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Investigación de Operaciones II

M. C. Héctor Martínez Rubin Celis

Control de Inventarios

Instituto Tecnológico de Tepic

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Investigación de Operaciones II

1.

Control de Inventarios

CONTROL DE INVENTARIOS 1.1 INVENTARIO 1.2 FUNCIONES DE LOS INVENTARIOS (ESPECULACIÓN) 1.3 COSTOS DE INVENTARIO 1.4 GRAFICAS TIEMPO INVENTARIO 1.5 CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE DECISIÓN

2. MODELO DE CANTIDAD ECONOMICA DEL PEDIDO 3.

MODELO DEL LOTE ECONOMICO CON DEFICIT

4. MODELO DE LOTE ECONOMICO DE PRODUCCION 5. CANTIDAD ECONOMICA DEL PEDIDO PARA ARTICULOS MULTIPLES 6. MODELO DE CANTIDAD ECONÓMICA DEL PEDIDO CON DESCUENTOS POR CANTIDAD ORDENADA 7. MODELO DE REVISIÓN CONTINUA CON DEMANDA PROBABILÍSTICA. CALCULO DE LA CANTIDAD DE PEDIDOS Q Y DEL PUNTO DE NUEVOS PEDIDOS R. 8.

MODELO DE REVISIÓN PERIÓDICA

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Control de Inventarios

1. Control De Inventarios 1.1 INVENTARIO:

Es una cantidad de artículos o materiales en el control de una empresa y mantenidos por un tiempo relativamente ocioso o en estado improductivo, esperando ser usados o vendidos.

El inventario existe debido a que el proceso de abastecimiento y demanda difiere en las tasas en que ellas respectivamente proveen o requieren materiales o artículos. Sea x(t) y d(t) el abastecimiento y la demanda con respecto al tiempo t, afectando a un dado inventario, y sea el inventario resultante al tiempo t denotado por y(t). Entonces puede expresarse; t

y(t) = y(0) + ∫ [x(t) - d(t)] dt 0

1.2 FUNCIONES DE LOS INVENTARIOS (ESPECULACIÓN) Explotación del mercado - Especulación del precio - Anticipación a incrementos futuros - Declinación del mercado Protección contra escasez - Existe el riesgo de quedarse sin inventario, trayendo las siguientes consecuencias: Interrupción de operaciones Insatisfacción de los clientes por demanda insatisfecha Costos de expedición Suavizamiento de las operaciones:

Cambios en la demanda Cambios en la producción Almacenamientos por períodos de alta demanda (ciclos, estaciones, etc.)

Medida del lote económico (Economía en el tamaño del lote) Se busca un mayor número de entregas con una mínima cantidad a entregar): Descuentos por cantidad Tiempo de preparación menor de las maquinas Menor manejo de materiales y papeleo (No. de ordenes) Economía del sistema de control Es más económico controlar grandes inventarios y se requiere menor esfuerzo. M. C. Héctor Martínez Rubin Celis

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Control de Inventarios Instantánea Abastecimiento: tiempo de espera (T.E.): Constante Aleatorio

Comportamiento de: Determinística: variable, constante Demanda: Continuamente variable Probabilística: variable: Periódicamente variable

1.3 COSTOS DE INVENTARIO El propósito de mantener inventarios, es evitar los costos asociados con no hacerlo. Costo del material Costo de ordenar: Recepción e inspección del material Analizar vendedores Costos de llevar unidades en inventario: Este costo inicia con el dinero invertido que se encuentra atado en la adquisición de materiales o artículos y que se deja de obtener un mejor retorno al invertirlo en otra fuente.( A esto se le llama costo de oportunidad ). I Costo de capital II Costo de almacenaje Los costos de almacenaje, dependen de la cantidad y del tipo de materiales almacenados. a) Terreno b) Edificio - Propio Depreciación Impuestos Seguros Gastos generales - Rentado - Arrendado III Costo de servicio M. C. Héctor Martínez Rubin Celis

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Investigación de Operaciones II a) Contribuciones Impuestos sobre inventarios Seguros b) Proceso Manejo de materiales Inventario físico

