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Laboratorio de Vibraciones Mecánicas Departamento de Ingeniería Mecánica

Práctica

PARTICIPACION

5%

PRESENTACIÓN

10%

INVESTIGACIONES

10%

CÁLCULOS Y DIAGRAMAS

15%

NOMBRE

RESULTADOS

30%

MATRICULA

CONCLUSIONES

25%

GRUPO DE LAB

COMENTARIOS Y OBSERVACIONES

1a

Resortes en serie y en paralelo

5%

PROFESOR INSTRUCTOR

TOTAL

100%

OBJETIVOS • • •

El alumno comprenderá el significado de la constante de rigidez de un resorte y su relación con la fuerza elástica que éste ejerce sobre una masa en un sistema con movimiento armónico simple. Se analizarán las diferencias entre configuraciones de resortes en serie y paralelo en forma analítica y experimental. Se verificarán distintos métodos para determinar la constante de rigidez de un resorte en forma experimental.

FUNDAMENTOS Los resortes son elementos ampliamente utilizados para la construcción de sistemas dinámicos. Dichos elementos tienen la propiedad de ejercer una fuerza restauradora de naturaleza elástica cuando sufren una deformación relativa entre sus extremos. Esta fuerza puede ser representada a través de la ecuación

F = − kx

(1)

donde el signo negativo indica que un resorte siempre ejercerá una fuerza en dirección contraria a la dirección en que es deformado. La naturaleza de la fuerza restauradora de un resorte es elástica dado que tiene un comportamiento lineal, como el que puede apreciarse en la fig. 1.

Figura 1.- Representación gráfica de la relación fuerza vs. deformación en una zona elástica enunciada por la Ec. (1). 1

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Cuando se analiza el efecto de las fuerzas ejercidas por los resortes sobre una o distintas masas en un sistema dinámico se toman en cuenta las siguientes consideraciones: a) La masa es despreciable, dado que no contribuye significativamente al peso del sistema. b) No existe amortiguamiento interno en el resorte. La fuerza resultante que ejercen los resortes sobre las masas en los sistemas dinámicos depende de su configuración espacial en dicho sistema: serie (fig. 2a) o paralelo (fig. 2b).

Figura 2.- Configuraciones de resorte. (a) serie, (b) paralelo y (c) sistema equivalente. Las configuraciones en serie y paralelo mostradas en la fig. (2) pueden ser representadas a través de un sistema equivalente. El valor de la constante de rigidez equivalente para dicho sistema (keq) es diferente para cada una de las dos configuraciones. Para encontrar el valor de dicha constante se analizarán ambos casos. A. Resortes en serie El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (serie y equivalente) es el que aparece en la fig. (3). En ambos casos debe prevalecer la condición de equilibrio

∑F =0

(2)

FR = Feq

(3)

por lo que

debe notarse que ambos resortes en serie están sometidos a la misma fuerza. Esto significa que

FR = k1δ1 = k2δ 2

(4)

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donde δ1 y δ2 son las deformaciones sufridas por los resortes 1 y 2 respectivamente, las cuales se obtienen a partir de la Ec. (4) como

δ1 =

FR k1

(5a)

δ2 =

FR k2

(5b)

La deformación equivalente δeq es igual a la suma de las dos deformaciones δ1 y δ2 de los resortes en serie

δ eq = δ1 + δ1

(6)

de acuerdo con las Ecs. (1) y (3) la deformación δeq es también

δ eq =

FR keq

(7)

de tal manera que sustituyendo las Ecs. (7), (5a) y (5b) en la Ec. (6) se tiene que

FR FR FR = + keq k1 k1 o bien

1 1 1 = + keq k1 k1

(8)

por lo que la constante equivalente de rigidez de un sistema de resortes en serie es

keq =

k1k2 k1 + k2

(9)

Figura 3.- Diagrama de cuerpo libre. (a) resortes en serie y (b) sistema equivalente.

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B. Resortes en paralelo El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (paralelo y equivalente) es el que aparece en la fig. (4). En ambos casos debe prevalecer la condición de equilibrio de la Ec. (2) por lo que

FR1 + FR 2 = Feq

(10)

debe notarse que ambos sistemas tienen la misma posición de equilibrio, por lo que la deformación de todos los resortes es la misma

δ1 = δ 2 = δ eq

(11)

sustituyendo Ec. (11) en la Ec. (10) se llega a la expresión

k1δ eq + k1δ eq = keqδ eq o bien

k1 + k1 = keq

(12)

Figura 4.- Diagrama de cuerpo libre. (a) resortes en paralelo y (b) sistema equivalente.

