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Universidad Industrial de Santander

INFORME N° 2 COEFICIENTE DE MANNING

Laboratorio de Hidráulica

Presentado por: José David Quijano Hincapié Adriana Marcela Prada Figueroa

Santander Bucaramanga 2019

OBJETIVOS  Determinar experimentalmente el coeficiente de rugosidad de Manning para un canal de vidrio recto abierto a superficie libre, variando la pendiente presente en este.  Calcular las diferentes propiedades geométricas del canal presente en la práctica.  Establecer las posibles causas de error presentes en el cálculo del coeficiente de rugosidad de Manning.  Identificar los diferentes casos del canal en donde se ve afectado el coeficiente de rugosidad de Manning. MARCO TEORÍCO 

Flujo uniforme

Se considera que el flujo uniforme tiene las siguientes características principales: La profundidad, el área mojada, la velocidad y el caudal en cada sección del canal son constantes.  

Perímetro mojado: Es el contorno del canal que está en contacto con el agua. Área mojada: Es la superficie que ocupa el agua en una sección perpendicular al flujo. Esta sección está definida, en la parte superior por la línea de agua, y en la parte inferior por el canal mismo.

1. La línea de energía, la superficie del agua y el fondo del canal son paralelos, es decir, sus pendientes son todas iguales 𝑆𝑓 = 𝑆𝑤 = 𝑆𝑜 = 𝑆, donde 𝑆𝑓 es la pendiente de la línea de energía, 𝑆𝑤 es la pendiente del agua y 𝑆𝑜 es la pendiente del fondo del canal. Cuando el flujo ocurre en un canal abierto, el agua encuentra resistencia a medida que fluye aguas abajo. Esta resistencia por lo general es contrarrestada por las componentes de las fuerzas gravitacionales que actúan sobre el cuerpo de agua en la dirección del movimiento. Un flujo uniforme se alcanzará si la resistencia se equilibra con las fuerzas gravitacionales. La profundidad del flujo uniforme se conoce como profundidad normal.

La mayor parte de las ecuaciones prácticas de flujo uniforme pueden expresarse en la forma 𝑉 = 𝐶𝑅 𝑋 𝑆 𝑌 , donde V es la velocidad media; R es el radio hidráulico; S es la pendiente de la línea de energía; X y Y son exponentes; y C es un factor de resistencia al flujo, el cual varía con la velocidad media, el radio hidráulico, la rugosidad del canal, la viscosidad y muchos otros factores. 

Radio hidráulico: es el cociente entre el área de la sección mojada y el perímetro mojado. El perímetro mojado es el contorno de la sección que está en contacto con el agua. 𝐴 𝑅= 𝑃

Se han desarrollado y publicado una gran cantidad de ecuaciones prácticas de flujo uniforme. Las ecuaciones mejor conocidas y más ampliamente utilizadas son las ecuaciones de Chézy y de Manning. 

La ecuación de Chézy

En 1769 el ingeniero francés Antoine Chézy desarrolla probablemente la primera ecuación de flujo uniforme, la famosa ecuación de Chézy, que a menudo se expresa como: 𝑉 = 𝐶√𝑅𝑆 donde V es la velocidad media, R es el radio hidráulico, S es la pendiente de la línea de energía y C es un factor de la resistencia al flujo, conocido como C de Chézy.  Características de C: 

El Coeficiente de Chézy (C) no es a dimensionado. Sus dimensiones son 𝐿1/2 𝑇 −1, por lo que en el sistema métrico tiene unidades ( 𝑚1/2 /𝑠 ).



C depende de la geometría de la sección, del radio hidráulico (R), de la rugosidad de los bordes y eventualmente también del número de Reynolds.



El valor del Coeficiente de Chézy (C), utilizando el sistema métrico decimal. varía entre 40 y 100 en función del tipo de canal y de las condiciones de flujo.



Estudios posteriores mostraron que no es correcto suponer que el coeficiente de Chézy es constante para todos los niveles de flujo, lo cual es uno de los motivos importantes para que esta ecuación no sea utilizada extensivamente.

