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• Jesus Alvaro Vargas Concha

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PROBLEMAS

1

- 24 a) b) c) d)

a, b, d, f, h b, d, f, h a, d, f, h j, k, f, h

E) a, b, c, f, h

17.- La región sombreada en el diagrama corresponde a:

B C

D

A

a) (A –B) ∩ (C ∪ D) b) (B – A) ∪ [(C ∪ D) – (C ∩ D)] c) (A ∪ B ) – (C ∆ D) d) A y B correctas 18.- En un salón de 50 alumnos, 35 prefieren aritmética y 33 álgebra. ¿Cuántos gustan de ambos cursos? a) 8 b) 12c) 18 d) 20 e) 16 19.- En un salón de 120 personas se les pregunto ¿qué películas prefieren?, a 80 alumnos no les gusta “Guerra de las Galaxias” y 70 prefieren “El Señor de los Anillos”. ¿Cuántas personas no prefieren ninguna de estas películas, si 10 personas prefieren las dos las películas? a) 20 b) 50 c) 10 d) 60 e) 9 20.- En un colegio rindieron exámenes finales, siendo los resultados:
4 aprobaron los tres cursos.
10 aprobaron Matemática y Física.
7 aprobaron Matemática y Química.


9 aprobaron Química y Física.
17 aprobaron Matemática.
19 aprobaron Física.
18 aprobaron Química. ¿Cuántos alumnos rindieron los exámenes? a) 23 b) 32 c) 28 d) 26 e) 24

1. Dado el conjunto : E = { 0, 9,99, 999,9999, 99999} Determinarlo por comprensión: a) {10x-1/ x∈Ν ∧ x 〈 6} b) {10x-1/ x∈Ν ∧ x 〈 6} c) {10x+9/ x∈Ν ∧ x ≤ 6} d) {10x-1/ x∈Ν ∧ x 〈 6}

20.- De 430 alumnos se sabe con certeza que:
40 estudian los tres cursos.
110 estudian lenguaje
240 estudian geografía.
190 estudian aritmética.
80 estudian lenguaje y geografía.
100 estudian geografía y aritmética.
50 estudian lenguaje y aritmética. ¿Cuántos no estudian los cursos que se mencionan? a) 60 b) 80 c) 50 d) 75 e) 90

2. Determinarlo por comprensión A = { 7, 12,17, 22, .....,842} a) {x/ x=5n+2 , n∈Ν ∧ 0〈n≤168} b) {x/ x=n+2 , n∈Z ∧ 0〈n〈168} c) {x/ x=5n n∈Z ∧ 0 〈 n ≤ 168} d) {x/ x=5n-2 ,n∈Z ∧ 0 〈 n ≤ 168}

21- En una reunión de 180 profesores se ve que 90 usan lentes, 90 usan gorros y 100 usan reloj. Si 20 usan los tres. ¿Cuántos usan exactamente dos? a) 60 b) 40 c) 50 d) 70 e) 20 22.-De un grupo de 200 transeúntes se determinó lo siguiente: 60 eran mudos, 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos; de estos últimos, 20 eran mudos y 30 eran cantantes callejeros. ¿Cuántos de los que no son cantantes no eran mudos ni ciegos? a) 10 b) 50 c) 30 d) 20 e) 40

7. En una asamblea de 60 integrantes de un club, 50 son estudiantes, 47 trabajan y 4 no trabajan ni estudian ¿Cuantos solamente trabajan y estudian? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 8. Determinar conjunto

comprension

el

1 2 3 4 5 24 ; ; ;.....; } 4 9 16 25 36 625 n a) { /n∈Z+ , n ≤ 24} 2 (n + 1 ) n +

M={ ; ;

b) {

3. Si A={0, 2,6, 12, 20,30,42,56 } Determinar este conjunto comprensión a) {x2+1/ x∈Ν ∧ x≤7} b) {x2+x/ x∈Ν ∧ x≤6} c) {x(x+1)/ x∈Ν ∧ x ≤7} d) {x2+x/ x∈Ν ∧ 1 〈 x 〈 8}

por

por

4. Si : A = {a2 +1, 3a-1} B = {3x+y , x-y+8} Son conjuntos unitarios hallar a+x+y=? a) 5 y 6 b) 4 y 3 c) 9 y 8 d) 3 y 5 e) 4 y 6 5. Dados los conjuntos unitarios: A = {(√x +√y ) , 8 } B = {(√y -√x ) , 4 } Hallar : x + y =? a) 20 b) 30 c) 40 d) 45 e) 25 6. En un salón de clase de 60 alumnos se sabe que 40 de ellos tienen aptitud para las ciencias y 32 para las letras ¿Cuantos alumnos tienen aptitud para las ciencias como para las letras? a) 10 b) 12 c) 20 d) 24 e) 25

