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• Rodolfo Orantes Orellana

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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA AREA DE ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA 1 SECCIONES C+ y D Ing. Alba Maritza Guerrero Spínola de López MS.c.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA 1.

DISTRIBUCION UNIFORME:

Esta distribución se caracteriza por una función de densidad que es plana, y por ello la probabilidad es uniforme en un intervalo cerrado [A,B]. f(x) = 1 (B - A)

A X B 0

en cualquier otro caso

La media y la varianza de la distribución uniforme son:

= (A + B)/2

2 = (B-A) 2/12 Dicha función de densidad tiene la forma de un rectángulo a menudo suele llamarse distribución rectangular cuya base es B – A y altura constante 1 / (B – A). EJEMPLOS: 1.

La cantidad diaria de café (medida en litros) que despacha una máquina ubicada en el departamento de matemática de la Universidad, es una variable aleatoria que tiene distribución uniforme en el intervalo [ 7, 10] litros. Encuentre la probabilidad de que, en un día determinado la cantidad de café despachada por esta máquina sea: a) cuando mucho 8.8 litros b) más de 7.4 litros pero menos de 9.5 litros c) al menos 8.5 litros

2.

Suponga que durante una semana cualquiera, el precio de crema para afeitarse se distribuye de manera uniforme en el intervalo [ Q.37.75, Q.44.25] . ¿Cuál es la probabilidad de que un una semana dada dicho precio sea: a) menor que Q.40 b) cualquier cantidad entre Q.40 y Q.42

2.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución de probabilidad más importante en todo campo de la estadística, es la distribución normal. Su importancia radica en que numerosos fenómenos continuos que ocurren en la naturaleza, en el campo de la ingeniería, la industria y la investigación, se aproximan mediante esta distribución. Es utilizada para aproximar diversas distribuciones de probabilidad discreta y evitar pesados cálculos, además de proporcionar la base de la inferencia estadística clásica, debido a su relación con el teorema del límite central. Frecuentemente se le llama distribución gaussiana, en honor de Karl Friedrich Gauss 1809, quien derivo una ecuación de un estudio de errores de mediciones repetidas de la misma cantidad. Su gráfica recibe el nombre de curva normal, su forma es de una campana. (ver figura No. 1)

• Se puede observar que la curva es simétrica, la mitad del área bajo la curva está a la derecha de la media y la mitad a la izquierda, lejos de la media, hacia las colas, la altura de la curva disminuye. Esto corresponde a una probabilidad decreciente mientras más lejos esté de la media. La distribución normal teórica tiende al infinito en cada extremo. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL: 

Tiene forma de campana, la curva es simétrica, La función f(x) describe una forma conocida como campana de Gauss, concentrando el área alrededor de la media .



Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) son todas idénticas.

       

Es simétrica en torno a la media , debido a ello el 50% del área está a la derecha de una perpendicular trazada en la media y el 50% restante hacia la izquierda. P( x< ) = 0.50 y P( x> ) = 0.50 La variable aleatoria asociada tiende a infinito (-  X  + ) El área total bajo la curva es igual a 1. La probabilidad de que una variable aleatoria tenga un valor entre cualesquiera dos puntos es igual al área bajo la curva entre esos puntos. Su punto más alto lo obtendrá cuando z = 0, el mismo corresponde a la media aritmética. El valor de la curtosis es igual a 3 Depende de dos cantidades, (, ) la media y la desviación estándar. Si se trazan perpendiculares a una distancia de 1 desviación estándar (1 ), a partir de la media en ambas direcciones el área que encierra es aproximadamente del 68%. Si la distancia es de 2 desviaciones estándar (2), el área que encierra es aproximadamente 95%. Si la distancia es de 3 desviaciones estándar se logrará encerrar aproximadamente el 99.73% del área.