La ecuación de Chézy puede deducirse matemáticamente a partir de dos suposiciones. 1. Fue hecha por Chézy y establece que la fuerza que resiste el flujo por unidad de área del lecho de la corriente es proporcional al cuadrado de la velocidad, es decir 𝐾𝑉 2 , donde K es una constante de proporcionalidad. La superficie de contacto del flujo con el lecho de la corriente es igual al producto del perímetro mojado y la longitud del tramo del canal (𝑃𝐿). Entonces la fuerza total que resiste al flujo es igual a 𝐾𝑉 2 𝑃𝐿

2. La segunda suposición es el principio básico de flujo uniforme, el cual se cree que fue establecido por primera vez por Brahms en 1754. Ésta establece que en el flujo uniforme la componente efectiva de la fuerza gravitacional que causa el flujo debe ser igual a la fuerza total de resistencia. La componente efectiva de la fuerza gravitacional es paralela al fondo del canal e igual a 𝑤𝐴𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑤𝐴𝐿𝑆 donde w es el peso unitario del agua, A es el área mojada, 𝜃 es el ángulo de la pendiente y S es la pendiente del canal. Entonces: 𝑤𝐴𝐿𝑆 = 𝐾𝑉 2 𝑃𝐿 Como 𝐴 =𝑅 𝑃 y si el radical √

𝑤 𝑘

se reemplaza por un factor C, la ecuación anterior se reduce a la ecuación de Chézy o

𝑤 𝐴 𝑣 = √ ∗ ∗ 𝑆 = 𝐶√𝑅𝑆 𝑅 𝑃 

La ecuación de Manning

En el año 1889, el ingeniero irlandés Robert Manning, presentó por primera vez la ecuación durante la lectura de un artículo en una reunión del Institute of Civil Engineers de Irlanda. El artículo fue publicado más adelante en Transactions, del Instituto. La ecuación en principio fue dada en una forma complicada y luego simplificada a: 𝑉 = 𝐶 ∗ 𝑅 2/3 ∗ 𝑆 1/2 donde V es la velocidad media, C el factor de resistencia al flujo, R el radio hidráulico y S la pendiente. Esta fue modificada posteriormente por otros y expresada en unidades métricas como: 1 𝑉 = ( ) ∗ 𝑅 2/3 ∗ 𝑆 1/2 𝑛 siendo n el coeficiente de rugosidad Manning. Más tarde, fue convertida otra vez en unidades inglesas, resultando en: 1.486 𝑉=( ) ∗ 𝑅 2/3 ∗ 𝑆 1/2 𝑛 La ecuación de Manning es el resultado del proceso de un ajuste de curvas, y por tanto es completamente empírica en su naturaleza. Debido a su simplicidad de forma y a los resultados satisfactorios que arroja para aplicaciones prácticas, la fórmula Manning se ha hecho la más usada de todas las fórmulas de flujo uniforme para cálculos de escurrimiento en canal abierto. El valor de n es muy variable y depende de una cantidad de factores. Al seleccionar un valor adecuado de n para diferentes condiciones de diseño, un conocimiento básico de estos factores debe ser considerado de gran utilidad, se mencionan los más importantes. o

Factor que afecta el coeficiente de rugosidad de Manning:

El valor de n es una variable y depende de una cantidad de factores, al seleccionar un valor adecuado de n para diferentes condiciones de diseño, un conocimiento de estos factores debe ser considerado. Los factores que ejercen la más grande influencia sobre el coeficiente de rugosidad en ambos canales, artificial y natural son entonces descritos a continuación: a) Rugosidad de la Superficie.

