Continuidad
Continuidad. A menudo se puede hallar el límite de una función cuando x tiende a a, con sólo calcular el valor de la fun
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- María Eugenia Gallardo
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Continuidad. A menudo se puede hallar el límite de una función cuando x tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las funciones con esa propiedad son continuas en a. Veremos que la definición matemática de continuidad se corresponde con el significado de la palabra continuidad en el lenguaje cotidiano. (Un proceso continuo tiene lugar gradualmente y sin interrupciones.). Intuitivamente podemos decir que una función es continua cuando su gráfica no se interrumpe, cuando no tiene saltos, cundo se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Definición Una función es continua en un número a si:
lím f x =f a
x a
Esta definición requiere implícitamente tres cosas:
1. f a existe, es decir a ∈domf lím f x
2.
x a
3.
x a
existe, de modo que f está definida en un intervalo abierto que contiene a a
lím f x =f a
Si alguna de estas tres cosas no se cumple decimos que f es discontinua en a Ejemplos: Determinar dónde son discontinuas las siguientes funciones y porqué. 4
f : ℜ− {−2 } ℜ/ f x =
x −4 x 2 2
2
−6
−4
−2
2
4
6
4
6
−2 −4
{
x 2−4 g : ℜ ℜ/ g x = x 2 −2
si
x ≠−2
si
x =−2
4 2
− 6
− 4
− 2
2 − 2 − 4
4 2
− 6
− 4
− 2
2 − 2
4
6
{
1 h : ℜ ℜ/ h x = x 2 2
si
x ≠−2
si
x =−2
− 4
1
6
n : ℜ ℜ/ n x =
{
x 2 −1 x 2
x ≤2 x 2
si si
4
2
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
−2
En los casos de h se dice tiene una discontinuidad infinita, y n tiene una discontinuidad de salto, la función salta de un valor a otro. En estos casos, en los que no existe el lím f x , la discontinuidad se denomina esencial ó x a
inevitable. En los casos de f y g, la discontinuidad es evitable ó removible, basta con redefinirlas de la siguiente forma:
{
x −4 w : ℜ ℜ/ w x = x 2 −4 2
si
x ≠−2
si
x =−2
Obtenemos una función idéntica a la anterior, salvo en un punto. Definición:
Una función f es continua a derecha de un número a si
lím f x =f a x a
y f es continua a la izquierda de un número a si
lím f x =f a x a −
Definición
Una función f es continua sobre un intervalo abierto a ; b si es continua en todo número de ese intervalo.
Definición
Una función f es continua sobre un intervalo cerrado [ a ; b ] si es continua en todo número de ese intervalo abierto a ; b , a la derecha de a y a la izquierda de b.
Ejemplo: Demuestre que la función f x =1− 1−x 2 es continua sobre el intervalo [ −1; 1 ] Sea a ∈ℜ/−1a1 , entonces
lím f x = lím 1− 1−x =1− 1−a =f a , por lo tanto f es continua en 1 ; 1 , además
x a
x a
2
lím f x =1=f −1 x 1
2
lím f x =1=f −1 x 1−
y de modo que f es continua a la derecha de −1 y a la izquierda de 1 , por consiguiente según la definición f es continua en [ −1; 1 ] ,
2
−4
Teorema:
−2
2
4
si f y g son continuas en a y c una constante, entonces también son continuas en a:
1. f+g
2. c*f
3. f-g
4. f*g
5. f/g si g(a)≠0
Demostración de 1.
Como f y g son continuas en a, tenemos que lím f x =f a y lím g x =g a x a
x a
Por tanto
lím f g x = lím f x g x
x a
x a
=lím f x lím g x por propiedad de límites x a
x a
=f a g a = f g a
Esto demuestra que f+g es continua en a. Se dejan como ejercicio las otras demostraciones.
Teorema: Cualquier polinomio es continuo en todos los números reales Cualquier función racional es continua siempre que exista, es decir en todo su dominio Las funciones “raíz”, las funciones trigonométricas, las funciones trigonométricas inversas, las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son continuas en todo su dominio
{
x a Ejercicio: Dada f : ℜ ℜ/ f x = x 2b 162 ax 2
si si si
x ≤2 2x ≤5 , los valores de a y b para que resulte continua x 5
en todo su dominio, y graficarla. Rta.: a=-1 y b=1/2
8
6
4
2
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
−2
−4
3
Ejemplo: ¿Dónde es continua la función f x =
ln x arctan x x 2 −1
?
y =ln x es continua para x 0 , y =arctan x es continua para todos los reales, por lo tanto el numerador de f x , es continu0 en 0; ∞ . Como y =x 2−1 , continua para todos los reales, está en el denominador debemos excluir los números que lo anulan, es decir x =−1 y x =1 . De este modo f es continua en 0; 1 ∪ 1 ; ∞ Teorema:
si f es continua en b y lím g x =b , entonces x a
lím f g x =f b . En otras palabras, lím f g x =f lím g x
x a
x a
x a
Esto expresa que se puede mover un símbolo de límite a través de un símbolo función si la función es continua.
Teorema:
si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la función compuesta f °g
dada por f ° g =f g x es continua en a
Teorema de valor intermedio: Si y=f(x) es continua en el intervalo cerrado [ a ; b ] donde f a ≠f b y k es un número real cualquiera entre f a y f b , existe al menos un número real c perteneciente al intervalo a ; b tal que f c =k Desde el punto de vista geométrico el teorema establece que la gráfica de una función continua en un intervalo cerrado debe intersectar al menos una vez a cada recta de ecuación y =k
Ejemplo: Sea la función f x =
x 2 0 . 5x5
{
si si
¿ x 2 2≤x 4
, ¿es posible aplicar en teorema del valor
intermedio en su dominio? Teorema de Bolzano: Si y=f(x) es continua en el intervalo cerrado [ a ; b ] donde f a y f b tienen signos opuestos, entonces existe al menos un número real c perteneciente al intervalo a ; b tal que f c =0
4
Demostración: es una aplicación del teorema del valor intermedio donde se considera k =0 entre
f a y f b , por tanto existe c ∈a ; b tal que f c =k =0 Ejemplo: encuentre dos intervalos distintos en los cuales la función f x =x 4 −10 x 2 9 tenga, al menos una raíz. Rta.: dos intervalos posibles son: −2; 0 ya que f −2 =−15 y f 0 =9 y 2; 4 ya que
f 2=−15 y f 4=105
5