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UNIDAD 1: TAREA 1 - EL CONCEPTO DE INTEGRAL

ANDRÉS OROZCO YARDANI PIEDRAHITA C.C 1036661585 JUAN CARLOS GONZALEZ CC: 1035914809 JESÚS CALDERÓN JUAN CARLOS VEGA

GRUPO: 100411_60

PRESENTADO A: NATALIA MARIA RAMIREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL MEDELLÍN – ANTIOQUIA 2020

INTRODUCCIÓN El presente informe pretende evidenciar la aplicación de los conocimientos adquiridos por los estudiantes del grupo: 100411_60

Esto por medio del desarrollo de cinco (5) ejercicios por cada uno de los cinco (5) estudiantes abordando temáticas y su desarrollo en la herramienta GeoGebra. Conocimientos de gran aplicación en las ramas de la Ingeniería y las ciencias.

Este proceso será de vital importancia y pilar epistemológico ya que proporcionará los fundamentos teóricos y conceptuales de diversos cursos que se verán a futuro en el programa de Ingeniería Industrial.

OBJETIVO GENERAL •

Comprender y analizar los conceptos básicos de antiderivada para determinar integrales definidas e indefinidas aplicando el teorema fundamental del cálculo.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Comprender los contenidos propuestos en la guía para el desarrollo de las actividades individuales y grupales.

•

Realizar los ejercicios propuestos en la guía referente a:

✓ ✓ ✓ ✓ • • •

Integral indefinida. Sumas de Riemann. Teoremas de integración. Integral definida.

Comprender los métodos de manera abreviada para calcular integrales definidas. Analizar y calcular los límites de las sumas de Riemann. Comprende el teorema fundamental del cálculo frente a los ejercicios dela derivación e integración, mostrando que ambos procesos son mutuamente inversos.

DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS Juan Gonzalez Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. Ejercicio c. 2𝑥 1 ∫ (5 − 4 ) 𝑑𝑥 √𝑥 2 √𝑥 Desarrollo 2𝑥 1 𝑥 1 ∫ (5 − 4 ) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 5 𝑑𝑥 − ∫ 4 𝑑𝑥 √𝑥 2 √𝑥 √𝑥 2 √𝑥 = 2 ∫ 𝑥𝑥 −( = 2 ∫ 𝑥(

2⁄ ) 5 𝑑𝑥

3⁄ ) 5 𝑑𝑥

− ∫ 𝑥 −(

− ∫ 𝑥 −(

8

1⁄ ) 4 𝑑𝑥

1⁄ ) 4 𝑑𝑥

3

𝑥 ( ⁄5) 𝑥 ⁄4 )− = 2( +𝑐 8⁄ 3⁄ 4 5 =

55 8 44 3 √𝑥 − √𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 "𝑐" 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 4 3

Ahora solo nos queda derivar para comprobar 𝑓(𝑥) = 𝑓´(𝑥) =

55 8 44 3 √𝑥 − √𝑥 + 𝑐 4 3

5 8 (3⁄ ) 4 3 1 ( 𝑥 5 ) − ( 𝑥 − ⁄4 ) + 0 4 5 3 4

𝑓´(𝑥) = 2𝑥 (

3⁄ ) 5

− 𝑥−

1⁄ 4

Y como 3 5 2 2 = − =1− 5 5 5 5

Tenemos que 2

1⁄ 4

2

1⁄ 4

𝑓´(𝑥) = 2𝑥 (1−5) − 𝑥 −

𝑓´(𝑥) = 2𝑥𝑥 (−5) − 𝑥 − 𝑓´(𝑥) =

2𝑥

1 −4 √𝑥 2 √𝑥

5

Por lo tanto, comprobamos que 2𝑥 1 55 44 ∫ (5 − 4 ) 𝑑𝑥 = √𝑥 8 − √𝑥 3 + 𝑐 4 3 √𝑥 2 √𝑥

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann Ejercicio c. i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 en el intervalo [-3, 2], en donde use una partición de n=6. Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. Ubique con la ayuda de Geogebra los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥). ii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 6. DESARROLLO Para utilizar la definición de la suma de Riemann como exige el ejercicio se debe primero definir la cantidad de particiones a realizar que en este caso será 6 (n=6) ahora usando la definición de Riemann a izquierda tenemos lo siguiente: 𝑛−1

