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ALGEBRA LINEAL TAREA 1 – VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

Tutor Jorge Eliecer Rondon

Presentado por: Martha Isabel Bautista – 53.084.443 Diana P. Rincón Valbuena-52.808.051 Dinna Luz Diaz Martha Isabel Bautista Dueñas- 53.084.443 Kevin Yulián Contreras Medina - 1.081.411.660

Grupo de trabajo 100408_37

Universidad Nacional Abierta a Distancia - UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Administración de Empresas Septiembre 10 de 2019 Bogotá

2

INTRODUCCIÓN

En este documento relaciono temas relacionados con vectores, matrices y determinantes, para cada uno de los 5 ejercicios solucionados, planteados en la guía de actividades y rubrica de evaluación, además resalto que fueron verificados mediante el uso del software GeoGebra, y que los problemas presentados fueron traducidos al lenguaje matemático, después de analizar y plantear una posible solución, cada una de las matrices se interpretó en lenguaje natural y en lenguaje lógico, y por último en este trabajo damos a conocer lo que son vectores en R2 y R3, noción de distancia, definición algebraica de un vector, operaciones con vectores y producto vectorial. Se aprende a interpretar matrices y operaciones con matrices como lo son: suma de matrices, multiplicación de matrices, operaciones sobre matrices y matrices elementales, por último, se aprendió mediante la resolución de ejercicios temas como determinantes, algunas propiedades de estos, inversas, áreas de un paralelogramo y volumen de este, además adquirir conocimientos mediante conceptos básicos de métodos para probar la validez mediante el uso del software GeoGebra.

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Objetivos Con el desarrollo de la actividad se busca que el estudiante comprenda, analice y ponga en práctica, los conceptos matemáticos elementales sobre vectores, matrices y determinantes mediante el estudio de fuentes documentales y los aplique en la solución de los ejercicios básicos señalados.

Objetivos Específicos



Vectores en R2 Y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector, algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial.



Matrices: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices, operaciones sobre matrices, matrices elementales.



Determinantes: Algunas propiedades de los determinantes, inversas, área de un paralelogramo, volumen de un paralelogramo.

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Ejercicios Martha Isabel Bautista Dueñas - Literal Seleccionado B

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 2 Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos, luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector resultante. Literal Seleccionado - B. 𝑣⃗ = (−4,2)𝑦𝑤 ⃗⃗⃗ = (−3, −2) ANGULO: 𝑣⃗ = (−4,2)𝑦 𝑤 ⃗⃗⃗ = (−3, −2) 𝑣⃗ = (−4,2) 𝑤 ⃗⃗⃗ = (−3, −2) 𝑣⃗ ∗ 𝑤 ⃗⃗⃗ = 12 − 4 = 8 ‖𝒗 ⃗⃗‖√𝟏𝟔 + 𝟒 = √𝟐𝟎 = 4,47 Magnitud de 𝑣⃗ ‖𝒘 ⃗⃗⃗⃗‖√𝟏𝟗 + 𝟒 = √𝟏𝟑 = 3,61 Magnitud de 𝑤 ⃗⃗⃗ 𝟖 𝑪𝒐𝒔 𝒂 = √𝟐𝟎 ∗ √𝟏𝟑 𝟖 𝑪𝒐𝒔 𝒂 = √𝟏𝟔, 𝟏𝟐𝟒 𝑪𝒐𝒔 𝒂 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟔𝟏𝟓  = 𝑪𝒐𝒔−𝟏 0,49615 = 60.254388 - Angulo resultante MAGNITUD: 𝑣 = (−4,2) + 𝑤 = (−3, −2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤 (−3, −2) ∗ −𝑣 (−4,2) 𝑣𝑤 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⟨−3 − 4, −2 − 2⟩ 𝑣𝑤 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⟨−7,4⟩ = 3 𝑣𝑤 MAGNITUD DEL VECTOR: ‖𝒗𝒘 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = √(−𝟕)𝟐 + 𝟒𝟐 = √𝟒𝟗 + √𝟏𝟔 = √𝟔𝟓 ‖𝒗𝒘 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 𝟖. 𝟎𝟔𝟐

DIRECCIÓN: 𝐭𝐚𝐧  =

𝒚 𝒙

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⟨ 𝑣𝑤

𝐭𝐚𝐧  = 𝟒, −𝟕 =

−𝟒 𝟕

−7, 4 ⟩ 𝑥 𝑦

5

𝟒

 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (− 𝟕) = 29,7448° 90°- 29,7448 = Dirección W60.3°N

Descripción del ejercicio 3 Dados los vectores 3D producto cruz y calcule el resultado de la siguiente operación:

y determine su

Literal Seleccionado – 𝑖 𝑗 𝑘 −5 3 3 3 3 −5 𝑢 ⃗⃗𝑥 𝑣⃗ = [ 3 −5 3 ] = | |𝑖 − | |𝑗 + | |𝑘 −2 −1 9 −1 −2 9 −2 9 −1 𝑢 ⃗⃗𝑥 𝑣⃗ = (5 − 27)𝑖 − (−3 + 6)𝑗; +(27 − 10)𝑘 = −22𝑖 + 3𝑗 + 17𝑘

Producto Cruz

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Dados los vectores 3D producto cruz y calcule el resultado de la siguiente operación:

y determine su

Literal Seleccionado – 2 2 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = (3, −5, 3) − (−2,9, −1) ∗ ( (3, −5,3) + (−2,9, −1) 3 3 2 3 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = (3, −5,3) − (−2,9, −1) ∗ (2, , 2) + (−2,9, −1) = 3 3 3 ((3, −(−2), −5 − 9, 3 − (−1))) ∗ ((−2 + (−2), + 9,2 − (−1)) 3 2 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = (5, −14,4) ∗ (0, −8, 3) 3 2 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = (5)(0) + (−14)(−8), +(4)(3) 3 2 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = 5 − 112 + 12 3 2 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = −95 Producto Escalar. 3 Enlace video: https://www.loom.com/share/bd08b312ce674bbf8120e5263aa82205

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Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes.

Realizar las siguientes operaciones:

Solución: 5 3 −1 5 2 −2 −4 0 BT = [ ]+[ 3 1 −3 2 −1 −2 4 −3 2 B-A= [ 5 0

−1 −5 0

4 −2 2(B-A) [ 10 −10 0 0 3X4 4X3 11

21 30

12

32

23

42

33

66 43

2 34

12

72

14

-2 24

2

41 18

14

18 14

0 −2 −2 4] 4 4 31

22

13

0 −1 −1 2] 2 2

2

0

1 4 −1 −1 ] = 𝐵+ 𝐶 1 3 −6 6

36 44

4

6

C11=5*4+1*10 + -4*0 = 20+10 + -0 = 30 C12= 5*2+1*-10+ -4*0 = 10 + -10 + -0 = 0 C13 = 5*0 + 1* -2 + -4*4 = 0+ -2 + -16 = -16 C14 = 5* -2 + 1*4 + -4*-2 = -10 + 4 + 8 = 2