Control de Inventarios

IV Costos por riesgo a) Obsolescencia b) Merma Robo Daño Desaparición Devaluación del precio de venta Deterioro Costos de escasez o agotamiento Cuando la escasez ocurre, la demanda no puede ser satisfecha lo que trae consecuencias varias: - La demanda (las ventas) pueden perderse. - La demanda insatisfecha puede ser satisfecha posteriormente (costos de papeleo, entrega, multa por entregas tardías, etc. ) - La demanda puede satisfacerse de una fuente alternativa. Si se produce internamente involucra costos de preparación de equipo, costo de mano de obra, tiempo extra, etc. Costos del sistema Se refieren a los costos que dependen de la cantidad y la calidad del esfuerzo utilizados en controlar los inventarios. La cantidad se refiere a la frecuencia de la ejecución de los procedimientos de control y directamente afecta los costos por revisión, actualización, pronóstico, y actualización de inventarios. Calidad se refiere al nivel de satisfacción del procedimiento de control.

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Investigación de Operaciones II 1.4 GRAFICAS TIEMPO INVENTARIO

Control de Inventarios

1.5 CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE DECISIÓN M. C. Héctor Martínez Rubin Celis

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Investigación de Operaciones II Número de artículos:

Modelo de artículo sencillo " " múltiple

Estructura del flujo del material:

Frecuencia de revisión:

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Paralelo (Demanda y abastecimiento externo) Serie (Local abastecida por fuente externa, mientras que la última esta sujeta a demanda externa.

Periódica (puntos específicos en el tiempo) Continua (ocurren en cualquier tiempo)

Variabilidad en la cantidad:

Fija Variable Variable:

Tipo de demanda

Continua Periódica Determinística Uniforme Constante: (Probabilística) Normal

Horizonte de planeación:(Período de tiempo sobre Infinito el cual la demanda será reconocida). Finito (No. exacto de períodos) Infinito Razón de abastecimiento:

Finito (producción) Infinito Acumulada (escasez)

Satisfacción de la demanda: Perdida Cero Atraso en la entrega: No cero:

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Constante Aleatoria

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Control de Inventarios

2. Modelo De Cantidad Economica Del Pedido (LOTE ECONOMICO).

Las unidades en inventario son consumidas a una tasa constante D que se representa por las líneas con pendiente negativa. Cuando el inventario alcance el nivel de la línea punteada R (punto de reorden), una cantidad Q es ordenada. Después de un período fijo de espera la orden es recibida y añadida al inventario. Las líneas verticales indican la recepción del lote de inventario ordenado. La nueva orden (lote) es recibida cuando el nivel de inventario alcanza el nivel cero, por lo tanto el inventario promedio es Q/2 (Inventario promedio por unidad de tiempo) El costo total =

Costo de los materiales (compra) + Costo de ordenar+ Costo de llevar unidades en inventario H= Costo de llevar unidades en inventario D= Demanda anual P=Precio por unidad (compra) O= Costo de ordenar Tamaño del ciclo t =

Q d

HQ 2 2 HQ Q H = Costo por ciclo = 2 d 2d Costo por unidad de tiempo =

HQ2 HQ = O + PQ + t Costo Total por Ciclo = O + PQ + 2d 2 M. C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic

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Costo Total por unidad de tiempo =

Control de Inventarios

dO HQ + dP + Q 2

*

Se desea encontrar Q tal que el costo total sea minimizado, entonces se encuentra la derivada del costo total con respecto a Q y se iguala a cero para encontrar en punto en el cual d CT = 0. ocurre un punto crítico. dQ Se obtiene la segunda derivada del costo total con respecto a Q para determinar si ocurre un d CT máximo o un mínimo en el punto crítico. . Si este valor resulta mayor que cero es un dQ 2 mínimo, caso contrario será un máximo.

d CT dO H =- 2 + =0 2 dQ Q de donde obtenemos que * Q =

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2dO H

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Investigación de Operaciones II Control de Inventarios El punto de reorden es obtenido conociendo cuando la demanda que ocurra durante el periodo de espera (tiempo necesario para recibir la orden) Punto de reorden ( R )