𝐴𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = ∆𝑥 ∑|𝑓(−3 + 𝑖∆𝑥)| 0

Donde ∆𝑥 =

2 − (−3) 5 = 6 6

Lo que reemplazando en la primera ecuación nos da que

5

𝐴𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥

5 5 = ∑ |𝑓 (−3 + 𝑖 )| 6 6 0

Ahora resolviendo la sumatoria tenemos que 5 5 5 5 𝐴𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = [|𝑓(−3)| + |𝑓 (−3 + )| + |𝑓 (−3 + 2 )| + |𝑓 (−3 + 3 )| 6 6 6 6 5 5 + |𝑓 (−3 + 4 )| + |𝑓 (−3 + 5 )|] 6 6 Como sabemos que f=2x podemos ver que 𝐴𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 =

5 [6 + 4,33 + 2,67 + 1 + 0,67 + 2,33] 6 𝐴𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 =

5 [17] = 14,17 6

Ahora, para comprobar con geogebra primero haremos los rectángulos de la gráfica como se ve a continuación

Luego hallaremos las áreas de los 6 rectángulos formados

Y por últimos sumaremos dichos valores dándonos como resultado 𝐴𝑔𝑒𝑜 = 14,16 Lo cual nos permite comprobar que el resultado anterior es correcto pues es una aproximación (cabe recordar que no estamos revisando todos los decimales)

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 50 – 53).

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(𝑥) de las siguientes funciones Ejercicio c. 𝑥+1

G(x) = ∫ −𝑥 2

2𝑡 2 𝑑𝑡 1 − 𝑡2

Desarrollo Para usar el teorema fundamental del cálculo tenemos que hacer un par de modificaciones a la anterior integral.

𝑥+1

𝐺(𝑥) = ∫ 𝑎

𝑎 2𝑡 2 2𝑡 2 𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡 2 1 − 𝑡2 −𝑥 2 1 − 𝑡 2

𝑥+1

−𝑥 2𝑡 2 2𝑡 2 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡 1 − 𝑡2 1 − 𝑡2 𝑎

=∫ 𝑎

Ahora solo nos falta sustituir el límite superior de las 2 integrales resultante por funciones lineales con el fin de por fin aplicar el teorema 𝑢 = 𝑥 + 1, 𝑣 = −𝑥 2 , 𝑢

𝐺(𝑥) = ∫ 𝑎

𝑑𝑢 =1 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = −2𝑥 𝑑𝑥

𝑣 2𝑡 2 2𝑡 2 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡 2 1 − 𝑡2 𝑎 1−𝑡

Ahora procederemos a derivar la función 𝐺′(𝑥) =

𝑢 𝑣 𝑑 2𝑡 2 𝑑 2𝑡 2 [∫ 𝑑𝑡] − [∫ 𝑑𝑡] 𝑑𝑥 𝑎 1 − 𝑡 2 𝑑𝑥 𝑎 1 − 𝑡 2

Pero tenemos que 𝑑 𝑑 𝑑𝑢 𝑑 𝑑𝑣 = = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝐺′(𝑥) =

𝑢 𝑣 𝑑 2𝑡 2 𝑑𝑢 𝑑 2𝑡 2 𝑑𝑣 [∫ 𝑑𝑡] − [∫ 𝑑𝑡] 𝑑𝑢 𝑎 1 − 𝑡 2 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑎 1 − 𝑡 2 𝑑𝑥

Usando el teorema fundamental del cálculo y reemplazando las respectivas derivadas tenemos que 𝐺 ′ (𝑥) = 𝐺

′ (𝑥)

2𝑢2 2𝑣 2 − (−2𝑥) 1 − 𝑢2 1 − 𝑣 2

2(𝑥 + 1)2 2(−𝑥 2 )2 = + (2𝑥) 1 − (𝑥 + 1)2 1 − (−𝑥 2 )2

𝐺

′ (𝑥)

2(𝑥 + 1)2 4(𝑥 5 ) = + 1 − (𝑥 + 1)2 1 − 𝑥 4

Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 54 – 57).

Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo. Ejercicio c.

Calcular la siguiente integral definida:

𝜋 2

∫ [5𝑥 2 − 𝑐𝑜𝑠( 3 𝑥)] 𝑑𝑥 0

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica.