8

C21 = 2*4 + -1*10 + -1*0 = 8+ -10+ -0 = 2 C22 = 2* -2 + -1* -10 + -1*0 = 4+10+ -0 = 14 C23 = 2*0 + -1* -2 + -1*4 = 0+2 + -4 = -2 C24 = 2* -2 + -1*4 + -1*4 = -4 + -4 + -4 =-12 C31 = 2*4 + 1*10 + 1*0 = 8+10+0 = 18 C32 = 2* -2 + -1* -10 + 1*0 = -4 + -10 + 0 =-14 C33 = 2*0 + 1* -2 + 1*4 = 0 + -2 + 4 = 2 C34 = 2*-2 + 1*4 + 1*4 = -4 + 4 + 4 = 4 C41 = -3*4 + -6*10 + -6*0 = -12+ -60 + -0 = -72 C42 = -3*-2 + -6*-10 + 6 + 60 + 0 = 66 C43 = -3*0 + -6* -2 + 6*4 = -0 + 12 + 24 = 36 C44 = -3*-2 + -6*4 + 6*4 = 6 + -24 + 24 = 6 Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordan y Determinantes

1 -1 3 2

-2 0 0 1

2 -1 2 0

-1 -3 -1 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 -1 3 2

-2 0 0 1

2 -1 2 0

-1 -3 -1 1

1 -1 3 2

-2 0 0 1

2 -1 2 0

0 0 0 1 F1 F2 F3 F4

1 0 3 2

-2 -2 0 1

2 1 2 0

-1 -4 -1 1

det(A)= (0-4-18+0)-(0-6-0-0) det(A)= -22-(-6) = -16

9

F2 = F1+1*F2 F1 F2 F3 F4

1 0 3 2

-2 -2 0 1

F4=48*F2-48*F4

2 1 2 0

-1 -4 -1 1

1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 2

-2 -2 6 1

1 0 0 0

-2 -2 0 0

2 -1 1 -4 -1 -10 0 1

1 0 0 1 1 0 0 3 1 -0 0,3 0,2

0 0 0 -0

-2 1 0 0

2 -1 -1 2 -1 -10 0 1

1 0 0 -1 -1 0 0 3 1 -0 0,3 0,2

0 0 0 -0

0 1 0 0

1 0 1,5 2 2 -1 2 -1 -1 0 -1 -10 0 3 1 0 1 -0 0,3 0,2

2 0 0 -0

0 1 0 0

-1 0 -1 2 -1 -10 0 1

-2 -2 0 -1 -1 0 0 3 1 -0 0,3 0,2

2 0 0 -0

0 1 0 0

0 0 0,1 -1 0 -1 2 -1 -1 0 -1 -10 0 3 1 0 1 -0 0,3 0,2

-0 0 0 -0

0 1 5 0

0 -1 -6 0

-0 0 0 -0

F2= F2/2

F3 = F3-3*F1 F1 F2 F3 F4

F1 F2 F3 F4

2 1 -4 0

-1 -4 2 1

1 1 -3 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

F1 F2 F3 F4

1 0 0 0

F1=F1*F2+2

F4=F4-2*F1 F1 F2 F3 F4

1 0 0 0

-2 -2 6 5

2 1 -4 -4

-1 -4 2 3

1 1 -3 -2

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

F4=5F3+-6F4 F1 F2 F3 F4

1 0 0 0

-2 -2 6 0

2 1 -4 4

-1 -4 2 -8

1 1 -3 -3

0 1 0 0

0 0 1 5

0 0 0 -6

F1 F2 F3 F4

2 0 0 0

F1=F1*F2 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

F1=F1*F4 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

F3=F3/-6 F3= F3+5F2

F1 F2 F3 F4

0 0 0 0 1 -1 0 -1 1 0 0 0

0 0,1 -1 0 -0 2 -1 -1 0 0 0 0,8 0,3 -0 0 1 -0 0,3 0,2 -0

F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

0 0,1 -1 0 2 -1 -1 0 0 -5 -2 1 1 -0 0,3 0,2

10

F3=F2+F3 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

F3=F3+3F2

0 0 1 -1 0 2 0 0

0 0,1 -1 0 -0 2 -1 -1 0 0 -0 -1 0 0 0 1 -0 0,3 0,2 -0

F3= F3/2 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

0 0 1 -1 0 1 0 0

0 0,1 -1 0 -0 2 -1 -1 0 0 -0 -0 -0 0 0 1 -0 0,3 0,2 -0

F1 F2 F3 F4

1 0 0 0

-2 -2 0 0

2 -1 1 -4 -1 -10 4 -8

1 1 0 -3

0 1 3 0

0 0 1 5

0 0 0 -6

-2 -2 0 0

2 -1 1 -4 -1 -10 0 -48

1 1 0 -3

0 1 3 12

0 0 1 9

0 0 0 -6

F4=F4+4*F3 F1 F2 F3 F4

1 0 0 0

F2=F2+F3 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0,1 -1 0 -0 0 1,9 -1 -1 0 0 1 -0 -0 -0 0 0 0 1 -0 0,3 0,2 -0

0 1 0 0

0 0 1 0

F2=F2*F1 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

0 0,1 -1 0 -0 0 -1 -1 0 0 -0 -0 -0 0 0 1 -0 0,3 0,2 -0

Ejercicios Diana Patricia Rincón Valbuena- Literal C Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes. Cada uno de los estudiantes, edita la infografía correspondiente al tema seleccionado previamente, y que anunció en el foro, para que no coincida con la elección de otro compañero. Deben escoger uno de los siguientes temas:

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C. Matrices: Operaciones con matrices: suma y resta de matrices, multiplicación de matrices y transpuesta de una matriz.

Una matriz es simplemente un conjunto rectangular de números. Las matrices se usan para organizar información en categorías que corresponden a los renglones y columnas de la matriz. Una matriz de 𝑚 × 𝑛 es un conjunto rectangular de números con 𝑚 renglones y 𝑛 columnas. 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32 ⋮ ⋮ [𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ↑ ⏟

↑

𝑎13 𝑎23 𝑎33 ⋮ 𝑎𝑚3

⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯

↑

…

𝑎1𝑛 ← 𝑎2𝑛 ← 𝑎3𝑛 ← 𝑚 𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 ⋮ ⋮ 𝑎𝑚𝑛 ] ←} ↑

𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 Decimos que la matriz tiene una dimensión 𝑚 × 𝑛. Los números 𝑎𝑖𝑗 son entradas de la matriz. El subíndice de la entrada 𝑎𝑖𝑗 indica que está en el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 renglón de las 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 columna.

De esta manera la siguiente matriz:

1 [ 2

3 4

0 ] −1

Tiene dimensión 2 × 3, esto es 2 renglones por 3 columnas.

Podemos escribir un sistema de ecuaciones lineales como una matriz, llamada la matriz aumentada del sistema. Al escribir solo los coeficientes y constantes que aparecen en las ecuaciones. Aquí un ejemplo:

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Sistema lineal

Matriz aumentada 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 5 { 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 −𝑥 + 4𝑧 = 11

3 −2 1 | 1 3 −1 −1 0 4

5 0| 11

Suma, diferencia y producto por escalares de matrices Sea 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 matrices de la misma dimensión 𝑚 × 𝑛 y sea 𝑐 cualquier número real. 1. La suma 𝐴 + 𝐵 es la matriz 𝑚 × 𝑛 obtenida al sumar entradas correspondientes de 𝐴 y 𝐵. 𝐴 + 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ] 2. La diferencia 𝐴 − 𝐵 es la matriz 𝑚 × 𝑛 obtenida al restar entradas correspondientes de 𝐴 y 𝐵.

𝐴 − 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 ] 3. El producto escalar 𝑐𝐴 es la matriz 𝑚 × 𝑛 obtenida al multiplicar por 𝑐 cada entrada de 𝐴.

