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• Edison Alvarado

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Introducción a la Robótica Industrial Dr. Angel D. Sappa

1

Presentación General Unidades 1 Introducción y conceptualización del manipulador robótico

2 Representación matemática de los manipuladores 3 Cinemática del manipulador 4 Dinámica del manipulador

5 Generación de trayectorias 6 Programación de robots industriales 2

Recap

Representación matemática de los manipuladores 1. Notación 2. Representación de la posición

Conceptos Básicos

3. Representación de la orientación 4.Transformaciones ➔ Composición de transformaciones 5. Cuaternios 3

Representación matemática de los manipuladores

• Arquitectura de robots • Representación Denavit & Hartemberg • Ejemplo • Simulador ARTE 4

Representación matemática de los manipuladores

• Arquitectura de robots • Representación Denavit & Hartemberg • Ejemplo • Simulador ARTE 5

Arquitectura de robots

Eslabones y articulaciones

Para controlar un robot ➔ es necesario conocer relaciones entre los movimientos de las articulaciones (entrada) y los movimientos del elemento terminal (salida)

6

Arquitectura de robots REPASO

Un robot ➔ eslabones interconectados por articulaciones

Grado de libertad (GDL) del robot ➔  (GDL)articulaciones Eslabones y articulaciones

(DOF acrónimo en ingles)

7

Arquitectura de robots REPASO

Articulaciones y GDL • Articulación Rotacional (1GDL)

Eslabones y articulaciones

• Articulación Prismática (1GDL) • Articulación Helicoidal (1GDL) • Articulación Cilíndrica (2GDL) • Articulación Planar (2GDL)

• Articulación Esférica (3GDL) 8

Cinemática de los Manipuladores La cinemática de un manipulador estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia La cinemática busca la descripción analítica del

Eslabones y articulaciones

movimiento espacial del robot como una función del tiempo Relaciona la posición y la orientación del elemento terminal

del robot con respecto a los valores que toman sus coordenadas articulares 9

Cinemática de los Manipuladores El problema cinemático puede dividirse en dos:

Eslabones y articulaciones

Problema Cinemático Directo: determinar la posición y orientación del elemento terminal del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones (ángulos, desplazamientos, etc.) y los parámetros geométricos de los elementos del robot (p.e. longitud de los eslabones)

Problema Cinemático Inverso: determinar la configuración que adoptará el robot para una posición y orientación del elemento terminal conocidas

10

Cinemática de los Manipuladores

Eslabones y articulaciones

Problema Cinemático Directo: si conocemos lo valores de cada una de las articulaciones i(t), i: 1… n, calcular X(t), Y(t), Z(t), (t), β(t), (t)

Problema Cinemático Inverso: dado X(t), Y(t), Z(t), (t), β(t), (t), calcular los valores de cada una de las articulaciones i(t), i: 1… n

11

Cinemática de los Manipuladores

Eslabones y articulaciones

Cinemática Directa Ángulos y/o desplazamientos de articulaciones (coordenadas articulares i(t), i: 1… n)

Parámetros de los elementos y de las articulaciones

Posición y Orientación del elemento terminal X(t), Y(t), Z(t), (t), β(t), (t)

Cinemática Inversa 12

Problema cinemático inverso

Eslabones y articulaciones

En general el modelo cinemático inverso es el más usual ➔ necesidad de posicionar el elemento terminal del robot, o alguna herramienta para realizar alguna tarea El desplazamiento espacial del elemento terminal se debe a rotaciones/translaciones de los elementos anteriores

13

Problema cinemático directo

Eslabones y articulaciones

Determinar la posición y orientación del elemento terminal del robot para un conjunto dado de valores de articulaciones y parámetros geométricos propios del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia

Fijando el sistema de referencia en la base del robot ➔ describimos la localización de cada eslabón con respecto a dicho sistema de referencia utilizando una matriz de transformación homogénea T

El problema cinemático directo ➔ encontrar una matriz T que relacione la posición y orientación del elemento terminal respecto al sistema de referencia fijo 14

Matrices de transformación homogénea La matriz T es función de las coordenadas articulares

Cinemática Directa

Utilizando coordenadas cartesianas y ángulos de Euler, para representar la posición y orientación del extremo de un robot de seis grados de libertad se obtienen las siguientes relaciones: x = fx (q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 ) y = fy (q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 ) z = fz (q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 )  = f (q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 )  = f (q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 )  = f (q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 ) 15

Matrices de transformación homogénea

Cinemática Directa

Como obtener la matriz T?