MATERIAL Y EQUIPO A UTILIZAR • • • • •

Marco para soporte de sistemas masa – resorte. Resortes con diversas constantes de rigidez. Medidor Vernier. Masas de distintos valores. Cronómetro.

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PROCEDIMIENTO Obtenga los valores de las constantes de rigidez utilizando los dos siguientes métodos: 1. Haga oscilar el sistema masa – resorte colocando una masa conocida y un resorte de rigidez desconocida. Con la ayuda del cronómetro obtenga la frecuencia natural de oscilación y posteriormente calcule el valor de k a partir de la Ec. (13). Nota: recuerde que la frecuencia natural considerada en dicha ecuación tiene unidades de rad/s y la relación que existe con el periodo T (en segundos) que usted puede medir con el cronómetro es ω=2π/T.

ωn =

k m

(13)

2. Fije un extremo del resorte en el marco de soporte y coloque en el otro extremo una serie de masas conocidas. Para ello comience con una sola masa de tal manera que produzca una elongación pequeña en el resorte y mida la nueva longitud del mismo. Posteriormente coloque otra masa conocida y mida nuevamente la longitud del resorte. Posteriormente calcule k utilizando la Ec. (14)

k=

g ∆m ∆l

(14)

Coloque los resortes y las masas de tal forma que construya distintos sistemas de resortes: en serie y en paralelo. REPORTE 1. Obtenga los valores de las constantes de rigidez k de cada resorte en forma individual utilizando ambos métodos descritos en el procedimiento. 2. Obtenga una constante de rigidez k equivalente para cada configuración de resortes (serie y paralelo). 3. Encuentre la frecuencia natural del sistema en forma analítica (Ec. (13)) y experimental. 4. Realice los diagramas y cálculos necesarios para cada sistema. 5. Simule los procesos vistos en el laboratorio utilizando los paquetes Working Model y MATLAB. Para estas simulaciones se pide a) Obtener una gráfica desplazamiento vs. tiempo para la masa. b) Calcular la frecuencia natural del sistema utilizando la gráfica anterior. c) Calcular los porcentajes de error entre los resultados obtenidos en forma experimental, analítica y computacional para la frecuencia natural de los distintos sistemas. d) Modificar la constante de rigidez k y describir el comportamiento del sistema a diferentes valores.

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RESULTADOS 1. Llene la tabla de resultados que se muestra a continuación. En ella evalúe la confiabilidad de las técnicas aplicadas en los espacios designados para tal fin. Configuración de resorte

ωn Analítico

ωn Working Model [rad/s]

ωn Exp.

ωn MATLAB

Analítico vs. exp.

Analítico vs. WM

Analítico vs. MATLAB

% Error

SERIE PARALELO

PROGRAMA DE MATLAB Grabe en un archivo llamado “smra.m” las siguientes líneas function yprime=smra(t,y) f=2; m=2.036; b=0; k=327; yprime=[y(2) f/m-b*y(2)/m-k*y(1)/m]; Grabe en otro archivo con el nombre que desee “nombre.m” las siguientes líneas rango=[0 5]; val_in=[0; 0]; [t,y]=ode45('smra',rango,val_in); x=y(:,1); v=y(:,2); plot(t,x,t,v,'--') xlabel('Tiempo, [s]') ylabel ('Des., [m], Vel., [m/s]') title ('Sistema Masa - Resorte') grid

Figura 5.- Gráfica desplazamiento vs. tiempo obtenida utilizando MATLAB. Guarde ambos archivos “***.m” en el mismo directorio y ejecute el archivo “nombre.m” desde la ventana de comandos (Command Window) de MATLAB.

REFERENCIAS [1] Rao, Singiresu S. “Mechanical Vibrations”, Fourth Edition, Pearson. USA 2003. [2] Steidel, Robert F. “An introduction to mechanical vibrations”, Third Edition, John Wiley, USA 1989. [3] Thomson, William T. “Theory of vibrations: applications”. Second Edition, Prentice Hall, USA 1982.

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