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MATEMÁTICA SUPERIOR APLICADA MATEMÁTICA PARA IEM Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Tema 2. Interpolación numérica. Método de Interpolación de Newton.

Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer: • El Método de Interpolación de Newton y sus diferencias con el de Lagrange.

N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange Teorema. Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, 2, ...n Este polinomio está dado por n

Px   f x0 Ln,0 x     f xn Ln,n x    f xk Ln,k x  k 0

donde

n  x  xi  x  x0 x  x1  x  xk 1 x  xk 1  x  xn  Ln ,k x    xk  x0 xk  x1 xk  xk 1 xk  xk 1 xk  xn  i 0 xk  xi  ik

Tabla de diferencias divididas de Newton y0  f [ x0 ] y1  f [ x1]

f [ x0 , x1]

y2  f [ x2 ]

f [ x1, x 2 ]

f [ x0, x1, x 2 ]

y3  f [ x3 ]

f [ x 2, x3 ]

f [ x1, x 2, x3 ]

f [ x0 , x1, x 2, x3 ]

b0  f x0  b1  f [ x1 , x0 ]

b2  f x2 , x1 , x0 

 bn  f xn ,, x0 

Vamos a obtener el polinomio de interpolación para la función f(x)=ex, en los puntos {2, 2.5, 3, 4}, por el Método de Newton. x0  2.0 7.38906 9.58688 x1  2.5 12.1825

6.21912 15.806

x2  3.0 20.0855

3.1260 12.471133

34.5127 x3  4.0 54.5982

p(x) = 7.38906 + 9.58688 (x – 2) + 6.21912 (x – 2) (x – 2.5) + + 3.1260 (x – 2) (x – 2.5) (x – 3) p(x) = 3.126 x3 – 17.2259 x2 + 39.4318 x – 27.5791

TEOREMA. Si x0, x1, x2, …, xn son números reales distintos, entonces para valores arbitrarios x0, x1, x2, …, xn existe un polinomio único Pn(x), de a lo sumo grado n, y tal que Pn(xi)=yi, para i=0, 1, 2, …, n.

Supongamos que Pn(x) es otro polinomio de interpolación de a lo sumo grado n, Qn(xi)=yi, para i=0, 1, 2, …, n. Sea Sn(x)=Pn(x)-Qn(x), por tanto tenemos Sn(xi)= Pn(xi)-Qn(xi)=yi - yi = 0, para todo i=0, 1, 2, …, n. Por lo tanto, Sn(x) tiene n+1 raíces distintas, y es un polinomio de grado a lo sumo n, esto solamente es posible si Sn(x)=0. Por tanto, Pn(x) = Qn(x). QED