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CONDUCCION BIDIMENSIONAL ESTACIONARIA 1. Método Analítico 2. Método de los Factores de Forma 3. Métodos Numéricos Ecuación de Difusión +4 Condiciones de Borde. 2

T x2

2

T y2

0

1. Método Analítico. Solución de limitados problemas. Se desarrollará un ejemplo con el Método de Separación de Variables

Conducción en una barra rectangular de largo L y alto W. Con conductividad térmica k, y sometida a temperaturas diferentes pero conocidas en sus caras

GEOMETRIA

ECUACION

CONDICIONES DE BORDE

T T1 T2 T1 2

x

( x, y )

X ( x)Y ( y )

Solución:

2

d2X dx 2 d 2Y dy 2

2>0

( L, y ) 0

2

y

2

1 d2X X dx 2

Separación de Variables:

(0, y ) 0

2

2

0

( x,W ) 1

1 d 2Y Y dy 2 X

Y

0 0

X

a cos( x) bsen( x)

Y

ce

y

de y

( x , 0) 0

[a cos( x) bsen ( x)][ce Como (0,y)=0 entonces a=0. Además

y

de y ]

(x,0)=0:

bsen ( x)(c d ) 0 Lo que se satisface solo si : c=-d. Si aplicamos la condición de borde:

(L,y)=0:

(bd ) sen( L)(e y e y ) 0 Se satisface solo si: sen( L)=0 :

Por lo que la solución es:

n L

n 1,2,3,...

( x, y ) cn sen(

n x n y ) senh( ) L L

Como el problema es lineal:

( x, y ) n 1

n x n y cn sen( ) senh( ) L L

Para determinar cn usamos la condición de borde No homogenea:

( x,W ) 1 n 1

cn sen(

n x n y ) senh( ) L L

Funciones Ortogonales Se dice que una serie de funciones g1(x), g2(x), g3(x),........., gn(x) son ortogonales en un dominio a x b si: b

g m ( x) g n ( x)dx 0

m n

a

Muchas funciones exhiben ortogonalidad como por ejemplo: sen(n x/L) y el cos(n x/L) entre 0