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ING.ELECTRONICA Y AUTOMATIZACION

INTEGRANTES: Boris Morocho, Francisco Narea, Henry Matute, Carlos Vázquez

ASIGNATURA: Calculo de varias variables

TEMA: Componente practico -unidad 1-

DOCENTE: Arturo Peralta

PERIODO: 51

COMPONENTE PRACTICO -UNIDAD 1- CVV 1.1 Dadas las siguientes superficies, identificarlas, hallar sus trazas, sus intersecciones con los ejes coordenados y representarlas gráficamente. (Seleccionar 3) x 2 + y 2 + z 2 = 16z x + y 2 + z 2 − 16z + 64 = 64 x 2 + y 2 + (z − 8)2 = 64 ecuacion de un conica trazas 2

interseccion traza xy traza yz traza xz (z − 8)2 = 64 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y + (k − 8) = 64 x + k + (z − 8) = 64 k + y + (z − 8) = 64 z − 16z + 64 = 64 [ ][ 2 ][ ] x + (z − 8)2 = 64 − k 2 y 2 + (z − 8)2 = 64 − k 2 z(z − 16) = 0 x2 + y2 = k circulo z=0 circulo circulo [ ] z = 16 conclusion es una esfera

x 2 − y 2 − 2z 2 = 4 x2 y2 z2 − − =1 4 4 2 x2 y2 z2 − − =1 22 22 (√2)2 traza xy 2 x y2 k2 − − =1 22 22 (√2)2

traza yz k y2 z2 − − =1 22 22 (√2)2

x2 y2 − =1 22 2 2 hiperbola

y2 z2 + = −1 22 (√2)2

[

2

traza xz x2 k2 z2 − − =1 22 22 (√2)2 x2 z2 − =1 22 (√2)2

][ ][ hiperbola no existe conclusion hiperbola de dos hojas

]

z 2 = 2x 2 + 3y 2 traza yz traza xy traza xz 2 2 2 2 2 [k = 2x + 3y ] [ z = 2x ] [ z 2 = 3y 2 ] parabola parabola punto conclusion parabolide eliptico

x 2 + y 2 = 2y x 2 + y 2 − 2y + 1 = 1 x 2 + (y − 1)2 = 1 conclusion es un cilindro

x 2 + y 2 − 4z 2 + 4 = 0 x2 y2 + − z 2 = −1 4 4 traza yz traza xz traza xy 2 2 2 2 2 x k k y2 x y 2 + − z 2 = −1 + − k = −1 4 + 4 − z = −1 4 4 4 4 2 x2 y x2 y2 − + z2 = 1 − + z2 = 1 + = −1 4 4 4 4 [ ][ hiperbola ][ hiperbola ] no existe conclusion hiperboloide de dos hojas

4x 2 − 3y 2 + 2z 2 = 0 traza xy 4x − 3y 2 + 2k 2 = 0 4x 2 = 3y 2 2

3y 2 x=√ 4 √3 y 2 dos rectas

x=± [

traza yz 4k 2 − 3y 2 + 2z 2 = 0 traza xz 3y 2 = 2z 2 4x 2 − 3k 2 + 2z 2 = 0 [ 4x 2 + 2z 2 = 0 ] 2 y = ±√ z punto 3 [ ] dos rectas

] conclusion hiperboloide conica

1.2 Relacione la ecuación con su gráfica (marcada I-VIII)(Seleccionar 4) . Justificar con el análisis de trazas. a) x²+4y²+9z²=1 d) - x² + y²- z²= 1 g) x²+ 2z² = 1

b) 9x²+4y²+z²=1 e) y = 2x² + z² h) y = x² - z²

c) x²- y² + z² =1 f) y² = x² + 2z²

x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 1 traza xy traza yz traza xz 2 2 2 2 2 2 2 [x + 4y + 9k = 1] [x + 4k + 9z = 1] [k + 4y 2 + 9z 2 = 1] x 2 + 9z 2 = 1 x 2 + 4y 2 = 1 4y 2 + 9z 2 = 1 elipsoide

