• Author / Uploaded
• Giovany Parada

Citation preview

Unidad 1 - Tarea 3 – Experimentos aleatorios y distribuciones de Probabilidad

Estefanía Quintana Rozo Cód.: 1094282130 Carlos Alberto Vera Castillo Cód.: 1005040379 Jorge Enrique Becerra Cod: 1098610281 Nidia Noray Castro Carvajal Cod: 1098131049 Zulay Viviana Andrade Cód:1090448741

Azucena Gil Tutora

Grupo: 100402_132

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) Programa de Administración de Empresas CCAV Pamplona Mayo 2021

Tabla selección de ejercicios a desarrollar. Nombre del Estudiante

Rol a desarrollar Entregas: Alertar sobre los tiempos de entrega de los productos y enviar el documento en los

Jorge Enrique Becerra

tiempos estipulados, utilizando los recursos

Grupo de ejercicios a desarrollar El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 4 Tipo de ejercicios

destinados para el envío, e indicar a los demás compañeros que se ha realizado la entrega. Revisor: Asegurar que el escrito cumpla con las Carlos Alberto Vera Castillo

normas de presentación de trabajos exigidas por el docente. Compilador: Consolidar el documento que se constituye como el producto final del debate, teniendo en cuenta que se hayan incluido los

El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 4 Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 4 Tipo de ejercicios

aportes de todos los participantes y que solo se Nidia Noray Castro incluya a los participantes que intervinieron en el Carvajal proceso. Debe informar a la persona encargada de las alertas para que avise a quienes no hicieron sus participaciones, que no se les incluirá en el producto a entregar Evaluador: Asegurar que el documento contenga los criterios presentes en la rúbrica. Zulay Viviana Andrade

Debe comunicar a la persona encargada de las

El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 4 Tipo de ejercicios

alertas para que informe a los demás integrantes del equipo en caso de que haya que realizar algún ajuste sobre el tema. Alertas: Asegurar que se avise a los integrantes del grupo de las novedades en el trabajo e

Estefanía Rozo Quintana

informar al docente mediante el foro de trabajo y la mensajería del curso, que se ha realizado el envío del documento. Actividad 1. Tabla comparativa de conceptos

El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 4 Tipo de ejercicios

Tabla comparativa Concepto

Definición

Variable Aleatoria

Es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio.

Variable Aleatoria continua

Es aquella que puede tomar cualquier valor (al menos teóricamente) entre 2 fijados. Los valores de la variable (al menos teóricamente) no se repiten. Son aquellas que presentan un número incontable de valores Es aquella que puede asumir un número contable de valores.

Variable Aleatoria discreta Distribución de probabilidad

Es aquella que permite establecer toda la gama de resultados probables de ocurrir en un experimento determinado. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro.

Distribución de probabilidad continua

Es la probabilidad de los posibles valores de una variable aleatoria continua. Una variable aleatoria continua es una variable aleatoria con un conjunto de valores posibles (conocido como el rango) que es infinito y no se puede contar.

Distribución de probabilidad discreta

Es aquella que describe la probabilidad de ocurrencia de cada valor de una variable aleatoria discreta. Una

Variable, formula o imagen que representa el concepto

variable aleatoria discreta es una variable aleatoria que tiene valores contables, tales como una lista de enteros no negativos.

Media

Desviación estándar Valor esperado

Función de probabilidad

Es una medida de tendencia central que se emplea para designar mediante un solo valor a una colección de elementos y se representa por µ Medida de la dispersión de una distribución de frecuencias respecto de su media. Es aquel que es igual al sumatorio de las probabilidades de que exista un suceso aleatorio, multiplicado por el valor del suceso aleatorio. Dicho de otra forma, es el valor medio de un conjunto de datos. Es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor particular

Función de densidad

La función de densidad es la derivada de la función de distribución, y sirve para identificar regiones de mayores y menores probabilidades para valores de una variable aleatoria

Distribución binomial

Es una distribución de probabilidad discreta (función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra) que describe el número de éxitos al realizar n

experimentos Aproximación de la D. binomial a la D. poisson

Distribución Poisson

Distribución hipergeometric a

Distribución normal

Distribución normal estándar

La aproximación de Poisson de la distribución binomial se puede emplear, cuando hay un resultado diferente sobre la probabilidad de que ocurra una cantidad determinada de éxitos en una serie de experimentos independientes. Es una distribución de probabilidad discreta, que expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo o espacio fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo o espacio desde el último evento. Es una distribución discreta que modela el número de eventos en una muestra de tamaño fijo cuando se conoce el número total de elementos en la población de la cual proviene la muestra. Las muestras no tienen reemplazo, por lo que cada elemento de la muestra es diferente. Es un modelo teórico capaz de aproximar satisfactoriamente el valor de una variable aleatoria a una situación ideal

Es la diferencia entre un valor de la variable y el promedio, expresada esta diferencia en cantidad de desviaciones estándar.