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida. DESARROLLO

∫

𝜋 2

[5𝑥 2

𝜋 2

𝜋 2

− 𝑐𝑜𝑠( 3 𝑥)] 𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠( 3 𝑥) 𝑑𝑥

0 𝜋 2

2

0

0

𝜋

1 2 = 5 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠( 𝑢) 𝑑𝑢, 3 0 0

𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑢 = 3𝑥 𝜋

𝜋 𝑥3 2 1 2 [𝑠𝑒𝑛(3𝑥)] = 5[ ] − 0 3 0 3

𝜋3 03 1 𝜋 = 5 [ 2 − ] − [𝑠𝑒𝑛 (3 ) − 𝑠𝑒𝑛(3 ∙ 0)] 3 3 3 2

=

5𝜋 3 1 − [−1] 24 3

Por lo tanto, tenemos que 𝜋 2

∫ [5𝑥 2 − 𝑐𝑜𝑠( 3 𝑥)] 𝑑𝑥 = 0

15𝜋 3 + 24 72

Y el área de la función a la que le hemos hallado su valor es la siguiente:

DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS YARDANI ALEXANDER PIEDRAHITA

Actividades a desarrollar A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad. Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 15 – 23). Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. Ejercicio b. ∫ Solución Se simplifica

𝑡3 + 1 = 𝑡2 − 𝑡 + 1 𝑡+1 =∫ 𝑡 2 − 𝑡 + 1𝑑𝑡 Se aplica la regla de suma

=∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 − ∫ 𝑡𝑑𝑡 + ∫ 1𝑑𝑡 = ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 =

𝑡3 3

Se aplica regla de potencia

𝑡3 + 1 𝑑𝑡 𝑡+1

= ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 𝒕𝟐 +𝟏

=

𝟐+𝟏

=

=∫ 𝒕𝒅𝒕 =

=

𝐭 𝟏 +𝟏 𝟏+𝟏

𝒕𝟑 𝟑

𝒕𝟐 𝟐

=

𝐭𝟐 𝟐

∫ 1𝑑𝑡 = 𝑡

∫ 1𝑑𝑡 Integral de una constante =1*t =t 𝑡3

𝑡2

3

2

= −

+𝑡+𝑐

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 2 – 13). Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann Ejercicio b. ii. Utilizar la definición de Sumas de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 5 en el intervalo [- 2, 3] en donde n= 6. Siga los siguientes pasos: - Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. - Ubique con la ayuda de Geogebra los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 6. Solución 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 5 en el intervalo [- 2, 3] en donde n= 6. A=-2

b=3

∆=

𝑏−𝑎 𝑛

= ∆=

3−2 6

5

= = 0,83 6

Se encuentra Xi 𝑥1 = 𝑎

𝑥1 = −2 𝑥2 = −2 + 1(0,83) = −1,17 𝑥3 = −2 + 2(0,83) = −0,34 𝑥4 = −2 + 3(0,83) = −0,49 𝑥5 = −2 + 4(0,83) = 1,32 𝑥6= − 2 + 5(0,83) = 2,75

∆= ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥

𝐹(𝑥) = 𝑥 2 − 5 𝑓(𝑥1) = (−2)2 − 5 = −1 𝑓(𝑥2)= (1,17)2 − 5 = −3,63 𝑓(𝑥3) = (−0,34)2 − 5 = −4,8 𝑓(𝑥4) = (−0,4999)2 − 5 = −4,750 𝑓(𝑥5) = (1,32)2 − 5 = −3,225 𝑓(𝑥6) = (2,75)2 − 5 = −0,3058

= (−1)0,83 + (−3,63)0,83 + (−4,8)0,83 + (−4,75)0,83 + (−3,225)0,83 + (−0,358)0,83 = −14,6999 3

3

∫

(𝑥 2

−2

𝑥3 40 − 5)𝑑𝑥 = | − 5𝑥| = − 13,33333 3 3 −2

3

3 2

∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 5𝑑𝑥 −2 3

∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = −2

−2

35 3

3

3

3

𝑥 2+1 𝑥3 35 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = [ ] =[ ] = 2 + 1 −2 3 −2 3 −2 2

3

∫ 5𝑑𝑥 −2

[5𝑥]3−2 = −25 =

35 40 − 25 = = 13.3333 3 3

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 50 – 53). Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(𝑥) de las siguientes funciones Ejercicio b. 𝑥2

G(x) = ∫ √2𝑡 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 1

𝐺´(𝑥) = √2 − cos (𝑥)2

Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 54 – 57). Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo.

