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23

Ejercicio 2

Observa el diagrama:

Ejercicio 3

Observa el diagrama:

luego, expresa por extensión cada conjunto siguiente: a) R = { }

luego, expresa por extensión cada conjunto siguiente: a) T = { }

b) S = {

b) U = {

}

}

c) R - S = {

}

c) T - U = {

d) S - R = {

}

d) U - T = {

e) R  S = { Ejercicio 4

}

} }

e) T  U = {

}

Dados los conjuntos:

A = {x/x es un número natural mayor que 18 y menor que 24} B = {x/x es un número natural mayor que 15 y menor que 21} hallar A  B Ejercicio 5 Sean los conjuntos: P={ /2 < x  7}  B = { x   /5  x < 10}; hallar: PQ. Ejercicio 6

Sean los conjuntos:

A = {2; 4; 5; 7}  B = {1; 2; 3; 4; 5; 7}; hallar AB.

Ejercicios resueltos sobre teoría de conjuntos Ejercicio 1 Si: A={x/x es una letra de la palabra HONESTIDAD} B={x/x es una letra de la palabra CARIDAD} halla n(A  B) Resolución: · n(A  B) significa “número de elementos de A intersección B”. · Expresamos cada conjunto por extensión: A={h, o, n, e, s, t, i, d, a} B={c, a, r, i, d,} Recuerda  A  B ={i, d, a}

b

g

 n AB  3

Si en un conjunto hay elementos repetidos, estos se escriben una sola vez. Ej. {a, a, a, b, b,}={a, b}

Ejercicio 2

Si:

A={x/x es una letra de la palabra SOLIDARIDAD} B={xA/x es una letra de la palabra LIBERTAD} determina: n(A) + n(B) Resolución: · Expresamos cada conjunto por extensión: A={s, o, l, i, d, a, r,}  n(A) = 7 · Las letras de la palabra LIBERTAD son: l,

i,

B B

A A

b,

e,

r,

B

A

t,

a,

d,

B B

A A

24

De ellas escogemos las que pertenecen al conjunto

B

A, para formar el conjunto B. B={l , i , r , a , d}  n(B) = 5  n(A) + n(B) = 7 + 5 = 12

Ejercicio 3

Dados los conjuntos:

A={4; 5; 7; 9; 11; 16} B={7; 8; 9; 10} C={7; 9; 16} Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). I.   A II.

BA

III. C  A IV. n(B  C)  2 Resolución: I.   A (V), porque el conjunto vacío está incluido en todo conjunto. II. B  A (F), porque en el diagrama vemos que el conjunto B no está incluido en el conjunto A:

A

5

4 11 16

B

7

8

9

10

III. C  A (V), porque todos los elementos de C son también elementos de A, como se aprecia en el diagrama:

4

A

5 7

9

C 16

11 IV. n(B  C)  2 (V) De acuerdo al diagrama vemos que B  C  {7 ; 9} luego, es verdadero afir-mar que n(B  C)  2 , ya que en la intersección hay 2 elementos.

C

8

7

10

9

16

Ejercicio 4 Si: A={4; 5; 5; 5; 7} B={0;  ; 2} C={0; 1; 2; 2; 2; 4; 4} calcula n(A) + n(B) + n(C) Resolución: A={4 ; 5 ; 5 ; 5 ; 7}={4 ; 5 ; 7}  n(A)=3 B={0;  ; 2}  n(B)=3 C={0;1; 2; 2; 2; 4; 4}={0; 1; 2; 4}  n(C)=4  n(A) + n(B) + n(C)=3 + 3 + 4= 10 Ejercicio 5 Dado el conjunto E: E={{2; 3}; 4; 2; {5}} Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. {4} E

II. {5} E

III. 2  E

IV. {2; 3} E

V. {4; 2}E

VI. {4; 2}  E

Resolución: I. {4} E (F), porque {4} no es elemento del conjunto E. Lo correcto sería afirmar que 4  E, ya que 4 sí es elemento de E. II. {5}E (V), porque {5} es un elemento de E. III. 2  E (F), porque el símbolo  se usa para relacionar un conjunto con otro conjunto. Lo correcto hubiera sido afirmar {2}  E. IV. {2; 3} E (V), porque {2; 3} es un elemento de E. V. {4; 2}E (F), porque {4; 2} no es un elemento de E. Lo correcto sería afirmar que {4; 2}  E .

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VI. {4; 2}  E (V). Es verdadero porque los elementos del conjunto {4; 2} son también elementos del conjunto E. Ejercicio 6 U

A

7

4

9

6 7

1

15

13

11

b

C

18

g b

determina el conjunto A  B  B  C Resolución: Del gráfico:

g

B

A 3 4

1

6

9

7

11

A  B  {6 ; 7}

13

C

B 6 7

9

15 13

11

B  C  {13}

18

Luego:

b A  Bg  bB  C g  {6 ; 7 ; 13}

Si A  B ={1; 3; 4; 5; 7; 9} A  B ={3; 4; 5} A - B ={1; 7} calcula n(A) + n(B) + n(B - A) Resolución: Graficamos escribiendo primero los elementos de la intersección: A  B B A 3 4 5 Ejercicio 7

Enseguida agregamos los elementos de A - B, es decir, los elementos que son únicamente de A. A

1

3 7

3

1

Del gráfico: B

3

A

B 4

5

Finalmente agregamos los elementos que faltan para completar A  B

5

B 4

9

De acuerdo al gráfico A={1; 3; 4; 5; 7}  n(A) = 5 B={3, 4; 5; 9}  n(B) = 4 B - A={9}  n(B - A) = 1  n(A) + n(B) + n(B - A) = 10

Ejercicio 8

Sean los conjuntos:

l q B  l3 x  1 / x  IN  2  x  7q C  l2 x  3 / x  IN  2  x  7q Indica la cantidad de elementos del conjunto: b A  Bg  b A  C g A  x / x  IN  2  x  17

Resolución: Escribiendo por extensión: · A={3; 4; 5; ....; 15; 16} · Los elementos de B son de la forma (3x+1) donde 2< x