Se presenta por el tamaño y la forma de los granos del material que forma el perímetro mojado y que producen un efecto retardante sobre el flujo. La superficie rugosa del perímetro de un canal proporciona un punto crítico de referencia en la estimación de n. Cuando el material del perímetro es fino el valor de n es bajo y relativamente no es afectado por cambios en el tirante del flujo, sin embargo, cuando el perímetro es compuesto de grava y/o piedras el valor de n es mayor y puede variar significativamente con el tirante del flujo. b) Vegetación. Puede ser vista como una clase de rugosidad superficial. Este efecto depende principalmente de la altura, densidad, distribución y tipo de vegetación, y es muy importante en el diseño de canales pequeños de drenaje, ya que por lo común éstos no reciben mantenimiento regular. c) Irregularidad del Canal. Comprende irregularidades en el perímetro mojado y variaciones en la sección transversal, tamaño y forma a lo largo de la longitud del canal. En los canales naturales, tales irregularidades son introducidas normalmente debido a la presencia de barras de arena, ondas arenosas, promotorias y depresiones, hoyos y relieves en el lecho del canal. En las variaciones graduales tienen un efecto insignificante sobre n, pero cambios abruptos mayores de n, de lo que podría esperarse si se considera únicamente la superficie rugosa del canal. d) Obstrucción. La presencia de troncos, pilares de puentes y semejantes tiende a aumentar n, el monto del aumento depende de la naturaleza de la obstrucción, su tamaño, forma, número y distribución. e) Nivel de agua y descarga. El valor n, en la mayoría de las corrientes decrece con el aumento en el nivel y en el caudal. Cuando el agua está baja las irregularidades del fondo del canal están expuestas y sus efectos se hacen pronunciados. Sin embargo, el valor de n, puede ser grande para niveles altos si los bancos son rugosos y con mucha vegetación. Para calcular entonces el coeficiente de rugosidad n se dispone de tablas y una serie de fotografías que muestran valores típicos del coeficiente n para un determinado tipo de canal. Aparte de estas ayudas, se encuentra en la literatura numerosas fórmulas para expresar el coeficiente de rugosidad de Manning en función del diámetro de las partículas, las cuales tienen la forma n = m D1/6, donde m es un factor de escala y D es un diámetro característico del material del lecho (D50, D75, D84, D90).

CALCULOS TIPO  Coeficiente de Manning  41,2 [cm]

b Lc n_Teórico ∆ [cm]

830 [cm] 0,011 Q [L/S]

2 4 6

Q [cm3/s] Y1 [cm] 25,92 25920 17,63 17630 17,54 17540 25,81 25810 25,84 25840 17,29 17290

Y2 [cm] 11 9,3 7 7,4 7,5 5,9

Y3 [cm] 11,2 8,9 7,3 8,9 6,4 5,2

9 6,7 6,7 8 7,3 5,9

Hallar % Error

𝑌𝑝 =

𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 11 + 11.2 + 9 = = 10.40 3 3

𝑆𝑜 =

∆𝐻 2 = = 0,002409 𝐿𝑐 830

𝑃 = 2 ∗ 𝑌𝑝 + 𝑏 = 2 ∗ 10.40 + 41.2 = 62.0 𝐴 = 𝑏 ∗ 𝑌𝑝 = 41.2 ∗ 10.40=428.5 𝑅=

𝐴 428.5 = = 6.91 𝑃 62.0 2

1

2

1

𝐴𝑅 3 𝑆𝑜 2 (428.5𝑥10−4 )(6.91𝑥10−2 )3 (0.002409)2 𝑛𝑒𝑥𝑝 = = = 0.0137 𝑄 25.92/1000 𝑛𝑝 = (𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 𝑛5 + 𝑛6)/6 = 0.1423 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

𝑛𝑡𝑒𝑜 − 𝑛𝑒𝑥𝑝 0.011 − 0.0134 = = 24.23% 𝑛𝑡𝑒𝑜 0.011

Hallar tipo de flujo

𝑞= 𝑁

𝑄 ∗ 1000 25.92 ∗ 1000 = = 629.13 𝑏 41.2

𝑞2 629.132 √ 𝑁𝑜 𝑓𝑟𝑢𝑒 = √ = = 0.6 𝑔𝑦𝑝3 981(10.40)3 FLUJO SUBCRITICO

Hallar Sc 𝑞2 629.132 𝑌𝑐 = √ = √ = 7.38 𝑐𝑚 𝑔 981 𝑃𝑐 = 2 ∗ 𝑌𝑐 + 𝑏 = 2 ∗ 7.38 + 41.2 = 55.98 𝐴𝑐 = 𝑏 ∗ 𝑌𝑐 = 41.2 ∗ 7.38 = 304.44 𝐴𝑐 304.44 𝑅𝑐 = = = 5.44 𝑃𝑐 55.98 𝑄∗𝑛 2 25.92/1000 ∗ 0.0142 2 𝑆𝑐 = ( 2) = ( 2 ) = 0.00712 −4 −2 𝐴𝑐 ∗ 𝑅𝑐 3 304.44𝑥10 ∗ (5.44𝑥10 )3