VII

9x 2 + 4y 2 + z 2 = 1 traza xy traza yz traza xz 2 2 2 2 2 2 2 9x + 4y + k = 1 9x + 4k + z = 1 9k + 4y 2 + z 2 = 1 [ 9x 2 + z 2 = 1 ] 9x 2 + 4y 2 = 1 4y 2 + z 2 = 1 elipse elipse elipse [ ] [ ] elipsoide

IV

x2 − y2 + z2 = 1 traza xy traza yz traza xz 2 2 2 2 2 2 2 x − y + k = 1 x − k + z = 1 k − y2 + z2 = 1 [ ] x2 + z2 = 1 x2 − y2 = 1 − y2 + z2 = 1 circulo hperbola [ hiperboloide ] [ ] hiperbola de una hoja

III

− x2 + y2 − z2 = 1 traza xy traza yz traza xz 2 2 2 2 2 2 2 −x + y − k = 1 − k + y2 − z2 = 1 −x + k − z = 1 [ ] 2 2 2 2 −x − z = 1 −x + y = 1 y2 − z2 = 1 no existe [paraboloide hiperbolica ] [paraboloide hiperbolica ] hiperboloide de dos hojas

VIII

y = 2x 2 + z 2 traza xy traza yz traza xz 2 2 2 [ y = 2x ] [ k = 2x + z ] [ y = z 2 ] elipse parabola parabola paraboloide

VI

y 2 = x 2 + 2z 2 traza yz traza xz traza xy [ y = ±x ] [k = x 2 + 2z 2 ] [ y 2 = 2z 2 ] punto dos rectas dos rectas hiperboloide conica

II

x 2 + 2z 2 = 1 z2 x2 + 1 = 1 2 cilindro

I

y = x2 − z2 traza xy traza yz traza xz [ y = x2 ] [ x = ± z ] [ y = − z2 ] paraboloide dos rectas paraboloide paraboloide hiperbolica

V

1.3 Intersecciones entre superficies y volúmenes limitados por superficies. Analizar y graficar las siguientes regiones a. Sólido limitado 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1, el plano 𝑧 = 𝑦 + 3 y el plano –xy 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 1 𝑧 = 𝑦 + 3 plano Cortes “y” z=0: 𝑦 = −3 Cortes “z” y=0: 𝑧=3 Intersección 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 y 𝑧 = 𝑦 + 3 𝑦 = 𝑧−3 (𝑧 − 3)2 + 𝑥 2 = 1 𝑥 2 + (𝑧 − 3)2 = 1 r=1, 𝑦 2 + 𝑥 2 =0.3

b. Solido limitado 𝑧 2 + 𝑥 2 = 1 y los puntos y=0 y x+y=2

𝑧 2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 Intersección 𝑧2 + 𝑦2 + 𝑥2 = 1 (√𝑥 2 + 𝑦 2 )2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑦2 + 𝑥2 = 1 2𝑦 2 + 2𝑥 2 = 1

c. El sólido limitado por 𝑧 2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 y arriba de 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑧 2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 Cono superior Intersección: 𝑧2 + 𝑦2 + 𝑥2 = 1 (√𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑦2 + 𝑥2 = 1 2𝑥 2 + 2𝑦 2 = 1

d. El sólido limitado por el plano x +y+z=1 y los planos coordenados en el primer octante

𝑥+𝑦+𝑥 =1 𝑧 =1−𝑥−𝑦 Cortes: 𝑥=𝑧=0,𝑦=1 𝑥=y=0,𝑧=1 𝑦=𝑧=0,𝑥=1

e. El sólido limitado por 𝑧 = 9 − 𝑥 2 − 𝑦 , 𝑧 = −1

Cilindro parabólico: z = 9− x2 – y Ecuación de una parábola. 9-x2+y=-1 .

f. El sólido limitado por 𝑧 = 3 − 2𝑥 2 − 𝑦 2 ; 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3 z=z 3 − 2𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3 6 = 3𝑥 2 + 2𝑦 2 3𝑥 2 + 2𝑦 2 6 = 6 6 𝑥2 𝑦2 + =1 2 3

g. El sólido limitado por (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0)y (0,0,1) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 1 = −1(𝑥 − 0) 𝑦 − 1 = −𝑥 𝑦+𝑥 =1 INTERSECCION 𝑧 =1−𝑥−𝑦 𝑧=0 0=1−𝑥−𝑦 𝑥 + 𝑦 =1