/n∈Z , n< 24}

(n - 1 )2 n c) { /n∈Z , 1 ≤ n ≤ 625 } (n + 1) (n - 1)

d) {

(n + 1 )2

9. Determinar

/n∈Z , 2 〈 x 〈 8 }

por

comprension

el

1 2 3 4 5 ; ; ; ;......... } 6 12 20 30 42 (n - 1) a) H={y/y= ,n∈Z+} n(n + 1) (n + 1) b) H={y/y= ,n∈Z} n(n - 1) (n - 1) + conjunto H={ 0; ;

c) H={y/y=

,n∈Z }

n(n + 1 )2 (n - 1) d) H={y/y= ,n∈Z+} (n + 1)

10. Sabiendo que los conjuntos: A={4a+3b ; 23} B={3a+7b ; 41}

-2Son unitarios : Hallar a+b a) 2 b) 4 c) 5 d) 7

e) 9

11. Si : U = {Naturales}, A={2x/ x∈N ∧ X 5 ]}

Dar como respuesta la P( A ) b) 128 a) 64 d) 512 e) 1024

c) 256

32. Dados los conjuntos:

M = { x ∈ R / 2x − 1 = x N = φ;

P = { x ∈ R / x < 1} Determinar: ( M ∪ N ) '∪ P

2

}

- 20 18. En un examen de cocimientos donde se evaluó a una cierta cantidad de alumnos sobre las materias de aritmética álgebra, física, arrojó los siguientes resultados: -15 aprobaron aritmética. -12 aprobaron álgebra. -14 aprobaron física. -6 aprobaron los tres cursos. -8 aprobaron solamente dos cursos. Calcular la cantidad de alumnos que participaron en la evaluación si todos aprobaron por lo menos en 1 curso. a) 23 b) 20 c)21 d) 19 e) 22 19. Se tiene un salón de clase de 42 alumnos, donde 20 aprobaron aritmética, 16 aprobaron álgebra, 20 aprobaron geometría, 7 aprobaron aritmética y álgebra, 13 aprobaron álgebra y geometría, 9 aprobaron aritmética y geometría. Si los que aprobaron los tres cursos son la mitad de los que no aprobaron alguno de los tres cursos. ¿Cuántas aprobaron sólo aritmética? a) 2 b) 9 c) 3 d)11 e) 23 20. De 55 alumnos de la universidad de Lima reobtuvo la siguiente información: - 32 alumnos estudian MBI. - 22 alumnos estudian historia. - 45 alumnos estudian Lengua I. - 15 alumnos estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian sólo 2 cursos? a) 23 b) 34 c) 12 d) 22 e) 49 21. En el salón de clase donde hay 50 alumnos se observa que: 6 veteranos usan bigotes, 4 mujeres veteranas usan falda, 32 veteranos no usan falda, 9 mujeres usan falda y 8 hombres usan

bigotes. ¿Cuántos no veteranos no usan bigotes ni falda? a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 22. Hay 3 estaciones de radio A, B y C que se pueden ser recibidas en una ciudad de 3000 familias. Se obtuvo la siguiente información: a) 1800 familias escuchan la estación A. b) 1700 familias escuchan la estación B. c) 1200 familias escuchan la estación C. d) 1250 familias escuchan la estación A y B. e) 750 familias escuchan la estación A y C. f) 600 familias escuchan la estación B y C. g) 200 familias escuchan la estación A, B y C. ¿Cuál es el número de conjuntos de familias que no escuchan a A pero escuchan B o C? a) 1200 b) 600 c) 650 d) 400 e) 500 23. Se analizan 500 productos en el cual se considera 3 defectos A, B y C; con el siguiente resultado: - 100 productos poseen el defecto A - 200 productos poseen el defecto B - 300 productos poseen el defecto C - 90 productos poseen exactamente 2 defectos - 10 productos poseen exactamente 3 defectos. ¿Qué % de productos presentan por lo menos 2 defectos entre los que presentan por lo menos un defecto? a) 2.5% b) 14.6% c) 20.4% d) 18.3% e) N.A