 Variación del caudal con la profundidad D n S

1 0,009 0,1

Hallar v/vo Y Q/Qo 𝑦 𝜃 = 2 cos−1(1 − 2 ∗ ) = 2 cos −1 (1 − 2 ∗ 0.05) = 0.902[𝑟𝑎𝑑] 𝑑 (1)2 𝑑2 𝐴= (𝜃 − sin 𝜃) = (0.902 − sin(0.902)) = 0.0146[𝑟𝑎𝑑] 8 8 𝐴 0.0146 𝑅= = = 0.0325[𝑟𝑎𝑑] 𝜃 ∗ 𝑑/2 0.902 ∗ 0.5 𝑉=

2 1 2 1 1 1 ∗ (𝑅 3 𝑆 2 ) = ∗ (0.03253 0.12 ) = 3.58 𝑛 0.009

𝑄=

2 1 2 1 1 1 ∗ 𝐴 ∗ (𝑅 3 𝑆 2 ) = ∗ 0.0146 ∗ (0.03253 0.12 ) = 0.000237 𝑛 0.009

𝑃𝑜 = ᴫ𝐷 = ᴫ ∗ 1 = 3.14 ᴫ𝐷 2 ᴫ(1)2 𝐴𝑜 = = = 0.785 4 4 𝑅𝑜 =

𝐴 0.785 = = 0.25 𝑃 3.14

𝑉𝑜 =

2 1 2 1 1 1 ∗ (𝑅𝑜 3 𝑆 2 ) = ∗ (0.253 0.12 ) = 13.94 𝑛 0.009

𝑄𝑜 =

2 1 2 1 1 1 ∗ 𝐴𝑜 ∗ (𝑅𝑜 3 𝑆 2 ) = ∗ 0.785 ∗ (0.253 0.12 ) = 0.049 𝑛 0.009

𝑉 3.58 = = 0.256 𝑉𝑜 13.94

𝑄 0.000237 = = 0.0048 𝑄𝑜 0.049

RESULTADOS  Coeficiente de Manning

∆ [cm]

Q [L/S]

2

 4 6

Q [cm3/s] Y1 [cm] 25,92 25920 17,63 17630 17,54 17540 25,81 25810 25,84 25840 17,29 17290

P [cm] A [cm^2]R [cm] n_exp n_teorico %error q 62,0 428,5 6,91 0,01366566 0,011 24,233 57,8 342,0 5,92 0,01445653 0,011 31,423 55,2 288,4 5,22 0,01595245 0,011 45,022 57,4 333,7 5,81 0,01347097 0,011 22,463 55,3 291,1 5,26 0,01345156 0,011 22,287 52,5 233,5 4,44 0,01440433 0,011 30,948 np 0,01423358

Y2 [cm] 11 9,3 7 7,4 7,5 5,9

Y3 [cm] 11,2 8,9 7,3 8,9 6,4 5,2

Yp [cm] So 9 10,40 0,00240964 6,7 8,30 6,7 7,00 0,00481928 8 8,10 7,3 7,07 0,00722892 5,9 5,67

No Frue Tipo de flujo Yc [cm] Pc 629,126 0,599 Subcritico 7,389 427,913 0,571 Subcritico 5,715 425,728 0,734 Subcritico 5,696 626,456 0,868 Subcritico 7,368 627,184 1,066 Subcritico 7,374 419,660 0,993 Subcritico 5,641

Ac 55,979 52,630 52,591 55,937 55,948 52,483

Rc 304,438 235,457 234,655 303,576 303,812 232,420

Sc 5,438 0,007127372 4,474 0,007151663 4,462 0,00715274 5,427 0,007127002 5,430 0,007127101 4,429 0,007155864

-Variación del caudal con la profundidad Po Ao Ro Vo Qo

3,14159265 0,78539816 0,25 13,9438969 0,0492818 y/d 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1