𝑐𝐴 = [𝑐𝑎𝑖𝑗 ] Ejemplo: 2 −3 1 0 𝐴 = [0 51] 𝐵 = [−3 1] 7 −2 2 2

7 −3 0 𝐶=[ ] 0 1 5

6 0 −6 𝐷=[ ] 8 1 9

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2 −3 3 −3 1 0 0 5 −3 6 𝐴+𝐵 =[ 1] + [−3 1] = [ 3] 7 − 9 − 2 2 2 2 7 −3 0 6 0 −6 1 −3 −6 𝐶+𝐷 = [ ]−[ ]= [ ] 0 1 5 8 1 9 −8 0 −4 Nota importante: que no podemos sumar o restar matrices de diferentes dimensiones, por tanto, por poner un 𝐶 + 𝐴 o 𝐵 − 𝐷 son operaciones que no están definidas para este ejemplo. 2 −3 10 −15 25 ] 5 ∗ 𝐴 = 5 ∗ [0 51] = [ 0 5 7 −2 35 − 2

Propiedades de suma y multiplicación escalar de matrices Sea 𝐴, 𝐵 y 𝐶 matrices de 𝑚 × 𝑛 y sean 𝑐 y 𝑑 escalares 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 propiedad conmutativa de suma de matrices (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) propiedad asociativa de suma de matrices 𝑐(𝑑𝐴) = (𝑐𝑑)𝐴 propiedad asociativa de multiplicación por escalar (𝑐+𝑑)𝐴=𝑐𝐴+𝑑𝐴 𝑐(𝐴+𝐵)=𝑐𝐴+𝑐𝐵

propiedades distributivas de multiplicación por escalar.

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Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices es más difícil de describir que otras operaciones de matrices. En ejemplo posteriores veremos por qué hacer multiplicar de matrices comprende un procedimiento más complejo que las operaciones descritas anteriormente, y se describe a continuación. Primero, el producto 𝐴𝐵 (𝑜 𝐴 ∗ 𝐵) de dos matrices 𝐴 y 𝐵 está definido solo cuando el número de columnas en 𝐴 es igual al número de filas (renglones) en 𝐵. Esto significa que, si escribimos sus dimensiones una al lado de la otra, los dos números internos deben ser iguales. 𝐴

Matrices:

𝐵

Dimensiones: 𝑚 × 𝒏

𝒏×𝑘

Si las dimensiones de 𝐴 y 𝐵 coinciden de este modo, entonces el producto 𝐴𝐵 es una matriz de dimensiones 𝑚 × 𝑘. Antes de describir el procedimiento para obtener los elementos de 𝐴𝐵, definimos el producto interno de un renglón de 𝐴 y una columna de 𝐵. 𝑏1 𝑎2 Si [𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 ] es un renglón de 𝐴, y si [ ] es una columna de 𝐵, entonces su ⋮ 𝑏𝑛 producto interno es el número 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + ⋯ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 . Por ejemplo, tomando el producto interno de 5 4 1 [2 − 1 0 4] y −3 da (2 ∗ 5) + (−1 ∗ 4) + (0 ∗ −3) + (4 ∗ ) = 8 2 [

1 2

]

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Ahora, la definición de producto matricial dice que cada elemento de una matriz 𝐴𝐵 se obtiene de un renglón de 𝐴 y una columna 𝐵 como sigue: el elemento 𝐶𝑖𝑗 del 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 renglón y la 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 columna de la matriz 𝐴𝐵 se obtiene multiplicando los elementos del 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 renglón de 𝐴 con los correspondientes elementos de la 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 columna de 𝐵 y sumando los resultados. Ejemplo: 1 3 −1 5 2 Sea 𝐴 = [ ] y𝐵=[ ] −1 0 0 4 7 Como 𝐴 tiene dimensiones 2 × 2 y 𝐵 tiene dimensiones 2 × 3, el producto 𝐴𝐵 está definido y se tiene dimensiones 2 × 3. Por tanto, podemos escribir 𝑐11 𝑐12 𝑐13 1 3 −1 5 2 𝐴𝐵 = [ ]∗[ ] = [𝑐 ] −1 0 21 𝑐22 𝑐23 0 4 7 −1 𝑐12 1 3 −1 5 2 𝑐11 = [ ]∗[ ] = (1 ∗ −1) + (3 ∗ 0) = −1 → [ 𝑐21 𝑐22 −1 0 0 4 7

𝑐13 ] 𝑐23

−1 17 1 3 −1 5 2 𝑐12 = [ ]∗[ ] = (1 ∗ 5) + (3 ∗ 4) = 17 → [ 𝑐21 𝑐22 −1 0 0 4 7

𝑐13 ] 𝑐23

−1 17 1 3 −1 5 2 𝑐13 = [ ]∗[ ] = (1 ∗ 2) + (3 ∗ 7) = 23 → [ 𝑐21 𝑐22 −1 0 0 4 7

23 ] 𝑐23

−1 17 1 3 −1 5 2 𝑐21 = [ ]∗[ ] = (−1 ∗ −1) + (0 ∗ 0) = 1 → [ 1 𝑐22 −1 0 0 4 7

23 ] 𝑐23

−1 17 23 1 3 −1 5 2 𝑐22 = [ ]∗[ ] = (−1 ∗ 5) + (0 ∗ 4) = −5 → [ ] −1 −5 𝑐23 −1 0 0 4 7 1 3 −1 17 23 −1 5 2 𝑐23 = [ ]∗[ ] = (−1 ∗ 2) + (0 ∗ 7) = −2 → [ ] −1 0 −1 −5 −2 0 4 7 Entonces, tenemos que el producto 𝐴 y 𝐵 es:

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1 3 −1 17 23 −1 5 2 𝐴𝐵 = [ ]∗[ ]=[ ] −1 0 −1 −5 −2 0 4 7 Aclarar que, para este ejemplo, el producto 𝐵𝐴 no está definido, dado que las dimensiones de 𝐵 y 𝐴 son, respectivamente, 2 × 3 y 2 × 2. Aquí se puede ver que los números internos (resaltados en rojo) no son iguales.

Propiedades de multiplicación de matrices Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 matrices para las cuales están definidos los siguientes productos. E

Entonces 𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶 propiedad asociativa 𝐴(𝐵+𝐶)=𝐴𝐵+𝐴𝐶 (𝐵+𝐶)𝐴=𝐵𝐴+𝐶𝐴

propiedad distributiva

Transpuesta de una matriz Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) una matriz de 𝑚 × 𝑛. Entonces la transpuesta de 𝐴, que se escribe 𝐴𝑇 , es la matriz de 𝑛 × 𝑚 que se obtiene al intercambiar los renglones por las columnas de 𝐴. De manera breve, se puede escribir 𝐴𝑇 = (𝑎𝑗𝑖 ). En otras palabras 𝑎11 𝑎21 Si 𝐴 = ( ⋮ 𝑎𝑚1

𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎12 … 𝑎2𝑛 𝑇 ⋱ ⋮ ), entonces 𝐴 = ( ⋮ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

𝑎21 𝑎22 ⋮ 𝑎2𝑛

⋯ 𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚2 ⋱ ⋮ ) ⋯ 𝑎𝑛𝑚

Simplemente se coloca el renglón 𝑖 de 𝐴 como la columna 𝑖 de 𝐴𝑇 y la columna 𝑗 de 𝐴 como el renglón 𝑗 de 𝐴𝑇 . Ejemplos:

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1 2 −6 2 −3 4 2 3 1 2 3 𝐴=[ ] 𝐵=[ ] 𝐶= 0 1 2 1 4 −1 4 6 1 5] [2 − 2 Al intercambiar los renglones y las columnas de cada matriz se obtiene 1 2 2 −1 2 1 𝑇 𝑇 𝐴 =[ ] 𝐵 = [3 4 ] 𝐶 = [ 2 −3 3 4 1 6 −6 4 𝑇