MODELO MATEMÁTICO: En 1733 Abraham DeMoivre desarrolló la ecuación matemática de la curva normal. Proporcionó una base sobre la cual se fundamenta gran parte de la teoría inductiva.

f(x) =

1

e–(1/2)(x - )/

 2

√2π x donde: e = constante matemática aproximada por 2.71828 π = constante matemática 3.14159

 = media de la población  = desviación estándar de la población x = cualquier valor de la variable aleatoria continua

-∞ < X < ∞

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR Una distribución normal estándar es una distribución cuya variable aleatoria Z siempre tiene una  = 0 y una desviación estándar  = 1, para lo cual se utiliza la siguiente formula de transformación: Z = X - x x EJEMPLOS:

Suponga que el tiempo que tarda cierta cajera de un banco en atender a cualquier cliente (desde el instante en que este llega a la ventanilla hasta el momento que se retira) tiene una distribución normal con media de 3.7 minutos y desviación estándar de 1.4 minutos. Encuentre la probabilidad de que un cliente elegido al azar: 1.

a) b) c)

haya esperado menos de dos minutos en la ventanilla haya esperado más de seis minutos en la ventanilla haya esperado entre dos y cuatro minutos en la ventanilla

2. La vida útil de cierta lavadora tiene una distribución normal con media de 3.1 años y varianza de 1.44. Si este tipo de lavadora tiene garantía de un año. a) que fracción de la cantidad de lavadoras vendida originalmente necesitara ser reemplazada. b) Cuál es la probabilidad de que una de estas lavadoras dure entre 2 y 4 años. 3. Un taller de mecánica automotriz se dedica a la reconstrucción de acumuladores (baterías) de 13 placas para automóvil. Se ha observado que la vida media de una batería reconstruida es de 30 meses, con una desviación estándar de seis meses. Si se supone una distribución normal, determine: a) el porcentaje de baterías reconstruidas que se espera duren más de 2 años. b) El tiempo a partir del cual se halla 90% de las baterías que más duran(exprese su respuesta en meses y dias) 4. Suponga que la estatura de hombres de una población sigue un comportamiento normal con media de 67.3 pulgadas y desviación estándar de 2.3 pulgadas. a) Qué proporción de hombres tiene estatura entre 65 y 66 pulgadas b) Cuánto mide un hombre cuya estatura se encuentra por encima del 15% de los que miden más c) Cuál es la probabilidad de que un hombre elegido al azar mida más de 68 pulgadas.

APROXIMACIÓN NORMAL A LA BINOMIAL Relación entre la función binomial y normal Si n es grande y si ni p ni q son muy próximos a cero, la distribución binomial puede aproximarse estrechamente por una distribución normal, Si X es una variable aleatoria binomial con media x = np y varianza = npq, entoncen las forma limitante de la distribución de Zc =

X - np √npq

La aproximación mejora al crecer n, y en el límite es exacta, donde es claro que al crecer n, el sesgo y la curtosis de la distribución binomial se aproximan a los de la distribución normal. En la práctica la aproximación es muy buena si tanto np como nq son mayores que 5. 5. Se sabe que 30% de los clientes de una tarjeta de crédito a nivel nacional, dejan a cero sus saldos para no incurrir en intereses moratorios. Determine la probabilidad para un grupo de 200 tarjetahabientes de que: a) de 40 a 60 clientes paguen sus cuentas antes de incurrir en el pago de intereses b) 30 clientes o menos paguen sus cuentas antes de incurrir en el pago de intereses c) más de 55 clientes paguen sus cuentas antes de incurrir en el pago de Intereses 6. Se arroja 200 veces una moneda legal ¿Cual es la probabilidad de obtener?: a) más de 20 caras b) menos de 25 caras c) cualquier cantidad de caras entre 100 y 150 TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL Sean X1, X2, .... variables aleatorias independientes que están distribuidas idénticamente (es decir todas tienen la misma función de probabilidad en el caso discreto o función de densidad en el caso continuo) y tienen media  y varianza 2 finitas. Entonces si Sn = x1 + x2 +...xn (n= 1,2....) S = Σxi con  = Σi , 2 = Σ2i Lim [(Z = (S – n i)/ i √n] = Lim [(Z = (S – )/ √2i ] n→∞

Tiene una distribución aproximadamente Normal Estándar, cuando n→∞ Radica la importancia de este teorema en la tendencia a la Distribución Normal Estándar de Zn cuando n crece, independiente de la distribución original de X, y es fundamental en las aplicaciones de inferencia estadística, ya que muchos estimadores están representados por sumas de observaciones muestrales. 1.

El sistema de empaque de una compañía de cereales se ha ajustado para lograr un promedio de peso de 13 onzas por paquete de cereal, por supuesto no todas las cajas tienen el promedio de 13 onzas debido a las fuentes aleatorias de variabilidad. La desviación estándar del peso neto real es 0.1 onzas y se sabe que la distribución de pesos sigue una distribución normal. El cereal se entrega a los supermercados en cajas de 25 paquetes. Hallar la probabilidad de que una caja escogida aleatoriamente

a) pese entre 325 y 326 onzas b) que el peso exceda 326.25 onzas c) que el peso este entre 326.5 y 327.5 onzas 2.