Área bajo la curva

En un gráfico, es el área sombreada la cual corresponde a la probabilidad de encontrar un valor de la variable que sea igual o inferior a un valor dado.

Aproximación de la normal a la binomial

Una distribución binomial B (n, p) se puede aproximar por una distribución normal, siempre que n sea grande y p no esté muy próxima a 0 o a 1. La aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y desviación típica que la distribución binomial.

Ejercicios literal a (Jorge Enrique Becerra) Tipo de ejercicios 1 – Distribución Binomial a. Si 22% de las piezas de computadores portátiles que fabrica una maquinaria recién ajustada son defectuosas, calcula la probabilidad de que en seis piezas elegidas al azar se obtenga: 1.Una pieza defectuosa

Tenemos: p ( x ) = n p x ( 1−p )n−x x

()

Donde: n=6 ; p=0.22 ; x=1 Reemplazamos: 6 1 6−1 p ( x=1 )= ∗0.22 ∗( 1−0.22 ) 1 6! p ( x=1 )= ∗0.221 ( 1−0.22 )6−1 1! ( 6−1 ) !

()

p ( x=1 )=

720 ∗0.22∗( 0.78 )5 1( 5) !

p ( x=1 )=

720 ∗0.22∗0.29 1∗120

p ( x=1 )=6∗0.22∗0.29 p ( x=1 )=0.38

GeoGebra

2.Ninguna defectuosa Tenemos: p ( x ) = n p x ( 1−p )n−x x

()

n=6 ; p=0.22 ; x=0 Reemplazamos: p ( x=0 )=

(60 )∗0.22 ∗( 1−0.22 ) 0

p ( x=0 )= 6 ∗1∗( 1−0.22 )6 0

()

p ( x=0 )=

(60)∗1∗( 0.78 )

6

6−0

p ( x=0 )= 6 ∗1∗0.22 0

()

p ( x=0 )=0.22 GeoGebra

3.Dos piezas defectuosas como máximo. Tenemos: p ( x ) = n p x ( 1−p )n−x x

()

n=6 ; p=0.22 ; x=2 p ( x=2 )=

(62)∗0.22 ∗( 1−0.22 )

p ( x=2 )=

6! ∗0.222 ( 1−0.22 )6−2 2! (6−2 ) !

2

6−2

720 ∗0.0484∗( 0.78 )4 2( 4 ) ! 720 p ( x=2 )= ∗0.0484∗0.37 2∗24 p ( x=2 )=

p ( x=2 )=15∗0.0484∗0.37 p ( x=2 )=0.27 Por lo tanto: p ( x=0 ) + p ( x=1 ) + p ( x=2 ) 0.22+0.38+ 0.27 ¿ 0.87 GeoGebra

Ejercicio 2– Distribución Poisson a. El número promedio de derrames de crudo que se presentan en el río Magdalena es de 0.35 al mes. Cuál es la probabilidad de que el próximo mes se presenten: 1. Dos derrames. Tenemos: p ( x) =

e−λ∗λ x x!

Donde: e=2.7182 ; λ=0.35 ; x=2 Reemplazamos: p ( x=2 )=¿ ¿ p ( x=2 )=¿ ¿ p ( x=2 )=

0.7046∗0.1225 2

p ( x=2 )=

0.0863 2

p ( x=2 )=0.0432

GeoGebra

2.Más de un derrame Tenemos: p ( x) =

e−λ∗λ x x!