Ejercicio b. Calcular la siguiente integral definida: 5

∫ |𝑥 2 − 2𝑥 − 24|𝑑𝑥 −3

Siga los siguientes pasos: - Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida. Solución Encontrar las expresiones equivalentes

|𝑥 2 − 2𝑥 − 24| 𝑒𝑛 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 5 5

=∫−3|𝑥 2 − 2𝑥 + 24|𝑑𝑥 Se aplica la regla de la suma 5

5

5

2

− ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 24𝑑𝑥 −3

−3

5

152 3

− ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = −3

−3

Se aplica la regla de potencia

5

5

𝑥 2+1 2 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = [ ] 2 + 1 −3 −3 5

𝑥3 152 [ ] = 3 −3 3 5

∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 16 −3

5

∫ 2𝑥𝑑𝑥 −3

Se saca la constante 5

=2 ∗ ∫−3 𝑥𝑑𝑥 Regla de potencia =2 |

𝑥 1+1

5

|

1+1 −3

Se simplifica 𝑥2

= 2| |

5

2 −3

Se calculan los limites 5

𝑥2 | | =8 2 −3 =2*8=16

5

∫ 24𝑑𝑥 = 192 −3 5

∫−3 24𝑑𝑥 Integral de una constante

= [24𝑥]53 Limites = 192 =−

152 + 16 + 192 3

Se simplifica −

152 472 + 16 + 192 = 3 3

=−

152 3

208∗3

=

3

+ 208 −

152 3

208∗3−152

=

3

=208*3-152 =472

DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS JUAN CARLOS VEGA

Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.

Ejercicio e.

∫

𝑠𝑒𝑛(4𝑥) − cos (3𝑥) 𝑑𝑥 2

Solución Primero que todo separamos la fracción en dos:

∫ ∫

𝑠𝑒𝑛(4𝑥) cos (3𝑥) − 𝑑𝑥 2 2

𝑠𝑒𝑛(4𝑥) cos (3𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 2 2

Multiplicamos por 1 las dos integrales 4 1 3 1 ∗ ∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 − ∗ ∫ cos (3𝑥)𝑑𝑥 4 2 3 2 1 1 ∫ 4 ∗ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 3 ∗ cos (3𝑥)𝑑𝑥 8 6

Sabiendo que: 𝑑(−𝑐𝑜𝑠(4𝑥)) = 4 ∗ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) 𝑑𝑥 Y 𝑑(𝑠𝑒𝑛(3𝑥)) = 3 ∗ 𝑐𝑜𝑠(3𝑥) 𝑑𝑥 Resolvemos las integrales inmediatas:

1 1 (−𝑐𝑜𝑠(4𝑥)) − 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝑐 8 6 1 1 (−𝑐𝑜𝑠(4𝑥)) − 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝑐 8 6 1 1 [−𝑐𝑜𝑠(4𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)] + 𝑐 2 6 Por lo tanto:

∫

𝑠𝑒𝑛(4𝑥) − cos (3𝑥) 1 1 𝑑𝑥 = [−𝑐𝑜𝑠(4𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)] + 𝑐 2 2 6

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann I.

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1

en el intervalo [−2,2], en donde use una partición de 𝑛 = 5.

Solución

𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖 )

𝑏−𝑎

-

Sea 𝛥𝑥 =

-

𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖(𝛥𝑥)

−6 5 1 25

𝑛

, 𝛥𝑥 =

−2 5 9 25

2−(−2) 5

4

, 𝛥𝑥 = 5

2 5 49 25

6 5 121 25

2 9

5

∑ 𝛥𝑥𝑓(𝑥𝑖 ) = 𝑖=1

4 1 9 49 121 ( + + + + 9) 5 25 25 25 25 -

5

∑ 𝛥𝑥𝑓(𝑥𝑖 ) = 𝑖=1

324 = 12.96 25

Siga los siguientes pasos: -

Solución

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. Ubique con la ayuda de Geogebra los cinco (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

iv. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 5.

