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MATEMÁTICA SUPERIOR APLICADA MATEMÁTICA PARA IEM Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Tema 3. Aproximación Numérica. Integración numérica.

Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer: • Distintas aproximaciones al cálculo aproximado de la integral definida.

a

b

𝑛

෍ 𝑎𝑖 𝑓 𝑥𝑖 𝑖=0

Regla Trapezoidal Métodos de Integración Numérica

Fórmulas de Integración De Newton-Cotes

Regla 1/3 de Simpson Regla de Simpson Regla 3/8 de Simpson

Las fórmulas de Newton-Cotes se clasifican en dos tipos: 1. Cerradas y, 2. Abiertas

Las fórmulas cerradas son aquellas que conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración. En las fórmulas abiertas los límites de integración van más allá del intervalo de los datos. Generalmente, estas formas no se utilizan para integración definida, pero son muy útiles para evaluar integrales impropias y obtener la solución de ecuaciones diferenciales parciales.

b

b

a

a

I   f ( x)dx   f n ( x)dx

LA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL I 

b

a

b f (b)  f (a )    f (a )  f (b)  f ( a )  ( x  a ) dx  I  f ( x ) dx  ( b  a ) a     ba 2

Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. Usando las propiedades de la integral, tenemos que:

REGLA DE SIMPSON

 ( x  x1 )( x  x2 )  ( x  x0 )( x  x2 ) ( x  x0 )( x  x1 ) I   f ( x0 )  f ( x1 )  f ( x2 )dx ( x0  x1 )( x0  x2 ) ( x1  x0 )( x1  x2 ) ( x2  x0 )( x2  x1 )  x0  x2

(b  a) h I   f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )  2  f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 ) 3 3

I  (b  a )

f ( xo )  4 f ( x1 )  f ( x2 ) 6

I  (b  a)

n

n 1

i 1

i 1

f ( xo )  4 f ( xm )  2 f ( xi )  f ( x2 ) 6n

Representación gráfica de la Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple. Observe que el método se puede emplear sólo si el número de segmentos es par.

Esta regla es útil cuando el número de puntos es impar.

Ilustración de cómo se puede usar en conjunto las Reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para manejar aplicaciones múltiples con números impares de intervalos.

Comparación entre el valor exacto, la regla del trapecio y la Regla de Simpson 1/3 para diferentes funciones en el intervalo [0,2].

f(x) Valuación exacta Trapecio De Simpson

x^2 2.667 4.000 2.667

x^4 6.400 16.000 6.667

1/(x + 1) 1.099 1.333 1.111

sqrt(1 + x2) 2.958 3.236 2.964

sen x 1.416 0.909 1.425

exp(x) 6.389 8.389 6.421

Paulo M. Guzman, Luciano M. Lugo, Juan E. Nápoles Valdés and Miguel Vivas-Cortez, On a New Generalized Integral Operator and Certain Operating Properties, Axioms 2020, 9, 69; doi:10.3390/axioms9020069

Juan E. Nápoles V., María N. Quevedo and Miguel Vivas C., THE INTEGRAL DEFINED. BEYOND THE AREA UNDER THE CURVE, submited.

Definition 5. Let I be an interval IR, a,t  I and R. The integral operator JT,a+, right and left, is defined for every locally integrable function f on I as 𝑡 𝛼 (𝐽𝐹,𝑎+ 𝑓)

𝑡 =න 𝑎

𝑓 𝑠 𝑑𝑠 ,𝑡 > 𝑎 𝐹(𝑡 − 𝑠, 𝛼)

𝑏

𝛼 (𝐽𝐹,𝑏− 𝑓)

𝑓 𝑠 𝑑𝑠 𝑡 =න ,𝑡 < 𝑏 𝐹(𝑠 − 𝑡, 𝛼) 𝑡