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• Moises Martinez

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14.3. ELEMENTOS PASIVOS EN CORRIENTE ALTERNA ω

B

θ

Tema 14

S

V ´ magnetica ´ ´ de una espira que gira con velocidad angular ω Figura 14.1: Flujo de induccion a traves

Corriente alterna 14.1. Introduccion ´

Si la induccion ´ magn´etica es constante (no var´ıa con la posicion) ´ en la superficie del circuito puede salir de la integral y queda: φ = BS cos θ

En el cap´ıtulo de circuitos de corriente continua hemos utilizado generadores cuya diferencia de potencial era constante con el tiempo, es decir,

Si el circuito gira con una velocidad angular ω e inicialmente la superficie formaba un a´ ngulo ϕ ~ con la induccion ´ magn´etica B, φ = BS cos(ωt + ϕ) La fuerza electromotriz (ε) que medir´a el volt´ımetro viene dada por:

V (t) = V0 donde V0 es la diferencia de potencial dada al circuito por el generador. Sin embargo, en la mayor´ıa de las aplicaciones dom´esticas e industriales lo usual es contar con corriente alterna. El valor de la diferencia de potencial del generador var´ıa con el tiempo como una funcion ´ senoidal

ε=−

dφ dt

as´ı que derivando tenemos: ε = BSω sen(ωt + ϕ)

V (t) = V0 sen(ωt + ϕ). donde V0 es el valor m´aximo, ω su frecuencia angular y ϕ el a´ ngulo de desfase. En Espana, ˜ la electricidad tiene una frecuencia, ν=ω/2π=50 Hz. En otros pa´ıses, como Estados Unidos, la frecuencia es de 60 Hz.

14.2. Produccion ´ de la corriente alterna La produccion ´ de corriente alterna est´a basada en la ley de induccion ´ de Faraday. Esta ley establece que un cambio en el flujo del campo magn´etico que atraviesa un circuito, genera una fuerza electromotriz en el mismo que se opone al cambio. En la formulacion ´ matem´atica tenemos ~ a trav´es de la superficie S (cuyo vector asociado es que el flujo del vector induccion ´ magn´etica B perpendicular a e´ sta, (ver figura 14.1) es: φ=

Z

S

~ · dS ~= B

Z

B cos θdS,

S

donde θ es el a´ ngulo que forman la superficie y el campo. 35

(14.1)

que es una funcion ´ senoidal de amplitud BSω y de frecuencia angular ω. Hay que tener en cuenta que puede cambiarse de seno a coseno (y viceversa) sin m´as que tomar un a´ ngulo de desfase ±π/2. En la figura 14.2 se detallan los a´ ngulos de giro de la espira que corresponden a los m´aximos, m´ınimos y ceros de la fuerza electromotriz inducida. Este es el fundamento de los alternadores que existen en las centrales el´ectricas. El elemento que genera el campo magn´etico se llama INDUCTOR y puede ser un im´an o un electroim´an. El circuito conectado a otro exterior en el que se genera la fuerza electromotriz se llama INDUCI´ DO. Al elemento que rota se le llama ROTOR y al que permanece fijo ESTATOR. En la figura 14.3puede verse un alternador simple donde el rotor es el inducido y el est´ator es el inductor.

14.3. Elementos pasivos en corriente alterna Veremos a continuacion ´ cual es el comportamiento de resistores, condensadores y bobinas en corriente alterna. Tendremos en cuenta que tanto el voltaje como la intensidad que circular´a por ellos cambiar´a tambi´en con el tiempo. Escuela de Ingenier´ıas Agrarias, Uex. Curso 2006/2007

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TEMA 14. CORRIENTE ALTERNA

14.3. ELEMENTOS PASIVOS EN CORRIENTE ALTERNA

14.3.1. Resistores En un resistor, por la ley de Ohm sabemos que la diferencia de potencial es proporcional a la intensidad de corriente que circula por e´ l. As´ı, la relacion ´ entre el voltaje en sus extremos y la intensidad es: VA − VB = i(t)R.

(14.2)

14.3.2. Condensadores En un condensador, la carga se acumula en sus placas y la cantidad de carga acumulada es proporcional a la diferencia de potencial entre e´ stas. Una pequena ˜ variacion ´ dV en el voltaje, inducir´a una variacion ´ dq en las placas siguiendo la relacion: ´ ~ En el punto 1, el flujo es ´ de electricidad por una espira de vector de superficie S. Figura 14.2: Generacion ´ ´ maximo porque el angulo que forman es 0. El flujo disminuye en la primera vuelta (pasos 1 a 3) y por eso tenemos una fuerza electromotriz positiva. Aumenta en la segunda media vuelta (3 a 5) y tenemos fuerza electromotriz negativa.