TE < Tamaño del ciclo

Q (TC ) d

TE < TC => (TE)d

TE > TC => (T.E.)d - {El entero de(

TE )} Q* TC

Demanda durante = Nivel del inventario en el + Abastecimientos que arriban el tiempo de espera momento de ordenar durante el tiempo de espera

TE (d) = R* +

TE Q* TC

Ejemplo: La compañía HERCULES compra 8,000 unidades de un producto cada año a un costo de $10 por unidad. El costo de ordenar es de $30 y el costo de llevar unidades en inventario por unidad por año es de $3. Cual es la cantidad económica del pedido, el costo total anual, el punto de reorden, y el número de ordenes a realizar si el tiempo de espera es de 2 semanas? H=$3 / unidad / unidad de tiempo *

Q =

2dO H

=

O=$30 P=$10 / unidad

2(30)(8000) 3

= 400 unidades

Costo Total: *

dO / Q + dP + HQ / 2 = dP + HQ = 8000(10) + 3(400) =$ 81,200 por pedido *

No. de ordenes = d / Q = 8000 /400 = 20 Considerando que un año tiene 52 semanas, entonces el punto de reorden es; R = 8000(2) /52 = 307.7 unidades es decir debemos ordenar cuando el nivel de inventario alcance 92.3 unidades y esto sucede después de transcurridas 2 semanas. * Tamaño del ciclo = Q / d = (400 / 8000) 52 = 2.6 semanas Demanda por semana = 8000 / 52 = 153.846

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Investigación de Operaciones II Control de Inventarios Ordenar cuando el nivel de inventario alcance = 0.6 (153.846) = 92.3 unidades Así el punto de reorden es; R = 400 - 92 = 307.7

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3. Modelo Del Lote Económico Con Déficit La situación que es considerada en este modelo es la siguiente: 1.-

La demanda ocurre a una tasa constante de unidades por período de tiempo. Las ordenes son recibidas inmediatamente después de que han sido ordenadas (reposición inmediata). La demanda insatisfecha es acumulada para su entrega hasta que pueda ser satisfecha.

2.-

La política de ordenar es establecer una orden de Q unidades cada vez que los niveles de inventario alcancen el nivel de inventario S. El recibimiento de la orden hace que el nivel de inventario alcance el nivel S, donde S = Q + s

3.-

La efectividad del criterio de decisión es el costo por período de tiempo. Cuesta H pesos por período por unidad mantenida en inventario y E pesos por período por unidad de demanda no satisfecha. Cuesta O pesos establecer una orden y el costo del material es de P pesos.

La representación gráfica del modelo es la siguiente:

La longitud del tamaño del ciclo cuando no existe déficit = S / d M. C. Héctor Martínez Rubin Celis

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Investigación de Operaciones II Control de Inventarios El inventario promedio = S / 2 La longitud del tamaño del ciclo cuando existe déficit = s / d El promedio del inventario en déficit por unidad de tiempo=

El costo de escasez por unidad de tiempo =

E ( Q - S*) Es = 2 2

El costo de llevar unidades en inventario por ciclo =

El costo por escasez por ciclo =

(1)

(Q - S) s = 2 2

H S S HS2 = 2 d 2d

Ess Es 2 = 2 d 2d

HS2 Es 2 + El costo por ciclo = O + PQ + 2d 2d

El costo total por unidad de tiempo =

(Costo total por ciclo) d Así; Q

Od HS2 Es 2 + Pd + + Q 2Q 2Q sustituyendo en esta última ecuación Q por S - s, tenemos que; (2)

El costo total por unidad de tiempo =

CT=

Cd HS2 Es 2 + Pd + + (S-s) 2(S-s) 2(S-s)

Se obtiene la derivada de CT con respecto a (S-s) ya que se desea obtener los valores de S y s que arrojen un costo mínimo para CT. (3)

(4)

∂(TC ) 2(S - s)2Hs - 2(H (S )2 + Es2 + 2Od ) = ∂S 4(S - s )2 2 ∂(TC ) 2(S - s)2Es - 2(H (S ) + Es2 + 2Od ) = ∂s 4(S - s )2

