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• Roberto Roig

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Conjunto conexo

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Conjunto conexo Un conjunto conexo es un subconjunto

de un espacio topológico

(donde

es la colección de

conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser descrito como unión disjunta de dos conjuntos abiertos de la topología. Intuitivamente, un conjunto conexo es aquel formado por una sola 'pieza', que no se puede 'dividir'. Cuando un conjunto no sea conexo, diremos que es inconexo. Formalmente,

es un conjunto conexo si y sólo si implica

Notar

que

si

,

entonces

tendremos

que

implica

es

conexo

. En este caso,

si

y

sólo

si

se llama espacio

topológico conexo, Bajo estas definiciones, se tiene que

es conexo si y solamente si es un espacio topológico conexo para la

topología traza.

Ejemplos Conjuntos conexos • Las esferas • Un punto en

son conexas es conexo

• Un nudo es un conjunto conexo en • Un toro es un conjunto conexo en • En

, un intervalo( uno de los 9 tipos) es un conjunto conexo; de

igual modo un punto de la recta. • El complementario de un punto en

es conexo

Conjuntos inconexos • El complementario de un punto en

El espacio A es conexo. El espacio B no lo es.

• El conjunto formado por la unión de dos esferas disjuntas en • Un enlace de componentes (nudos)

Propiedades de los conjuntos conexos Se cumple que si

es un espacio topológico conexo, cualquier espacio homeomorfo a él también lo será.

Esta propiedad nos da una caracterización muy útil de los conjuntos conexos: solamente si para toda función

continua, se cumple que

se le dota de la topología discreta. Otra propiedad interesante de los conjuntos conexos es la siguiente: Si topólogicos conexos (con conexo, donde

es un conjunto conexo si y es una función constante, donde a es una familia de espacios

un conjunto de índices de cualquier cardinalidad), entonces

es la topología producto.

también es

Conjunto conexo Por último, si

2 no es conexo, es decir, si existen abiertos

disjuntos no vacíos tales que su unión es

, es

fácil ver que cada abierto será el complemento del otro, luego serán complementos de un abierto, y por ende, serán cerrados. Es decir, serán conjuntos clopen. Por esto, otra manera de caracterizar la conexidad es decir: será conexo si y sólo si los únicos clopen son

y el vacío (donde ambos conjuntos son siempre clopen).

Conexidad por caminos Diremos que un conjunto continuo

es conexo por caminos o arco conexo si dados tal que

y

existe un camino

.

La conexidad por caminos implica conexidad, pero el recíproco no es cierto en general. Un contraejemplo muy típico es el llamado peine del topólogo, , donde y .

es conexo,

pero no conexo por caminos. Ser conexo por caminos no es una propiedad hereditaria (esto es, si un conjunto es conexo por caminos, cualquier subconjunto de éste no es necesariamente conexo por caminos). Sin embargo, ser conexo por caminos es una propiedad topológica (es decir, la imagen mediante una aplicación continua de un conjunto conexo por caminos es conexa por caminos).

Componentes conexos Dado un espacio topológico

inconexo se llama componente conexo, a cada uno de los conjuntos

maximales conexos. Es decir un subconjunto condiciones: 1. es conexo. 2. Cualquier conjunto

que contiene propiamente a

Se cumple que los componentes conexos de

Referencias

es un componente conexo si se cumplen estas dos

es inconexo.

forman una partición de

.

Fuentes y contribuyentes del artículo

Fuentes y contribuyentes del artículo Conjunto conexo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=68712366  Contribuyentes: Albertocai, Cgb, Davius, Desdeluego, Dirichlet, Egaida, Hergal79, Jerowiki, Ricard Delgado Gonzalo, Sabbut, Spyglass007, Tano4595, Wewe, Xtquique, 30 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:Connected and disconnected spaces.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Connected_and_disconnected_spaces.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Salgueiro, 1 ediciones anónimas File:Peine2.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Peine2.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: Hergal79

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