16

Matrices de transformación homogénea Ejemplo, robot de 2 GDL

X’ Y’

Cinemática Directa

Utilizando consideraciones geométricas se puede obtener [x y z] como función de (q1, q2):

Posición

Orientación

x = l1 cos(q1) + l2 cos(q1 + q2) y = l1 sen(q1) + l2 sen(q1 + q2) z=0 [noa] = Rotz(q1 + q2) 17

Matrices de transformación homogénea En el caso de más grados de libertad es más sencillo plantearse un método sistemático basado en la utilización de matrices de transformación homogéneas

Un robot de n grados de libertad, en general está formado por n eslabones unidos por n articulaciones:

Cinemática Directa

• A cada eslabón se le puede asociar un sistema de referencia solidario • Utilizando transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que componen el robot

18

Representación matemática de los manipuladores

• Arquitectura de robots • Representación Denavit & Hartemberg • Ejemplo • Simulador ARTE 19

Cinemática de los Manipuladores

Denavit y Hartenberg (1955) propusieron un

método sistemático para describir y representar la Eslabones y articulaciones

geometría espacial de los elementos de un brazo con respecto a un sistema de coordenadas fijos a través de matrices de transformación homogéneas

20

Cinemática Directa

Matrices de transformación homogénea •

La matriz homogénea que representa la posición y orientación relativa entre sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se la representa i-1Ai

•

0A 1

•

1A 2

•

0A k

➔ Describe la posición y orientación del sistema de referencia solidario al primer eslabón con respecto al sistema de referencia solidario a la base ➔ Describe la posición y orientación del segundo eslabón respecto al primero

➔ representa las matrices resultantes del producto de las matrices i-1Ai con i desde 1 hasta k

21

Matrices de transformación homogénea Ejemplos: •

Representación parcial: posición y orientación del sistema del segundo eslabón con respecto al sistema de coordenadas de la base del robot 0A2 0A 2

•

Representación parcial: tercer eslabón respecto a la base 0A3

Cinemática Directa

0A 3

•

= 0A1 1A2

= 0A1 1A2 2A3

Si consideramos todos los grados de libertad se obtiene T: T = 0A6 = 0A1 1A2 2A3 3A4 4A5 5A6 22

Matrices de transformación homogénea

Para sistematizar la representación de elementos contiguos Denavit-Hartenberg (DH) propusieron un método matricial que permite representar un sistema de coordenadas {Si}, ligado al eslabón i, respecto a su

Cinemática Directa

sistema anterior

➔ ecuaciones cinemáticas de todo el brazo articulado

23

Cinemática Directa

Matrices de transformación homogénea

•

Escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabón ➔ podemos pasar de un eslabón al siguiente mediante 4 transformaciones básicas

•

Las transformaciones dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón

24

Cinemática Directa

Matrices de transformación homogénea •

El paso de {Si} a {Si-1} está garantizado sí y solo sí los sistemas {Si} y {Si-1} han sido definidos de acuerdo a un conjunto de normas

•

DH plantea el cambio del sistema de referencia (representación de i-1Ai) utilizando 4 transformaciones sucesivas:

1.

Rotación alrededor del eje zi-1 un ángulo i

2.

Traslación a lo largo de zi-1 una distancia di; vector di (0,0,di)

3.

Traslación a lo largo de xi una distancia ai; vector ai (ai,0,0)

4.

Rotación alrededor del eje xi un ángulo i

25

Matrices de transformación homogénea

Cinemática Directa

i-1A i

= T (0, 0, di) T(z, i ) T (ai , 0, 0) T (x, i )

Matriz de D-H

26

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Cinemática Directa

Obtención del modelo cinemático directo

•

Para que i-1Ai relacione los sistemas {Si-1} y {Si} es necesario que los sistemas se hayan escogido de acuerdo a unas determinadas normas

•

La definición de los 4 parámetros de Denavit Hartenberg y las normas antes mencionadas conforman el algoritmo DH para la resolución del problema cinemático directo

27

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Cinemática Directa

1er. Paso ➔ Situar los ejes •

DH-1) Numerar los eslabones: comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot

•

DH-2) Numerar cada articulación: comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando con n

•

DH-3) Localizar el eje de cada articulación: Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento

28

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Cinemática Directa

1er. Paso ➔ Situar los ejes •

DH-4) Situar el eje zi: Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1

•

DH-5) Situar el origen del sistema de la base {S0}: en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0

•

DH-6) Situar el sistema {Si} solidario al eslabón i: para i de 1 a n-1 en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi: 1) Si ambos ejes se cortasen: {Si} se situará en el punto de corte 2) Si fuesen paralelos: {Si} se situará en la articulación i+1

29

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Cinemática Directa

1er. Paso ➔ Situar los ejes •

DH-7) Situar xi: en la línea normal común a zi-1 y zi

•

DH-8) Situar yi: de modo que forme un sistema dextrógiro con x i y zi

•

DH-9) Situar el sistema {Sn}: en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

30

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Cinemática Directa

2do. Paso ➔ Hallar los parámetros DH •

DH-10) Obtener i: como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos

•

DH-11) Obtener di: como la distancia, a lo largo de zi-1 , que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados

•

DH-12) Obtener ai: como la distancia a lo largo de xi (que ahora coincidiría con xi-1) que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}

•

DH-13) Obtener i: como el ángulo que habría que girar entorno a xi (que ahora coincidiría con xi-1) para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si} 31

Algoritmo de Denavit-Hartenberg 3er. Paso ➔ obtener las matrices A de los cambios de base

Cinemática Directa

•

DH-14) Obtener las matrices: de transformación i-1A definidas como se indicó anteriormente (Matiz de D-H) i

32

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Cinemática Directa

4to. Paso ➔ obtener la matriz T •

DH-15) Obtener la matriz de transformaciones que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T = 0A1 1A2 …n-1An

•

DH-16) La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares

Con lo que queda resuelto el Problema Cinemático Directo 33

Algoritmo de Denavit-Hartenberg Parámetros DH (2do. Paso)

•

Los cuatro parámetros de D-H:

(i, di, ai, i)

Cinemática Directa

dependen únicamente de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que lo unen con el anterior y siguiente

34

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Cinemática Directa

1) i es el ángulo que forman los ejes xi-1 y xi, medido en un plano perpendicular al eje zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias

35

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Cinemática Directa

2) di es la distancia a lo largo del eje zi-1 desde el origen del sitema de coordenadas (i-1)-ésimo hasta la intersección del eje zi-1 con el eje xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas

36

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Cinemática Directa

3) ai es la distancia a lo largo del eje xi que va desde la intersección del eje zi-1 con el eje xi hasta el origen del sistema i-ésimo, en el caso de articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia más corta entre los ejes zi-1 y zi

37

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Cinemática Directa

4) i es el ángulo de separación del eje zi-1 y el eje zi, medido en un plano perpendicular al eje xi, utilizando la regla de la mano derecha

38

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Cinemática Directa

•

Las relaciones entre eslabones no consecutivos vienen dadas por las matrices T, que se obtienen como producto de un conjunto de matrices A

39

Representación matemática de los manipuladores

• Introducción • Representación Denavit & Hartemberg • Ejemplo • Simulador ARTE 40

Ejemplo: robot cilíndrico

d3

l4

d2

Cinemática Directa

l1

Robot cilíndrico 4 GDL

Representación esquemática 41

Ejemplo: robot cilíndrico •

DH-1) Numerar los eslabones: comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot (cuadrados rojos)

Cinemática Directa

•

•

DH-2) Numerar cada articulación: comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando con en n (círculos azules)

1 2

2 2

4

3

1

3

3

4

4

1 0

DH-3) Localizar el eje de cada articulación: Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento (círculos verdes) 42

Ejemplo: robot cilíndrico •

DH-4) Situar el eje zi: Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1:

▪ z0 sobre eje 0+1 ➔ (1)

z0 1 2

▪ z1 sobre eje (2)

Cinemática Directa

▪ z2 sobre eje (3)

z1 2

2

3

1

▪ z3 sobre eje (4)

4 3

4

3

z2

4

z3

1 0

43

Ejemplo: robot cilíndrico •

DH-5) Situar el origen del sistema de la base {S0}: en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0

z1 1 2

2

2

3

1

Cinemática Directa

4 3

4

3

z2

4

z3

1 0

z0

y0 x0 44

Ejemplo: robot cilíndrico • DH-6) Situar el sistema {Si} solidario al eslabón i: para i de 1 a n-1 en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi Si ambos ejes se cortasen: se situaría {Si} en el punto de corte

z1 1 2

2

2

Si fuesen paralelos: {Si} se situaría en la articulación (i+1)

3

1

Cinemática Directa

4 3

4

3

z2

4

z3

1 0

z0

y0 x0 45

Ejemplo: robot cilíndrico • DH-6) Situar el sistema {Si} solidario al eslabón i: para i de 1 a n-1 en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi Si ambos ejes se cortasen: se situaría {Si} en el punto de corte

1 2

Si fuesen paralelos: {Si} se situaría en la articulación (i+1)

Cinemática Directa

1

▪ Z1: Z0 y Z1 paralelos: situar S1 (solidario a [1]) en (2) ▪ Z2: Z1 y Z2 se cortan: situar S2 (solidario a [2]) en punto de corte (2) ▪ Z3: Z2 y Z3 paralelos: situar S3 (solidario a [3]) en (4)

