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• lina marcela arias jaramillo

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TRABAJO COLABORATIVO FASE 2

REALIZADO POR

YEISON ALVAREZ ARBOLEDA CC 1.033.336.909 CARLOS ANDRES CASTRILLON PEREZ CC 1.037.600.658 JUAN ESTEBAN SERNA CARDONA CC 1.017.143.352 VIVIANA MARCELA FORERO CORREA CC 53.132.796

TUTOR: HEIDY LORENA GALLEGO

CODIGO CURSO: 211610_8

UNAD – UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLGIA E INGENIERIA CEAD MEDELLIN ABRIL 2018

RESUMEN CAPITULO 3 FLUJO DE FLUIDOS

Naturaleza del Flujo de Fluidos Es fundamental considerar algunos aspectos del comportamiento de los fluidos. El físico Británico Osborney Reynolds en 1883 concluyo que a bajas velocidades de agua, estas fluían en láminas o capas paralelas; lo cual lo comprobó mediante la realización de un experimento: Conectó un depósito de agua a un tubo de vidrio horizontal. En el extremo por donde ingresa la corriente de agua instaló una boquilla por la que se inyecta agua coloreada, tal como se esquematiza en la siguiente gráfica:

El experimento mostró que en todos los casos existe una velocidad crítica que varía en proporción directa con la viscosidad del flujo. Al aumentar la velocidad del agua encontró que a una velocidad determinada, velocidad crítica, desaparecía el chorro coloreado y la masa global de fluido se coloreaba uniformemente, concluyendo que sobre la velocidad crítica las partículas dejan de moverse en forma ordenada y paralela, moviéndose en forma caótica, mezclándose completamente. Con esto llego a la conclusión de: que la velocidad crítica dependía del diámetro del tubo y de las propiedades físicas del fluido: densidad (ρ) y viscosidad (µ). Posteriormente, se concluyó que estos parámetros se pueden agrupar en un número adimensional, número de Reynolds, Re, definido de la forma siguiente:

𝐑𝐞𝐲𝐧𝐨𝐥𝐝𝐬 = 𝐑𝐞 =

𝛒 ∗𝐕 ∗𝐋 𝛍

Dónde: 𝛒 = densidad del fluido 𝛍 = viscosidad del fluido V = velocidad media del fluido. L = longitud que caracteriza al ducto. Para tuberías circulares L = D (diámetro).

En régimen laminar es posible describir totalmente el comportamiento del fluido en el interior de ductos, a partir de ecuaciones teóricas, Por ejemplo, para un fluido newtoniano, se ha demostrado que el perfil de velocidades en el interior de un ducto circular es parabólico, con la velocidad máxima en el centro del ducto, cuando el flujo está establecido (sin perturbaciones). La expresión para el perfil de velocidades en esta situación es: 𝐕

= 𝟏−(

𝐕𝐦𝐚𝐱

𝐫 𝟐 ) 𝐑

Por otro lado, existen instrumentos que permiten medir la velocidad puntual o local v en función del radio. Si este instrumento, por ejemplo un tubo de Pitot, se coloca en el centro del ducto y el régimen es laminar, es posible conocer la velocidad media usando la expresión

𝑉=

𝑉𝑚𝑎𝑥 2

En que: V = velocidad puntual o local para cualquier r v= velocidad en el centro del ducto r = posición dentro del ducto (radial) R = radio del ducto

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, en situaciones que la fricción es despreciable Se obtuvo la ecuación de Bernoulli, expresión que corresponde a un balance de energía mecánica en estado estacionario:

𝐩 𝐕𝟐 ∆ [ + 𝐠𝐙 + ] = −𝐖 𝐄𝐯 𝛒 𝟐𝛂 Considerando que en algunas aplicaciones el término de pérdidas por fricción (Êv) es pequeño frente a los otros términos, se obtiene una expresión simplificada de la ecuación:

𝐩 𝐕𝟐 ∆ [ + 𝐠𝐙 + ] = −𝐖 𝛒 𝟐∗𝛂

Definición de factor de fricción Para evaluar el término de pérdidas por fricción (Êv) que aparece en la ecuación de Bernoulli, es necesario definir y luego evaluar factores de fricción. Se considerará el flujo estacionario de un fluido incompresible (ρ = cte.) que circula por un ducto recto de sección uniforme. El fluido ejerce sobre la superficie interna del ducto una fuerza F, que puede descomponerse en dos: Fs y Fk, definidas de la siguiente forma: Fs = fuerza estática. Es la fuerza que ejerce el fluido, aunque esté en reposo. Fk = fuerza dinámica. Es la fuerza relacionada con el comportamiento cinético del fluido. Tiene la misma dirección que la velocidad media V en el ducto. El valor de la fuerza Fk puede expresarse como el producto entre un área característica A, una energía cinética característica por unidad de volumen K y un número adimensional f, denominado factor de fricción:

Para el flujo en ductos A corresponde a la superficie mojada y K representa la energía cinética por unidad de volumen, dada por ½ ·ρ · V 2. Para tubos circulares de radio R y longitud L, f está definido por:

Utilizando el concepto de potencial fluido-dinámico: P = p + ρ · g · Z, se obtiene:

Reemplazando esta última expresión en la definición de factor de fricción, se obtiene:

Despejando f:

Planteando un balance de energía mecánica al sistema mostrado en Figura 3.2, se obtiene:

Introduciendo la definición de potencial fluido-dinámico:

Reemplazando (–ΔP/ρ) por Êv, en la definición de factor de fricción, se obtiene:

Descripción de cañerías, válvulas y accesorios Las tuberías pueden fabricarse con cualquier material de construcción disponible, dependiendo de las propiedades corrosivas del fluido que se maneja, su temperatura y presión. Entre los materiales se incluyen aceros, cobre, polímeros, vidrio, concreto, etc. Sin embargo, los materiales de tubería más comunes en la industria son el acero (varias calidades), el cobre y el bronce, seleccionándose el más adecuado de acuerdo con la aplicación específica y los costos involucrados. Dado que los tubos se fabrican de diversos diámetros y espesores de pared, existe una normalización establecida por la American Standards Associations (ASA), la que establece las características de las dimensiones de los tubos.