Solución

Método

Resultado

Aproximación con Sumas de Riemann con n=5 12.96

Integral definida

Diferencia entre los diferentes métodos

9.33

3.63

Como podemos ver entre más grande sea la partición, más cerca se estará del área bajo la curva

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración. Ejercicio e. 3𝑥 3

G(x) = ∫ 2𝑥

𝑡−2 𝑑𝑡 2𝑡 + 1

Solución: Utilizando el primer teorema del cálculo integral y la regla de la cadena, que nos dice: 𝑔(𝑥)

𝐻(𝑥) = ∫

𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑘(𝑥)

Donde 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥) − 𝑓(𝑘(𝑥))𝑘´(𝑥)

Entonces: 3𝑥 3

𝐹(𝑥) = ∫ 2𝑥

𝐹´(𝑥) =

𝑡−2 𝑑𝑡 2𝑡 + 1

(2𝑥) − 2 (3𝑥 3 ) − 2 2 ∗ 9𝑥 − ∗2 2(3𝑥 3 ) + 1 2(2𝑥) + 1

9𝑥 2 (3𝑥 3 − 2) 4(𝑥 − 1) 𝐹´(𝑥) = − 6𝑥 3 + 1 4𝑥 + 1

DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS ANDRÉS OROZCO

Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. Ejercicio a. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado.

3

∫

5

𝑥 4 + 3𝑥 4 1

𝑑𝑥

2𝑥 4 3

∫

∫

𝑥4 1 2𝑥 4 1 𝑥2

2

5

+

+

3𝑥 4

1 𝑑𝑥 2𝑥 4

=

3𝑥 𝑑𝑥 = 2

1

𝑥 2 + 3𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = 2 1 1 ∫ 𝑥 2 + 3𝑥𝑑𝑥 = 2 3

1 𝑥 2 3𝑥 2 ( + + 𝑐) 2 3 2 2 𝑥3/2 3𝑥 2 + +𝑐 3 4

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann Ejercicio a. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann

• i) Utilizar la definición de Sumas de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 en el intervalo [-3, 0], en donde use una partición de n=5.

Siga los siguientes pasos: -

•

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. Ubique con la ayuda de Geogebra los cinco (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

ii) Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 5.

[−3,0] 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝑏 − 𝑎 0 − (−3) 3 ∆𝑥 = = = → 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑛 5 5 3 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖. ∆𝑥 = −3 + 𝑖 5 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎𝑞𝑢í 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛.

𝐿𝑎 𝑛 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛 𝑛

∑ 𝑐 = 𝑐𝑛 𝑖=1 𝑛

∑𝑖 = 𝑖=1 𝑛

𝑛(𝑛 + 1) 2

∑ 𝑖2 = 𝑖=1

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6

𝑛=5 𝑎 = −3

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑏=0

𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎𝑞𝑢í 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 𝑛

5

𝑖=1 𝑛

𝑖=1

3 3 ∑ 𝑓(𝑥𝑖). ∆𝑥 = ∑ 𝑓 (−3 + 𝑖) = 5 5 3 3 3 ∑[2 (−3 + 𝑖)2 + 5 (−3 + 𝑖) + 6] = 5 5 5 𝑖=1 𝑛

∑ [18 − 𝑖=1

36𝑖 18𝑖 2 3 + − 15 + 3𝑖 + 6] = 5 25 5

𝑛

3 18𝑖 2 21 .∑ − 𝑖+9 5 25 5 𝑖=1

→

𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑛 3 18𝑖 2 21 (∑ − ∑ 𝑖 + ∑ 9) = 5 25 5 𝑖=1

3 18 21 ( ∑ 𝑖 2 − ∑ 𝑖 + ∑ 9) 5 25 5 3 18 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 21 𝑛(𝑛 + 1) ( ( )− ( ) + 9𝑛) = 5 25 6 5 2 3 3 21 ( 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) − 𝑛(𝑛 + 1) + 9𝑛) = 5 25 10 9 63 27𝑛 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) − 𝑛(𝑛 + 1) + = 125 50 5 9 63 27 . 5(5 + 1)(2(5) + 1) − . 5(5 + 1) + . 5 = 125 50 5 594 189 − + 27 = 25 5 594 − 945 + 675 324 = = 12,94 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 … 25 25 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 0