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Investigación de Operaciones II Control de Inventarios De la simetría de las ecuaciones (3) y (4) obtenemos que -Es = HS, entonces sustituyendo s = HS / E en la ecuación (3), obtenemos después de simplificar; (5)

E E+H

2Od H

S=

Entonces sustituyendo s = HS /E en la ecuación (5) obtenemos;

(6) Finalmente la cantidad Q a el mínimo costo es;

s=

2Od E

H E+H

2Od H

(7)

Q= S - s=

Con esto el costo total:

CT = 2OHd

ordenar que produce

E+H E

E E+H

Ejemplo: Suponga que en el problema del ejemplo anterior se permite la escasez con un costo por déficit de $.75 por unidad por año. a) Determine la cantidad óptima a ordenar b) Cual es el nivel máximo de inventario? c) Cual es la cantidad máxima en déficit d) Calcule el costo total e) Cual es el tiempo entre ordenes? f) Cuantas ordenes se realizarán para el inciso a). E=$.75 O=$30

d=8000

H=$3

a)

Q= S - s=

2Od H

E+H E

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=

2(30)(8000) 3

.75 + 3 = 173.2 .75

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Investigación de Operaciones II Control de Inventarios b)

Nivel máximo de inventario

c)

E E+H

2Od H

S=

=

2(30)(8000) 3

.75 .75 + 3

= 17.88

Nivel máximo en déficit s = Q -S = 173.2 - 17.88 = 155.31 unidades en déficit

s=

2(30)8000 .75

3 .75 + 3

= 800(.9944= 715.54

d) Costo total

CT = 2OHd

E E+H

e)

= 2(30)(8000).75

.75 .75 + 3

= $ 309.83

Tamaño de la orden

T=

2O OH

E+H E

f)

T = Q / d = .022165 de año = 7.9 días Número de órdenes

N=

dH 2O

E E+H

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N = d / Q = 46.18 ordenes en el año

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4. Modelo De Lote Económico De Producción Se asume en este modelo que la orden no es recibida completamente para artículos que son producidos internamente. Es decir que el suministro de la orden no es continuo; conforme se produce el producto este es entregado (artículos terminados pasan a formar parte del inventario). La decisión principal incluye determinar la cantidad a producir por período. La cantidad a producir por período que minimiza el costo total de unidades en inventario se le conoce como modelo de Lote Económico de Producción (LEP).

Se describe a continuación un ciclo típico de suministro de inventario en un período de tiempo t f La producción inicia en el tiempo cero y termina en el tiempo t f. En el período de tiempo t - t f , no hay producción y el inventario es reducido hasta su agotamiento. En el tiempo T, un nuevo período de producción se inicia. Si no existe demanda desde el período cero hasta t f, el inventario se incrementará a una tasa f. Por esto;

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tf =

Q f

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Ya que existe una demanda d, el inventario se incrementará a una tasa ( f - d ) donde f es mayor que d. Durante el período de producción cero hasta t f, el inventario se incrementa o acumula a una tasa igual a la tasa de producción menos la tasa de demanda ( f - d ). El nivel máximo de inventario es t f ( f - d ) o el tiempo de producción por la tasa a la cual el inventario es incrementado. El inventario promedio es la mitad del inventario máximo t f ( f- d ) Q . Ya que t f = , el inventario promedio es expresado en la formula siguiente; f 2 Inventario promedio =

Longitud del ciclo =

Q( f - d ) 2f

Q d

Tiempo de producción = t f =

Nivel máximo de inventario = Qo = t f ( f - d ) = Inventario promedio =

Q f

Q d ( f- d ) = Q ( 1- ) f f

Q0 t f Q d = (f - d ) = (1 - ) f 2 2 2 2 d Q (1 - ) 2d f

Inventario promedio por ciclo = Tamaño de ciclo = T = t f + t d

Tiempo necesario para agotar el inventario Q0 = td = T - t f Q0 = td d ; Costo Total por ciclo (CT)

td =

Q0 t f Q d = (f - d ) = (1 - ) d d d f

2 d HQ CT = O + PQ + (1 - ) 2d f

Od HQ d + Pd + (1 - ) Q 2 f Procediendo de igual manera a la de los anteriores modelos, diferenciando para obtener el valor óptimo de Q tal que minimice el costo total (CT), tenemos; Costo Total por período (CT)