1.4 Escriba la ecuación dada en coordenadas cilíndricas y esféricas a. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏𝟔 Cilíndricas (𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃))2 + ( 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃))2 + 𝑧 2 = 16

●

x=r∙cos(𝜃)

𝑟 2 (𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃))+ 𝑧 2 = 16

●

y= r∙sen(𝜃)

𝑟 2 + 𝑧 2 = 16

●

z=z

𝑟 = √16 − 𝑧 2

●

𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃) = 1

(𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜙) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝜙) )2 + (𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜙) ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜙) )2 + ( 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝜙) )2 = 16

●

𝑥 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝜌2 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 (𝜙)(𝑠𝑖𝑛2 (𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃))+𝜌2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜙)=16

●

𝑦 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

●

𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜙)

●

𝑐𝑜𝑠 2 (𝜙) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝜙) = 1

●

𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃) = 1

Esfericas

𝜌2 (𝑠𝑖𝑛2 (𝜙) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜙)) = 16 𝜌 = √16 𝜌 = ±4

b. 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝟐𝒛𝟐 = 𝟒 Cilíndricas 2

(𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃))2 − ( 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)) − 2𝑧 2 = 4

●

x=r∙cos(𝜃)

𝑟 2 (𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃) − 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃)) −2𝑧 2 = 4

●

y= r∙sen(𝜃)

𝑟 2 − 2𝑧 2 = 4

●

z=z

𝑟 = √4 − 2𝑧 2

●

𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃) − 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃) = 1

●

𝑥 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

(𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜙) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝜙) )2 − (𝜌 ∙ sin(𝜙) ∙ sin(𝜙))2 − ( 2𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝜙) )2 = 4

●

𝑦 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

𝜌2 ∙ (𝑠𝑖𝑛2 (𝜙)(𝑠𝑖𝑛2 (𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃))-2𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜙)=4

●

𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜙)

●

𝑐𝑜𝑠(𝜙) − 𝑠𝑒𝑛(𝜙) = 1

●

x=r∙cos(𝜃)

●

y= r∙sen(𝜃)

𝜌2 𝑠𝑖𝑛2 = (𝜙)2𝜌𝑠𝑖𝑛 (𝜙) 2𝜌𝑠𝑖𝑛 (𝜙)

●

𝑥 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝜌𝑠𝑖𝑛 = 2𝑠𝑖𝑛 (𝜃)

●

𝑦 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

●

𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜙)

Esfericas

𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜙)(𝑠𝑖𝑛(𝜙) − 𝑐𝑜𝑠(𝜙)) = 4

c. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝒚

Cilíndricas 2

𝑟 = 2𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Esfericas

𝜌𝑠𝑖𝑛 − 2𝑠𝑖𝑛 (𝜃) = 0

d. 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟔 Cilíndricas ●

x=r∙cos(𝜃)

●

y= r∙sen(𝜃)

●

z=z

𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜙) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝜃) + 2(𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜙) ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜃)) + 3(𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝜙) ) = 6

●

𝑥 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜙) (𝑐𝑜𝑠 (𝜃) + 2𝑠𝑖𝑛 (𝜃) ) + 3(𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝜙) ) = 6

●

𝑦 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

●

𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜙)

𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 2(𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)) + 3𝑧 = 6 𝑟(𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 2𝑠𝑒𝑛(𝜃)) = 6 − 3𝑧 𝑟=

6 − 3𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 2𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Esfericas

𝜌(𝑠𝑖𝑛 (𝜙) (𝑐𝑜𝑠 (𝜃) + 2𝑠𝑖𝑛 (𝜃) ) + 3𝑐𝑜𝑠 (𝜙) )=6 6 𝜌= 𝑠𝑖𝑛 (𝜙) (𝑐𝑜𝑠 (𝜃) + 2𝑠𝑖𝑛 (𝜃) ) + 3𝑐𝑜𝑠 (𝜙)

Cilíndricas

●

x=r∙cos (𝜃)

●

y= r∙sen (𝜃)

𝑦 2 +𝑧 2 = 1

●

𝑥 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝜌2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜙) = 1

●

𝑦 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

●

𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜙)

2

𝑟 =1 𝑟=1

Esfericas

e. 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏

f. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐 𝒓𝟐 = 𝒛𝟐 𝝆𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 = 𝝆𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽

5.1 Analizar, describir y graficar la superficie (solido) dada en coordenadas esféricas o cilíndricas

−

𝜋 𝜋 ≤𝜃≤ 2 2

0≤𝑟≤3 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑧=𝑥 𝑟 = 3 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 −

𝜋 𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 3 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 2 2

b) 0≤𝜃≤2𝜋 ; 0≤𝑟≤2 ;2≤𝑧≤𝑟 “CILINDRO” 𝒓 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝟒 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 • •

r=2 r=√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

c) r=4sinѲ “Cilindro” ● 𝑟=4 sen(𝜃) 𝑟=4𝑦/𝑟 𝑟2=4𝑦 𝑥2+𝑦2=4𝑦 𝑥2+(𝑦2−4𝑦)=0 𝑥2+(𝑦2−4𝑦+4)=4 𝑥2+(𝑦−2)2=4 ● y= r∙sen(𝜃) sen(𝜃)=𝑦/𝑟 ● 𝑟2=𝑥2+𝑦

d) p=2cos(ø) “ESFERA” 𝜌=2 𝑐𝑜𝑠 (𝜙) 𝜌=2𝑧/𝜌 𝜌2=2𝑧 𝑥2+𝑦2+𝑧2=2𝑧 𝑥2+𝑦2+(𝑧2−2𝑧)=0 𝑥2+𝑦2+(𝑧2−2𝑧+1)=1 𝑥2+𝑦2+(𝑧−1)2=1 ● 𝑐𝑜𝑠 (𝜙) =𝑍/𝜌 •

𝜌 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅 𝝅 𝝅 e) 𝟒 ≤ ∅ ≤ 𝟐 𝟎≤𝝆≤𝟏 𝜌=1 𝜋 4

≤∅≤

∅=

𝜋 4

𝜋 2

"zx"

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 gira 360° “xy”

Conclusión: es una semiesfera superior truncada centro (0,0,0,)

1.6 transformaciones de sistemas rectangulares cilíndricas y esféricas 𝟏

1.6.1 dado el vector de inducción magnética 𝑩 = 𝒓 𝒂r realice la transformación al sistema de ordenadas cartesianas 1 𝐵 =< 𝑎𝑟 > 𝑟 Matriz de transformación 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝑦| = | 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 0

−𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0

𝑎𝑟 0 0| ∗ |𝑎𝜃 | 𝑎𝑧 1

−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 1

1⁄ 0 𝑟 0| ∗ | 0 | 1 0

Remplazamos 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑎𝑦 | | = | 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 0

𝑐𝑜𝑠𝜃(1⁄𝑟) +0 +0 𝑎𝑥 |𝑎𝑦| = | 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∗ 1 +0 +0| 𝑟 𝑎𝑧 0 +0 +0 𝑎𝑥 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝑦| = | 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 | 𝑎𝑧 0 𝑥 𝑎𝑥 |𝑎𝑦| = |𝑦| 𝑎𝑧 0 B= 1.6.2 Dado el siguiente campo vectorial A=3cos(𝜽)ar -2ra𝜽 + zaz a) ¿Cuál es el campo en el punto P (4;60°;5)? A= en el punto (4,60°,5) A= A= b) Exprese el campo A del punto P en coordenadas cartesianas 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝑦| = | 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 0

−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0

𝑎𝑟 0 0| ∗ |𝑎𝜃 | 𝑎𝑧 1

𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝑦| = | 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 0

−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0

0 3/2 0| ∗ | −8 | 1 5

𝑎𝑥 (3/2)𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑎𝑦 | | = | (3/2)𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 0

+8𝑠𝑖𝑛𝜃 +8𝑐𝑜𝑠𝜃 0

A=

0 0| 5

1.6.3 representar A=zax-2xay+yaz en coordenadas cilíndricas Matriz de transformación 𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝜃 | = |−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 0

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0

𝑎𝑥 0 𝑎𝑦 ∗ | | | 0 𝑎𝑧 1

𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝜃 | = |−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 0

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0

𝑧 0 2𝑥 0| ∗ | | 𝑦 1

remplazando

𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝜃 | = |−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 0 𝑎𝑟 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝜃 | = |−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑧 𝑎𝑧 0

𝑧 0 0| ∗ |−2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃| 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 1

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0

−2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 −2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 0