0 2 1 1 − ] 2

2

5

Supongamos que 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 es una matriz de 𝑚 × 𝑛 y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 es una matriz de 𝑛 × 𝑝. Entonces: (𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴 (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 𝐵 𝑇 𝐴 y 𝐵 son matrices de dimensión 𝑚 × 𝑛, entonces (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵 𝑇 Si 𝐴 es invertible, entonces 𝐴𝑇 es también invertible y (𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1 )𝑇

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 2

Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos, luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector resultante. ⃗⃗ = (𝟑, 𝟓)𝒚 𝒘 ⃗⃗⃗⃗ = (𝟔, −𝟑) C. 𝒗 Se usa el teorema del producto punto para hallar el ángulo entre los dos vectores: 𝑣 ∙ 𝑤 = |𝑣||𝑤|𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑣∙𝑤

𝐶𝑜𝑠𝜃 = |𝑣||𝑤| =

(3)(6)+(5)(−3) (√32 +52 )(√62 +(−3)2 )

𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (0.076) = 85.601°

=(

18−15 √34)(√45)

3

= 39.115 = 0.076

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Suma de vectores ⃗⃗ + 𝒘 ⃗⃗⃗⃗ = 〈𝟑, 𝟓〉 + 〈𝟔, −𝟑〉 = 〈𝟗, 𝟐〉 𝒗 Magnitud del vector resultante |𝒗 ⃗⃗ + 𝒘 ⃗⃗⃗⃗| = √𝟗𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟗, 𝟐𝟏𝟎 Dirección del vector resultante 𝑇𝑎𝑛𝛼 =

𝑦 2 = = 0.222 𝑥 9

𝛼 = 𝑇𝑎𝑛−1 (0.222) = 12.528°

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Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3 ⃗⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟓𝒋 + 𝟑𝒌 y 𝒗 ⃗⃗ = −𝟐𝒊 + 𝟗𝒋 − 𝒌 determine su producto Dados los vectores 3D 𝒖 cruz y calcule el resultado de la siguiente operación: 𝟑

C. (𝟓 𝒖 − 𝒗) ∗ (𝒖 + 𝒗) Producto cruz 𝑖 𝑢 ⃗⃗ × 𝑣⃗ = | 3 −2

𝑗 𝑘 3 3 −5 3 3 −5 |𝑖 −| |𝑗 + | |𝑘 −5 3 | = | −2 −1 9 −1 −2 9 9 −1

= ((−5 ∗ −1) − (3 ∗ 9))𝑖 − ((3 ∗ −1) − (3 ∗ −2))𝑗 + ((3 ∗ 9) − (−5 ∗ −2))𝑘 = (5 − 27)𝑖 − (−3 + 6)𝑗 + (29 − 10)𝑘 = −𝟐𝟐𝒊 − 𝟑𝒋 + 𝟏𝟗𝒌 𝟑 ( 𝒖 − 𝒗) ∗ (𝒖 + 𝒗) = 𝟓 3 = ( (3𝑖 − 5𝑗 + 3𝑘) − (−2𝑖 + 9𝑗 − 𝑘)) ∗ ((3𝑖 − 5𝑗 + 3𝑘) + (−2𝑖 + 9𝑗 − 𝑘)) 5 9 9 = (( 𝑖 − 3𝑗 + 𝑘) + (2𝑖 − 9𝑗 + 𝑘)) ∗ (𝑖 + 4𝑗 + 2𝑘) 5 5 =(

19 14 19 14 𝑖 − 12𝑗 + 𝑘) ∗ (𝑖 + 4𝑗 + 2𝑘) = ( , −12, ) ∗ (1, 4, 2) 5 5 5 5

= ((

19 14 193 ∗ 1) + (−12 ∗ 4) + ( ∗ 2)) = − 5 5 5

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. Descripción del ejercicio 4

Dadas las siguientes matrices: 0 −2 −3 3 −1 3 0 5 −2 3 −1 3 −1| 𝐴 = |−2 1 2 −4| 𝐵 = | 3 −4 1 −2 | 𝐶 = | 4 −1 0 4 −1 0 −5 2 −1 0 −3 4 −2 −4 2

20

Realizar las siguientes operaciones: C. (𝑨 + 𝑪𝑻 )𝑻 ∗ 𝟑𝑩 Aplicando la tercera regla descrita en el primer punto, La cual dice que, si 𝐴 y 𝐵 son matrices de dimensión 𝑚 × 𝑛, entonces (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵 𝑇 , para plasmar esta regla en el presente ejercicio debemos tener en cuenta que en vez de 𝐵 se trata de 𝐶 𝑇 . De esta manera, si observamos 𝐶 𝑇 es de dimensión 3 × 4 al igual que 𝐴, entonces podemos reescribir la operación como se muestra a continuación: (𝐴 + 𝐶 𝑇 )𝑇 ∗ 3𝐵 = (𝐴𝑇 + (𝐶 𝑇 )𝑇 ) ∗ 3𝐵 Recordar que (𝐶 𝑇 )𝑇 = 𝐶 entonces la operación final quedaría 3 −2 −1 0 −2 −3 5 −2 3 −1 −1 1 0 4 3 −1 + 𝐶) ∗ 3𝐵 = (| |+| |) ∗ (3 ∗ | 3 −4 1 −2 |) 3 2 −5 −1 0 4 −1 0 −3 4 0 −4 2 −2 −4 2 3 −4 −4 15 −6 9 −3 4 −1 | ∗ | =| 3 9 −12 3 −6 | 2 2 −1 0 −9 12 −3 −2 −8 4 21 30 51 −33 3 −4 −4 15 −6 9 −3 84 −66 48 −45 4 −1 | ∗ | =| 3 | 9 −12 3 −6 | = | 51 −36 33 −30 2 2 −1 0 −9 12 −3 −2 −8 4 −114 108 −78 102 (𝐴𝑇

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes Descripción del ejercicio 5 Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordan 1

y Determinantes (𝐴−1 = 𝐷𝑒𝑡𝐴 ∗ 𝐴𝑑𝑗𝐴). 3 0 −2 2 C. 𝑀 = | 1 −1 0 2

2 1 0 3| 3 0 0 −1

Inversa de la matriz con el método de Gauss Jordan

21

𝐴−1

2 1 1 3 3 3 0 0 0 2∗𝐹1+𝐹2 −2 2 0 3 ||0 1 0 0 → 1 −1 3 0 0 0 1 0 2 0 −1 0 0 0 1) (0 2 1 1 2 1 1 1 0 3 3 3 0 0 0 1 3 3 3 0 0 0 ∗𝐹 −1∗𝐹1 +𝐹3 | 2 2 4 11 |2 0 1 2 11 1 1 0 0 → → 1 0 0 3 3 |3 3 6 |3 2 3 0 0 0 1 0 1 −1 3 0 0 0 1 0 (0 2 0 −1 0 0 0 1) 0 −1 0 0 0 1) 2 1 1 0 1 1 1 3 3 0 0 0 0 0 0 3 3 | 3 1 2 11 𝐹2 +𝐹3 ∗𝐹 11 | 1 1 1 1 −2∗𝐹2+𝐹4 0 1 3 3 3 6 0 0 0 0 → → 6 3 2 3 2 3 1| 1 0 1 0 0 1 1 0 3 2 0 0 − − | 2 3 3 2 4 14 − 0 0 0 1 −1 0 0 0 1) 3 −1 − − ( ) 3 3