∫ 2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝑑𝑥 = −3

0

0

0

2

2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 6 ∫ 𝑑𝑥 = −3 3

2

2

−3

0

−3

𝑥 5𝑥 + + 6𝑥 + 𝑐 ∫ = 3 2 4

2(−3)3 5(−3)2 0−( + + 6(−3)) = 3 2 45 0 − (−18 + − 18) = 2 27 27 0 − (− ) = = 13,5 → 𝑀𝑢𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟 … 2 2

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(𝑥) de las siguientes funciones Ejercicio a. 2𝑥

𝐺(𝑥) = ∫ (𝑡 2 − √2𝑡)𝑑𝑡 0

2𝑥

∫

2𝑥

1

𝑡 2 𝑑𝑡 − ∫ √2 𝑡 2 𝑑𝑡 =

0

𝑡3 − 3

3 √2𝑡 2

3 3

0 2𝑥

+𝑐∫ = 0

3 3

2𝑥 𝑡 3 22 𝑡 2 − +𝑐 ∫ = 3 3 0 3

3

3

3

(2𝑥)3 22 (2𝑥)2 03 22 (0)2 − −( − = 3 3 3 3 3

3

3

3

8𝑥 3 22 . 22 . 𝑥 2 8𝑥 3 8𝑥 2 − = − = 3 3 3 3 1

3.8𝑥 2 3 8𝑥 2 ′ (𝑥) 𝐺 = − 3 2 3

→ 8𝑥 2 − 4√𝑥

Tipo de ejercicios 4 – Integral definida Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo.

Ejercicio a. Calcular la siguiente integral definida:

4

∫ 𝑥 2 (𝑥 + 4)4 𝑑𝑥 0

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

4

∫ 𝑥 2 (𝑥 + 4)4 𝑑𝑥 0

𝑑𝑢 = 1 → 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 2 = (𝑢 − 4)2 =

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑢 = 𝑥 + 4 𝑥 =𝑢−4

∫(𝑢 − 4)2 𝑢4 𝑑𝑢 = ∫(𝑢2 − 8𝑢 + 16)𝑢4 𝑑𝑢 = ∫(𝑢6 − 8𝑢5 + 16𝑢4 )𝑑𝑢 = 𝑢7 8𝑢6 16𝑢5 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 − 8 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 + 16 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = = + = 7 6 5 4 𝑢7 4𝑢6 16𝑢5 (𝑥 + 4)7 4(𝑥 + 4)6 16(𝑥 + 4)5 − + +𝑐 = − + +𝑐∫ = 7 3 5 7 3 5 0 6

5

4

(4 + 4)7 4(4 + 4)6 16(4 + 4)5 (0 + 4)7 4(0 + 4)6 16(0 + 4)5 − + −( − + )= 7 3 5 7 3 5 2097152 1048576 524288 16384 16384 16384 )= − + −( − + 7 3 5 7 3 5 2080768 1032192 507904 − + = 54769,37 7 3 5

Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.

Ejercicio b.

Calcular la siguiente integral definida:

∫

𝜋 21

0

− cos 2 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥)

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica.

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Solución Primero que todo expresamos 1 − cos2 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) Reemplzamos en nuestra integral y simplificamos ∫

𝜋 2 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)

0

𝑡𝑎𝑛2 (𝑥)

𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) 1 ∫ 𝑑𝑥 2 0 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) cos 2 (𝑥) 𝜋 2

∫

𝜋 2 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)cos 2 (𝑥)

𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)

0

𝑑𝑥

𝜋 2

∫ cos2 (𝑥)𝑑𝑥 0

Sabiendo que cos2 (𝑥) =

1 + cos (2𝑥) 2

reemplazamos en nuestra integral: ∫

𝜋 21

0

+ cos (2𝑥) 𝑑𝑥 2

Expresamos como suma de fracciones

∫

𝜋 21

0

2

𝑑𝑥 + ∫

𝜋 2 cos

0

(2𝑥) 𝑑𝑥 2

En la segunda integral hacemos 2𝑥 = 𝑢 2𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢 2

Integramos la primer e integral y reemplazamos en la segunda integral 𝜋 1 𝜋 ( − 0) + ∫ 𝑐𝑜s (𝑢)𝑑𝑥 2 4 0 Integramos la segunda integral 𝜋 1 ( ) − (𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝜋0 ) 2 4 𝜋 1 ( ) − (0 − 0) 2 4

𝜋 1 ( ) − (0) 2 4 𝜋 ( )−0 2 𝜋 2 Luego ∫

𝜋 21

0

− cos2 (𝑥) 𝜋 𝑑𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛 (𝑥) 2

Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. Ejercicio a. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado.