En las instalaciones es imprescindible el uso de diversas conexiones para trasladar el fluido de un sector a otro. Una conexión cumple el papel de: a) Juntar dos tuberías [coplas, unión americana] b) Cambiar la dirección de la tubería [codos] c) Cambiar la sección de flujo [reducciones] d) Terminar la tubería [tapones] e) Unir o diversificar una corriente [tees, cruces e yes] f) Control de flujo [válvulas] Evaluación de pérdidas en válvulas y accesorios Las pérdidas por fricción, provocadas por conexiones (válvulas y accesorios) pueden ser determinadas inicialmente en forma experimental, para obtener un valor característico para cada conexión en particular. A continuación se describe el procedimiento para determinar la pérdida provocada por una válvula.

De acuerdo con lo presentado en la sección anterior, las pérdidas en los tramos de cañería recta están dados por:

Los valores de ÊV de conexiones, obtenidos experimentalmente, pueden ser presentados en dos formas: Método del coeficiente de resistencia, K En este método las pérdidas son presentadas en función de un parámetro K, característico de cada accesorio, el cual se considera constante, independiente del régimen de flujo. Entonces:

El método del coeficiente de resistencia K, se utiliza también para evaluar las pérdidas por expansiones o contracciones producidas al cambiar de diámetro una tubería o en entradas y salidas de estanques. En este caso, la velocidad V corresponde a la velocidad en la sección de menor área. Método de longitud equivalente

En este método se caracteriza la fricción de un accesorio por una longitud de tubería ficticia, la que produciría la misma fricción que el accesorio. La fricción provocada por esta longitud de tubería ficticia se evalúa como ya se presentó anteriormente, es decir:

Aunque el término (L/D) es adimensional, es costumbre denominarlo longitud equivalente. Aplicaciones que involucran la evaluación de factores de fricción Una vez que se han planteado las ecuaciones válidas para un determinado sistema de flujo, los problemas pueden ser resueltos en forma directa (tipo 1), o se requerirá iterar (tipo 2), aunque esta iteración puede ser obviada si se utilizan los llamados gráficos de Von Kárman. Finalmente, si no se puede evitar la iteración, se tiene un problema tipo 3. La tabla siguiente muestra esta clasificación:

Diámetro óptimo económico (DOE) Con las ecuaciones anteriormente planteadas (balances de masa y energía), es posible resolver numerosas situaciones de flujo de fluidos, aunque en aplicaciones de diseño se requiere una ecuación o información adicional. Por ejemplo, consideremos la necesidad de especificar el diámetro de la tubería (D), junto con la potencia de la bomba necesaria para transportar un flujo Q de agua desde un estanque a otro, según muestra la Figura 3.9:

Para esta situación, al plantear Bernoulli entre 1 y 2, se observa que la potencia de la bomba requerida depende del diámetro de la tubería, existiendo infinitas soluciones. A medida que se disminuye D, aumenta el consumo de energía (potencia de “bombeo”), para un mismo flujo Q:

Fluidos no newtonianos Para fluidos no newtonianos sigue siendo válida la ecuación 2.13 (Ecuación de Bernoulli), con la salvedad de que α debe ser evaluado con la expresión correspondiente. Para fluidos que siguen la ley de la potencia (o modelo de Ostwald de Waele), se dispone de la ecuación 2.6, válida en régimen laminar:

El factor de fricción, f, necesario para evaluar Êv, debe leerse de figuras de f vs Reynolds. Por ejemplo, para fluidos cuyo comportamiento se puede representar

por la ley de la potencia, debe usarse la Figura 3.11. Para fluidos que siguen el comportamiento de Bingham (ec. 1.6) se debe utilizar la Figura 3.12, la cual lleva como parámetro el número adimensional de Hedstrom (He).

Ejercicios Individuales Yeison Alvarez 1. Por la tubería de la figura fluye un crudo de petróleo, cuya gravedad específica (60°F/60°F) es de 0.887. La tubería A es de 2 pulgadas, la tubería B es de 3 pulgadas y las tuberías C son de 1 1/2 pulgadas, todas correspondientes al catálogo 40. Por cada una de las tuberías C fluye igual cantidad de crudo. El flujo por la tubería A es 30 gpm. Calcular:

a. Flujo másico en la tubería A b. La velocidad media en la tubería B c. El flujo másico en cada tubería C.

Áreas 2 Pulgadas 3 Pulgadas 1½ Pulgadas

0.0233 ft² 0.0513 ft² 0.0141 ft²

Calculamos:

a. Flujo másico en la tubería A

𝛒 = 0.887 ∗ 62.37 = 𝟓𝟓. 𝟑𝟐𝟐 𝐥𝐛⁄ 𝟑 𝐟𝐭

Si tenemos 7.48 gal en 1 ft³, hallamos la velocidad del flujo volumétrico que es:

𝐪 =

60 ∗ 30 𝟑 = 𝟐𝟒𝟎. 𝟔𝟒 𝐟𝐭 ⁄𝐡 7.48

Por lo tanto decimos que:

3 𝐦 = 240.64 ft ⁄h ∗ 55.322 lb⁄ft 3 = 𝟏𝟑, 𝟑𝟏𝟐. 𝟔𝟖 𝐥𝐛⁄𝐡

b. La velocidad media en la tubería B

Determinamos la velocidad media

𝐯𝐦

3 240.64 ft ⁄h = = 𝟏. 𝟑𝟎𝟑 𝐟𝐭/𝐬 3600 s ∗ 0.0513 ft²

c. El flujo másico en cada tubería C

𝐆𝐂

13,312.68 lb⁄h = = 𝟒𝟕𝟎𝟕𝟐𝟏 𝐥𝐛 ⁄ 𝟐 𝐟𝐭 𝐡 2 ∗ 0.01414

Yeison Alvarez 2. A través de un tubo de 2 pulgadas de diámetro fluyen 0.03 lbm/s de H2. ¿Cuánto vale la velocidad promedio en una sección donde la presión es de 40 psia y la temperatura 77°F? Calculamos:

A 77 ° F tenemos que la densidad del agua según dato dado en las tablas es de:

997.13 kg⁄ m3

Convierto: 997.13 kg m3

∗

2.2 lb 1 kg

0.0254m 3

∗(

1 pul

) =

𝟎. 𝟎𝟑𝟓𝟗𝟒 𝐥𝐛⁄𝐩𝐮𝐥³

Tenemos que: lb 0.03 sg 𝐐 = 0.03594 lb⁄ pul³

= 𝟎. 𝟖𝟑𝟒𝟕𝟐

𝐩𝐮𝐥𝟑⁄ 𝐬𝐞𝐠

EL área de la tubería de 1 pulgada es

𝐀 = π ∗ r 2 = π ∗ 1 pul2 = 3.1416 pul2

Obtenemos:

pul3⁄ 0.83472 Q seg 𝐩𝐮𝐥⁄ 𝐕 = = = 𝟎. 𝟐𝟔𝟓𝟔 𝐬𝐞𝐠 2 A 3.1416 pul

Juan Serna 3. Por el fondo de un gran tanque abierto se vacía un aceite comestible de densidad relativa 15°C/15°C igual a 0.798. A través de una tubería de 3 pulgadas, catálogo 40. El punto de vaciado se encuentra 4.58 metros debajo de la superficie libre del aceite. Suponiendo que los efectos de pérdidas son despreciables calcule el flujo volumétrico del aceite. Se mostrará una imagen aproximada del proceso:

Se parte entonces de la ecuación de Bernoulli. 𝑃1 +

1 1 𝜌 𝑣1 2 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 𝜌 𝑣2 2 + 𝜌𝑔ℎ2 2 2

Donde se tiene que: 𝑷𝟏 = Presión en el punto 1. 𝝆 = Densidad del fluido. 𝒗𝟏 = Velocidad en el punto 1. 𝒉𝟏 = Altura en el punto 1. 𝑷𝟐 = Presión en el punto 2. 𝒗𝟐 = Velocidad en el punto 2. 𝒉𝟐 = Altura en el punto 2. 𝒈= Gravedad. Para este ejercicio de deben hacer las siguientes consideraciones:

  

Se supone que la velocidad es mucho menor en el punto 1 comparada con la del punto 2, por lo cual 𝑣1 es despreciable. Debido a que los puntos 1 y 2 están en contacto con el ambiente se supone que 𝑃1 = 𝑃2 = 0. Se toma ℎ1 = 0 por ser el punto de partida. ℎ2 es negativo debido a que se encuentra en el plano cartesiano en el lado de Y negativo.

Por lo tanto en la ecuación: 𝑃1 +

1 1 𝜌 𝑣1 2 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 𝜌 𝑣2 2 − 𝜌𝑔ℎ2 2 2

Despejando para 𝑣2 se tiene lo siguiente: 𝑣2 = √2𝑔ℎ2 Reemplazando se tiene que la velocidad en el punto 2 es: 𝒗𝟐 = √2 ∗

9.8 𝑚 ∗ 4.58 𝑚 𝑠2

𝒗𝟐 = √2 ∗

9.8 𝑚 ∗ 4.58 𝑚 𝑠2

𝒗𝟐 = 9.5

𝑚 𝑠

Ya teniendo la velocidad, es posible saber el flujo volumétrico mediante la siguiente fórmula: 𝑪𝒂𝒖𝒅𝒂𝒍(𝑸) = 𝑣 ∗ 𝐴 Donde: 𝒗 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑨 = Á𝑟𝑒𝑎

2.54 𝑐𝑚

Diámetro de la tubería en el punto 2: 3 pulgadas 1 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎 = 7.62 cm 𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 2 4 2 (7.62 𝑐𝑚) 12 𝑚2 (𝑨𝟏 ) = 𝜋 = 45.6 𝑐𝑚2 ∗ = 𝟒. 𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 4 1002 𝑐𝑚2 Á𝒓𝒆𝒂 (𝑨) = 𝜋

𝑚 𝑚3 −3 2 (𝑸) = 9.5 ∗ (4.6𝑥10 𝑚 ) = 0.043 𝑠 𝑠

Flujo volumétrico = 𝟎. 𝟎𝟒𝟑

𝒎𝟑 𝒔

Juan Serna 4. Un flujo de agua, cuya densidad es 998 kg/m3 tiene una velocidad de 1.676 m/s en una tubería horizontal de 7.793 cm de diámetro a presión de 68.9 kPa abs. Después pasa a otra tubería con diámetro interior de 5.250 cm. Calcule la nueva presión en la tubería de 5.250 cm. Suponga que no hay pérdidas. Para realizar este ejercicio se utilizará la ecuación de ecuación de Bernoulli que se muestra a continuación: 𝑃1 +

1 1 𝜌 𝑣1 2 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 𝜌 𝑣2 2 + 𝜌𝑔ℎ2 2 2

Donde se tiene que: 𝑷𝟏 = Presión en el punto 1. 𝝆 = Densidad del fluido. 𝒗𝟏 = Velocidad en el punto 1. 𝒉𝟏 = Altura en el punto 1. 𝑷𝟐 = Presión en el punto 2. 𝒗𝟐 = Velocidad en el punto 2. 𝒉𝟐 = Altura en el punto 2. 𝒈= Gravedad. Debido a que en este ejercicio no se menciona una altura de la tubería, se supone que en su estado horizontal no hay inclinación y por lo tanto se puede reducir la fórmula a la siguiente:

𝑃1 +

1 1 𝜌 𝑣1 2 = 𝑃2 + 𝜌 𝑣2 2 2 2

Despejando para P2 se tiene que: 𝑃2 = 𝑃1 +

1 𝜌 (𝑣1 2 − 𝑣2 2 ) 2

Datos suministrados por el enunciado: 𝑷𝟏 = 68.9 kPa 𝝆 = 998 kg/m3 𝒗𝟏 = 1.676 m/s 𝑷𝟐 = Incógnita del problema 𝒗𝟐 = Incógnita del problema 𝑚 𝒈= 9.8 𝑠2 Se iniciará calculando la 𝑣2 , la cual se puede obtener mediante el cálculo del caudal. 𝑪𝒂𝒖𝒅𝒂𝒍(𝑸) = 𝑣 ∗ 𝐴 Donde: 𝒗 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑨 = Á𝑟𝑒𝑎 Se calcula el caudal con los datos del punto 1, y sabiendo que el caudal es el mismo en toda la tubería, se usa después para calcular la velocidad del fluido en el punto 2. Como la fórmula del caudal relaciona área, con el diámetro de la tubería se calcula este dato, así: Diámetro de la tubería en el punto 1: 7.793 cm 𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 2 4 2 (7.793 𝑐𝑚) 12 𝑚2 (𝑨𝟏 ) = 𝜋 = 47.6 𝑐𝑚2 ∗ = 𝟒. 𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 4 1002 𝑐𝑚2 Á𝒓𝒆𝒂 (𝑨) = 𝜋

𝑚 𝒎𝟑 −3 2 −𝟑 (𝑸) = 1.676 ∗ (4.8𝑥10 𝑚 ) = 𝟖. 𝟎 𝒙𝟏𝟎 𝑠 𝒔

Teniendo en cuenta que el caudal es igual en toda la tubería, se tiene que Q 1 = Q2, por lo cual con este caudal se puede saber 𝒗𝟐 . 𝑄 𝐴2 Diámetro de la tubería en el punto 2: 5.250 cm 𝒗𝟐 =

(𝑨𝟐 ) = 𝜋

(5.250 𝑐𝑚)2 12 𝑚2 = 21.2 𝑐𝑚2 ∗ = 𝟐. 𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 4 1002 𝑐𝑚2 𝑚3 8.0 𝑥10−3 𝑠 𝒗𝟐 = 2.2𝑥10−3 𝑚2 𝒗𝟐 = 𝟑. 𝟔

𝒎 𝒔

Teniendo solo una incógnita en la ecuación de Bernoulli, se pueden reemplazar los datos así: 𝑃2 = 68.9 𝑘𝑃𝑎 + 𝑃2 = 68.9 𝑘𝑃𝑎 +

1 𝐾𝑔 𝑚 2 𝑚 2 998 3 [(1.676 ) − (3.6 ) ] 2 𝑚 𝑠 𝑠

1 𝐾𝑔 𝑚2 𝑚2 998 3 [(2.81 2 ) − (12.96 2 )] 2 𝑚 𝑠 𝑠

1 𝐾𝑔 𝑚2 𝑃2 = 68.9 𝑘𝑃𝑎 + 998 3 [10.15 2 ] 2 𝑚 𝑠 𝑃2 = 68.9 𝑘𝑃𝑎 − 5064.85 Sabiendo que 1 Pascal

𝐾𝑔 𝑚 𝑠2

𝐾𝑔 𝑚 𝑠2

es necesario pasar los Kpa a Pa para poder hacer la

operación final. 68.9 𝐾𝑝𝑎 ∗

1000 𝑝𝑎 𝐾𝑔 = 68900 1 𝐾𝑝𝑎 𝑚 𝑠2 𝑃2 = 68900

𝐾𝑔 𝐾𝑔 − 5064.85 2 𝑚𝑠 𝑚 𝑠2

𝑃2 = 68900

𝐾𝑔 𝐾𝑔 − 5064.85 = 𝟔𝟑𝟖𝟑𝟓. 𝟏𝟓 𝑷𝒂 2 𝑚𝑠 𝑚 𝑠2

Debido a que las unidades iniciales eran kPa, se hace la conversión para tener la P2 en las unidades adecuadas. 63835 𝑝𝑎 ∗

1 𝑘𝑝𝑎 = 63.8 𝑘𝑃𝑎 1000 𝑝𝑎

𝑷𝟐 = 𝟔𝟑. 𝟖 𝒌𝑷𝒂 Andrés Castrillón 5. Si la tubería es vertical y el flujo va hacia arriba, calcule la nueva presión si se mide 0.457 m por encima del punto donde se mide la presión de 68.9 kPa.

1 1 𝑃2 = 𝑃1 + 𝜌𝑣12 + 𝜌𝑔ℎ1 − 𝜌𝑣22 − 𝜌𝑔ℎ2 2 2 1 𝑃2 = 𝑃1 + 𝜌(𝑣12 − 𝑣22 ) + 𝜌𝑔(ℎ1 − ℎ2 ) 2 𝑃2 = 1 𝑘𝑔 𝑚 2 𝑚 2 𝑘𝑔 9.81𝑚 68900 𝑃𝑎 + (998 3 ) ((1.676 ) − (3.69 ) ) + (998 3 ) ( 2 ) (0 𝑚 2 𝑚 𝑠 𝑠 𝑚 𝑠 − 0.457 𝑚) 𝑃2 = 59032.80 𝑃𝑎 𝑃2 = 59.03 𝑘𝑃𝑎