Tenemos: p ( x>1 ) =p ( x=2 )+ p ( x=3 )+ p ( x=4 ) … n Debemos calcular:

p ( x ≤ 1 )= p ( x=0 ) + p ( x=1 ) Donde: e=2.7182 ; λ=0.35 ; x=0 Reemplazamos para p ( x=0 ) p ( x=0 )=¿ ¿ p ( x=0 )=¿ ¿ p ( x=0 )=

0.70469∗1 1

p ( x=0 )=0.70469 Reemplazamos para p ( x=1 ) p ( x=1 )=¿ ¿ p ( x=1 )=¿ ¿ p ( x=1 )=

0.70469∗0.35 1

p ( x=1 )=

0.24664 1

p ( x=1 )=0.24664 Entonces: p ( x ≤ 1 )= p ( x=0 ) + p ( x=1 ) ¿ 0.70469+0.24664 ¿ 0.95133 p ( x>1 ) =1− p ( x ≤ 1 ) ¿ 1−0.95133 ¿ 0.0487 GeoGebra

Ejercicio 3–Distribución hipergeométrica a. Cada uno de 15 air fryer de cierta marca ha sido regresada a un distribuidor debido a que el sistema de encendido digital se bloquea. Suponga que 9 de estos air fryer tienen un encendido digita defectuoso y que los otros 6 tienen problemas menos serios. Si los air fryer se examinan en orden aleatorio, Cuál es la probabilidad de que entre los primeros 8 examinados: 1) 6 tengan un encendido digital defectuoso. Tenemos:

( kx )¿ ¿

p ( x) =

Donde: k =9 ; x=6 ; N =15; n=8

Reemplazamos: p ( x=6 )= 9 ¿ ¿ 6

()

9 6 ( 6 )( 2 ) p ( x=6 )= ( 158) p ( x=6 )=

84∗15 6435

p ( x=6 )=

1260 6435

p ( x=6 )=0.1958 GeoGebra

2) Entre 3 y 7 inclusive tengan el encendido digital defectuoso. Tenemos:

p ( 3≤ x ≤ 7 ) =p ( x=3 )+ p ( x=4 )+ p ( x=5 ) + p ( x=6 )+ p ( x=7 ) p ( x=3 )= 9 ¿ ¿ 3

()

9 6 ( 3 )( 5 ) p ( x=3 )= (158) p ( x=3 )=

84∗6 6435

p ( x=3 )=

504 6435

p ( x=3 )=0.0783 p ( x=4 )= 9 ¿ ¿ 4

()

9 6 ( 4 )( 4 ) p ( x=4 )= (158) p ( x=4 )=

126∗15 6435

p ( x=4 )=

1890 6435

p ( x=4 )=0.2937 p ( x=5 )= 9 ¿ ¿ 5

()

9 6 ( 5 )( 3 ) p ( x=5 )= (158)

p ( x=5 )=

126∗20 6435

p ( x=5 )=

2520 6435

p ( x=5 )=0.3916 p ( x=7 )= 9 ¿ ¿ 7

()

9 6 ( 3 )( 1 ) p ( x=7 )= (158) p ( x=7 )=

36∗6 6435

p ( x=7 )=

216 6435

p ( x=7 )=0.0336 Luego: p ( 3≤ x ≤ 7 ) =p ( x=3 )+ p ( x=4 )+ p ( x=5 ) + p ( x=6 )+ p ( x=7 ) p ( 3≤ x ≤ 7 ) =0.0783+0.2937+ 0.3916+0.1958+0.0336 p ( 3≤ x ≤ 7 ) =0.993

GeoGebra

Ejercicio 4. Distribución Normal. a. Suponga que la fuerza que actúa en una columna que ayuda a soportar un edificio está normalmente distribuida con media de 15.0 kilolibras (kips) y desviación estándar de 1.25 kilolibras (kips). 1) ¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza sea de más de 18 kilolibras? Tenemos: N ( X ,σ ) N (15,1.25) Donde: Z=

X−μ σ

Reemplazamos x=màs de 18 kips, para locual se tomara un x=18.01

Z=

18.01−15 1.25

Z=

3.01 1.25

Z=2.408 Luego tipificamos: p ( x>18 )= p ( z =2.408 )=0.0080 GeoGebra

2) ¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza esté entre 10 y 12 kilolibras? Tenemos: p(10 ≤ x ≤ 12) Hallamos: p(z ≤10) Z=

X−μ σ

Z=

10−15 1.25

Z=

−5 1.25

Z=−4 Hallamos: p(z ≤12)