3

∫

5

𝑥 4 + 3𝑥 4 1

𝑑𝑥

2𝑥 4 3

∫

𝑥4 1

2𝑥 4 1

5

+

3𝑥 4

1 𝑑𝑥

=

2𝑥 4

𝑥 2 3𝑥 ∫ + 𝑑𝑥 = 2 2 1

𝑥 2 + 3𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = 2 1 1 ∫ 𝑥 2 + 3𝑥𝑑𝑥 = 2 3

1 𝑥 2 3𝑥 2 ( + + 𝑐) 2 3 2 2 𝑥 3/2 3𝑥 2 + +𝑐 3 4

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann Ejercicio a. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann

•

i) Utilizar la definición de Sumas de Riemann para hallar una aproximación del área

bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 en el intervalo [-3, 0], en donde use una partición de n=5.

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra.

-

Ubique con la ayuda de Geogebra los cinco (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

•

ii) Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 5.

[−3,0] 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝑏 − 𝑎 0 − (−3) 3 ∆𝑥 = = = → 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑛 5 5 3 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖. ∆𝑥 = −3 + 𝑖 5 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎𝑞𝑢í 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 𝐿𝑎 𝑛 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛 𝑛

∑ 𝑐 = 𝑐𝑛 𝑖=1 𝑛

∑𝑖 = 𝑖=1

𝑛(𝑛 + 1) 2

𝑛=5 𝑎 = −3

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑏=0

𝑛

∑ 𝑖2 = 𝑖=1

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6

𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎𝑞𝑢í 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 𝑛

5

𝑖=1 𝑛

𝑖=1

3 3 ∑ 𝑓(𝑥𝑖). ∆𝑥 = ∑ 𝑓 (−3 + 𝑖) = 5 5 3 3 3 ∑[2 (−3 + 𝑖)2 + 5 (−3 + 𝑖) + 6] = 5 5 5 𝑖=1 𝑛

∑ [18 − 𝑖=1

36𝑖 18𝑖 2 3 + − 15 + 3𝑖 + 6] = 5 25 5

𝑛

3 18𝑖 2 21 .∑ − 𝑖+9 5 25 5 𝑖=1

→

𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑛 3 18𝑖 2 21 (∑ − ∑ 𝑖 + ∑ 9) = 5 25 5 𝑖=1

3 18 21 ( ∑ 𝑖 2 − ∑ 𝑖 + ∑ 9) 5 25 5 3 18 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 21 𝑛(𝑛 + 1) ( ( )− ( ) + 9𝑛) = 5 25 6 5 2 3 3 21 ( 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) − 𝑛(𝑛 + 1) + 9𝑛) = 5 25 10 9 63 27𝑛 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) − 𝑛(𝑛 + 1) + = 125 50 5 9 63 27 . 5(5 + 1)(2(5) + 1) − . 5(5 + 1) + . 5 = 125 50 5 594 189 − + 27 = 25 5 594 − 945 + 675 324 = = 12,94 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 … 25 25 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 0

∫ 2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝑑𝑥 = −3

0

0

0

2 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 6 ∫ 𝑑𝑥 = −3

−3

−3

𝑥 3 5𝑥 2 0 2 + + 6𝑥 + 𝑐 | 3 2 4 3 2(−3) 5(−3)2 0−( + + 6(−3)) = 3 2 45 0 − (−18 + − 18) = 2 27 27 0 − (− ) = = 13,5 → 𝑀𝑢𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟 … 2 2

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(𝑥) de las siguientes funciones Ejercicio a. 2𝑥