dq = CdV si hacemos la derivada respecto del tiempo en cada uno de los miembros i(t) =

dq dV (t) =C . dt dt

por tanto: 1 C

VA − VB =

Z

i(t)dt

(14.3)

14.3.3. Bobinas Una bobina es un arrollamiento en forma de espiral de un conductor. Cuando pasa corriente por e´ ste crea un campo magn´etico en su interior. Si la corriente var´ıa, tambi´en var´ıa su campo magn´etico interno y a su vez el flujo que pasa por la propia bobina, que induce una fuerza electromotriz en ella misma. Todos estos efectos se tienen en cuenta en un coeficiente de autoinduccion ´ L que relaciona la diferencia de potencial entre los extremos de la bobina y la intensidad de corriente i(t) que circula por e´ sta. di(t) VA − VB = L (14.4) dt

R ´ Figura 14.3: Alternador simple donde rotor es el inducido y el estator es el inductor.

VA i(t)

L

C VB

VA

+Q

−Q

VB

i(t)

VA

VB i(t)

Figura 14.4: Elementos de un circuito de corriente alterna. R resistor, C condensador y L bobina

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TEMA 14. CORRIENTE ALTERNA

14.4. Circuito LCR serie

´ 14.5. REGIMEN ESTACIONARIO. IMPEDANCIA Caso

Solucion ´

2

Tomemos un circuito con los tres elementos anteriomente citados y una fuente de alterna de fuerza electromotriz V0 segun ´ la figura 14.5.

a

C +Q

−Q

R − 4L/C > 0 i(t) = A1 ek1 t + A2 ek2 t

k1 =

√

R2 −4L/C 2L

k2 =

−R−

√

R2 −4L/C 2L

R2 − 4L/C = 0 i(t) = (A1 t + A2 )e−Rt/2L R2 − 4L/C < 0 i(t) = A1 e−Rt/2L cos(qt) + A2 e−Rt/2L sen(qt) q =

b

−R+

p

4L/C − R2

´ homogenea ´ Tabla 14.1: Soluciones de la ecuacion de un RLC serie.

+

i

V0

R

d

L

c

Vemos que siempre que la resistencia tenga un valor distinto de cero tendremos que la solucion ´ decrece exponencialmente con el tiempo y por tanto, la corriente del r´egimen transitorio ser´a despreciable para tiempos grandes.

Figura 14.5: Circuito LCR serie.

Visto de otra forma, el resistor disipa por efecto Joule la energ´ıa que puede estar almacenada en el condensador o en la bobina. En un circuito general, si no existe un resistor no se puede garantizar el decrecimiento de la intensidad del transitorio.

Podemos aplicar las leyes de Kirchhoff al circuito anterior teniendo en cuenta que la diferencia de potencial (V ) y la intensidad de corriente (i) son funciones del tiempo. Utilizando las relaciones entre intensidad y diferencia de potencial en cada elemento, vistas anteriormente, en la malla abcda llevan a la ecuacion: ´ Z 1 di i dt. (14.5) V = iR + L + dt C

Normalmente, para eliminar esta solucion ´ transitoria, se exige que en en momento inicial t = 0 los condensadores est´en descargados y que no pase corriente por las bobinas. As´ı, tendremos la solucion ´ de r´egimen estacionario que veremos a continuacion. ´

Si derivamos una vez los dos miembros de la ecuacion ´ para eliminar la operacion ´ integral, se tiene: d2 i 1 di dV =L 2 +R + i dt dt dt C que es una ecuacion ´ diferencial de segundo orden donde la incognita ´ es i. En la teor´ıa de la resolucion ´ de ecuaciones diferenciales es necesario encontrar una solucion ´ para la ecuacion ´ homog´enea: di 1 d2 i 0=L 2 +R + i dt dt C que da la solucion ´ a la ecuacion ´ cuando no existe t´ermino dV /dt, y otra de la ecuacion ´ general en la que figura el t´ermino dV /dt. Para encontrar la solucion ´ de la ecuacion ´ homog´enea proponemos como solucion ´ la ecuacion ´ i(t) = exp(kt). Haciendo las derivadas y sustituyendo en la ecuacion ´ anterior, tenemos:   1 0 = ekt Lk 2 + Rk + . C Para que sea igual a cero es necesario que el miembro entre corchetes sea cero y por tanto, el valor de k debe ser: p −R ± R2 − 4L/C k= . 2L En la solucion ´ pueden darse tres casos, dependiendo de el valor que tenga el miembro de la ra´ız. De esta forma hay varias soluciones posibles, segun ´ se muestra en la tabla 14.1. P´agina: 39

