N = 780,890 + R·Cos(346º20′) = 780,890 + 150 Cos(346º20′) N = 926,643

E = 621,411 + R·Sen(346º20′) = 621,411 + 150 Sen(346º20′) E = 585,970 Coordenadas del PT N = 800 + T·Cos(19º40′) = 800 + 80,879 Cos(19º40′) N = 876,161 E = 700 + T·Sen(19º40′) = 700 + 80,879 Sen(19º40′) E = 727,220 

Deflexiones de la curva

Para calcular las deflexiones de la curva partimos de las abscisas calculadas para el PC y el PT y dos ángulos que ya están definidos: la deflexión por cuerda y la deflexión por metro. Como la cuerda unidad es de 20 m quiere decir que las abscisas de la poligonal se vienen marcando a esa distancia, por lo tanto si la abscisa del PC es la k2 + 145,121 , la siguiente abscisa cerrada corresponde a la k2 + 160 (no la k2 + 150 porque no es múltiplo de 20, es decir, si empezamos desde la k0 + 000 sumando de 20 en 20 no llegamos a la k2 + 150 sino a la k2 + 160). Esto genera una subcuerda, cuya longitud se calcula como la diferencia entre las dos abscisas: 

Subcuerda de entrada: 2 160 m – 2 145,121 m = 14,879 m

Ahora, si ya se había calculado que por cada metro de curva existe una deflexión δm=0º11’28,06”, para la primera subcuerda tenemos una deflexión (correspondiente a la abscisa k2 + 160) de:  Deflexión para la abscisa k2 + 160 = 14,879 m * 0º11’28,06” = 2º50’37,64” A partir de la abscisa k2 + 160 siguen abscisas cerradas cada 20 m (de acuerdo a la longitud de la cuerda unidad), hasta llegar al PC, y la

deflexión para cada una de las abscisas siguientes corresponde a la suma de la anterior con la deflexión por cuerda: 











Deflexión para la k2+180 = 2º50’37,64” + 3º49’21,2” = 6º39’58.84” Deflexión para la k2+200 = 6º39’58.84” + 3º49’21,2” = 10º29’20,04” Deflexión para la k2+220 = 10º29’20,04” + 3º49’21,2” = 14º18’41,24” Deflexión para la k2+240 = 14º18’41,24” + 3º49’21,2” = 18º08’02,44” Deflexión para la k2+260 = 18º08’02,44” + 3º49’21,2” = 21º57’23,64” Deflexión para la k2+280 = 21º57’23,64” + 3º49’21,2” = 25º46’44,84”

Pero ahí hay que parar porque la abscisa del PT es la k2 + 293,364 , por lo tanto se genera otra subcuerda, la de salida, que se calcula de manera similar a la de entrada: 

Subcuerda de salida: 2 293,364 m – 2 280 m = 13,364

Y de la misma manera, la deflexión para la subcuerda es de: 

Deflexión para la subcuerda de salida = 13,364 m * 0º11’28,06” = 2º33’15,23”

Así que al final, la deflexión para el PT es: 

Deflexión para la k2+293,364 = 25º46’44,84” + 2º33’15,23” = 28º20’00,07”

La cual, según lo visto en el artículo, debe corresponder con la mitad del ángulo de deflexión de la curva:

Con esta información se construye la cartera de deflexiones, que va a ser la que permita materializar la curva en el terreno, pues es la que recibe el topógrafo para hacer su trabajo. A continuación se muestran las tres primeras que debe contener dicha cartera. Las otras tres, hacen referencia a los elementos que ya se calcularon a lo largo de este artículo (es necesario reescribirlos dentro de la cartera), el azimut de los alineamientos rectos (de entrada y salida), y el sentido en el que se deflectará la curva (en este ejemplo desde el PC hasta el PT, que es el sentido en el que aumenta la deflexión). Nótese que la cartera está escrita de abajo hacia arriba, para facilitar el trabajo de los topógrafos. ESTACIÓN

ABSCISA

DEFLEXIÓN

PT

k2+293,364

28º20’00,07”

K2+280

25º46’44,84”

K2+260

21º57’23,64”

K2+240

18º08’02,44”

K2+220

14º18’41,24”

K2+200

10º29’20,04”

K2+180

6º39’58.84”

K2+160

2º50’37,64”

k2+145,121

0º00’00”

PC

Rumbo y Azimut Este artículo no será actualizado como indican las notas que en él aparecen. En su lugar serán creados dos artículos separados que le invito a seguir. El primero tratará de la Introducción a la medición de ángulos horizontales, y el segundo más específicamente sobre rumbos y azimutes. La idea es exponer los conceptos de manera más clara y entendible. Gracias por su comprensión. Un ángulo debe tener tres características: 1. Referencia: Desde dónde se mide. 2. Amplitud: La magnitud medida del ángulo («el número» para ser más explícito). 3. Sentido: A partir de la línea de referencia, hasta dónde se mide. Los ángulos horizontales son una de las cinco mediciones que se realizan en topografía plana (Ver capítulo 2), dentro de ellos podemos encontrar:  Ángulos internos (en un polígono cerrado)  