0 0 | 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑧 − 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃) |𝑎𝜃 | = |−𝑧𝑠𝑖𝑛𝜃 − 2𝑟𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 | 𝑎𝑧 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 A=[( 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑧 − 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃)ar-(−𝑧𝑠𝑖𝑛𝜃 − 2𝑟𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)ay+ 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃az] 1.6.4 Para el campo 𝑩 =

−𝒚 𝒂 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 𝒙

+

𝒙 𝒂 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 𝒚

expresa en coordenadas cilíndricas

Matriz de transformación 𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝜃 | = |−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 0

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0

𝑎𝑥 0 𝑎𝑦 ∗ | | 0| 𝑎𝑧 1

Remplazada −𝑦 𝑥 2 +𝑦 2

𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝜃 | = |−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 0

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0

𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝜃 | = |−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 0

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0

𝑎𝑟 |𝑎𝜃 | = | | 𝑎𝑧

−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑟 0

0 0| ∗ || 𝑥 || 1 𝑥2 + 𝑦2 0 −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑟2 0| ∗ || 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 || 1 𝑟2 0 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑟 0

+

0 𝑎𝑟 1 |𝑎𝜃 | = | | 𝑟 𝑎𝑧 0

0 | 0| 0

1 𝑟

B= a 𝜃

𝟏

1.5.6 Dado el siguiente campo vectorial 𝑯 = 𝝆𝒔𝒊𝒏𝝓 𝒂𝜽 realice la transformación al sistema de coordenadas cartesianas Matriz de transformación 𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝑦| = | 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑎𝜌 −𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 | ∗ |𝑎𝜙| 𝑎𝜃 0

𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝑦| = | 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃

0 −𝑠𝑖𝑛𝜙 0 𝑐𝑜𝑠𝜙 | ∗ | 1 | 0 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙

𝑠𝑖𝑛𝜙

0 𝑎𝑥 |𝑎𝑦| = |0 𝑎𝑧 0

+0 + (− 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙) +0

𝑐𝑜𝑠𝜙 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙

0

0

|

1

−𝜌 𝑎𝑥 |𝑎𝑦| = | 𝑐𝑜𝑠𝜙 | z 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑎𝑧 0 1

−𝜌 𝑎𝑥 𝑟 |𝑎𝑦| = |𝑐𝑡𝑔𝜙| 𝑡𝑎𝑛𝜙 = 𝑧 𝜌 𝑎𝑧 0 −

𝑧

𝑐𝑡𝑔𝜙 = 𝑟

1 𝑥 2 +𝑦+𝑧 2 𝑧 |

𝑎𝑥 𝑟 𝑎𝑦 | |=| | 2 2 2| √𝑥 +𝑦 +𝑧 𝑎𝑧 0

1

− 𝑥 2 +𝑦+𝑧2 𝑎𝑥 𝑧 |𝑎𝑦| = | | 2 +𝑦 2 ∗√𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 √𝑥 𝑎𝑧 0 1

H=(− 𝑥 2 +𝑦2 +𝑧2 )ax + (

𝑧 √𝑥 2 +𝑦 2 ∗√𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2

)ay

1.6.6 Para el campo 𝑬 = (𝒙 − 𝒚)𝒂𝒙 + (𝒙 + 𝒚)𝒂𝒚 𝒁𝒂𝒛 expresar en coordenadas esféricas Matriz de transformación

𝑎𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝜙| = |𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝜙| = |𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑎𝜙| = |𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑖𝑛𝜙| ∗ |𝑎𝑦| 𝑎𝑧 0 𝑥−𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑖𝑛𝜙| ∗ |𝑥 + 𝑦| 𝑧 0

𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 | ∗ | | −𝑠𝑖𝑛𝜙 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 0

𝑎𝜌 |𝑎𝜙| 𝑎𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃(𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃) 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃(𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃) 𝑐𝑜𝑠𝜙(𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙) = |𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃(𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃) 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃(𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃) −𝑠𝑖𝑛𝜙𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 | −𝑠𝑖𝑛𝜃(𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃) 0 𝑎𝜌 |𝑎𝜙| 𝑎𝜃

𝑠𝑖𝑛2 𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 𝜌𝑠𝑖𝑛2 𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = |𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 − 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 −𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛2 𝜃

𝜌𝑠𝑖𝑛2 𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜌𝑠𝑖𝑛2 𝜙𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙

𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜙 𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 | 0

𝜌𝑠𝑖𝑛2 𝜙𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝜌𝑠𝑖𝑛2 𝜙𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜙 𝑎𝜌 |𝑎𝜙| = |𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝜌𝑣𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜃| 𝑎𝜃 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 𝜌𝑠𝑖𝑛2 𝜙(𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜃) + 𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜙 𝑎𝜌 |𝑎𝜙| = |𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜙(−𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) + 𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜃| 𝑎𝜃 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙(𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜃) 𝜌 𝑎𝜌 |𝑎𝜙| = |𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 | 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑎𝜃 E=< (𝜌)𝑎𝜌 + (𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)𝑎𝜙 + (𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙)𝑎𝜃 >

1.7.1 Encuentre la representación paramétrica y gráfica de las siguientes superficies: (Seleccionar 3) a) Una esfera de radio 3 y centro en el (0,0,3) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 32 𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑧 − 3)2 = 9

𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥 = 𝑟 sin(𝑢) cos(𝑡) 𝑦 = 𝑟 sin(𝑢) cos(𝑡) 𝑧 = 𝑟 cos(𝑢) 𝑥 = 3 sin(𝑢) cos(𝑡) 𝑦 = 3 sin(𝑢) cos(𝑡) 𝑧 = 3 cos(𝜑) + 3

0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋 0≤𝑡≤𝜋

z

x

y

b) z = 4 – y² ; z = 0 ; y = 0 ; x = 0 ; x = 4 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑦=0

𝑥 = 0 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 = 4 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

c) La parte del paraboloide elíptico 6 – 3x²− 2z² = y que se encuentra a la derecha del plano xz 6 – 3x 2 − 2z 2 = y 3x 2 + 2z 2 = 6 − y 𝑢 =𝑦−6 𝑦 =𝑢+6 0≤𝑢+6≤1 𝑜≤𝑢≤5

1

𝑥 = 3 𝑢 cos(𝑡)

0≤𝑢≤5

𝑦 = 𝑢2 − 6

𝜋≤𝑡≤

3𝜋 2

𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑥 – 3x 2 = −6 𝑥 = √2

𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑧 − 2z 2 = −6 𝑧 = √3

1

𝑧 = 2 𝑢 sin(𝑡)

d) La parte de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 que se encuentra arriba del cono 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦²

2

𝑥 2 + 𝑦 2 + (√𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 4 2𝑥 2 + 2𝑦 2 = 4 𝑥2 + 𝑦2 = 2 𝑥=𝑡 𝑦 = √2 − 𝑡 2 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑧 = √𝑡 2 + 2 − 𝑡 2 𝑧 = √2 𝑟(𝑡) = (𝑡, √2 − 𝑡 2 , √2) e) La parte del cilindro x²+ z² = 1 que se encuentra entre los planos y=-1 y y=3 z

y

x

1.7.2 Encuentre una representación paramétrica para las superficies que se observa debajo radio inf = 1 cm radio sup = 2 cm altura = 6cm Paraboloide truncado Cilindro radio = 1cm altura = 3 cm

𝑟 = 3 ,1

Límites del paraboloide truncado 1≤𝑟≤2

ℎ = 6 ,3 3≤ℎ≤6 𝑥(𝑡, 𝑢) = acos(𝑡) cos(𝑢)

Parametrización de un cilindro 𝑦(𝑡, 𝑢) = bcos(𝑡) sen(𝑢) 𝑥 = 1 cos(𝑡) 2

𝑧(𝑡, 𝑢) = (cos(𝑡))

𝑦 = 1sen(𝑡) 𝑥 = 3cos(𝑡) cos(𝑢) 𝑧=3 𝑦 = 3cos(𝑡) sen(𝑢)

Paraboloide truncado

𝑧 = (cos(𝑡))2

Límites del cilindro 0≤2≤3

1.7.3 Las torres de enfriamiento para los reactores nucleares se construyen frecuentemente en forma de hiperboloides de una hoja, debido a la estabilidad estructural de esa superficie. Suponga que todas las secciones transversales horizontales son circulares, con un radio mínimo de 600 m. La torre va a tener 2400 m de alto, con un radio seccional transversal horizontal máximo de 900 m. Halle una representación paramétrica para la estructura y graficar.

