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• Gabriel Moyano

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COMPORTAMIENTO INELÁSTICO DE ESTRUCTURAS SOMETIDAS A DESPLAZAMIENTO LATERAL (INCREMENTAL)

Ensayo de Desplazamiento Incremental y Curva de Capacidad

El ensayo de desplazamiento incremental consiste en incrementar paulatinamente el desplazamiento de algún punto de una estructura (x) mediante una fuerza lateral (F) hasta que se produzca su deterioro severo o colapso. Mientras se realiza el ensayo se van registrando los valores del desplazamiento y de la fuerza asociada. El gráfico X vs F se conoce como “Curva de Capacidad de la Estructura”.

Comportamiento de Elementos con Carga Axial Una barra de longitud L, sección transversal constante (área A) tiene un extremo fijo y otro libre. El extremo libre tiene un desplazamiento asociado a una fuerza F.

El desplazamiento

es el resultado de la deformación en la barra y por tanto: L

dx 0

Si la deformación unitaria L

a lo largo de la barra es constante, entonces L

dx 0

dx

L

0 Pág.1

La figura muestra el diagrama

del material de que está hecha la barra.

Usando la relación es posible establecer la curva F para la barra, como se muestra a continuación. Para cada valor de i es posible determinar en el diagrama el esfuerzo i correspondiente y determinar así la fuerza F como Fi iA Finalmente, con los valores i y Fi se puede construir la curva caso de una barra de sección constante, sería Fi iA y i

F, que para el i L

Pág.2

Comportamiento de Elementos en Flexión La figura muestra una viga sometida a flexión, de la cual se toma una elemento pequeño (diferencial) entre dos secciones transversales separadas una distancia dx.

En cada una de las fibras paralelas al eje del elemento diferencial aparecen deformaciones lineales, como se muestran en la figura, las fibras por debajo de la fibra neutra se alargan, mientras que las que se ubican por encima de este eje, se acortan. Como resultado de esta distribución de deformaciones, las secciones transversales se inclinan formando un ángulo d al que le corresponde un radio “ ” medido a la fibra neutra El cociente d /dx se denomina curvatura y se representa como = d / dx Se puede demostrar que las deformaciones unitarias en cada una de las fibras varían linealmente con la distancia “y” al eje neutro de la sección transversal como = - y/ . La figura muestra esta distribución.

Pág.3

A cada valor de deformación del material.

i

corresponde un esfuerzo

i

según la curva

Por tanto, la distribución de esfuerzos en la sección se puede obtener asociando a cada valor de ε el valor del esfuerzo correspondiente. La figura muestra un caso en el cual en algunas zonas de la sección los esfuerzos exceden el rango elástico.

Con este diagrama de esfuerzos se puede obtener por integración el Momento Flector como:

M

(

dA y)

Luego, para cada valor del ángulo dθ se puede encontrar el momento M que lo acompaña, y por tanto, siempre es posible construir el diagrama M-dθ, como el mostrado en al figura.

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Rótulas Inelásticas. En algunos elementos y bajo ciertas solicitaciones, el comportamiento inelástico se localiza en una zona pequeña mientras el resto de la estructura se mantiene elástica. La figura muestra el caso de una columna de concreto en voladizo (de longitud H), sometida a una carga transversal F en su extremo libre, donde la zona en comportamiento inelástico tiene una pequeña longitud “s”.

En la zona en comportamiento inelástico la curvatura es variable y por tanto, el giro de la sección en el extremo de la zona inelástica, “θ”, se calcula integrando la curvatura en toda la longitud “s”: s

s

dx 0

d 0

Se puede modelar la zona en régimen inelástico usando una longitud equivalente, menor que s, denominada “longitud de rótula plástica” (lp). En esta longitud “lp”, se supone que tanto el momento flector como la curvatura, se mantienen constantes.

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Usando este modelo, para cada valor de curvatura podemos establecer el momento flector asociado y también el giro de la rótula, como

Giro

dx

dx

lp

Por tanto, para aplicaciones sencillas, el comportamiento de la zona inelástica de un elemento, se puede representar mediante el diagrama momento-giro (M-θ) de la rótula.