-534. De 150 soldados que participan en una cruenta batalla, 80 perdieron un ojo, 70 perdieron una oreja y 50 perdieron una pierna, 20 perdieron un ojo y una oreja, 25 perdieron un ojo y una pierna, 30 perdieron una oreja y una pierna y 10 perdieron un ojo, una oreja y una pierna ¿Cuántos escaparon ilesos? A) 10 B) 13 C) 17 D) 15 E) 20 35. En una encuesta a “n” azafatas sobre habilidad de leer francés, español y alemán, 46 leen francés, 35 leen alemán, 27 leen español, 19 leen francés y alemán, 8 leen francés y español, 10 leen español y alemán, y 3 leen los tres idiomas ¿Cuál es el valor de n? A) 100 B) 84 C) 86 D) 74 E) 76 36. Una encuesta realizada a 500 estudiantes del CBU sobre la preferencia de una o más asignaturas, en Aritmética, Física y Química durante el presente ciclo reveló los siguientes datos. Prefieren Aritmética 329, Física 186, Química 295, Aritmética y Física 83, Aritmética y Química 217, Física y Química 63 ¿Cuántos estudiantes prefieren las tres asignaturas? A) 62 B) 53 C) 50 D) 52 E) 60 37. En un barrio donde hay 31 personas, 16 compran en el mercado, 15 en la bodega, 18 en el supermercado, 5 en los dos últimos sitios, únicamente 6 en los dos primeros y 7 en el primero y último. ¿Cuál es el menor número de personas que podrían comprar solamente en el mercado? A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 10

38. De 55 Alumnos que estudian en una Universidad se obtuvo la siguiente información, 32 alumnos estudian el curso A, 22 alumnos estudian el curso B, 45 alumnos estudian el curso C, 10 alumnos estudian los tres cursos ¿Cuántos estudian simultáneamente dos cursos? A) 30 B) 28 C) 29 D) 24 E) 32 39. En un salón de 50 alumnos, hay 30 alumnos hinchas de Club Universitario y 25 alumnos hinchas del Club Cienciano, además 21 alumnos son hinchas del Club Universitario y del Club Cienciano ¿Cuántos alumnos no son hinchas de ninguno de estos equipos? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 40. Para los ingresantes a la Facultad de Matemáticas de la UNSAAC se han implementado tres cursos complementarios de inglés, francés y alemán. En inglés hay 24 inscritos, en francés 20 y en alemán 18, 13 se han inscrito en más de un curso y 34 en un solo curso. ¿Cuántos han decidido estudiar los tres idiomas? A) 2 B) 6 C) 12 D) 4 E) 8 41. En una gran empresa consultora trabajan 100 empleados, entre contadores, economistas e ingenieros, 45 de ellos tienen una y sólo una de estas profesiones. De los contadores, 25 son economistas y 27 son ingenieros. 33 son economistas e ingenieros. ¿Cuántos de los referidos empleados tienen las tres profesiones? A) 23 B) 18 C) 15 D) 32 E) 25 42. De 120 personas de un instituto se obtuvo la información siguiente, 72 alumnos llevan el curso de Filosofía, 64

-6llevan el curso de Matemática I, 38 llevan el curso de Lenguaje y 12 los tres cursos ¿Cuántos alumnos llevan exclusivamente dos cursos y cuantos llevan exclusivamente un solo curso? A)32 y 50 B)22 y 65 C)28 y 88 D)28 y 80 E)25 y 70

47. La región sombreada de la figura representa: A

43. Dados: A = {x2 + 1;3x − 1} y B = {y2 − 7x} si

a) A ∩ B c) B − A e) ( A − B ) ∩ (B − A)

A ∪ B es unitario; hallar A ∩ B , si x, y son números enteros. a) {5} b) {2} c) {10} d) {9} e) {8}

44. De un grupo de 590 alumnos, se observo que 200 no postularon a la UNSAAC, 300 no postularon a la UNSAA y 50 no postularon a ninguna de estas dos. ¿Cuántos postularon a ambas Universidades? a) 100 b) 120 c) 125 d) 130 e) 140 45. En un salón de 83 alumnos se observa que 35 son mujeres; 31 gustan de matemática I y 20 varones no gustan de este curso. ¿Cuántas mujeres gustan de Matemática I? a) 32 b) 4 c) 20 d) 28 e) 3 46. De 55 Alumnos que estudian en una Universidad se obtuvo la siguiente información, 32 alumnos estudian el curso A, 22 alumnos estudian el curso B, 45 alumnos estudian el curso C, 10 alumnos estudian los tres cursos ¿Cuántos estudian simultáneamente dos cursos? A) 30 B) 28 C) 29 D) 24 E) 32

