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MATEMÁTICA SUPERIOR

Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Tema 1. Transformada de Laplace. Transformada Inversa. Teorema de Convolución. Solución de EDO lineales con coeficientes constantes.

Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer: • La aplicación de la Transformada de Laplace a la solución de EDO lineales con coeficientes constantes.

Transformada inversa Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f(t), es decir, L{f(t)}=F(s), se dice entonces que f(t) es la transformada de Laplace inversa de F(s) y se escribe f(t)=L-1{F(s)}.

Producto de Transformadas. El Teorema de Convolución. Si las funciones f y g son continuas por partes en [0,+∞), para las cuales existen sus transformadas respectivas F y G, entonces se verifica L{f*g}=L{f(t)}L{g(t)} =F(s)G(s). A la expresión t

f * g   f ( ) g (t   )d . 0

se le llama producto de convolución de las funciones f y g.

En forma inversa, este teorema se puede escribir como L-1{F(s)G(s)} = f*g y nos dice que la inversa del producto de dos transformadas, es el producto de convolución de las funciones originales.

Algunas transformadas inversas cL

1.

3.

5.

7.

1

e L at

1

Cos(bt )  L

Cosh(bt )  L

c    s

 1    s  a

1

 s   2 2  s  b 

1

 s   2 2  s  b 

2.

4.

6.

t L n

1

Sen(bt )  L

Senh(bt )  L

 n!   n 1  s 

1

 b   2 2  s  b 

1

 b   2 2  s  b 

Ejemplo. Determine la función que posee la transformada dada. 5 12 8 F (s)   2  s s s3

f (t )  5  12t  8e

3t

200 V (s)  2 s  100   10 V ( s)  20  2 2   s  (10) 

v(t )  20sin10t

8s  4 V (s)  2 s  6 s  13 En el caso de un denominador cuadrático, hay que analizar las raíces del mismo, si son reales (iguales o distintas) usamos la descomposición en fracciones simples del tipo I y II y, por tanto, se puede usar la Tabla de Transformadas Inversas. Si son complejas, para usar la Tabla, debemos realizer algunas transformaciones algebraicas.

s1,2  3  2i

s  6s  13 2

 s  6s  (3)  13  (3) 2

2

 s  6s  9  4 2

 ( s  3)  (2) 2

2

2

8( s  3) 4  24 V (s)   2 2 2 2 ( s  3)  (2) ( s  3)  (2) 8( s  3) 10(2)   2 2 2 2 ( s  3)  (2) ( s  3)  (2)

v(t )  8e

3t

cos 2t  10e

3t

sin 2t

s6 s6 F ( s)  2  s  3s  2 ( s  1)( s  2)

A1 A2 s6 F ( s)    ( s  1)( s  2) s  1 s  2

5 4 F (s)   s 1 s  2 t

f (t )  5e  4e

2 t

50( s  3) F (s)  2 ( s  1)( s  2)( s  2 s  5)

A1 A2 F1 ( s )   s 1 s  2 t

f1 (t )  25e 10e

2t

50( s  3) 25 10 As  B    2 2 ( s  1)( s  2)( s  2s  5) s  1 s  2 s  2s  5

50(3) 25 10 B    (1)(2)(5) 1 2 5 50(4) 25 10 A  B    (2)(3)(8) 2 3 8

B  25

A  15

25 10 15s  25 F (s)    2 s  1 s  2 s  2s  5

15s  25 F2 ( s )  2 s  2s  5

s  2s  5  s  2s  1  5  1  ( s  1)  (2) 2

2

2

2

15s  25 15( s  1) 5(2) F2 ( s )    2 2 2 2 ( s  1)  (2) ( s  1)  (2) ( s  1) 2  (2) 2

f (t )  f1 (t )  f 2 (t ) t

 25e  10e

2t

t

t

 15e cos 2t  5e sin 2t

60 F (s)  s( s  2) 2

C1 C2 60 A F (s)     2 2 s ( s  2) s ( s  2) ( s  2) 60 15 30 15 F ( s)     2 2 s ( s  2) s ( s  2) s  2

f (t )  15  30te

2 t

 15e

2 t

2 t

 15  15e (1  2t )