3 0 2 −2 2 0 =( 1 −1 3 0 2 0 1

0

0

2

1 −1 (0 2 2 3 2 0 1 3 7 0 −1 3 (0 2 0 1

0

1 1 3 |0 0 0 −1 0

0 1 0 0

1 1 3 0 | 3 11 0 1 1 1 6 3 2 1 0 1 1 0 0 2 | 2 6 0 0 − 4 − 14 − 3 −1 ( 3 3 1 0

2 3 2 0 1 3 0 0 1 0 0 0 ( 1 0

2 3 2 3

1 1 3 3 |1 11 3 6 1 0 2 |1 1 6

0 0 1 0 2 1 1 6 3 7 1 − 36 9

2 − ∗𝐹3 +𝐹2 3 2 − ∗𝐹3 +𝐹1 3

→

0 0 1 0

0 0 1 3 0

1

0 1 ∗𝐹 0) 3→ 1 0 1

0

1 1 0 3 0 3 | 1 4 1 ∗𝐹3 +𝐹4 11 3 0 1 3 2 0 → 6 1 1 0 0 0 0 1 2| 2 6 0 0 0 −4 − 3 − 7 1) ( 9

0 0

1 0

1 − ∗𝐹4 +𝐹3 2 11 − ∗𝐹4 +𝐹2 6 1 − ∗𝐹4 +𝐹1 3

1 0 0 1

→

0 1 − ) 4

(

0 0 0 0

2 3 2 3

2 3 2 3 1 0

5 7 18 − 108 0| 1 31 36 216 0 1 5 0|− 12 72 1 1 7 6 36

0 0 1

0 0 −4∗𝐹4 → 1 0 3 4 1) 9 1 27 11 54 7 18 1 −9

1 12 11 24 1 8 1 − 4)

22

1 0 0 0 (

𝐴−1

1 1 −9 −2 0 3 9 0 0 0| 1 7 1 3 1 0 0 12 72 − 18 8 0 1 0 7 1 1 5 − 18 8 0 0 1| 12 72 1 1 1 7 − 9 − 4) 6 36 1 1 2 − − 0 3 9 9 | | 1 7 1 3 − 72 18 8 | = | 12 1 7 1 5 − 18 8 | | 12 72 1 1 1 7 − − 6 9 4 36

Inversa de la matriz con el método de determinantes Primero calculamos la matriz de cofactores 𝐵. 2 0 3 𝐴11 = (−1)(1+1) |−1 3 0 | = (2 ∗ (−3) − 0 ∗ (1) + 3 ∗ (−6)) = −24 2 0 −1 −24 ? ? ? ? ? ?| →𝐵=| ? ? ? ? ? ? ? ? ? −2 0 3 𝐴12 = (−1)(1+2) | 1 3 0 | = −(−2 ∗ (−3) − 0 ∗ (−1) + 3 ∗ (0)) = −6 0 0 −1 −24 −6 ? ? ? ? ?| →𝐵=| ? ? ? ? ? ? ? ? ? −2 2 3 𝐴13 = (−1)(1+3) | 1 −1 0 | = (−2 ∗ (1) − 2 ∗ (−1) + 3 ∗ (2)) = 6 0 2 −1 −24 −6 6 ? ? ? ?| →𝐵=| ? ? ? ? ? ? ? ? ?

23

−2 2 0 𝐴14 = (−1)(1+4) | 1 −1 3| = −(−2 ∗ (−6) − 2 ∗ (0) + 0 ∗ (2)) = −12 0 2 0 −24 −6 6 −12 ? ? ? | →𝐵=| ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 1 𝐴21 = (−1)(2+1) |−1 3 0 | = −(0 ∗ (−3) − 2 ∗ (1) + 1 ∗ (−6)) = 8 2 0 −1 −24 −6 6 −12 ? ? ? | →𝐵=| 8 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 1 𝐴22 = (−1)(2+2) |1 3 0 | = (3 ∗ (−3) − 2 ∗ (−1) + 1 ∗ (0)) = −7 0 0 −1 −24 −6 6 −12 −7 ? ? | →𝐵=| 8 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 0 1 (2+3) 𝐴23 = (−1) |1 −1 0 | = −(3 ∗ (1) − 0 ∗ (−1) + 1 ∗ (2)) = −5 0 2 −1 −24 −6 6 −12 −7 −5 ? | →𝐵=| 8 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 0 2 𝐴24 = (−1)(2+4) |1 −1 3| = (3 ∗ (−6) − 0 ∗ (0) + 2 ∗ (2)) = −14 0 2 0 −24 −6 6 −12 −7 −5 −14| →𝐵=| 8 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 1 𝐴31 = (−1)(3+1) |2 0 3 | = (0 ∗ (0) − 2 ∗ (−8) + 1 ∗ (0)) = 16 2 0 −1

24

−24 −6 6 −12 −7 −5 −14| →𝐵=| 8 16 ? ? ? ? ? ? ? 3 2 1 (3+2) 𝐴32 = (−1) |−2 0 3 | = −(3 ∗ (0) − 2 ∗ (2) + 1 ∗ (0)) = 4 0 0 −1 −24 −6 6 −12 −7 −5 −14| →𝐵=| 8 16 4 ? ? ? ? ? ? 3 0 1 𝐴33 = (−1)(3+3) |−2 2 3 | = (3 ∗ (−8) − 0 ∗ (2) + 1 ∗ (−4)) = −28 0 2 −1 −24 −6 6 −12 −7 −5 −14| →𝐵=| 8 16 4 −28 ? ? ? ? ? 3 0 2 𝐴34 = (−1)(3+4) |−2 2 0| = −(3 ∗ (0) − 0 ∗ (0) + 2 ∗ (−4)) = 8 0 2 0 −24 −6 6 −12 −7 −5 −14| →𝐵=| 8 16 4 −28 8 ? ? ? ?

𝐴41 = (−1)

−24 →𝐵=| 8 16 0 𝐴42 = (−1)

0 2 1 | 2 0 3| = −(0 ∗ (−9) − 2 ∗ (3) + 1 ∗ (6)) = 0 −1 3 0 −6 6 −12 −7 −5 −14| 4 −28 8 ? ? ?

(4+1)

3 |−2 1 −6 −7 4 −27

(4+2)

−24 →𝐵=| 8 16 0

2 1 0 3| = (3 ∗ (−9) − 2 ∗ (−3) + 1 ∗ (−6)) = −27 3 0 6 −12 −5 −14| −28 8 ? ?

25

3 𝐴43 = (−1)(4+3) |−2 1 −24 −6 −7 →𝐵=| 8 16 4 0 −27 3 𝐴44 = (−1)(4+4) |−2 1 −24 −6 −7 →𝐵=| 8 16 4 0 −27

0 1 2 3| = −(3 ∗ (3) − 0 ∗ (−3) + 1 ∗ (0)) = −9 −1 0 6 −12 −5 −14| −28 8 −9 ? 0 2 2 0| = (3 ∗ (6) − 0 ∗ (−6) + 2 ∗ (0)) = 18 −1 3 6 −12 −5 −14| −28 8 −9 18

A continuación, tenemos la matriz 𝐴 y su matriz de cofactores 𝐵 Matriz 𝑨 3 0 2 |−2 1 −1 0 2

Matriz de cofactores 𝑩 2 1 0 3| 3 0 0 −1

−24 −6 6 −12 −7 −5 −14| | 8 16 4 −28 8 0 −27 −9 18

𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 + 𝑎13 𝐴13 + 𝑎14 𝐴14 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = (3 ∗ (−24)) + (0 ∗ (−6)) + (2 ∗ 6) + (1 ∗ (−12)) = −72 𝐷𝑒𝑡 = −72 Calculamos ahora la adjunta de la matriz 𝐴 simbolizada como 𝐴𝑑𝑗 𝐴 y se calcula de la siguiente manera: −24 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 𝐵 𝑇 = | −6 6 −12