- 19 9. Sean los subconjuntos de R: E =< a, b >, donde a < b;

A = { x / x ∈ ( E ∩ Q )} Q : racionales

B

Determinar: A C ∆ B C a) ∪ b) A ∩ B c) A ∪ B d) φ b) A − B d) ( A − B ) ∪ (B − A)

48. Si A y B denotan dos conjuntos cuales quiera (diferentes del vacío), simplifique: ( A ∪ B ) ∩ BC  ∪ B ∩ ( B − A ) 

a) B – A d) AC

c) A ∪ B

b) A e) A∆B

49. Se tiene 3 conjuntos A, B y C incluidos en U tales que: I. C ∩ A = C II. n ( C C ) = 150 III. n (AC ∩ BC )  = 70   IV. n ( A ∪ B ) − C  = 6n ( C ) C

Calcule n (U) a) 200 b) 220 c) 130

d) 250 e) 160

50. Si n ( A ∪ B ) = 35 y n (A) + n (B ) = 48 El número de elementos de A∆B es: a) 23 b) 22 c) 13 d) 21 e) 35 51.

SI

n P ( A )  = 128 ;

n P ( A ∩ B )  = 8 ;

n P (B )  = 16

entonces

calcular

n P ( A ∪ B ) 

a) 128 b) 1024 c) 64

y

10. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: i) Si n ( a ) = 2 y n ( B ) = 3 , entonces el número máximo de elementos de C = P ( A ) ∪ P ( B ) es 12.

ii) Si A = { n 2 − 1 / n ∈ Z; − 1 ≤ n ≤ 1} entonces en n ( A ) es 3. iii) Si A ∩ B = φ , entonces A = φ ∧ B = φ a) VFF b) FFF c) FVF d) VVF e) VVV 11.

Dados los conjuntos: A = { 2;4;6 } y B = { 2;5;6;7 } determinar el número de subconjuntos de: A × B − B × A a) φ b) 0 c) 28 d) 64 e) 256 12. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Si el n ( A ) = 4 y n ( B ) = 5 entonces el número máximo de elementos de C = P( A ) ∪ P( B ) es 48

II) Si M = { n 2 − 1 / n ∈ Z, 4 ≤ n 2 ≤ 9 } entonces n ( M ) es 2. III) Si A = φ ; B = φ entonces n [ P ( A ∪ B )] = φ a) VVF b) VFV

e) FFF d) 32 e) 256

e) A

c) FFV

d) FVF

13. En un salón de 600 alumnos, 100 no estudian inglés ni francés y 50 estudian francés e Inglés. Si 450 estudian francés. ¿Cuántos estudian sólo Inglés? a) 60 b) 36 c) 46 d) 100 e) 50 14. En un salón de clase de 100 alumnos, hay 10 hombres provincianos, hay 40 mujeres limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres limeños, ¿Cuántos hombres hay en el aula? a) 40 b) 10 c) 49 d)50 e) 28 15. En una competencia olímpica participaron 100 atletas, se realizaron 10 pruebas atléticas y en la premiación se nota que: - 3 ganaron medallas de oro, plata y bronce - 5 ganaron medallas de oro y plata. - 6 ganaron medallas de oro y bronce. - 4 ganaron medallas de plata y bronce. ¿Cuántos atletas no ganaron medallas? a) 82 b) 56 c) 80 d) 33 e) 50 16. De un grupo de 80 personas: - 27 leían la revista A pero no leían la revista B - 26 leían la revista B pero no C - 19 leían C pero no A - 2 las tres revistas mencionadas. ¿Cuántos preferían otras revistas? a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 10 17. De un grupo de 60 estudiantes, 26 hablan francés y 12 solamente francés, 30 hablan inglés y 8 solamente inglés, 28 hablan alemán y 10 solamente alemán; también 4 hablan los tres idiomas mencionados ¿Cuántos hablan inglés y alemán pero no francés? a) 10 b) 9 c) 3 d) 11 e) 21

- 18 60. El resultado de una encuesta sobre jugos de fruta de manzana, fresa y piña es le siguiente: el 60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gustan manzana y fresa, 20% fresa y piña, 15% manzana y piña y 5% gustan de los tres ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de jugos de fruta mencionadas? A) 20% B) 10% C)15% D) 22% E) 18%

CONJUN TOS 4 1.Decir cuántas de las proposiciones son verdaderas, dado: A = { 3; 7; { 5; 7 } ; { 8 } ; {1; 3; 8 } ; 8; Φ} * Φ ∈ A * {1; 3; 8 } ⊂ A * { Φ} ⊂ A * {{ 5; 7 } ; { 8 }} ∈ A

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

4. En el siguiente diagrama ¿Cuántas son verdaderas? a) D ⊃ E b) C y D son comparables c) A ⊂ B d) C ⊂ D e) B = C

lineal.