2

2

z2

4 3

3

z3

3

4

4

z1 1 0

y0

z0

x0 46

Ejemplo: robot cilíndrico • DH-7) Situar xi: en la línea normal común a zi-1 y zi • DH-8) Situar yi: de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi

y2

Cinemática Directa

• X1: Z0 y Z1 colineales. Se situa X1 en el Plano horizontal, coincidiendo con X0 cuando 1=0 • X2: Z1 y Z2 perpendiculares. Se situa X2 en la dirección de Z1xZ2 (producto vectorial) • X3: Z2 y Z3 colineales. Se situa X3 en el Plano horizontal, perpendicular al dibujo

x2 z2

d2

z1

y3

x3 z3

y1 x1 y0

z0

l4

d3

l1

x0 47

Ejemplo: robot cilíndrico

• DH-9) Situar el sistema {Sn}: en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn

x2

Cinemática Directa

▪ Z4 en la misma dirección que Z3 ▪ X4: Z3 y Z4 colineales: se sitúa X4 en el Plano perpendicular al dibujo, de modo que coincida con X3 cuando 4=0

l4

d3

d2

z2 z1

x4

z3

z4

x1 y0

z0

x3

l1

x0 48

Ejemplo: robot cilíndrico Sistemas de referencia según DH

d3

y2

x2

1

Cinemática Directa

z1

y1

l4

y4

y3 z2

4

x3

x4

z3

z4

x1

d2

y0

z0

l1

x0 49

Ejemplo: robot cilíndrico d3 • DH-10) Obtener i: como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos

Cinemática Directa

• DH-11) Obtener di: como la distancia, a lo largo de zi-1 , que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados d

y2

y1

z1

z2

y4

x3

y3

x2

1

4

x4

z3

z4

x1 2

• DH-12) Obtener ai: como la distancia a lo largo de xi (que ahora coincidiría con xi-1) que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si} • DH-13) Obtener i: como el ángulo que habría que girar entorno a xi (que ahora coincidiría con xi-1) para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}

l4

l1

y0 x0

z0

Articulación



d

a



1

?

?

?

?

2

?

?

?

?

3

?

?

?

?

4

?

?

?

?50

Ejemplo: robot cilíndrico d3 • DH-10) Obtener i: como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos

Cinemática Directa

• DH-11) Obtener di: como la distancia, a lo largo de zi-1 , que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados d

y2

y1

z1

z2

y4

x3

y3

x2

1

4

x4

z3

z4

x1 2

• DH-12) Obtener ai: como la distancia a lo largo de xi (que ahora coincidiría con xi-1) que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si} • DH-13) Obtener i: como el ángulo que habría que girar entorno a xi (que ahora coincidiría con xi-1) para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}

l4

l1

y0 x0

z0

Articulación



d

a



1

1

l1

0

0

2

90º

d2

0

90º

3

0

d3

0

0

4

4

l4

0

051

Ejemplo: robot cilíndrico d3 •

DH-14) Obtener las matrices: de transformación i-1Ai definidas como se indicó anteriormente (Matiz de D-H)

y2

l4

x2

1

y1

z1

z2

4

x4

z3

z4

x1

d2

l1

y0 Cinemática Directa

y4

x3

y3

x0

z0

Articulación



d

a



1

1

l1

0

0

2

90º

d2

0

90º

3

0

d3

0

0

4

4

l4

0

052

Ejemplo: robot cilíndrico

Cinemática Directa

•

DH-14) Obtener las matrices: de transformación i-1Ai definidas como se indicó anteriormente (Matiz de D-H) Articulación



d

a



1

1

l1

0

0

2

90º

d2

0

90º

3

0

d3

0

0

4

4

l4

0

0

53

Cinemática Directa

Ejemplo: robot cilíndrico •

DH-15) Obtener la matriz de transformaciones que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T = 0A1 1A2 …n-1An

•

DH-16) La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares

54

Representación matemática de los manipuladores

• Introducción • Representación Denavit & Hartemberg • Ejemplo: robot IRB6400C • Simulador ARTE 55

Ejemplo: robot IRB6400C Representación DH 1) Localización de los sistemas de referencia 2) Determinación de los parámetros de Denavit-Hartenberg 3) Obtención de las matrices A para cambios de sistemas de referencia

Cinemática Directa

4) Obtención de la matriz T

56

Ejemplo: robot IRB6400C

Cinemática Directa

1) Localización de los sistemas de referencia

57

Ejemplo: robot IRB6400C

Cinemática Directa

2) Determinación de los parámetros de Denavit-Hartenberg

Articulación



d

a



1

1

0

0

-90º

2

2

l1

0

90º

3

3 - 90º

0

-l2

90º

4

4

l3

0

-90º

5

5

0

0

90º

6

6

l4

0

0

58

Ejemplo: robot IRB6400C

Cinemática Directa

3) Obtención de las matrices A para cambios de sistemas de referencia

59

Ejemplo: robot IRB6400C

Cinemática Directa

4) Obtención de la matriz T

60

Ejemplo: robot IRB6400C

Cinemática Directa

4) Obtención de la matriz T

61

Representación matemática de los manipuladores

• Introducción • Representación Denavit & Hartemberg • Ejemplo • Simulador ARTE 62