Viviana Forero Correa 1. Por la tubería de la figura fluye un crudo de petróleo, cuya gravedad específica (60°F/60°F) es de 0.887. La tubería A es de 2 pulgadas, la tubería B es de 3 pulgadas y las tuberías C son de 1 1/2 pulgadas, todas correspondientes al catálogo 40. Por cada una de las tuberías C fluye igual cantidad de crudo. El flujo por la tubería A es 30 gpm. Calcular: d. Flujo másico en la tubería A

e. La velocidad media en la tubería B f. El flujo másico en cada tubería C. Tubería A 30 gpm en

𝒎𝟑 𝒉

𝑸𝑨 : 𝟔, 𝟖𝟏

𝒎𝟑 𝟏𝒉 𝒙 ∶ 𝟏, 𝟖𝟗𝟏𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟑 /𝒔 𝒉 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔

𝒎̇𝑨 : 𝟖𝟖𝟕

𝒌𝒈 𝒎𝟑

𝑨𝑨: 𝝅 𝒙

𝒙 𝟏, 𝟖𝟗𝟏𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟑

𝒎𝟑 𝒔

∶ 𝟏, 𝟔𝟕𝟕𝟖

𝒌𝒈 𝒔

𝟎, 𝟎𝟓𝟐𝟓𝟐 𝒎𝟐 ∶ 𝟐, 𝟏𝟔𝟒𝟕𝟓 𝒙 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 𝟒

𝒎𝟑 𝟏, 𝟖𝟗𝟏𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟑 𝒔 𝒎 𝑽𝑨 : ∶ 𝟎, 𝟖𝟕𝟑𝟖𝟒 −𝟑 𝟐 𝟐, 𝟏𝟔𝟒𝟕 𝒙 𝟏𝟎 𝒎 𝒔

Tubería B 𝟓, 𝟐𝟓𝟎 𝟐 𝒎 𝑽𝑩 : 𝟎, 𝟖𝟕𝟑𝟖𝟒 𝒙 ( ) : 𝟎, 𝟑𝟗𝟔𝟓𝟗 𝟕, 𝟕𝟗𝟑 𝒔 𝒎̇𝑩 : 𝟎, 𝟑𝟗𝟔𝟓𝟗

𝒎 𝟎, 𝟎𝟕𝟕𝟗𝟑𝟐 𝒎𝟐 𝒌𝒈 𝒌𝒈 𝒙𝝅 𝒙 𝟖𝟖𝟕 𝟑 ∶ 𝟏, 𝟔𝟕𝟕𝟖 𝒔 𝟒 𝒎 𝒔

Tubería C Por cada tubería C, fluye la mitad de la masa así: 𝒎̇𝑪 : 𝟎, 𝟖𝟑𝟖𝟗 𝐤𝐠/𝐬

2. A través de un tubo de 2 pulgadas de diámetro fluyen 0.03 lb m/s de H2. ¿Cuánto vale la velocidad promedio en una sección donde la presión es de 40 psia y la temperatura 77°F? 𝑻𝒖𝒃𝒐 𝒅𝒊𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 = 𝟐 𝒑𝒖𝒍𝒈

𝑫𝒊𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟕

𝑻𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝟕𝟕°𝑭

Área 𝒔=

𝝅(𝒅)𝟐 𝟒

Remplazando 𝝅(𝟐. 𝟎𝟔𝟕)𝟐 𝒔= = 𝟑, 𝟑𝟓𝟔𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 𝟒 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟒𝒎 𝟐 𝟑, 𝟑𝟓𝟔𝒑𝒖𝒍𝒈 ∗ ( ) = 𝟐, 𝟏𝟔𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 𝟏𝒑𝒖𝒍 𝟐

Flujo másico 𝑴̇ = 𝟎, 𝟎𝟑

𝟎, 𝟎𝟑

𝒍𝒃𝒎 𝒔

𝒍𝒃𝒎 𝟎, 𝟒𝟓𝟑𝒌𝒈 𝒌𝒈 ∗ = 𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟔 𝒔 𝟏𝒍𝒃 𝒔 𝑴̇ = 𝑸𝝆

Despejar Q y se obtiene: 𝑸=

̅= 𝒗

𝑴̇ 𝝆 𝑴̇

𝑸

̅= 𝒗 𝝆𝒔

𝒔

𝝆=

𝑴𝑷 𝑹𝑻

𝒌𝒈 (𝟐,𝟕𝟐𝒂𝒕𝒎) ) 𝒌𝒈 𝒎𝒐𝒍 𝝆= = 𝟎, 𝟐𝟐𝟐 𝟑 𝟑 𝒎 𝒂𝒕𝒎 𝟐𝟗𝟖,𝟏𝟓𝒌 𝒎 (𝟖, 𝟐𝟎𝟓𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ) 𝒌𝒎𝒐𝒍 (𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑

𝒌𝒈 𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟔 𝒔 𝒎 ̅= 𝒗 = 𝟐𝟖, 𝟑𝟎 𝒌𝒈 𝒔 (𝟎, 𝟐𝟐𝟐 𝟑 )(𝟐, 𝟏𝟔𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 ) 𝒎

𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 𝒗𝟐𝟐 𝒗𝟐𝟏 = 𝒛𝟐 𝒈 + − 𝝆 𝟐 𝟐 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 𝒎 (𝟑𝟕𝟑)𝟐 (𝟏, 𝟔𝟕𝟔)𝟐 = (𝟎, 𝟒𝟓𝒎) |𝟗, 𝟖𝟏 | + − 𝝆 𝒔 𝟐 𝟐 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 𝒎𝟐 𝒎𝟐 = 𝟒, 𝟒𝟖 𝟐 + 𝟓, 𝟓𝟓 𝟐 𝝆 𝒔 𝒔 𝒎𝟐 𝒌𝒈 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 = 𝟏𝟎, 𝟎𝟑 𝟐 ∗ (𝟗𝟗𝟖 𝟑 ) 𝒔 𝒎 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟗. 𝟗𝟒 𝒑𝒂 → 𝟏𝟎, 𝟎𝟏𝒌𝒑𝒂 𝒑𝟐 = 𝟔𝟖, 𝟐𝒌𝒑𝒂 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟏𝒌𝒑𝒂 𝒑𝟐 = 𝟓𝟖, 𝟏𝟗𝒌𝒑𝒂 3. Por el fondo de un gran tanque abierto se vacía un aceite comestible de densidad relativa 15°C/15°C igual a 0.798. A través de una tubería de 3 pulgadas, catálogo 40. El punto de vaciado se encuentra 4.58 metros debajo de la superficie libre del aceite. Suponiendo que los efectos de pérdidas son despreciables calcule el flujo volumétrico del aceite. 𝑷 = 𝟎. 𝟕𝟗𝟖 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 = 𝟒. 𝟓𝟖 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝑫𝒊𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝑰𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 = 𝟑. 𝟎𝟔𝟖

𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝑺 =

𝑺=

𝝅(𝒅𝟐 ) 𝟒

𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔(𝟑. 𝟎𝟔𝟖)𝟐 = 𝟕. 𝟑𝟗 𝒑𝒍𝒈𝟐 𝟒

𝒁𝒊𝒈 +

𝑽𝟏 𝟐 𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 𝑽𝟐 𝟐 + = 𝒁𝟐 𝒈 + 𝟐 𝑷 𝟐 𝑽𝟐 𝟐 = −𝒁𝟐 𝒈 𝟐

𝑽𝟐 𝟐 𝒎 = −(−𝟒. 𝟓𝟖𝒎) (𝟗. 𝟖𝟕 𝟐 ) 𝟐 𝒔

𝒎𝟐 ∗𝟐 𝒔𝟐

𝑽𝟐 𝟐 = 𝟒𝟒. 𝟗𝟐

𝑽𝟐 = √𝟖𝟗. 𝟖𝟒 𝑽𝟐 = 𝟗. 𝟒𝟕

4. Un flujo de agua, cuya densidad es 998 kg/m3 tiene una velocidad de 1.676 m/s en una tubería horizontal de 7.793 cm de diámetro a presión de 68.9 kPa abs. Después pasa a otra tubería con diámetro interior de 5.250 cm. Calcule la nueva presión en la tubería de 5.250 cm. Suponga que no hay pérdidas. 𝒅𝟏 = 𝟕. 𝟕𝟗𝟑𝒄𝒎

𝑷𝟏 = 𝟔𝟖. 𝟗 𝑲𝒑 𝑷 = 𝟗𝟗𝟖

𝒅𝟐 = 𝟓. 𝟐𝟓𝟎𝒄𝒎 𝒌𝒈 𝒎𝟑

𝑽𝟏 = 𝟏. 𝟔𝟕𝟔

𝒎 𝒔

𝟏𝒎

Tubería 1 = 𝟕. 𝟕𝟗𝟑𝒄𝒎 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝒄𝒎 = 𝟎. 𝟎𝟕𝟕 𝒎 𝟏𝒎

Tubería 2 = 𝟓. 𝟐𝟓𝟎𝒄𝒎 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝒄𝒎 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟐 𝒎 Fórmula de área

𝝅∗(𝒅)𝟐 𝟒

𝑨𝟏 = 𝟒. 𝟕𝟕𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 𝑨𝟐 = 𝟐. 𝟏𝟒𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 𝑽𝟐 = 𝑽 𝟏 ∗ 𝑽𝟐 = (𝟏. 𝟔𝟕𝟔

𝑨𝟏 𝑨𝟐

𝒎 𝟒. 𝟕𝟕𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 )( ) 𝒔 𝟐. 𝟏𝟒𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐

𝑽𝟐 = 𝟑. 𝟕𝟑

𝒎 𝒔

𝒁𝟏 = 𝒁𝟐 𝒁𝒊𝒈 +

𝑽𝟏 𝟐 𝑷𝟏 𝟐 𝑽𝟐 𝟐 𝑷𝟐 + = 𝒁𝟐 𝒈 + + 𝟐 𝑷 𝟐 𝑷 𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 𝑽𝟐 𝟐 𝑽𝟏 𝟐 ( )= − 𝑷 𝟐 𝟐

𝑷𝟐 =?

𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 (𝟑. 𝟕𝟑)𝟐 (𝟏. 𝟔𝟕𝟔)𝟐 = − 𝑷 𝟐 𝟐 𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 = 𝟔. 𝟗𝟓 − 𝟏. 𝟒𝟎 𝑷 𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 = 𝟓. 𝟓𝟓

𝒎𝟐 𝒌𝒈 (𝟗𝟗𝟖 𝟑 ) 𝟐 𝑺 𝒎

𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 = 𝟓. 𝟓𝟑 𝑷𝒂 → 𝟓. 𝟓𝟑 𝑲𝒑𝒂 𝑷𝟐 = 𝟔𝟖. 𝟗 𝑲𝒑𝒂 − 𝟓. 𝟓𝟑𝑲𝒑𝒂 𝑷𝟐 = 𝟔𝟑. 𝟑𝟕𝑲𝒑𝒂

5. Si la tubería es vertical y el flujo va hacia arriba, calcule la nueva presión si se mide 0.457 m por encima del punto donde se mide la presión de 68.9 kPa. Calcular las áreas de entrada 𝟐 𝝅 𝝅 𝟕. 𝟕𝟗𝟑 𝟐 𝑨𝟏 = ∗ 𝑫 = ∗ ( 𝒎) = 𝟒. 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟎𝟎

Calcular las áreas de salida

𝟐 𝝅 𝝅 𝟓. 𝟐𝟓𝟎 𝟐 𝑨𝟐 = ∗ 𝑫 = ∗ ( 𝒎) = 𝟐. 𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟎𝟎

Calcular la velocidad x la continuidad 𝒗𝟐 𝑨𝟐 = 𝒗𝟏 𝑨𝟏 𝒗𝟐 =

𝒗𝟏 𝑨𝟏 𝑨𝟐

𝒎 (𝟏. 𝟔𝟕𝟔 𝒔 ) ∗ 𝟒. 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 𝒎 𝒗𝟐 = = 𝟑. 𝟕𝟎 −𝟑 𝟐 𝟐. 𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎 𝒎 𝒔

Ecuación de Bernoulli 𝒛𝟏 𝒈 +

𝒗𝟐𝟏 𝑷𝟏 𝒗𝟐𝟐 𝑷𝟐 + = 𝒛𝟐 𝒈 + + 𝟐 𝝆 𝟐 𝝆

𝒎 𝟐 𝒎 𝟐 (𝟏. 𝟔𝟕𝟔 𝒔 ) (𝟑. 𝟕𝟎 𝒔 ) (𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 ) 𝒎 + = (𝟎. 𝟒𝟓𝟕 𝒎) ∗ (𝟗. 𝟖𝟏 𝟐 ) + 𝒌𝒈 𝟐 𝒔 𝟐 𝟗𝟗𝟖 𝟑 𝒎

𝒎𝟐 (𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 ) 𝒎𝟐 𝒎 𝟏. 𝟒𝟎 𝟐 + = 𝟒. 𝟒𝟖 𝟐 + 𝟔. 𝟖𝟒𝟓 𝟐 𝒌𝒈 𝒔 𝒔 𝒔 𝟗𝟗𝟖 𝟑 𝒎

Despejar 𝑷𝟐 𝑷𝟐 = 𝟗𝟗𝟖

𝒌𝒈 𝒎𝟐 𝒎𝟐 𝒎𝟐 ∗ (𝟏. 𝟒𝟎 − 𝟒. 𝟒𝟖 − 𝟔. 𝟖𝟒𝟓 ) + (𝟔𝟖. 𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑷𝒂) 𝒎𝟑 𝒔𝟐 𝒔𝟐 𝒔𝟐 𝑷𝟐 = 𝟓𝟖𝟗𝟗𝟒. 𝟖𝟓 𝑷𝒂

EJERCICIOS COLABORATIVOS

Andrés Castrillón 6. Se bombea aceite de soya a través de un tubo de diámetro constante y con velocidad de flujo en estado estable. Una bomba suministra una energía de 209.2 J/kg de fluido. La presión absoluta de entrada a la bomba es 103.4 kN/m2. La sección de salida de la tubería corrientes abajo (dirección del flujo) está 3.35 m por arriba de la entrada y la presión absoluta de salida es 172.4 Kn/m2. En la descarga el diámetro es igual al de la succión. Si el flujo es turbulento calcule las pérdidas por fricción del sistema. La temperatura es de 30°C. Las tuberías de entrada y salida tienen el mismo diámetro. La densidad del aceite de soya es 919kg/m3 Solución: Utilizamos la siguiente ecuación:

𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴2 𝑔 (𝑍 − 𝑍𝐴 ) + 𝑉 (𝑃2 − 𝑃1 ) + ∑ 𝐹 + 𝑊𝑆 = 0 + 2𝛼𝑔𝑐 𝑔𝑐 𝐵

Dónde: α es un factor de corrección adimensional que depende del régimen de flujo y del tipo de fluido.α=0,5 para flujo laminar y α=1 para flujo turbulento.

9,81𝑚/𝑠 (172400𝑁/𝑚2 − 103400𝑁/𝑚2 ) (3,35𝑚) + 1 𝐾𝑔. 𝑚(𝑠 2 . 𝑁) 919𝐾𝑔/𝑚3 + ∑ 𝐹 + 209,2 𝐽/𝐾𝑔 = 0

Las tuberías son iguales por lo que no hay cambio de velocidades entonces:

𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴2 =0 2𝛼𝑔𝑐

Reemplazamos los demás datos en la ecuación, cuidando las unidades:

32,86𝑁. 𝑚/𝐾𝑔 + 75,08𝑁. 𝑚/𝐾𝑔 + ∑ 𝐹 − 209,2𝑁. 𝑚/𝐾𝑔 = 0

∑ 𝐹 = 101,26𝐽/𝐾𝑔

Las pérdidas por fricción son 101,26 J/Kg.

Yeison Alvarez 7. Por el fondo de un estanque abierto se vacía salmuera, de densidad relativa 1,15 a 60ºF, a través de una tubería de 2 pulgadas catálogo 40. La tubería de vaciado termina en un punto que está a 15 pies (4,47m) por debajo de la superficie libre de la salmuera en el estanque. Considerando una línea de corriente que parte de la superficie libre de la salmuera en el tanque y pasa por el eje de la tubería de vaciado hasta el de descarga y suponiendo que la fricción a lo largo de la línea de descarga es despreciable; calcular la velocidad del fluido para la línea de corriente en el punto de descarga de la tubería. 

pa

 2

2

gZ V p gZb Vb  a  a  W  b    hf  gc 2gc  gc 2gc

Solución

Si se toma como referencia el punto b, se tiene:

Zb = 0

Za = 15 m Pa = Pb Va 0

Luego la ecuación de Bernoulli queda:

15 g Vb  gc 2g c Vb  15 * 2 * 32,17  31,1

pies 9,48m / s  s

Viviana Forero Correa 9. Fluye agua a 20°C por un codo reductor, donde 𝛼2 es de 120°. El diámetro de la tubería de entrada es de 1.829 m, el de salida es de 1.219 m, y la tasa de flujo es de 8.50 m3/s. El punto de salida z2 está 3.05 m por arriba del de la entrada, y la presión manométrica de entrada es de 276 kPa. Las pérdidas por fricción se estiman en 0.5, 𝑣2 2 /2 y la masa de agua en el codo es de 8500 kg. Calcule las fuerzas Rx y Ry y la fuerza resultante sobre el fluido del volumen de control.