8 16 0 −7 4 −27 | −5 −28 −9 8 18 −14

Por lo tanto, la inversa de la matriz 𝐴, que se simboliza como 𝐴−1 se calcula con el método de determinantes como se muestra a continuación: 𝐴−1 =

1 ∗ 𝐴𝑑𝑗𝐴 𝐷𝑒𝑡𝐴

26

𝐴−1

1 1 2 − − 0 3 9 9 | | 1 7 1 3 −24 8 16 0 − 1 −7 4 −27 | = | 12 72 18 8 | = − | −6 −5 −28 −9 7 1 1 5 72 6 − −12 −14 8 18 8 | | 12 72 18 1 1 7 1 − − 6 9 36 4

Ejercicios Dinna Luz Diaz- Literal D Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes. Luego de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, se debe diseñar de forma colaborativa una Infografía que ilustre los contenidos de la unidad 1, utilizando para su construcción herramientas Online Colaborativas para la diagramación, como Canva. ✔ Enlace de acceso directo: https://www.canva.com/design/DADmxxfRwZc/share/preview?token=OkJPAYEB9OkJin2tEbR4g&role=EDITOR&utm_content=DADmxxfRwZc&utm_campaign=des ignshare&utm_medium=link&utm_source=sharebutton

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos, luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector resultante. Se tienen los vectores: v= (2,4) y w=(-4,-3)

Magnitud:

27

✔ v= (2,4) lvl=√22 + 42 = 2√5 = 4,47 ✔ w=(-4,-3) lwl= √−42 − 32 = 5 Dirección: ✔ v= (2,4) 4

tan(β)=( ) ; β=(2) = 63,43° 4

2

✔ w=(-4,-3) ✔ tan(β)=(

−3 −4

) ; β=(−4) = 36,86° −3

Primer Cuadrante: 90°- Dirección VA = 90°-63,43°=26,57° Tercer Cuadrante: 90°- Dirección WA= 36,86° Ángulo entra v y w: 26,57°+36,86°+90° (Segundo Cuadrante)= 153,43° Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Dados los vectores 3D u=3i-5j+3k y v=-2i+9j-k determine su producto cruz y calcule el resultado de la siguiente operación:

✔ Producto Cruz (u X v):

28

i j k 3 -5 3 -2 9 -1

= -5 3 det(i) - 3 3 det(j) + 3 -5 det(k) 9 -1 -2 -1 -2 9 = [(-5)(-1)-(3)(9)] – [(3)(-1)-(-2)(-1)] + [(3)(9)-(-5)(-2)]=15 ✔ 3(u-v)*(3/4)(u+v) ● 3[(3i – 5j +3k) - (-2i+9j-k)] * (3/4) [(3i – 5j +3k) + (-2i+9j-k)]

=3(5i-14j+4k) * (3/4) (i+4j+2k) =(15i-42j+9k) * (3i/4 +3j+6k) = 11,25i-126j+54k Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. Dadas las siguientes matrices:

Realizar la siguiente operación: D. (AT+BT)*(-2)CT

29

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordan y Determinantes: A-1= (1/Det(A))*Adj A

✔ Gauss Jordan:

✔ Determinantes:

30

31

Ejercicios Martha Isabel Bautista-Literal B Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 2 Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos, luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector resultante. B. 𝑣⃗ = (−4,2)𝑦𝑤 ⃗⃗⃗ = (−3, −2)

ANGULO: 𝑣⃗ = (−4,2)𝑦 𝑤 ⃗⃗⃗ = (−3, −2) 𝑣⃗ = (−4,2) 𝑤 ⃗⃗⃗ = (−3, −2) 𝑣⃗ ∗ 𝑤 ⃗⃗⃗ = 12 − 4 = 8 ‖𝒗 ⃗⃗‖√𝟏𝟔 + 𝟒 = √𝟐𝟎 = 4,47 Magnitud de 𝑣⃗ ‖𝒘 ⃗⃗⃗⃗‖√𝟏𝟗 + 𝟒 = √𝟏𝟑 = 3,61 Magnitud de 𝑤 ⃗⃗⃗ 𝟖 𝑪𝒐𝒔 𝒂 = √𝟐𝟎 ∗ √𝟏𝟑 𝟖 𝑪𝒐𝒔 𝒂 = √𝟏𝟔, 𝟏𝟐𝟒 𝑪𝒐𝒔 𝒂 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟔𝟏𝟓  = 𝑪𝒐𝒔−𝟏 0,49615 = 60.254388 - Angulo resultante MAGNITUD: 𝑣 = (−4,2) + 𝑤 = (−3, −2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤 (−3, −2) ∗ −𝑣 (−4,2) 𝑣𝑤 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⟨−3 − 4, −2 − 2⟩ 𝑣𝑤 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⟨−7,4⟩ = 3 𝑣𝑤 MAGNITUD DEL VECTOR: ‖𝒗𝒘 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = √(−𝟕)𝟐 + 𝟒𝟐 = √𝟒𝟗 + √𝟏𝟔 = √𝟔𝟓 ‖𝒗𝒘 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 𝟖. 𝟎𝟔𝟐 DIRECCIÓN: 𝐭𝐚𝐧  =

𝒚

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⟨ 𝑣𝑤

𝒙

𝐭𝐚𝐧  = 𝟒, −𝟕 = 𝟒

−𝟒

−7, 4 ⟩ 𝑥 𝑦

𝟕

 = 𝐭𝐚𝐧 (− 𝟕) = 29,7448° 90°- 29,7448 = Dirección W60.3°N −𝟏

32

Descripción del ejercicio 3 Dados los vectores 3D y determine su producto cruz y calcule el resultado de la siguiente operación:

33

𝑖 𝑗 𝑘 −5 3 3 3 3 −5 𝑢 ⃗⃗𝑥 𝑣⃗ = [ 3 −5 3 ] = | |𝑖 − | |𝑗 + | |𝑘 −2 −1 9 −1 −2 9 −2 9 −1 𝑢 ⃗⃗𝑥 𝑣⃗ = (5 − 27)𝑖 − (−3 + 6)𝑗; +(27 − 10)𝑘 = −22𝑖 + 3𝑗 + 17𝑘

Producto Cruz

2 2 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = (3, −5, 3) − (−2,9, −1) ∗ ( (3, −5,3) + (−2,9, −1) 3 3 2 3 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = (3, −5,3) − (−2,9, −1) ∗ (2, , 2) + (−2,9, −1) = 3 3 3 ((3, −(−2), −5 − 9, 3 − (−1))) ∗ ((−2 + (−2), + 9,2 − (−1)) 3 2 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = (5, −14,4) ∗ (0, −8, 3) 3 2 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = (5)(0) + (−14)(−8), +(4)(3) 3 2 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = 5 − 112 + 12 3 2 (𝑢 − 𝑣) ( 𝑢 + 𝑣) = −95 Producto Escalar. 3 Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes.