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14.5. R´egimen estacionario. Impedancia Para la solucion ´ general se propone una funcion ´ similar a la de V (t) que en este caso es una funcion ´ senoidal. No obstante, por comodidad se utilizan numeros ´ complejos y la relacion: ´ ejωt = cos(ωt) + j sen(ωt) √ donde j = −1. (Se suele utilizar j como la unidad im´aginaria en electricidad porque i se reserva para la intensidad de corriente.) La funcion ´ solucion ´ que se propone es i(t) = I0 ej(ωt−ϕ) (donde solo ´ se tomar´a la parte real), siendo I0 la amplitud de la oscilacion ´ e introduci´endola en la ecuacion ´ 14.5 y utilizando que V (t) = V0 exp(jωt) se tiene:    1 V0 ejωt = I0 ej(ωt−ϕ) R + j Lω − . Cω Si se simplifica el factor exp(jωt) de ambos miembros se tiene    1 . V0 = I0 e−ϕ R + j Lω − Cω Escuela de Ingenier´ıas Agrarias, Uex. Curso 2006/2007

(14.6) P´agina: 40

TEMA 14. CORRIENTE ALTERNA

´ 14.5. REGIMEN ESTACIONARIO. IMPEDANCIA Im

El miembro de la izquierda es un numero ´ real, y el de la derecha el producto de dos numeros ´ complejos. Para que sean iguales debe darse la igualdad entre modulos ´ y la igualdad de argumentos (donde el argumento de un numero ´ real positivo es 0). As´ı, V0 2  1 R2 + Lω − Cω 1 Lω − Cω . ϕ = arctan R

Z X

(14.7)

arg Z

Re

R

I(t) ar

g

Z

I0 = s

La cantidad

  1 R + j Lω − Cω

es la impedancia del circuito. Es un numero ´ complejo de la forma Z = R + jX que ser´ıa la “resistencia” de la corriente alterna. La parte imaginaria X recibe el nombre de reactancia. Los sumandos 1/Cω y Lω tienen las mismas unidades que la resistencia, que se mide en ohmios. A la cantidad XL = Lω se le llama reactancia inductiva y a XC = 1/Cω se le llama reactancia capacitiva. Por tanto, una de las diferencias con la corriente continua es la aparicion ´ de numeros ´ complejos y la depenencia de los valores de impedancia con la frecuencia de la fuente. En la siguiente tabla se encuentran resumidos los valores de las impedancias de los elementos pasivos y su relacion ´ con los par´ametros caracter´ısticos (R, C, L): Elemento

Valor

Impedancia

Resistencia Condensador Bobina

R C L

ZR = R ZC = −j/Cω ZL = jLω 90

En general, podemos trabajar con cualquier circuito de corriente alterna como si fuera un circuito de corriente continua si tenemos en cuenta que los voltajes e intensidades tienen la forma:

que nos indica que la diferencia de argumentos (fase) entre voltaje e intensidad es igual al argumento (fase) de la impedancia del circuito. Si representamos en el plano complejo V , I y Z tendremos el esquema indicado en la figura 14.6 al que se llama diagrama vectorial. En el diagrama hay que hacer notar que tanto V (t) como I(t) est´an girando en el sentido contrario a las agujas del reloj con una velocidad angular ω mientras que Z permanece fija. La intensidad en el diagrama de la figura ir´ıa por detr´as del voltaje un a´ ngulo dado por el argumento de la impedancia.

14.5.1. Asociacion ´ de impedancias An´alogamente a los resistores, la impedancia equivalente de dos impedancias en serie es:

i(t) = I0 ej(ωt+ϕI ) Zeq = Z1 + Z2 ,

La ley de Ohm para corriente alterna se escribe (en notacion ´ fasorial) como: V = IZ

(14.8)

donde V e I son numeros ´ complejos. Esta ecuacion ´ se traduce en dos, una para modulos ´ y otra para argumentos: |V | = |I||Z| arg V = arg I + arg Z P´agina: 41

´ vectorial de un circuito de impedancia Z. Figura 14.6: Representacion

Para obtener los valores instant´aneos de la intensidad y el voltaje, hemos de tomar la proyeccion ´ sobre el eje real de los vectores. Aparece entonces un t´ermino con el coseno del a´ ngulo que forman con el eje real. Finalmente obtendr´ıamos una figura como la 14.7 donde se han representado un voltaje y una intensidad de corriente que est´an desfasadas un a´ ngulo de 0.9 rad.

Tabla 14.2: Impedancias de los distintos elementos del circuito LCR.

V = V0 ej(ωt+ϕV ) ,

V(t)

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mientras que la equivalente de la asociacion ´ en paralelo es: 1 1 1 = + . Zeq Z1 Z2 Se define la admitancia (Y ) como el inverso de la impedancia: Y =

1 Z

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P´agina: 42

TEMA 14. CORRIENTE ALTERNA

14.7. POTENCIAS ACTIVA Y REACTIVA de la misma forma, puede hacerse el c´alculo con voltajes y se tiene:

15

V(t)=10cos(ωt) I(t)=8cos(ωt-0.9)

P =

10

V02 2R

Es decir, el efecto que tiene la oscilacion ´ de la intensidad y el voltaje es el de multiplicar por un factor 1/2 la potencia que tendr´ıa la corriente continua con un valor de intensidad o voltaje igual al del m´aximo.