Z=

X−μ σ

Z=

12−15 1.25

Z=

−3 1.25

Z=−2.4 Tipificamos: p(−4 ≤ z ≤−2.4 ) p(z ≤−2.4) p ( 10≤ x ≤ 12 ) ≈ p ( z ≤ 2.4 )=0.0082 GeoGebra

Ejercicios literal b (Carlos Alberto Vera Castillo) Ejercicio 1 – Distribución Binomial b. De todas las Tablet de cierto tipo llevadas a servicio mientras se encuentran dentro de la garantía el 70% pueden ser reparadas, mientras el 30% restante deben ser reemplazadas con unidades nuevas. Si una compañía adquiere diez de estas Tablet, ¿Cuál es la probabilidad de que: 1) ¿Exactamente dos sean reemplazadas bajo garantía? P ( X=r )= n pr q n−r r

()

X =tablet reemplazadas bajo garantia . r =2 n=10 p=30 %=

30 =0,3 100

q=1− p=1−0,3=0,7 Reemplazamos los datos en la formula

(102) 0,3 ¿ 0,7 2

P ( X=2 )= ¿

10−2

10! ∗0,32∗0,78 2! ( 10−2 ) !

¿ 0,2334

2) ¿Ninguna sea reemplazada bajo garantía?

( nr) p q 10 P ( X=0 )=( ) 0,3 0 P ( X=r )=

¿

r

n−r

0∗¿0,710−0 ¿

10 ! ∗0,30∗0,7 10 0! (10−0 ) !

¿ 0,0282

3) ¿Al menos 4 sean reemplazadas bajo garantía?

P ( x ≥ 4 )=1−[P ( X =0 ) + P ( X =1 )+ P ( X=2 ) + P ( X=3 ) ]

( nr) p q 10 P ( X=0 )=( ) 0,3 0 P ( X=r )=

¿

r

n−r

0∗¿0,710−0 ¿

10 ! ∗0,30∗0,7 10 0! (10−0 ) !

¿ 0,0282∗100 %=2,82 %

( nr) p q 10 P ( X=1 ) =( ) 0,3 1 P ( X=r )=

¿

r

n−r

1∗¿ 0,710−1 ¿

10 ! ∗0,31∗0,7 9 1! ( 10−1 ) !

¿ 0,121

( nr) p q 10 P ( X=2 )=( ) 0,3 ¿ 0,7 2 P ( X=r )=

r

n−r

2

¿

10! ∗0,32∗0,78 2! ( 10−2 ) !

¿ 0,2334

( nr) p q

P ( X=r )=

r

n−r

10−2

P ( X=3 )= 10 0,33 ¿ 0,710−3 3

( )

¿

10! ∗0,3 2∗0,77 3! ( 10−3 ) !

¿ 0,2668 P ( X ≥ 4 ) =1−[0,0282+0,121+0,2334 +0,2668] P ( X ≥ 4 ) =0,3506

Ejercicio 2– Distribución Poisson b. El número de Tecnólogos en sistemas que gradúa la UNAD es en promedio de 30 al año. Calcula la probabilidad de que este año gradúe: 1) ocho tecnólogos en sistemas. p ( x) =

λ x ∗e−λ x!

λ=30 x=8 p ( 8 )=

308∗e−30 8!

p ( 8 )=0,000001522

2) Mas de 40 tecnólogos en sistemas. p ( x) =

λ x ∗e−λ x!

λ=30 x=40 P( X > 40) p ( 40 ) =1−

3040∗e−30 40 !

p ( 40 ) =0,9860

Ejercicio 3. Distribución Hipergeométrica. b. Suponga que una familia tiene 6 hijos, 2 niños y 4 niñas y se gana un viaje para 3 niños a Disney por tanto decide elegir al azar cuales tres niños enviarán al viaje. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que envíe a 3 niñas? k N −K ( x )( n −x ) f = ( x )= ( Nn ) N=6 n=4 K=3 x=3 3 6 −3 ( 3 )( 4 −3) f =( 3 ) = (64 )

3! 3! ∗ ( ) ( 3 ! ( 3−3 ) ! 1 ! ( 3−1 ) ! ) f =( 3 ) = 6! ( 4 ! ( 6−4 ) !)

f =( 3 ) =

1∗3 15

¿ 0,2

2) ¿Cuál es la probabilidad de que envíe entre 1 y 3 niñas?

P ( 1< X