34

Realizar las siguientes operaciones:

Solución: 5 3 −1 5 2 −2 −4 0 BT = [ ]+[ 3 1 −3 2 −1 −2 4 −3 2 B-A= [ 5 0

−1 −5 0

4 −2 2(B-A) [ 10 −10 0 0 3X4 4X3 11

21 30

12

14

-2

66 43

2 34

-12

72 42

33

24 2

18

14

-18

41

32

23

14

0 −2 −2 4] 4 4

2

0 13

0 −1 −1 2] 2 2

31

22

1 4 −1 −1 ] = 𝐵+ 𝐶 1 3 −6 6

36 44

4

6

C11=5*4+1*10 + -4*0 = 20+10 + -0 = 30 C12= 5*2+1*-10+ -4*0 = 10 + -10 + -0 = 0 C13 = 5*0 + 1* -2 + -4*4 = 0+ -2 + -16 = -16 C14 = 5* -2 + 1*4 + -4*-2 = -10 + 4 + 8 = 2 C21 = 2*4 + -1*10 + -1*0 = 8+ -10+ -0 = 2 C22 = 2* -2 + -1* -10 + -1*0 = 4+10+ -0 = 14 C23 = 2*0 + -1* -2 + -1*4 = 0+2 + -4 = -2 C24 = 2* -2 + -1*4 + -1*4 = -4 + -4 + -4 =-12

35

C31 = 2*4 + 1*10 + 1*0 = 8+10+0 = 18 C32 = 2* -2 + -1* -10 + 1*0 = -4 + -10 + 0 =-14 C33 = 2*0 + 1* -2 + 1*4 = 0 + -2 + 4 = 2 C34 = 2*-2 + 1*4 + 1*4 = -4 + 4 + 4 = 4 C41 = -3*4 + -6*10 + -6*0 = -12+ -60 + -0 = -72 C42 = -3*-2 + -6*-10 + 6 + 60 + 0 = 66 C43 = -3*0 + -6* -2 + 6*4 = -0 + 12 + 24 = 36 C44 = -3*-2 + -6*4 + 6*4 = 6 + -24 + 24 = 6 Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordan y Determinantes

1 -1 3 2

-2 0 0 1

2 -1 2 0

-1 -3 -1 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 -1 3 2

-2 0 0 1

2 -1 2 0

-1 -3 -1 1

1 -1 3 2

-2 0 0 1

2 -1 2 0

0 0 0 1 F1 F2 F3 F4

1 0 3 2

-2 -2 0 1

2 1 2 0

-1 -4 -1 1

det(A)= (0-4-18+0)-(0-6-0-0) det(A)= -22-(-6) = -16

36

F2 = F1+1*F2 F1 F2 F3 F4

1 0 3 2

-2 -2 0 1

F4=48*F2-48*F4

2 1 2 0

-1 -4 -1 1

1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 2

-2 -2 6 1

1 0 0 0

-2 -2 0 0

2 -1 1 -4 -1 -10 0 1

1 0 0 1 1 0 0 3 1 -0 0,3 0,2

0 0 0 -0

-2 1 0 0

2 -1 -1 2 -1 -10 0 1

1 0 0 -1 -1 0 0 3 1 -0 0,3 0,2

0 0 0 -0

0 1 0 0

1 0 1,5 2 2 -1 2 -1 -1 0 -1 -10 0 3 1 0 1 -0 0,3 0,2

2 0 0 -0

0 1 0 0

-1 0 -1 2 -1 -10 0 1

-2 -2 0 -1 -1 0 0 3 1 -0 0,3 0,2

2 0 0 -0

0 1 0 0

0 0 0,1 -1 0 -1 2 -1 -1 0 -1 -10 0 3 1 0 1 -0 0,3 0,2

-0 0 0 -0

0 1 5 0

0 -1 -6 0

-0 0 0 -0

F2= F2/2

F3 = F3-3*F1 F1 F2 F3 F4

F1 F2 F3 F4

2 1 -4 0

-1 -4 2 1

1 1 -3 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

F1 F2 F3 F4

1 0 0 0

F1=F1*F2+2

F4=F4-2*F1 F1 F2 F3 F4

1 0 0 0

-2 -2 6 5

2 1 -4 -4

-1 -4 2 3

1 1 -3 -2

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

F4=5F3+-6F4 F1 F2 F3 F4

1 0 0 0

-2 -2 6 0

2 1 -4 4

-1 -4 2 -8

1 1 -3 -3

0 1 0 0

0 0 1 5

0 0 0 -6

F3=F3+3F2 F1 1 F2 0 F3 0 F3=F3/-6 F4 0

-2 -2 0 0

2 -1 1 -4 -1 -10 4 -8

1 1 0 -3

0 1 3 0

0 0 1 5

0 0 0 -6

F1 F2 F3 F4

2 0 0 0

F1=F1*F2 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

F1=F1*F4 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

F3= F3+5F2 F4=F4+4*F3

F1 F2 F1 F2 F3 F3 F4 F4

0 0 0 0 0,1 -1 0 -0 10 -21 2-1 -1 2 1-1 0-1 0 0 0 0 00 -2-1 11 -4 0 0,8 1 1 0 -0 0 0 0,3 0 0 -1 -10 0 3 1 0 0 00 00 -48 1 -3-0 120,3 90,2 -6 -0 0

F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

0 0,1 -1 0 2 -1 -1 0 0 -5 -2 1 1 -0 0,3 0,2

37

F3=F2+F3 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

0 0 1 -1 0 2 0 0

0 0,1 -1 0 -0 2 -1 -1 0 0 -0 -1 0 0 0 1 -0 0,3 0,2 -0

0 0 1 -1 0 1 0 0

0 0,1 -1 0 -0 2 -1 -1 0 0 -0 -0 -0 0 0 1 -0 0,3 0,2 -0

F3= F3/2 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

F2=F2+F3 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0,1 -1 0 -0 0 1,9 -1 -1 0 0 1 -0 -0 -0 0 0 0 1 -0 0,3 0,2 -0

0 1 0 0

0 0 1 0

F2=F2*F1 F1 F2 F3 F4

0 0 0 0

0 0,1 -1 0 -0 0 -1 -1 0 0 -0 -0 -0 0 0 1 -0 0,3 0,2 -0

Ejercicios Kevin Julian- Literal E Desarrollo Del Trabajo Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes. Descripción del ejercicio: Luego de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, se debe diseñar de forma colaborativa una Infografía que ilustre los contenidos de la unidad 1, utilizando

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para su construcción herramientas Online Colaborativas para la diagramación, como Canva. El primer estudiante en ingresar al Foro asumirá el rol de Revisor, creará una cuenta en la herramienta online “canva” o la de su preferencia y pegará el enlace para la edición y creación de la infografía en el foro de trabajo colaborativo: foro Tarea 1 – Vectores, matrices y determinantes (utilizar únicamente los correos institucionales). Cada uno de los estudiantes, edita la infografía correspondiente al tema seleccionado previamente, y que anunció en el foro, para que no coincida con la elección de otro compañero. Deben escoger uno de los siguientes temas: A. Vectores en R2 y R3: Magnitud y dirección de un vector, ángulo entre dos vectores y suma de vectores. B. Vectores en R2 y R3: Algunas operaciones con vectores, producto punto y producto cruz. C. Matrices: Operaciones con matrices: suma y resta de matrices, multiplicación de matrices y transpuesta de una matriz. D. Matrices: operaciones elementales sobre matrices y matriz inversa por el método de Gauss Jordan. E. Determinantes: Determinantes y matriz inversa por el método de determinantes. Link del folleto: https://www.canva.com/design/DADmWU2e5H0/ZIAj0VSzEBO8sGKzd_ceIw/edi t Descripción del ejercicio 2 Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos, luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector resultante.