Andrés Castrillón 10. El agua caliente de un tanque de almacenamiento abierto, que está a 82.2°C, se bombea a velocidad de 0.379 m3/min. La línea del tanque de almacenamiento en la succión de la bomba es de 6.1 m de longitud y 2 in de acero de cédula 40 y con tres codos. La línea de descarga de la bomba tiene 61 m de tubería de 2 in y contiene 2 codos. El agua se descarga a la atmósfera a una altura de 6.1 m por encima del nivel en el tanque de almacenamiento.

A. Calcule todas las pérdidas por fricción Σ𝐹𝑖 Se va a calcular la viscosidad se busca en las tablas y para 82.2 C no se encuentran datos, por tanto se interpola 𝜇 = 0.357 −

0.357 − 0.317 (82.2 − 80) = 0.348 𝑐𝑝 90 − 80

Se calcula lo mismo para la densidad: 𝜌 = 971.83 −

971.83 − 965.34 𝑘𝑔 (82.2 − 80) = 970.40 3 90 − 80 𝑚

Para un tubo de acero con cedula 40 tenemos un diámetro interno de 5.250cm 0.0525𝑚 2 𝐴=( ) 𝜋 = 0.00216 𝑚2 2

𝑣=

𝑚3 1𝑚𝑖𝑛 0.379 𝑚𝑖𝑛 (60𝑠𝑒𝑔 ) 0.00216 𝑚2

= 2.92

𝑚 𝑠𝑒𝑔

0.00348 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒 = 𝑃𝑎 𝑠𝑒𝑔 Se calculan los números de Reynolds para ambas partes de la tubería Para 1 𝑁𝑅𝑒1

𝑘𝑔 𝑚 6.1𝑚 (2.92 𝑠𝑒𝑔) (970.40 3 ) 𝑚 = = 4.9 × 106 0.00348 𝑃𝑎 𝑠𝑒𝑔

Para 2

𝑁𝑅𝑒2

𝑘𝑔 𝑚 61𝑚 (2.92 𝑠𝑒𝑔) (970.40 3 ) 𝑚 = = 4.9 × 107 0.00348 𝑃𝑎 𝑠𝑒𝑔 1 𝜌𝑔ℎ1 + ℎ𝑏 = 𝜌𝑣22 + 𝜌𝑔ℎ2 + ℎ𝑓 2

ℎ𝑓 = (4𝑓

𝐿 + ∑𝑘𝑓𝑐 + 𝑘𝑐 ) 𝐷

𝑚 2 (2.92 𝑠𝑒𝑔) 2𝑔

𝑘𝑐 = 0,4 𝐹𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑘𝑓𝑐 = 0.9 𝐹𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑓 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑦𝑛𝑜𝑙𝑑𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 5.9 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜 Para el primer pedazo de tubería f=0.0023 Para el segundo pedazo es f=0.00081 Antes de la bomba ℎ𝑓 = (4(0.0023)

6.1𝑚 + 3(0.9) + 0.4) 0.0525𝑚

𝑚 2 (2.92 𝑠𝑒𝑔) 2𝑔

= 4.17

Después de la bomba ℎ𝑓 = (4(0.00081)

61𝑚 + 2(0.9)) 0.0525𝑚

∑ℎ𝑓 = 4.17 + 5.56 =

𝑚 2 (2.92 𝑠𝑒𝑔) 2𝑔

𝑚 2 9.73 (2.92 𝑠𝑒𝑔) 2𝑔

= 5.56

= 4.23𝑚

Ese es el total de carga por fricción que tiene la tubería. B. Obtenga un balance de energía mecánica y determine el valor de Ws para la bomba en J/kg. ℎ𝑏 =

ℎ𝑏 =

1 2 𝑣 + (ℎ2 − ℎ1 ) + ℎ𝑓 2𝑔 2

1 𝑚 2 (2.92 ) + (6.1𝑚) + (4.23𝑚) = 2𝑔 𝑠𝑒𝑔

ℎ𝑏 = 10.765 𝑚 𝑘𝑔 9.81𝑚 𝐽 𝑊𝑆 = 10.765𝑚 (970.40 3 ) ( 2 ) = 102478.75 𝑚 𝑠 𝑘𝑔

C. ¿Cuál es la potencia de la bomba en kW cuando su eficiencia alcanza el 75%? 102478.75 𝑊𝑆 𝑟𝑒𝑎𝑙 =

0.75

𝐽 𝑘𝑔

× 0.379

𝑚3 1𝑚𝑖𝑛 ( ) = 0.8631 𝑘𝑊 𝑚𝑖𝑛 60𝑠𝑒𝑔

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Barrer-Ripoll, A., Pérez-Saborid Sánchez-Pastor, M. (2005). Fundamentos y aplicaciones de la mecánica de fluidos. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10498 608

Çengel, Y. A. & Cimbala, J. M. (2006). Introducción y conceptos básicos. Mecánica de fluidos: fundamentos y aplicaciones. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10515 040 Reyes, S. A. (2010). Escurrimiento de fluidos: aplicaciones. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10889 640 Rodríguez, H., Gómez del Pino, J.P.Z.C. (2016). Mecánica de fluidos. Problemas y soluciones. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11245 459 White, F.M. (2004). Mecánica de fluidos. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10491 322 Reyes Salinas, Alejandro. Escurrimiento de fluidos: aplicaciones. Santiago de Chile, CL: Editorial Universidad de Santiago de Chile, 2014. http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10889 640 APUNTES DE MECÁNICA DE FLUIDOS, http://oa.upm.es/6531/1/amd-apuntes-fluidos.pdf

Agustín

Martín

Domingo.

Aplicación de la ecuación de Bernoulli, capítulo 3, pp. 51 – 110 de Reyes, S.A. (2010), que se encuentra en el siguiente enlace: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10889 640