• Author / Uploaded
• Gonzalo Sebastian Bravo Rojas

Citation preview

Probabilidad. Distribuciones de probabilidad

Capítulo 3 100.e1

CUESTIONES 1. Si la edad de una población sigue una distribución normal, con una media de 40 años, y la varianza de la edad es de 25, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de encontrar un individuo que tenga una edad superior a 30 años e inferior a 50? 1. >0,99999. 2. 0,025. 3. 0,95. 4.  0,05, no hay evidencia para rechazar la hipótesis nula de normalidad. 5. Como p > 0,05, no hay evidencia para rechazar la hipótesis nula; por tanto, no puede asumirse que la variable peso siga una distribución normal.

Capítulo 3 100.e9

Probabilidad. Distribuciones de probabilidad

SOLUCIONES A LAS CUESTIONES Cuestión 1. Respuesta: 3. 30 − 40 = −2 25 x−µ z= σ 50 − 40 z2 = = +2 25 z1 =

El área bajo la curva que se desea calcular es la delimitada por z = − 2 y z = 2; por tanto, si: z = −2 → pcola izq = 0,0228; z = 2 → pcola dcha = 0,0228 p(30 < x > 50) = 1 − (0,0228 + 0,0228) = 0,954

Cuestión 2. Respuesta: 5. La información proporcionada es: odds (HTA | CI) = 1,5 odds (HTA | no CI) = 1/9 p(CI) = 0,20 (prob. marginal)

© Elsevier. Fotocopiar sin autorización es un delito.

p=

odds 1 + odds

p(HTA CI) =

1,5 = 0,6 1 + 1,5

p(HTA nCI) =

1/ 9 = 0,1 1 + 1/ 9

Construir la tabla siguiente facilita los cálculos (entre paréntesis, en números romanos se ha indicado el orden seguido para completar la tabla): CI no CI Total

HTA

12 (IV) 8 (VI) 20 (VIII)

p(CI HTA) =

NO HTA

8 (V) 72 (VII) 80 (IX)

p(CI ∩ HTA) 12 = = 0,6 p( HTA) 20

TOTAL

20 (II) 80 (III) 100 (I)

100.e10

Bioestadística amigable Cuestión 3. Respuesta: 2. p(SP) = 424 / 2.437 = 0,174

Cuestión 4. Respuesta: 3. p(SP |≥ 5 veces) = 82 / 320 = 0,256

Cuestión 5. Respuesta: 2. La odds para no expuestos es el cociente entre los que desarrollan síntomas psicóticos y los que no los desarrollan: odds (SP no cannabis) =

342 1 = = 0,19 1.775 5,26

Entre los que NO consumieron cannabis, por cada uno que desarrolló síntomas psicóticos, hay 5,26 que no los desarrollaron. Cuestión 6. Respuesta: 2. La media era de 21 kg/m2 y la desviación estándar de 3,1 kg/m2. Se desea saber entre qué valores se encuentra el 90% central de los niños. Por tanto, tendremos dos colas, cada una de a = 0,05. Se busca qué valor de z corresponde a a = 0,05. Este valor es z = 1,645.

21 − (1,645 * 3,1) = 15,9 21 + (1,645 * 3,1) = 26,1

Cuestión 7. Respuesta: 2. Si DC = diagnóstico clínico de úlcera y A = autopsia (criterio de verdad), p(DC A + ) =

130 = 0,433 130 + 170

El 43,3% de los que tenían úlcera en realidad (según la autopsia) tendrán un diagnóstico clínico de úlcera. Corresponde al concepto de sensibilidad. Cuestión 8. Respuesta: 3. El factor Bayes equivale al cociente entre la probabilidad de que el diagnóstico clínico sea positivo en los que tienen verdaderamente úlcera (la autopsia fuese positiva) y la probabilidad de que haya un diagnóstico clínico en los que no la tienen según la autopsia:  130  p(DC + | A + )  130 + 170  FB = =  = 210, 2 20 p(DC + | A − )    20 + 9680 

El hecho de que el diagnóstico clínico sea positivo es 210 veces más frecuente cuando se tiene úlcera realmente (según la autopsia) que cuando no se tiene.

Capítulo 3 100.e11

Probabilidad. Distribuciones de probabilidad

Cuestión 9. Respuesta: 4. Dado que l es grande (>60), puede conseguirse una aproximación no muy exacta, pero muy rápida, usando la distribución normal para acercarse a la Poisson: z=

x − λ 90 − 70 = = 2,39 70 λ

Para un valor z = +2,39, las tablas de la normal dan una probabilidad de p = 0,0084.

Si se utiliza la Poisson:

o bien, en Excel: =1-POISSON(89;70;VERDADERO), da una probabilidad de 0,012. Cuestión 10. Respuesta: 5. Podría pensarse que la correcta es la 2, pues, según la distribución normal: z=

18 − 14 =2 2

Pero la más adecuada es la 5, ya que no sabemos si la variable hemoglobina en esta muestra sigue una distribución normal. Por lo tanto, lo correcto es afirmar que faltan datos para poder contestar. Solución común para las cuestiones 11-21. Para resolver este tipo de problemas, lo más sencillo es construir, a partir de los datos del enunciado, una tabla como la siguiente: CM

© Elsevier. Fotocopiar sin autorización es un delito.

M+ 54 11 M− Total 65 CM, cáncer de mama; M, mamografía (positiva/negativa).

SIN CM 395 7.540 7.935

TOTAL

449 7.551 8.000

Cuestión 11. Respuesta: 2. Sería: 1 − p(CM) = 1 − (8.125/1.000.000), o basado en la tabla: p(nCM) = 7.935/8.000 = 0,992 Cuestión 12. Respuesta: 1. p(nCM M − ) = 7.540 / 7.551 = 0,99

Equivale al concepto de valor predictivo negativo (VPN) Cuestión 13. Respuesta: 4. Al factor Bayes, en el contexto de las pruebas diagnósticas, se le llama también razón de verosimilitud. De modo que: FB =

p(M + CM) 0,83 = = 16,6 p(M + nCM) 1 − 0,95

100.e12

Bioestadística amigable o bien  54    65 = 16,6 FB =  395    7.935 

Cuestión 14. Respuesta: 1. Odds pre =

65 = 0,0082 7.935

Cuestión 15. Respuesta: 3. Odds ratio posterior = odds previa × FB = 0,0082 × 16,6 = 0,137

Otra manera de calcularla: odds post =

p(CM M + ) 54 = = 0,137 p(nCM M + ) 395

Cuestión 16. Respuesta: 3. fr