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• Gaby Quevedo

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CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL

Aunque muchos problemas en la práctica se pueden aproximar como si fueran unidimensionales, a veces se necesita considerar la transferencia de calor en otras direcciones, cuando el gradiente de temperatura es significativo. Analizando el caso más general de flujo de calor bidimensional, suponiendo que la conductividad térmica es constante, la ecuación aplicable es

∂2 T ∂2 T + =0 ∂ x2 ∂ y2

(1.1).

La solución a la misma puede obtenerse mediante técnicas analíticas, numéricas o gráficas. La solución a la ecuación anterior proporciona la temperatura en dicho cuerpo en función de las coordenadas independientes x e y, a partir de las ecuaciones de Fourier.

q x =−k A x

∂T ∂x

y

q y =−k A y

∂T ∂y

(1.2) y (1.3)

El flujo total de calor en cualquier punto es la resultante de estos calores. Para el análisis matemático de este caso, se considera una aproximación analítica al problema y luego se buscan los métodos numéricos y gráficos que podrán utilizarse. Considerando una placa rectangular, con temperatura constante T 1 en tres de sus lados, dejando el lado superior fijo a una distribución de temperaturas, utilizando el método de separación de variables se tiene lo siguiente:

T =XY , x =X ( x ) , y=Y ( y )

(1.4)

Reemplazando en la fórmula (3.1) e igualando cada miembro de la ecuación a una constante se tiene

1 d 2 X 1d 2 Y 2 2 Xdx Y d y

d2 X 2 + λ X =0 d x2

(1.5)

d2Y 2 + λ Y =0 d y2

(1.6)

λ

Donde

2

se denomina constante de separación y su valor se determina según

las condiciones de contorno. Para

2

λ >0 , satisface la condición de contorno sinusoidal y luego de satisfacer las

demás condiciones, la solución final se expresa como:

(1.7)

Para el análisis gráfico, considerando como ejemplo la figura, la superficie interior se mantiene a cierta temperatura T1 mientras que la exterior se mantiene T. Para facilitar el cálculo se dibuja un esquema de isotermas y líneas de flujo de calor formando grupos de figuras curvilíneas. Dado por la siguiente ecuación (ley de Fourier)

q=−k ∆ x (1)

∆T ∆y

El flujo de calor debe ser el mismo a través de cada sección dentro del tubo de flujo de calor y el flujo de total debe ser la suma de los flujos a través de todos los tubos.

De esta manera, para calcular el calor transferido, se necesita construir el grafico de los cuadrados curvilíneos y contar el número de los incrementos de temperatura de los tubos de flujo de calor. Es necesario tener cuidado para que

Ax ≈ Ay y la

líneas sean perpendiculares. Para la sección de la esquina (figura a), el número de incrementos de temperatura entre la superficie interior y exterior es aproximadamente N = 4, mientras que estimando el número de tubos en la esquina es M = 8,2. El número total de tubos de flujo de calor es cuatro veces este valor. La relación M/N es para la sección de pared completa, denominada factor de forma conductiva.

La precisión de este método depende totalmente de la habilidad del dibujante del esquema de cuadrados curvilíneos, aunque para la resolución de algunos problemas prácticos, su utilidad no es mucha. En un sistema bidimensional en el que solo hay involucradas dos temperaturas límite, se puede definir un factor de forma conductivo (S) como

q=kS ∆ T global

en

donde los valores de S se han calculado para varias geometrías y se resumen en tablas. Para una pared tridimensional, se utilizan por separado factores de forma para calcular el flujo de calor a través de las secciones de aristas y esquinas; si todas las dimensiones interiores son mayores que un quinto del espesor de la pared, se tiene lo siguiente:

S pared =

A S =0,54 D Sesquina =0,15 L L arista

(1.8)

Donde A = área de la pared, L = espesor de la pared, D = longitud de la arista. Para el método de análisis numérico, se considera un cuerpo bidimensional que se divide en incrementos iguales en ambas direcciones, x e y. Los puntos nodales se designan como se muestra en la figura, designando las posiciones m para incrementos en x y las posiciones n para incrementos en y. Se ayuda de la ecuación (1.1) para determinar la temperatura de cualquiera de estos puntos dentro del cuerpo. Las diferencias finitas se utilizan para aproximar incrementos diferenciales en la temperatura por lo cual, mientras más pequeños se elíjanlos incrementos, más se aproximará la distribución real de temperaturas.

EJEMPLOS 1. Un pequeño horno cubico de dimensiones interiores 50x50x50 cm y 10 cm de espesor está construido de ladrillo refractario (k = 1,04 W/m °C) El interior del horno se mantiene a 500 °C y el exterior a 50°C. Calcúlese el calor perdido a través de las paredes. Datos

Marco Teórico

A L

Horno cúbico

S pared =

50x50x50 cm

S arista =0,54 D

e = 10 cm

S esquina=0,15 L

k = 1,04 W/m °C Ti = 500 °C Te = 50 °C

Solución

S pared =

A (0,5)(0,5) = =2,5 m(6 secciones) L 0,1

S arista =0,54 D=( 0,54 ) ( 0,5 )=0,27 m(12aristas) S esquina=0,15 L=( 0,15 ) ( 0,1 )=0,015 m(8 esquinas) S=( 6 )( 2,5 )+ ( 12 ) ( 0,27 ) + ( 8 )( 0,015 )=18,36 m q=kS ∆ T =( 1,04 ) ( 18,36 ) (500−50 )=8,592 kW

2. Considere el cuadrado de la figura. La cara izquierda se mantiene a 100 °C y la cara superior a 500°C, mientras las otras dos caras están expuestas a un ambiente a 100 °C: h = 10 W/m2 °C y k = 10 W/m °C. El bloque tiene 1 m2. Calcúlese la temperatura de los nodos indicados en la figura y el flujo de calor en los contornos.

Solución

Ec. Nodos 1, 2, 4 y 5

Ec. Nodos 3, 6, 7 y 8. Luego ec. Nodo 9

Ec. Nodos 3 y 6

Ec. Nodos 7 y 8

Ec. nodo 9

Resolviendo ec. Se tiene

Para la cara 500 °C, entra

Para la cara de 100 °C sale

Flujo de la cara derecha, sale

Flujo cara inferior

Flujo total que sale

BIBLIOGRAFIA HOLLMAN, J.P. Transferencia de calor. 8a ed. España, McGraww-Hill, 1998 CENGEL, Yunus. Transferencia de calor y masa Un enfoque práctico. 3 a ed. México, McGraw-Hill, 2007