Comportamiento Inelástico de una Estructura Una manera sencilla de modelar una estructura cuyos elementos incursionen en el régimen inelástico, consiste en representar el comportamiento inelástico mediante rótulas ubicadas en aquellas zonas en las que se prevé la ocurrencia de daño. La figura muestra el modelo de un pórtico plano con la ubicación de algunas rótulas potenciales.

Pág.6

Pág.7

Ejemplo 01 La figura muestra una columna de concreto armado (E= 2.2 x 106 Ton/m2) empotrada en su base (sección de 30x30cm). El comportamiento de la base de la columna se representa mediante una rótula cuyo diagrama Momento vs. Giro, se muestra. Obtenga la curva de capacidad correspondiente a un desplazamiento en la parte superior.

Modelo de la estructura:

Resistencia, Sobrerresistencia y Ductilidad de la Rótula My = 7.2 Ton-m Ω = 1.0 = 8.07/2.16 = 3.74

Curva de Capacidad Para la columna: EI 2.2 10 6

1 4 0.3 12

1485 Ton m 2

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Etapa Elástica:

Fh 3 3EI

Fin de la Etapa Elástica, Punto 1:

M = My = 7.2 Ton-m Fy h 3 1

y

3EI

1.98 cm

Fy = 2.06 Ton Deriva :

1.98 350

y

h

5.66 0 00

Etapa Inelástica: El momento en la base es constante Se produce el giro inelástico de la rótula

in in

in

h

rotura

TOTAL

y

rotura

y

in

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Fin de la Etapa Inelástica: Rotura de la Rótula, Punto 2

in ( máx) 2

in (max) TOTAL ( máx)

Deriva

TOTAL

h

5.91 10

ROTURA

/h

1.98

3

350

2.07

2.07 cm

4.05cm

11.6 0 00

Curva de Capacidad

Resistencia= Fy = 2.06 Ton Ω = 1.0 = 4.05/1.98 = 2.05

Pág.10

Ejemplo 02 La figura muestra una columna de concreto armado (E= 2.2 x 106 Ton/m2) empotrada en su base (sección de 30x30cm). El comportamiento de la base de la columna se representa mediante una rótula cuyo diagrama Momento vs. Giro se muestra. Obtenga la curva de capacidad correspondiente a un desplazamiento en la parte superior.

Modelo de la estructura:

Resistencia, Sobrerresistencia y Ductilidad de la Rótula My = 7.2 Ton-m Ω = 8.34/7.2 = 1.16 = 8.07/2.16 = 3.74

Curva de Capacidad Para la columna: EI 2.2 10 6

1 4 0.3 12

1485 Ton m 2

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Etapa Elástica:

Fh 3 3EI

Fin de la Etapa Elástica, Punto 1:

M = My = 7.2 Ton-m Fy h 3 1

y

3EI

1.98 cm

Fy = 2.06 Ton Deriva :

y

h

1.98 350

5.66 0 00

Etapa Inelástica: Se produce el giro inelástico El momento aún puede crecer La fuerza F aún puede incrementarse Como F incrementa, se incrementan también los momentos flectores en toda la altura y por tanto la parte elástica del modelo se sigue deformando.

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

Incremento de Fuerza: Fmáx = 2.38 Ton ∆F = 2.38 – 2.06 = 0.32 Ton



Incremento de Desplazamiento: ∆1‘ = Parte elástica debido a ∆F ∆2‘ = Parte inelástica por giro inelástico

1

F h3 3EI

' '

in (max)

in

TOTAL

2

Deriva

0.308 cm h

5.91 10 y

TOTAL

h

1

'

3

2

350

2.07

' 4.36cm

12.5 0 00

Curva de Capacidad

Resistencia= F = 2.06 Ton Ω = 2.38/2.06 = 1.16 = 4.36/1.98 = 2.2

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Ejemplo 03 La figura muestra la planta de una estructura de concreto (E = 2.2 x 106 Ton/m2) de un piso con dos tipos de columnas. El comportamiento de la base de las columnas se representa mediante rótulas cuyos diagramas Momento vs. Giro se muestran. Obtenga la curva de capacidad correspondiente a un desplazamiento en la parte superior.