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E.

y cos 𝜃 =

⃗⃗ ∙ 𝑊 ⃗⃗⃗⃗ 𝑉 ⃗⃗ ||𝑊 ⃗⃗⃗⃗ | |𝑉

⃗⃗ ∙ 𝑊 ⃗⃗⃗⃗ = (−5, −4) ∙ (4, 3) = −20 − 12 𝑉 = −32 ⃗⃗ | = √(−5)2 + (−4)2 = √41 |𝑉 ⃗⃗⃗⃗ | = √(4)2 + (3)2 = 5 |𝑊 −32 cos 𝜃 = = 178,21° √41 5 ⃗⃗ + 𝑊 ⃗⃗⃗⃗ = (−5, −4) + (4, 3) 𝑋⃗ = 𝑉 = (−1, −1) |𝑋⃗| = √(−1)2 + (−1)2 = √2 𝜃 = tan−1(

−1 ) = 225° −1

Descripción del ejercicio 3 Dados los vectores 3D y calcule el resultado de la siguiente operación:

determine su producto cruz

E. 2𝑣⃗ = 2(−2, 9, −1) = (−4, 18, −2) (𝑢 ⃗⃗ − 2𝑣⃗) = (3, −5, 3) − (−4, 18, −2) = (7, −23, 5) 5 5 35 −115 25 (𝑢 ⃗⃗ − 2𝑣⃗) = (7, −23, 5) = ( , , ) 2 2 2 2 2 4𝑢 ⃗⃗ = 4(3, −5, 3) = (12, −20, 12) (4𝑢 ⃗⃗ − 𝑣⃗) = (12, −20, 12) − (−2, 9, −1) = (14, −29, 13) 5 35 −115 25 (𝑢 ⃗⃗ − 2𝑣⃗) ∙ (4𝑢 ⃗⃗ − 𝑣⃗) = ( , , ) ∙ (14, −29, 13) 2 2 2 2 35 −115 25 3335 325 = ( ) (14) + ( ) (−29) + ( ) ( 13) = 245 + + 2 2 2 2 2 5 (𝑢 ⃗⃗ − 2𝑣⃗) ∙ (4𝑢 ⃗⃗ − 𝑣⃗) = 2075 2 Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes.

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Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes, ubicados en el entorno de conocimiento. Dadas las siguientes matrices:

E. 5 3 −2 −4 𝑇 𝐵 = ( 3 1 −1 −2 5 −2 (𝐵 ∗ 𝐶) = ( 3 −1 3 (𝐴𝑇 ∗ 𝐶) = (−1 3 0 𝑇

3 −4 1 −2 −2 1 2 −4

−1 0) −3 4

3 −2 −1 0) 𝐴𝑇 = (−1 1 3 2 −5 0 −4 2

0 −2 −3 −1 3 −1) = 𝑁𝑂 𝐸𝑆 𝑃𝑂𝑆𝐼𝐵𝐿𝐸 𝐶𝐴𝐿𝐶𝑈𝐿𝐴𝑅 0 )*( 4 −1 0 4 −3 −2 −4 2 4 −1 0 −2 −3 0 )∗( 4 3 −1) = 𝑁𝑂 𝐸𝑆 𝑃𝑂𝑆𝐼𝐵𝐿𝐸 𝐶𝐴𝐿𝐶𝑈𝐿𝐴𝑅 −1 0 4 −5 −2 −4 2 2

41

Descripción del ejercicio 5 Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordan y Determinantes.

2 (1 0 2

3 −1 0 −2 2 −3 1 3 1 (0 0 0

0 1 2 3

0 1 3 |0 1 0 −1 0 −2 7 −3 3

0 1 0 0

0 0 1 0

2 𝐸. 𝑀 = |1 0 2 1 0 0 0) ( 2 3 0 0 2 1 2 1

3 0 1 0 −7 |0 −2 0 1 0 0 1 −6 1 −2 0

3 −1 0 0 −2 3| 2 −3 1 1 3 −1 −2 3 0 −1 0 |1 −3 1 0 3 −1 0

1 0 1) (0 0 0 0 0

0 −2 1 7 0 −17 0 −18 1 0

1 0 0 1 (

0 0 0 0

−2 7 1 −18

1 3 0 0 0 0 −2 −7 0 1 15||0 1 2 4 − 17 − 17 17 − 17 4 0 −3) 15 1

0 1

(

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

1 0 0) (0 0 0 0 1

3 0 1 −7 |0 −2 15 0 4 15 1 4 21 0 17 0 14| 0 − 17 0 15 1 − 17 |0 15 0 − 17 1

0 −2 3 3 2 −3 1 7

3 0 −6 |1 1 0 −7 0

0 0 0 1) 1 −2 0 −3 9 2 4 − 17 17 17 6 7 3 − 17 17 17 2 4 1 − 17 − 17 17 4 18 15 − 17 − 17 − ) 17

1 −2 0 −2

0 0 1 0

0 0 0 1

42

1 0

(

0 21 17 | 14 0 − 17 15 0 − 17 | 17 1 − 15

0

0 1

0

0 0 0 0

1 0

7

1

5 14

5

8

−5 2

− 15 − 15 0 −1 17 4 (− 15 15

7 5

9 17 6 − 17 4 − 17 4 15

2 − 17

4 17 1 7 3 0 17 17 0 1 − 17 2 0 17 6 1) ( 5

0 1 0 0

0 0 1 0

7 1 5 0| 5 14 2 0− − 15 15 0 0 | −1 1 17 4 − 15 15

8 −1 5 7 1 5 1 1 6 5 1 )

−

−1 1

1 1 6 1 ) 5

INVERSA POR EL METODO DE DETERMINANTES 2 𝑀 = |1 0 2

3 0 2 1

−1 −2 −3 3

0 3 | 𝐴−1 = 𝐴𝑑𝑗 (𝑀) |𝑀| 1 −1 𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 15 21 3 −24 −15 21 15 | 𝐴𝑑𝑗(𝑀) = |−14 −2 −15 0 15 15 −17 4 18 15 21 3 −24 −15 21 15 | |−14 −2 15 15 −15 0 𝐴𝑑𝑗 (𝑀) −17 4 18 15 𝐴−1 = = = |𝑀| |15|

7 1 8 − −1 5 5 5 14 2 7 − − 1 15 15 5 −1 0 1 17 6 1 4 1 ) (− 15 15 5

43

Conclusiones



Se adquirió el conocimiento nuevo para comprobar cada ejercicio con el software GeoGebra.



Se generaron conocimientos acerca de la funcionalidad de cada uno de sus elementos, además se identificó plenamente los conceptos básicos de vectores, matrices y determinantes.



Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre paréntesis, la determinante es un arreglo rectangular igual a la matriz, en donde se deben colocar líneas dobles.



La teoría de matrices fue introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones en diversos campos como el de control de inventarios, teoría cuántica, en física, análisis de costos, entre otros.



Entre las principales clases de matrices están: Fila, Columna, Rectangular, Nula, Cuadrada, Diagonal, Escalar, Simétrica, etc.



Todas las propiedades son muy importantes para poder resolver ejercicios de todo tipo de determinantes.

44

Referencias Bibliográficas

Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 5 a la 18. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?ppg=13&docID=320097 6&tm=1512079046521 Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 5 a la 11. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7081 Vargas, J. (2015). Coordenadas polares. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7196 Vargas, J. Operaciones entre vectores y ángulo entre ellos. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7108 Alvarez, V. (2017). Vectores en R2. [Video].Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11517 Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 81-105. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7081 Martínez, H. (2015). Matrices: Operaciones básicas. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7194 Gutiérrez, M. (2015). Matriz Escalonada. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7189 Vargas, J. (2015). Cálculo de matrices inversas: Operaciones básicas. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7186