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• Elizabeth Flores Mancilla

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3-16 El diagrama de bloques de un sistema de control realimentado se muestra en la figura:

G 4 (S)

R(S )

G 2 (S )

G1 (S)

+

+ -

G3 (S ) +

+ -

+

-

H 1 (S)

N( S)

H 2 (S )

(a) Aplicando la fórmula de Ganancia SFG en forma directa al diagrama de bloques para encontrar las funciones de transferencia.

|

|

Y (S) N =0 R(S)

Y (S) R=0 N ( S)

Exprese Y(S) en términos de R(S) y N(S) cuando ambas entradas se aplican simultáneamente (b) Encuentre la relación deseada entre las funciones de transferencia G1(S), G2(S),G3(S),G4(S),H1(S) y H2(S) de tal forma que la salida Y(S) no sea afectada por la señal de perturbación N(S).

G4

a.

G1

1

G2

G3 R Y

Y3

E Y

Y(S )

Y2

Y1

−H 1

−H 2

N -1

|

Y (S) N =0 R(S)

G 1 ( S ) G 2 ( S ) G3 ( S ) +G4 (S) ∆

=

|

Y ( S) R=0 N (S)

1+G1 (S) G2( S) H 1 (S) ∆

=

Δ=1+ G 1 ( S ) G2 ( S ) H 1 ( S )+G 2 ( S ) G 3 ( S ) H 2 ( S ) +G 4 ( S ) −G 2 (S)G 4 (S) H 1 (S) H 2 ( S)

|

Y(S)=

Y (S) N =0 R(S)

R(S)+

Y (S) R=0 N (S)

|

N(S)

b. Cuando 1+ G 1 ( S ) G 2 ( S ) H 1 ( S )=0

Y(S) no se ve afectada por N(S)

6-2 Utilizando el criterio de Routh-Hurwitz determine la estabilidad del sistema en lazo cerrado que tienen las siguientes ecuaciones características. Determine el número de raíces de cada ecuación que están en el semiplano derecho del plano S y en eje jw. (a)

s 3 +25 s 2+ 10 s+ 450=0

(b)

s 3 +25 s 2+ 10 s+50=0

(c)

s 3 +25 s 2+ 250 s+10=0 4

3

2

(d) 2 s +10 s +5.5 s +5.5 s+ 10=0 (e)

s 6 +2 s 5+ 8 s 4 +15 s 3 +20 s 4 +16 s+16=0

(f)

s 4 +2 s3 +10 s 2+ 20 s+ 5=0

SOLUCION: (a)

s 3 +25 s 2+ 10 s+ 450=0

RAICES: -25.31, 0.1537+j4.214, 0.1537, -4.214 TABULACION DE ROUTH 1

10

25

450

s1

250−450 =−8 25

0

s0

450

s

3

s

2

Dos cambios de signo en la primera columna. Dos raíces en RHP. (b)

s 3 +25 s 2+ 10 s+50=0

RAICES: -24.6769, -0.1616+j1.4142, -0.1616 –j1.4142

s3

TABULACION DE ROUTH 1

10

s2

25

50

s1

250−50 =8 25

0

s

0

50

No hay cambios de signo en la primera columna. No tiene RHP. (c)

3

2

s +25 s + 250 s+10=0

RAICES: -0.0402, -12.48 +J9.6566, -J9.6566

s

3

s2 s

1

s0

TABULACION DE ROUTH 1

250

25

10

650−10 =249.6 25

0

10

No hay cambios de signo en la primera columna. No tiene RHP 4

3

2

(d) 2 s +10 s +5.5 s +5.5 s+10=0 RAICES: -4.466, -1.116, 0.2888 +j0.9611, 0.2888 –j0.9611

s

TABULACION DE ROUTH 2 5.5

4

10

5.5

55−11 =4.4 10

10

s3 s

2

10

24.2−100 =−75.8 4.4

s1

10

s0

Dos cambios de signo en la primera columna. Dos raíces en RHP.

(e)

s 6 +2 s 5+ 8 s 4 +15 s 3 +20 s 4 +16 s+16=0

+¿ +¿ +¿ ¿ ¿ ¿ − ¿ − ¿ − ¿ 2.352 RAICES: -1.222 0.8169, 0.0447 1.153, 0.1776 j j j ¿ ¿ ¿

s

6

TABULACION DE ROUTH 1 8

s5

2

s4

16−15 =0.5 2

s

3

s2

-33

−396+24 =11.27 −33

15

40−16 =12 2 -48 16

20 16

16

0 −541.1+528 =−1.16 11.27

s1

0

s0

Cuatro cambios de signo en la primera columna. Cuatro raíces en RHP. 4

3

2

(f) s +2 s +10 s + 20 s+ 5=0 RAICES: -0.29, -1.788, 0.039 +j3.105, 0.039 –j3.105

s

4

TABULACION DE ROUTH 1 10 2

20

20−20 =0 2

5

s2

e

5

s1

20e-10 10 ≅− e e

s3 s

s

2

0

5

Sustituir a 0 en la ultima fila por e Dos cambios de signo en la primera columna. Dos raíces en RHP.

5