Solución de EDO Lineales de orden n, con coeficientes constants. an f ( n ) (t )  an 1 f ( n 1) (t ) 

an , an 1 ,

 a2 f (t )  a1 f (t )  a0 f (t )  g (t )

, a2 , a1 , a0

𝑓 0 , 𝑓 ′ 0 , 𝑓 ′′ 0 , … . , 𝑓 (𝑛−1) (0)

Proceso de solución de EDO mediante la Tranformada de Laplace Ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y condiciones iniciales

Solución de la Ecuación diferencial y(t) = L -1 {Y(s)}

L {y(t)}

L

-1

{Y(s)}

Ecuación algebraica para Y(s) = L {Y(t)}

Solución de la Ecuación algebraica Y(s)

d2y dy b2 2  b1  b0 y  f (t ) dt dt  d2y  dy L b2 2  b1  b0 y   L  f (t ) dt  dt 

b2  s 2Y ( s)  sy(0)  y '(0) 

b1  sY ( s)  y(0)   b0Y ( s)  F ( s)

sb2 y(0)  b2 y '(0)  b1 y (0) F ( s) Y ( s)   2 2 b2 s  b1s  b0 b2 s  b1s  b0

Ejemplo. Resolver las siguientes EDO. dy dt

 2 y  12

y (0)  10

 dy  L    2L  y   L 12  dt  12 sY ( s )  10  2Y ( s )  s 12  s  2  Y ( s)  10  s 10 12 Y ( s)   s  2 s ( s  2)

A1 A2 12   s ( s  2) s s  2

10 6 6 6 4 Y (s)      s2 s s2 s s2

y (t )  6  4e

2 t

dy  2 y  12sin 4t dt

y (0)  10

12(4) sY ( s )  10  2Y ( s )  2 s  16

10 48 Y ( s)   2 s  2 ( s  2)( s  16) B1s  B2 48 A   2 2 ( s  2)( s  16) s  2 s  16

48 2.4 B1s  B2   2 2 ( s  2)( s  16) s  2 s  16 B2  4.8

B1  2.4

10 2.4 2.4 s 4.8 Y (s)    2  2 s  2 s  2 s  16 s  16 y (t )  12.4e

2 t

 2.4 cos 4t  1.2sin 4t

2

d y dy  3  2 y  24 2 dt dt

y (0)  10 and y '(0)  0

24 s Y ( s )  10 s  0  3  sY ( s )  10   2Y ( s)  s 2

24 10 s  30 Y (s)   2 2 s ( s  3s  2) s  3s  2 24 10s  30   s ( s  1)( s  2) ( s  1)( s  2)

24 12 24 12    s ( s  1)( s  2) s s  1 s  2 10s  30 20 10   ( s  1)( s  2) s  1 s  2 12 4 2 F (s)    s s 1 s  2 t

f (t )  12  4e  2e

2 t

2

d y dy  2  5 y  20 2 dt dt

y (0)  0 and y '(0)  10

20 s Y ( s )  0  10  2  sY ( s )  0  5Y ( s)  s 2

20 10 Y ( s)   2 2 s ( s  2s  5) s  2s  5

20 4 As  B   2 2 s ( s  2s  5) s ( s  2s  5)

20 4 A B   (1)(1  2  5) 1 (1  2  5) 20 4 A  B   (1)(1  2  5) 1 (1  2  5)

A  4

B  8

4 4 s  8 10 4 4 s  2 Y (s)   2  2   2 s s  2s  5 s  2s  5 s s  2s  5

s  2s  5  s  2s  1  5  1  ( s  1)  (2) 2

2

2

4 4( s  1) 3(2) Y ( s)    2 2 s ( s  1)  (2) ( s  1) 2  (2) 2 t

t

y (t )  4  4e cos 2t  3e sin 2t

2