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CT =

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Control de Inventarios * CT = 2OdH (1 -

2Od Q= d H (1 - ) f *

dH (1 * N =

d ) f

* T =

2O dH (1 -

2O

d ) f

d ) f

Ejemplo: La demanda para un artículo es de 20,000 unidades por año y hay 250 días laborales en un año. la tasa de producción es de 100 unidades por día y el tiempo de espera es de 4 días, el costo de producción por unidad es de $50, el costo de llevar unidades en inventario es de $10 por unidad por año y el costo de preparación del equipo es de $20 por corrida de producción. ¿Cual es la cantidad económica de la producción, el número de corridas por año, el punto de reorden y el costo total mínimo? d = 20000 unidades por año = 20000 / 250 = 80 unidades por día Tasa de producción = f = 100 unidades por día Tiempo de Espera = 4 días P = $50 H = $10 por unidad por año O = $20 * Q=

2Od d H (1 - ) f

* Q=

2(20)20000 = 632.45 80 10(1 ) 100

No. de corridas de producción = d / Q = 31.6 por año Tamaño del ciclo = Q/d = 632.45 (250)/20000 = 7.9 días R = dL / 250 = 20000(4) / 250 = 320 unidades

CT = dP + ( 1 -

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20000 / 632 =

d 80 )HQ* = 20000(50)+ (1 )10(632)= $1,001,264 f 100

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Investigación de Operaciones II * CT = 2OdH (1 -

d ) + dP f

Control de Inventarios = $ 1´001,264.91 *

t f = Q / f = 632.45 / 100 = 6.32 días. Inventario máximo = Qo = tf ( f - d ) = 126.4 unidades

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5. Cantidad Económica Del Pedido Para Artículos Múltiples Frecuentemente un proveedor abastece diversos tipos de artículos y es más económico tener órdenes conjuntas. En una orden conjunta, múltiples artículos son ordenados de la misma fuente o proveedor. La cantidad de cada tipo de artículo depende del tiempo de intervalo entre órdenes para todo el grupo. el problema básico es este modelo es determinar el intervalo para ordenar, T, y el nivel máximo deseado de inventario, Ei. Si no se permite déficit en las unidades, el intervalo óptimo para ordenar se obtiene de la manera siguiente; Costo Total Anual = Costo de compra + Costo de ordenar + Costo de llevar unidades en inventario. (O - no ) TH Σin=1 Di Pi CT = Σin=1 Di Pi + + T 2 Donde; Di = Demanda anual para el artículo i Pi = Precio de compra del artículo i n= Número total de ordenes conjuntas O = Costo de ordenar para una orden conjunta o= Costo de ordenar asociado con cada artículo diferente T= Intervalo entre ordenes en años H = Costo de llevar unidades en inventario como una fracción del costo de compra. El mínimo costo del intervalo óptimo es obtenido sacando la primera derivada del costo total anual CT con respecto al intervalo entre ordenes T e igualando a cero.

d(CT ) - (O + nc ) H Σin=1 Di Pi = + =0 2 dT 2 T Resolviendo la ecuación para T, se obtiene la formula para la CEP: 2(O + no ) T0= = Intervalo económico a ordenar en años. H Σin=1 Di Pi El inventario máximo para cada artículo debe ser tan grande que satisfaga la demanda durante el intervalo subsiguiente de ordenar y también durante el tiempo de espera TE. La cantidad a ordenar de cada artículo individual es simplemente el nivel de inventario Ei menos la posición del inventario. El inventario máximo es determinado como sigue cuando el orden del intervalo y el tiempo de espera son expresados en días y existen N días de trabajo en el año. M. C. Héctor Martínez Rubin Celis

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Ei =

Di (T + L ) N

Ejemplo: Una compañía ordena 7 artículos de un vendedor. Los costos de ordenar son de $1.5 por orden de compra y $.50 por artículo. Si los costos de llevar unidades en inventario son de 20% por año, cual es el intervalo para ordenar que proporciona el mínimo costo?. Si el tiempo de espera es de un mes, cual es el nivel máximo de inventario para cada artículo?. DEMANDA ANUAL

ARTICULO

COSTO / UNIDAD

COSTO DE COMPRA

A

150

$1.00

$150

B

400

0.50

200

C

125

2.00

250

D

100

3.00

300

E

800

0.50

400

F

70

50..

