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FÍSICA MATEMÁTICA II

Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Tema 3. Ecuaciones Elípticas. La Ecuación de Laplace. Funciones armónicas. El principio del máximo-mínimo y otras propiedades importantes. El problema de Dirichlet. Método de la función de Green y ecuaciones integrales.

Método de Perron. La ecuación de Poisson y el potencial de Newton. Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer: • Las Ecuaciones Elípticas, sus principales propiedades y el Método de Solución de Separación de Variables.

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales de 2do Orden Una ecuación diferencial parcial de la forma: A uxx + B uxy + C uyy = F(x,y,u,ux,uy) Donde A, B y C constantes, es llamada cuasi lineal. Hay tres tipos de ecuaciones cuasi lineales: si B2 - 4AC < 0, la ecuación es llamada elíptica si B2 - 4AC = 0, la ecuación es llamada parabólica si B2 - 4AC > 0, la ecuación es llamada hiperbólica

Considere la ecuación diferencial parcial elíptica (Ecuación de Poisson): uxx + uyy = f(x,y)

(1)

para (x,y) en R = {(x,y) | a < x < b; c < y < d} u(x,y) = g(x,y)

(2)

para (x,y) en S, donde S es la frontera de R. Asumimos que f(x,y) y g(x,y) son funciones continuas.

En esta ecuación suponemos que la función f describe los datos del problema en una región plana R cuya frontera denotamos con S. Este tipo de ecuaciones aparece de manera natural en el estudio de diversos problemas físicos dependientes del tiempo; por ejemplo la distribución de calor para estado estable en una región plana, la energía potencial de un punto en un plano sobre el que operan fuerzas gravitacionales y los problemas bidimensionales del estado estable que incluyen fluidos incompresibles.

Si la temperatura dentro de la región está determinada por su distribución en la frontera de la región, a las restricciones se les llama condiciones de frontera de Dirichlet. Éstas están dadas por u(x,y) = g(x, y), para toda (x, y) en S, o sea, la frontera de la región R. y

S R

(x,y):la temperatura se mantiene constante a g(x,y) grados

x

El Método de Separación de Variables I.

Se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias. II. Se buscan las soluciones de estas edo, que satisfagan las condiciones de frontera. III. Se formará una combinación lineal de las soluciones, para satisfacer las condiciones iniciales del problema.

Ecuación de Laplace Uxx+Uyy=0,

(1)

D={0≤x ≤a, 0 ≤y ≤b}

U(x,0)=0 U(0,y)=0 U(a,y)=0 U(x,b)=(x)

(2)

El Método de Separación de Variables I) Busquemos las soluciones en la forma U(x,y) = X(x)Y(y) Sustituyendo en la ecuación X’’Y+XY’’=0 𝑋′′ 𝑌 ′′ =− = −𝑘 𝑋 𝑌 Tenemos X’’+kX=0, X(0)=X(a)=0 Y’’+kY=0

II) Busquemos las soluciones que satisfacen las condiciones de frontera (k>0, ó k0 z’’=kz r2-k=0 𝑧 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑘𝑡 + 𝑐2 𝑒 − 𝑘𝑡 -k