θ 0,9021 1,2870 1,5908 1,8546 2,0944 2,3186 2,5322 2,7389 2,9413 3,1416 3,3419 3,5443 3,7510 3,9646 4,1888 4,4286 4,6924 4,9962 5,3811 6,2832

A 0,015 0,041 0,074 0,112 0,154 0,198 0,245 0,293 0,343 0,393 0,443 0,492 0,540 0,587 0,632 0,674 0,712 0,745 0,771 0,785

Manning R V 0,033 3,582 0,064 5,594 0,093 7,206 0,121 8,576 0,147 9,770 0,171 10,822 0,193 11,754 0,214 12,580 0,233 13,308 0,250 13,944 0,265 14,492 0,278 14,954 0,288 15,329 0,296 15,614 0,302 15,805 0,304 15,892 0,303 15,860 0,298 15,677 0,286 15,268 0,250 13,944

V/Vo 0,257 0,401 0,517 0,615 0,701 0,776 0,843 0,902 0,954 1,000 1,039 1,072 1,099 1,120 1,133 1,140 1,137 1,124 1,095 1,000

Q 0,000237 0,001029 0,002396 0,004316 0,006751 0,009651 0,012958 0,016607 0,020527 0,024641 0,028865 0,033109 0,037277 0,041261 0,044939 0,048171 0,050782 0,052524 0,052954 0,049282

Curva de relación Q/Qo, V/Vo 1.2 1

Y/D

0.8 0.6

V/Vo

0.4

Q/Qo

0.2 0 0.000

0.200

0.400

0.600 Q/Qo , V/Vo

0.800

1.000

1.200

Q/Qo 0,00480 0,02088 0,04861 0,08757 0,13698 0,19583 0,26294 0,33699 0,41653 0,50000 0,58571 0,67184 0,75641 0,83724 0,91188 0,97747 1,03044 1,06580 1,07451 1,00000

ANÁLISIS DE RESULTADOS  ¿Por qué cree que el valor de la pendiente So y Sc son diferentes? So es la pendiente longitudinal del fondo del canal, mientras que Sc es la pendiente longitudinal del canal que haría que el flujo fuese uniforme y crítico. Asimismo si So>Sc se dice que el canal tiene pendiente suave pero si So>Sc el canal tiene una pendiente fuerte.  ¿Por qué es tan importante saber el tipo de flujo en un diseño hidráulico? En el diseño Hidráulico de un canal se dispone de datos tales como la forma de la sección transversal del canal, la pendiente, el coeficiente de rugosidad de Manning y el caudal de diseño, con estos datos y alguno de los métodos del diseño hidráulico del canal, se obtiene una de las dimensiones de este; luego, se calcula el flujo normal requerido para el caudal.

 ¿Qué factores cree que ocasionaron el error obtenido? Falta de precisión tanto del instrumento de medición como error humano en la lectura de la pendiente y de la cota de profundidad, puesto que cualquier error en esta medida altera de manera significativa el coeficiente de rugosidad.

 Para las condiciones de laboratorio ¿Qué coeficiente de Manning es más confiable, el estimado experimentalmente en la práctica o el que ya está establecido por el acrílico(n=0.011)? Es más confiable el ya establecido, puesto que este coeficiente ya fue hallado y comprobado varias veces para este tipo de material omitiendo cualquier causa de error que alterara su valor con el fin de obtener diseños de calidad.

Conclusiones ●

●

Las posibles causas de error se debieron a errores humanos en la toma de las alturas en el canal, ya que no se utilizó instrumentos de medida adecuados. Además dicha altura se presentaba de manera variable, imposibilitando tomar medidas precisas del flujo. El valor máximo del caudal se da para la relación Y/D, se puede corroborar además que la máxima velocidad del flujo en el canal se encuentra en este mismo punto.

Bibliografía  ARAMBURO, L.E., Hidraulica aplicada, Editorial Publicaciones Uis,1995.  POSADA M., Javier Eduardo. Determinación del Coeficiente de Rugosidad en Canales Naturales. Facultad de minas. Universidad Nacional de Colombia. Medellín, 1998.