Una empacadora de alimentos produce latas de durazno con un peso medio de 225 gramos y una varianza de 14 gramos 2 /lata se supone que los pesos de las latas son estadísticamente independientes. Un cartón contiene 60 latas y se desea calcular la probabilidad a) que el peso del cartón sea menor o igual que 13434 gramos b) que el peso del cartón sea mayor que 13568 gramos

3.

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

La variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial, con parámetro β, si su función de densidad está dada por

, f(x) =

(1/ β ) e-x / β , 0

donde β > 0.

x>0 en cualquier otro caso λ = 1/ β

β = tiempo medio entre eventos, tiempo medio entre fallas Con media  = β

Y varianza 2 = β2

Con función acumulada : F(X) = 1 - e- λ X

P(0  X  x )

Relación con la Poisson Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de eventos durante un período o espacio particular. Una llegada representa el evento de poisson. La relación entre la distribución exponencial y la poisson es bastante simple , λ = # eventos/ unidades de tiempo

, f(x) = λ

e- λ X

λ = 1/ β

X≥0

0

X< 0

Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son situaciones donde se aplica el proceso de Poisson . (la poisson permite calcular la probabilidad de números específicos de eventos durante un periodo o espacio particular) El parámetro β importante es el tiempo medio entre eventos. En teoría de confiabilidad donde la falla de equipo a menudo se ajusta a este proceso de Poisson , β se llama tiempo medio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y por ello se aplica la distribución exponencial. Otras aplicaciones incluyen tiempos de sobrevivencia en experimentos biomédicos y tiempo de respuestas de computadoras,

4.

DISTRIBUCION GAMMA

La distribución gamma es el equivalente continuo de la binomial negativa. Una variable aleatoria X tiene la distribución gamma si la función de densidad es: ,f(x) = X (α-1) e βα

–x/β

0  X < 00

┍(α) 0

en cualquier otro punto

Para x> 0, α > 0, β > 0 Donde α, β se conocen como parámetros de la distribución y

┍(α) = 0ʃ00

┍(α) es la función gamma definida como:

X (α-1) e

–x

dx

La integración directa permite verificar que ┍(1) = 1 y que cuando n es un entero entonces

┍(n) = (n-1)!,

α recibe el nombre de parámetro de forma relacionado con la distribución gamma β recibe el nombre de parámetro de escala.

E(x) = α *

β ; V(X) = α *

β2

La distribución gamma frecuentemente se utiliza para modelar variables aleatorias que por varias razones tienen distribuciones asimétricas, sesgadas a la derecha. Seleccionando adecuadamente los parámetros α y β.

5.

DISTRIBUCIÓN BETA

Esta distribución tiene aplicaciones en ingenieria y en otros campos de la ciencia. Cuando una variable aleatoria toma valores entre 0 y 1 es utilizada la función densidad de probabilidad Beta, por lo que el modelo se utiliza frecuentemente para las variables aleatorias que representan proporciones, como el porcentaje de impurezas presentes en un producto químico o la cantidad de tiempo que una máquina está en reparación. ,f(x)=

┍(α+

β)

* x

α-1

(1-x) β-1 para 0 0

┍(α) * ┍(β) 0

en cualquier otro caso

La media y la varianza de esta distribución están dadas por:  = α/ (α+ β)

6.

y varianza 2 = α β / (α+ β) 2 (α+ β + 1)

DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

Es una generalización de la exponencial. Tiene importantes aplicaciones en la teoria de confiabilidad, durabilidad y control de calidad. La variable aleatoria X tiene distribución de Weibull, si su función de densidad de probabilidad está dada por:

,f(x) = r λr Xr-1 e-(λx)r

x>0

0

en otra parte

si r = 1 la distribución de weibull se reduce a la distribución exponencial con escala λ  = 1/ λ

┍ (1+

f(x) = α β X β-1 e-(αX F(x) = 1 – e-(αX

y varianza 2 = 1/ λ2 [

1/r)

β)

β)

E(x) = α-1/β ┍ (1+ 1/ β) Var(x) = α-2/β [┍ (1+ 2/ β) - ┍ (1+ 1/ β) 2 ]

┍ (1+

α > 0, β > 0

2/r) -

┍2 (1+

1/r) ]