A B

C D E

5. Dados los conjuntos unitarios: A = {(m + n); (n+ p); 8 } ; B = {(m + p); 10 } . Hallar: “m+n–p” a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 10

* { 5; 7 } ⊂ A

6. ¿A qué es igual?

{[ (A − B) ∩ B ] ∩ [ (A ∪ B) ∩ C ]} '

d) 6

e) 8

2. Dado el conjunto: A = { a; { a } ; { Φ} ; Φ } . ¿Cuántas proposiciones son verdaderas? {a } ∈ A ∧ {a } ⊂ A a) { a } ⊂ A ∧ {{ a }} ∈ A b) { a; d } ⊂ A ∧ {{ a } ; { Φ}} ⊂ A c) d) e)

a) 2

CONJUNTOS 2 1. En un club hay 61 personas tal que: • 5 mujeres tienen 17 años. • 16 mujeres no tienen 17 años. • 14 mujeres no tienen 18 años. • 10 hombres no tienen 17 ó 18 años. ¿Cuántos hombres tienen 17 o 18años? d) 50 e) 80 a) 20 b) 30 c) 40 2. De un total de personas, el 20% trabajan, el 40% estudian y el 45% de los que trabajan también estudian. ¿Qué porcentaje no trabajan ni estudian? a) 40% b) 31% c) 49% d) 11% e) 9%

3.

* { 5; 7 } ∈ A * {{ 5; 7 } ; { 8 }} ⊂ A * { 3; 7 } ⊂ A a) 3 b) 4 c) 5

3.Decir cuántas de las proposiciones siguientes son falsas: * n { Φ} = Φ * Φ ∈ { Φ} { } * n Φ =0 * Φ ∈ { } * n({ Φ}) = 0 * Φ ∈ P(x) * { Φ} = Φ * n({ }) < n { Φ}

-7-

{ Φ} ⊂ A ∧ {{ Φ}} ∈ A Φ ⊂ A ∧ Φ ∈ A

a) Φ

b) A

c) B

d) U

e) N.A

7. Si: A, B y C son conjuntos tales que A ⊂ B ⊂ C . Simplificar: [( A ∩ C ) ∪ ( B − C )] ∪ [( A ∪ B ∪ C ) ∩ ( B − A)] a) A b) B c) C d) B-A e) C-B 8. Si A ⊂ B y A ∩ D = φ Simplificar:

C C  ( A ∩ D ) ∩ B  ∪ [ B ∪ ( A − D )] a) A ∪ B b) A c) B d) φ e) D ∩ B

De las siguientes proposiciones. ¿Cuántas son verdaderas?. I. n (A∪B) =n(A) +n(B) –n(A∩B) II. (A∪B) ∩(A ∩ B) ’=(A∩B’) ∪(A’∩B) III. A∆B=(A∪B) –(A∩B) IV. (B–A) ∩(A∩B) =φ c) 4 d) Todos a) 2 b) 3 4. Determinar en forma tabular los siguientes conjuntos B={( x + 1) / x ∈ Z , - 1 ≤ x ≤ 1 } A) {0,1} D) {-1,0,1,2}

B) {0,1,2} C) {-1,0,1} E) {-2,-1,0}

5. C={(2x) ∈ N / - 2 ≤ x + 3 ≤ 4 } A) {0,4} B) {0,1,2} C) {1,2} D) {2,4} E) {2} 6. C={(5x+1) ∈ N / - 3 ≤ x + 3 ≤ 6 } A) {0,1, ... ,14} B) {1,2, ... ,15} C) {0,1,2,...,15} D) {0,1,...,16} E) {0,1,2,...,13}

7.

C={4(x-3) ∈ N/ -1 ≤ x -1 ≤ 3} A) {0,1,2,3} B) {0,1,2,3,4} C) {1,2,3,4} D) {2,3,4} E) {2,3} si: K={ x ∈ N / 2