350

G

175

2.00

350 $2000

T0=

2(O + no ) H Σin=1 Di Pi

T0=

2(1.50 + 3.50 ) .20 (2000 )

El intervalo de ordenar de costo mínimo es .16 años o 1.92 meses. Cada 2 meses se ordenaría para los 7 artículos. TE=1; T=2 Di (T + L ) Ei = N Ei = Di ( T + TE ) / 12 = Di 3 /12 = Di / 4

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Todas las variables deben estar en las mismas unidades de tiempo.

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ARTICULO i

INVENTARIO MAXIMO Ei

A

37.5 o 38

B

100

C

31.25 o 31

D

25

E

100

F

17.5 o 18

G

43.75 o 44

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6. Modelo De Cantidad Económica Del Pedido Con Descuentos Por Cantidad Ordenada En muchas situaciones prácticas, los proveedores ofrecen descuentos significativos por ordenar pedidos grandes. Cuando se dispone de descuentos por cantidad de un modelo EOQ en forma de distintos costos unitarios dependiendo del número de unidades ordenadas, como lo específica un intervalo de valores, la política óptima de inventario se determina de la manera siguiente: Paso 1. Por cada costo unitario p, determine la mejor cantidad a ordenar en el intervalo asociado, de la manera siguiente: a) Por cada intervalo y costo unitario asociado, calcule la cantidad a ordenar Q mediante la formula estándar EOQ:

Q* =

2 DO = H

2 DO i* p

b) Por cada intervalo, use el valor de Q calculado en a) para determinar la mejor cantidad de pedidos Q* cuyo valor está dentro del intervalo de la siguiente manera:

*

Q=

Límite inferior Q Límite superior

Si Q < límite inferior Si Q está en el intervalo Si Q > límite superior

Esto es, la mejor cantidad de pedidos Q* es Q si Q está dentro del intervalo, y el límite más cercano a Q en otras circunstancias. Paso 2. Por cada intervalo, use la mejor cantidad de pedidos calculada en el paso 1b) junto con el costo unitario asociado para determinar el costo total por período usando la fórmula: Costo total = costo anual + costo anual + costo anual de llevar de ordenar de comprar unidades en inventario OD (Ip) = +pD +Q* Q* 2 Paso 3. Identifique la cantidad de pedidos Q* del paso 3, calcules el número promedio de pedidos por período y el punto de reorden R de la forma siguiente: M. C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic

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Investigación de Operaciones II Número de ordenes =

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D Punto de reorden R =D*T.E. Q*

Ejemplo: D =18,00 películas al año Tiempo de espera de 1/52 de año Un costo de capital de i =0.3 al año Un costo de ordenar O =$100 por pedido Un costo de compra de compra p basado en el número de películas pedidas de la manera siguiente:

Numero pedido 1 – 499 500 – 999 1000 o más

Costo por unidad $20 $18 $16

Un costo de llevar unidades en inventario H=i*p que ahora depende del numero de películas pedidas y del costo unitario asociado (p) ¿Cómo afectan estos descuentos por cantidad a la política de inventarios óptima? Costo de compra 20 18 16 Numero pedido 1 – 499 500 – 999 100 o mas

Q* 775 816 866

Costo por unidad 20 18 16

Mejor Q 499 816 1000

Costo Total $365,104.21 328,409.08 292,200.00

El costo mínimo de $292,200 corresponde a ordenar 1000 unidades. Ahora se determina el número de pedidos y el punto de reorden

N=

D 18000 = = 18 Q* 1000

Punto de Reorden =R = D*L =18000*(1/52)=346.15 Ejemplo: M. C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic

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Control de Inventarios

Suponga que recientemente ha propuesto hacer descuentos a sus distribuidores, basándose en el número, Q, de llantas pedidas, de acuerdo con los siguientes costos por llantas: $20 $18 $16

p=

si Q