𝐺(𝑥) = ∫ (𝑡 2 − √2𝑡)𝑑𝑡 0

2𝑥

∫ 0 3

2𝑥

1

𝑡 2 𝑑𝑡 − ∫ √2 𝑡 2 𝑑𝑡 =

𝑡 − 3

3 √2𝑡 2

3 3

0

+𝑐|

2𝑥 0

3 3

𝑡 3 22 𝑡 2 2𝑥 − +𝑐 | 3 3 0 3

3

3

3

(2𝑥)3 22 (2𝑥)2 03 22 (0)2 − −( − = 3 3 3 3 3

3

3

3

8𝑥 3 22 . 22 . 𝑥 2 8𝑥 3 8𝑥 2 − = − = 3 3 3 3 1

𝐺

′ (𝑥)

3.8𝑥 2 3 8𝑥 2 = − 3 2 3

→ 8𝑥 2 − 4√𝑥

Tipo de ejercicios 4 – Integral definida Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo.

Ejercicio a. Calcular la siguiente integral definida:

4

∫ 𝑥 2 (𝑥 + 4)4 𝑑𝑥 0

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra.

-

Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

4

∫ 𝑥 2 (𝑥 + 4)4 𝑑𝑥 0

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑢 = 𝑥 + 4 𝑥 =𝑢−4

𝑑𝑢 = 1 → 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 2 = (𝑢 − 4)2 =

∫(𝑢 − 4)2 𝑢4 𝑑𝑢 = ∫(𝑢2 − 8𝑢 + 16)𝑢4 𝑑𝑢 = ∫(𝑢6 − 8𝑢5 + 16𝑢4 )𝑑𝑢 = ∫ 𝑢6 𝑑𝑢 − 8 ∫ 𝑢5 𝑑𝑢 + 16 ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 =

𝑢7 8𝑢6 16𝑢5 − + = 7 6 5

𝑢7 4𝑢6 16𝑢5 (𝑥 + 4)7 4(𝑥 + 4)6 16(𝑥 + 4)5 4 − + +𝑐 = − + +𝑐| 7 3 5 7 3 5 0 (4 + 4)7 4(4 + 4)6 16(4 + 4)5 (0 + 4)7 4(0 + 4)6 16(0 + 4)5 − + −( − + )= 7 3 5 7 3 5 2097152 1048576 524288 16384 16384 16384 − + −( − + )= 7 3 5 7 3 5 2080768 1032192 507904 − + = 54769,37 7 3 5

Nombre Andrés Orozco Yardani Piedrahita Juan Carlos Gonzalez Jesús Calderón Juan Carlos Vega

Ejercicio seleccionado

Ejercicio a sustentar

a

3

b

4

c

1

d

2

e

3

Link video

https://www.loom.com/share/3129c875c15c407c8bfb8e11e9cbb6da https://www.youtube.com/watch?v=2wDOAIVvhpg&feature=youtu.be https://youtu.be/eX_xzBqHUBo

CONCLUSIÓN

En este trabajo colaborativo presentaremos la solución de los ejercicios propuestos y aplicando los conocimientos y conceptos adquiridos de los primeros temas de la integración y complementados con los conocimientos propios de los cursos anteriores, o apoyos educativos. Los ejercicios corresponden las temáticas de la integral indefinida, la integral definida y los teoremas que los sustentan. Además, para este tipo de ejercicios se necesitan conocimientos de algebra, trigonometría para la solución correcta de integrales, en donde muchas veces se aplican estas disciplinas antes de realizar la integración Para los correctas soluciones de los ejercicios, siempre se debe tener en cuenta el teorema fundamental de calculo.

REFERENCIAS

Ortiz, F (2015). Cálculo diferencial (2a. ed.) Grupo editorial patria. (pp. 121-128) Recuperado de https://ebookcentral-proquestcom.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/detail.action?docID=4569616 García, G. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Editorial Instituto Politécnico Nacional. (pp. 109-125). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?dir ect=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live

La Integral indefinida. Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 15 – 23). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?dir ect=true&db=edselb&AN=edselb.5045548&lang=es&site=eds-live

Sumas de Riemann Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 2 – 13). Recuperado de https://ebookcentral-proquestcom.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/detail.action?docID=3227578

Teoremas de integración Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 50 – 53). Recuperado de https://ebookcentral-proquestcom.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/detail.action?docID=3227578

La integral definida. Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 54 – 57). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?dir ect=true&db=edselb&AN=edselb.3196635&lang=es&site=eds-live