ℎ = 2400 𝑟(min) = 600 𝑟(max) = 900 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + − =1 𝑎2 𝑏 2 𝑐 2 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏 2 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑥 2 + 𝑦 2 = 6002 𝑥2 𝑦2 + =1 6002 6002 𝑦 2 (𝑧 − 𝑗)2 + =1 𝑏2 𝑐2 (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − 0) (𝑦 − 1200)2 = 4𝑝(𝑥) 𝑝=

(𝑦 − 600)2 4𝑥

𝑝=

(600)2 4(900)

Paramétrica 𝑥 = 360000√1 + 𝑢2 cos(𝑟) 𝑦 = 360000√1 + 𝑢2 sen(𝑟) 𝑧 = 130000𝑢 0 ≤ 𝑟 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝑢 ≤ 2400

𝑝 = 100 (𝑦 − 600)2 = 400𝑥 𝑓𝑜𝑐𝑜 = (𝑥, 𝑝, 𝑦) 𝑓𝑜𝑐𝑜 = (700; 1200) 𝐹 = (𝐶; 1200) 𝐶 = 700 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎2 𝑏 2 = 490000 − 360000 𝑏 2 = 130000 (𝑧 − 1200)2 𝑥2 𝑦2 + − =1 360000 360000 130000

1.7.4 Hallar funciones vectoriales que describan los límites de la región en la figura. Dar el intervalo correspondiente al parámetro de cada función. Calcular el perímetro de la región.

𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎1 𝑦 = 𝑥2 𝑦 = 𝑡2 𝑜≤𝑡≤2

𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎2 𝑦=4 𝑋 =2−𝑡 𝑜≤𝑡≤2

𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 3 𝑦 =4−𝑡 𝑦=4 𝑦=0 𝑜≤𝑡≤2

𝑙 = √4 − 𝑦 2 2

𝑙 = ∫0 √4 − 𝑥 2 𝑑𝑥 √17+14 + √17 4

𝑙 = ln(

𝑙 = 4,65 4 + 2 + 4.65 = 10.65

1.7.5 Dibujar la curva en el espacio representada por la intersección de las superficies. Después representar la curva por medio de una función vectorial usando el parámetro. Determinar una función vectorial para la recta tangente en un punto particular de la curva. x² + y² = 4 , z = x²

x2 + y2 = 4 z + y2 = 4 z = 4 − y2 𝑧 = −2𝑦 𝑦=𝑡 𝑧 = 4 − 𝑡2 𝑟 = (𝑡, 4 − 𝑡 2 )

1.7.6 Determinar la curva de intersección de la superficie z = xy y la superficie x² + 2y² + z² = 8. Después encuentre una función vectorial para esta curva usando el parámetro t. Graficar la curva y hallar la longitud de la misma. xy = x²+2y²= 8 elipse xz = x²+z² = 8 circunferencia yz = 2y²+z² = 8 elipse

x 2 + 2y 2 + z 2 = 8 2y²+2z² = 8 y²+z² = 8 r²=

Conclusión es una elipsoide

1.8.1 Demuestre que la curvatura de una línea recta es la constante k=0. X+Y+Z+D=0 X = Xo + at Y = Yo + bt Z = Zo + ct r (t) = Xo + at + Yo + bt + Zo + ct + D 𝑟 ´ (𝑡) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑟"(𝑡) = 0

𝑖 𝑟´(𝑡) 𝑥 𝑟"(𝑡) = |𝑎 0

𝑗 𝑏 0

𝑘 𝑐 | = 0𝑖⃗ − 0𝑗⃗ + 0𝑗⃗ 0

𝑘(𝑡) =

𝑘(𝑡) =

|𝑟´(𝑡) 𝑥 𝑟"(𝑡)| |𝑟´(𝑡)|3

|0| = |𝑎 + 𝑏 + 𝑐|3

0 (√(𝑎2

+

𝑏2

+

3 𝑐2) )

=𝟎

1.8.2 Hallar la curvatura y el radio de curvatura de la curva en los puntos indicados. Decida en cuales puntos la curva es más elevada. a) y = x2; (0, 0); (1,1) b) Dibuje la gráfica de la curvatura. Determine el comportamiento de la curvatura cuando x→ ±∞. En otras palabras, describa este comportamiento en términos geométricos.