Ángulos externos (en un polígono cerrado) Ángulos derechos (medidos en el sentido de las manecillas del reloj)





Ángulos izquierdos (medidos en contra del sentido de las manecillas del reloj) Ángulos de deflexión (medidos desde la prolongación de una línea hasta la siguiente, pueden ser izquierdos o derechos)

Referencia Para medir ángulos se pueden tomar tres tipos de líneas de referencia:

1. Magnética Nuestro planeta está rodeado por un campo magnético cuyo origen es aún discutido. Se cree que se origina en las corrientes de la región ígnea de la Tierra, como consecuencia del movimiento de partículas cargadas eléctricamente, o, probablemente, son las corrientes de convección que se originan por el calor del núcleo. Quizás el campo magnético terrestre sea el producto de la combinación de las corrientes de convección con los efectos de la rotación terrestre.1 Sea cual sea su origen, el campo magnético de la Tierra ha tenido una importancia capital en la

topografía, ya que hace que el planeta se comporte como un gran imán cuyo polo sur se encuentra al Norte del planeta y, por lo tanto, que el polo norte de una aguja imantada (brújula) señale desde cualquier parte hacia el Norte magnético de la Tierra, brindando una línea más o menos estable para tomar como referencia. Esa línea va a estar determinada por el punto desde el que se este realizando la observación (estación) y el Polo Norte Magnético. Los Polos Magnéticos se definen como el punto en la superficie de la Tierra donde las líneas del campo magnético son perpendiculares a la superficie terrestre. La mayoría de brújulas señalan el Polo Norte Magnético, que actualmente se ubica sobre territorio canadiense, cerca de 1 800 km al Sur del Polo Norte Geográfico. El campo magnético de la Tierra está sujeto a variaciones seculares (a lo largo de las eras geológicas), anuales, e incluso diarias (también se producen inversionesmagnéticas que consisten en cambio diametral de la posición de los polos magnéticos); razón por la cual en la actualidad no se utiliza extensamente la norte magnética como referencia en levantamientos de precisión.

2. Geográfica Los Polos Geográficos de la Tierra se definen como los puntos en su superficie que se cortan con el eje de rotación del planeta.. El Norte Geográfico es usado con más frecuencia en la actualidad como referencia para medir ángulos, pues no presenta variaciones como las de los polos magnéticos, el inconveniente es que debe estar señalado con puntos establecidos con levantamientos de altísima precisión, o ser medido con GPS. Este artículo es por ahora un esbozo, cuando tenga un tiempito lo termino, sin embargo, lo publico así porque lo que está escrito hasta ahora sirve como introducción. Gracias y disculpen la molestia. :D En vista de la acogida que ha tenido el artículo he decidido ampliarlo un poco más, en especial para dar respuesta a las preguntas de Estefanía Vera que aparecen en la sección de comentarios. Sin embargo, me voy a saltar un poco el orden para llegar a los temas que ella menciona. Toca esperar otro rato para que el artículo esté completo y bien estructurado. Les pido disculpas :)

Rumbo El rumbo de una línea es el ángulo horizontal agudo (

N ‘360° – Azimut’ W

Cálculo de Azimutes en poligonales Una poligonal, sea abierta o cerrada, es una sucesión de distancias y direcciones (rumbo o azimut) formadas por la unión de los puntos en los que se armó el instrumento que se usó para medirlas (puntos de estación). Cuando se ubica el instrumento en una estación se puede medir directamente el azimut de la siguiente línea a levantar (si se conoce la dirección del N o si se “sostiene” el contra-azimut de la línea anterior), sin embargo, en ocasiones se mide el ángulo correspondiente entre las dos líneas que se intersectan en el punto de estación (marcando “ceros” en el ángulo horizontal del instrumento cuando se mira al punto anterior), a este último ángulo se le va a llamar “ángulo observado”. Si el ángulo observado se mide hacia la derecha (en el sentido de las manecillas del reloj, que es el mismo en el que se miden los azimutes) se puede calcular el azimut de la siguiente línea con la siguiente expresión: Azimut línea siguiente = Contra-azimut de la línea anterior + Ángulo observado Se debe aclarar que si el resultado es mayor a 360° simplemente se le resta este valor. En la figura se observa que si el azimut conocido corresponde al de la línea AB (ángulo NAB en rojo), por lo tanto el contra-azimut es el ángulo NBA (también en rojo). El ángulo observado, medido

en el sentido de las manecillas del reloj con el instrumento estacionado en el punto B es el ángulo ABC (en verde). El azimut que se desea conocer es el de la línea BC (ángulo NBC en azul). Por lo tanto se tiene la siguiente expresión: Azimut BC = Contra-Azimut AB + Ángulo observado en B Azimut BC =