Modelo de la Estructura:

Resistencia, Sobrerresistencia y Ductilidad de la Rótula Columna C-1

Columna C-2

My = 7.2 Ton-m Ω = 1.0 = 8.07/2.16 = 3.74

My = 4.98 Ton-m Ω = 1.0 = 10.85/1.953 = 5.56

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Curva de Capacidad Para la columna C-1 y C-2: EI 2.2 10 6

1 4 0.3 12

1485 Ton m 2

Etapa elástica:

F h 6 2

F h 12

Fin de la Etapa Elástica, Punto 1:  

Columnas igualmente esforzadas Columnas C-2 alcanzan primero My 4.98

My



Fh 12

F 17.074Ton

Una columna

F1col

2.846 Ton

C 2

C 1

1

y

h3 F1col 12EI 0.685 cm

0.685 cm

Etapa Inelástica:

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Luego de la formación de rótulas en C-2 , la estructura queda como:

Entonces al aplicar un ∆F adicional puede suceder: (a) Que las columnas C-1 se rotulen mientras las columnas C-2 siguen deformándose sin llegar a la rotura; o que (b) Las columnas C-1 sigan elásticas y que las C-2 lleguen a su giro de rotura. 

Supondremos que (a) es verdadero

M

F h 2 2

F h 4

C-1 tiene una capacidad disponible a flexión de ΔMy C 1 2.22

F1col 2

7.2 - 4.98 F h 4

2.22Ton - m F

2.537Ton

1.269 Ton h3 12EI

F1col

0.305 cm

Giro inelástico de C - 2 0.305 0.872 10 3 in(C 2) 350 Veamos la evolución de la rótula:

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Sucedió la opción (a), y hemos encontrado otro punto de la Curva de Capacidad.

A partir del inicio de la rótula en C-1 la estructura queda como:

Y cada elemento ya no puede incrementar sus fuerzas internas y por tanto ya no puede haber mas incrementos de la fuerza exterior; sin embargo el desplazamiento lateral aún puede crecer ya que las rótulas aún tienen los remanentes de giro inelástico siguientes:

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Columna C-1: Giro inelástico intacto θin = (8.07-2.16)x10-3=5.91x10-3 Columna C-2 Giro inelástico parcial disponible θin remanente= (10.85-2.825)x10-3=8.03x10-3 Demos ahora un desplazamiento adicional sin fuerza adicional

Este desplazamiento adicional producirá giros inelásticos adicionales:

θinel

3 en todas las columnas

h Como el mínimo disponible es de C-1: 5.91 10-3

3 2.069 cm 3 350 Es decir para este ∆3 las columnas C-1 llegan a la rotura, mientras que las C-2 aún conservan un remanente inelástico.

Xrotura= 0.99+2.069=3.06cm Finalmente la Curva de capacidad de la estructura sera: Curva de Capacidad

Resistencia= F = 17.07Ton Ω = 19.61/17.07 = 1.15 = 3.05/0.69 = 4.43

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Ejemplo 04 La figura muestra la planta de una estructura de concreto (E= 2.2 x 106 Ton/m2) de un piso con dos tipos de columnas El comportamiento de la base de las columnas se representa mediante rótulas cuyos diagramas Momento vs. Giro se muestran. Obtenga la curva de capacidad correspondiente a un desplazamiento en la parte superior.

Curva de Capacidad 1 4 0.3 12 Se obtiene la siguiente curva de capacidad

Para la columna C-1 y C-2: EI 2.2 10 6

1485 Ton m 2

Resistencia = F = 17.07 Ton Ω = 21.48/17.07 = 1.26 = 3.22/0.69 = 4.67

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