5

0

Para que se pueda aplicar a la corriente alterna una ecuacion ´ an´aloga a la de la continua, se definen unos valores de intensidad y voltaje llamados intensidad y voltajes eficaces definidos como I0 V0 Ie = √ Ve = √ 2 2

-5

-10

-15 0

2

4

6

8

10

ωt ´ del voltaje y la intensidad de un circuito en el que el desfase es de 0.9 rad. Figura 14.7: Representacion ´ La impedancia del circuito tendr´ıa un modulo de 1.25 Ω y un argumento de 0.9 rad.

de forma que se obtenga la potencia con unas ecuaciones an´alogas a la de la corriente continua. As´ı: V2 P = Ie2 R = e R La ley de Ohm para la corriente alterna se escribe exactamente igual para los valores eficaces, es decir: Ve = Ie Z √ puesto que solo ´ se diferencian de los valores m´aximos en un factor 2.

La asociacion ´ de admitancias en serie es: 1 1 1 = + , Yeq Y1 Y2

14.7. Potencias activa y reactiva

mientras que en paralelo es: Yeq = Y1 + Y2

En general, la intensidad y el voltaje est´an desfasados un a´ ngulo que es igual al argumento de la impedancia. Llamemos ϕ a este a´ ngulo. El voltaje y la intensidad vendr´an expresados como: V (t) = V0 cos(ωt)

14.6. Intensidad y FEM eficaces. Potencia de la corriente alterna Hemos visto que la potencia que disipa un resistor R por el que pasa una corriente continua de valor I es P = I 2 R. Sin embargo, en corriente alterna la intensidad oscila con el tiempo, por lo que es m´as correcto hablar de la energ´ıa disipada por un resistor en un periodo de oscilacion ´ T = ω/2π. Aplicando que en un instante la potencia disipada es i(t)2 R e integrando en un periodo, tenemos la energ´ıa disipada en el periodo T :   Z T Z T T 2π U= t dt = I02 R . I 2 R dt = I02 R cos2 T 2 0 0

La potencia disipada en el periodo (U/T ) es:

1 P = I02 R 2 P´agina: 43

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I(t) = I0 cos(ωt − ϕ). ´ Calculemos la energ´ıa disipada por el circuito en un periodo T = 2π/ω. Esta ser´a: Z T Z T I(t)V (t) dt = V0 I0 U= cos(ωt) cos(ωt − ϕ) dt 0

0

Utilizando la formula ´ del coseno de una diferencia: cos(ωt − ϕ) = cos(ωt) cos(ϕ) + sen(ωt) sen(ϕ) tenemos: U = V0 I0

Z

T

cos2 (ωt) cos(ϕ) dt

0

+V0 I0

Z

T

cos(ωt) sen(ωt) sen(ϕ) dt

0

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TEMA 14. CORRIENTE ALTERNA La primera de las dos integrales es igual a 1/2 mientras que la segunda es igual a cero, por lo que la potencia consumida en un ciclo es: I0 V0 cos ϕ = Ve Ie cos ϕ. 2 Es decir, siempre que el cos ϕ sea distinto de la unidad, la potencia disipada no ser´a la m´axima posible, que es igual al voltaje eficaz por la intensidad eficaz. P =

Al t´ermino cos ϕ se le llama factor de potencia y a PACT = Ve Ie cos ϕ se le llama potencia activa mientras que a PREACT = Ve Ie sen ϕ se le llama potencia reactiva. El factor de potencia es importante porque dice qu´e cantidad de energ´ıa es disipada por efecto Joule en el circuito. Si midi´eramos el voltaje y la intensidad eficaz en un circuito, podr´ıamos pensar que la potencia disipada por el mismo es el producto de ambas. Esta es la potencia m´axima teorica ´ (tambi´en llamada aparente) puesto que es necesario multiplicarla por el factor de potencia que la la relacion ´ entre la potencia activa y la m´axima: cos ϕ =

PACT Ie Ve

Se pueden definir las intensidades eficaces activas y reactivas como: IACT = Ie cos ϕ y IREACT = Ie sen ϕ respectivamente. Los t´erminos cos ϕ y sen ϕ y la relacion ´ de las potencias activas y reactivas con la m´axima teorica ´ pueden ponerse en un tri´angulo rect´angulo como el de la figura 14.8, donde el a´ ngulo ϕ se puede calcular utilizando la impedancia o las potencias.

Z P

MAX

P

REACT

X ϕ P

ACT

R

´ Figura 14.8: Triangulo de potencia de un circuito de corriente alterna.

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