𝑦 = 𝑥2

𝑃1 (0,0, ) 𝑃2 (1,1) |𝑓 " (𝑥)|

𝑘(𝑥) =

𝑓 ´ (𝑥) = 2𝑥

3 2 2

[1 + (𝑓 ´ (𝑥)) ]

|2|

𝑘(𝑥) = [1

3 + (2𝑥)2 ] 2

𝑘(𝑥) =

Radio de curvatura:

√(𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 )𝟑

•

b) GRAFICA: Color verde 𝟐 √(𝟏+𝟒𝒙𝟐 )𝟑

Color azul

3

[1 + 4𝑥 2 ]2

𝟐

•

𝑃(1,1) 1 𝑝= = 5,6 0,18

𝑘(𝑥) =

2

=

Curvatura:

𝑃(0,0) 1 1 𝑝= = 𝑘 2

𝑦 = 𝑥2

𝑓 " (𝑥) = 2

𝑃1 (0,0) 𝑘1 = 2 𝑃(1,1) 𝑘1 = 0,18

𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑘(𝑥), 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟𝑠𝑒 𝑚á𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ± ∞.

1.8.3 Una partícula se mueve a lo largo de una curva plana C descrita por r (t) = ti + t2j a) Encontrar la curvatura K de la curva plana en t = 0; t = 1 y t = 2. b) Describir la curvatura de C cuando t varía desde t = 0 hasta t = 2.

𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖⃗ + 𝑡 2 𝑗⃗ 𝑡=1 𝑡=0 𝑡=2

𝑖 𝑗 𝑟´(𝑡)𝑥 𝑟"(𝑡) = |1 2| = 2𝑖⃗ − 0𝑗⃗ 0 2

𝑟 ´ (𝑡) = 1𝑖⃗ + 2𝑡𝑗⃗ 𝑟"(𝑡) = 2𝑗⃗

𝑘(𝑡) =

𝑘(𝑡) =

𝒌(𝒕) =

𝟐 (𝟏 + 𝟒𝒕𝟐 )𝟑/𝟐

|𝑟´(𝑡) 𝑥 𝑟"(𝑡)| |𝑟´(𝑡)|3

|2| = |1 + 2𝑡|3

t= 0 k= 2

2 3

(√(1 + 4𝑡 2 ) )

t= 1 k= 0,18

t= 2 k= 0,029

b) Curvatura de C cuando t varía desde t = 0 hasta t = 2. La curvatura al igual tiende a hacerse una recta y a coincidir con el eje x cuando t varía desde 0 a 2.

1.8.4 Una autopista tiene una rampa de salida que empieza en el origen de un 𝟏

sistema de coordenado y sigue la curva y=𝟑𝟐 x5/2 hasta el punto (4, 1) (Ver figura 1). Después sigue una trayectoria circular cuya curvatura es la dada por la curva en (4, 1). ¿Cuál es el radio del arco circular? Explique por qué la curva y el arco circular deben tener en (4, 1) la misma curvatura.

P(0,0) P(4,1)

𝑦=

1 5/2 𝑥 32

𝑘(𝑥) =

|𝑓 " (𝑥)| [1 +

𝑘(𝑥) =

1 5

𝑓 " (𝑥) = 64 2 𝑥1/2

5

𝑓 " (𝑥) = 128 𝑥1/2

𝑓 ´ (𝑥) = 32 2 𝑥 3/2

3 2 2 ´ (𝑓 (𝑥)) ]

𝑓 ´ (𝑥) = 64 𝑥 3/2

5 3 15

15 |128 𝑥 1/2 | 2 3/2

5 3 (1 + (64 𝑥 2 ) )

15 1/2 𝑥 128 𝑘(𝑥) = 3/2 25 (1 + 4096 𝑥 3 )

a) 𝑃(4,1) 𝑘 = 0,14

→ 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 → 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

Radio del arco circular: 𝜌=

1 = 6,99 ≈ 𝟕 0,14

b) Explicar: La curva y el arco circular deben tener en (4, 1) la misma curvatura, debido a que el arco tiene como punto inicial la trayectoria de la curva, es decir sigue la misma función de la curva y al tener el mismo punto en común tendrán la misma curvatura.