• Author / Uploaded
• perritos toesca

• Categories
• Método de elementos finitos
• Inteligencia artificial
• Tecnología
• Análisis matemático
• Análisis

Citation preview

ICE 3333 - Elementos Finitos No-Lineales Daniel Hurtado, Ph.D. Profesor Asociado

ad d i s ver

d lica

e

ile h C

t´o a C

Departamento de Ingenier´ıa Estructural y Geot´ ecnica Instituto de Ingenier´ıa Biol´ ogica y M´ edica Pontificia Universidad Cat´ olica de Chile

ni U ia ificClase 01

ont P ,

do

l

e ani

rta u H

cD

Objetivos y competencias Objetivo del curso Comprender la teor´ıa y aplicar el m´etodo de elementos finitos no-lineal en la soluci´ on de problemas complejos en ingenier´ıa. Competencias esperadas 1

t´o a C

d lica

e

ile h C

Formular un m´etodo de elementos finitos no-lineal a partir de un problema de valor de frontera no-lineal

ad d i s Implementar computacionalmente una formulaci´ er on de elementos finitos v i n no-lineales para la soluci´ on de problemas U en ingenier´ıa a i Aplicar un m´etodo de soluci´ fionc adecuado para resolver problemas i t no-lineales on P Analizar, criticar o y ,presentar un art´ıculo cient´ıfico del ´ area de elementos d a finitos no-lineales urunt proyecto de investigaci´on y escribir un art´ıculo cient´ıfico en Desarrollar H el de elementos finitos no-lineales eln´ airea a cD

2

3

4

5

2

Contenidos y aspectos administrativos Contenidos 1

Introducci´ on a problemas no-lineales

2

Formulaci´ on de EF para problemas de valor de frontera no-lineales

3

Elasticidad no-lineal y resoluci´ on usando EF no-lineales

4

M´etodos de soluci´ on para problemas no-lineales

5

Problemas din´ amicos y de evoluci´ on

ad d i s ver

d lica

e

ile h C

t´o a C

i

n U ia ific

nt Evaluaciones o P 6-8 Tareas (60%) , adedoinvestigaci´on (40%) Proyecto final t r u H l nie a cD

3

Motivaci´ on (Proyectos 2017-2) Simulaci´ on num´ erica del comportamiento a corte de tripletas de bloques multi-perforados de arcilla. Sebasti´an Calder´ on

ile h C

Se modela el comportamiento de probetas de alba˜ nileria mediante una formulaci´ on FEM-NL que considera la interfaz de los materiales mediante un modelo de plasticidad de Mohr-Coulomb.

d lica

ad d i s ver

Formulaci´ on de plasticidad. Φ(σ(t), A(t)) ≤ 0 σ(t) = ρ¯(∂ϕ/∂εe )|t ,

i

t n o ∂Ψ P ε˙ (t) = γN ˙ (σ(t), A(t)) =,γ˙ ∂σ o d ta A(t)) ˙ ε˙ (t) = ε(t) − γN ˙ r (σ(t), u ˙ α(t) = γ(t)H(σ(t), ˙ l H A(t)) e i γ(t) ˙ ≥a 0,n γΦ(σ(t), ˙ A(t)) = 0 D c

p

t

e

t´o a C

Implementaci´ on: Backward-Euler, Predictor / corrector. ( trial εn+1 = εen + ∆ε P: αtrial n+1 = αn  εe = εe,trial − ∆γN (σ n+1 , An+1 )  n+1   n+1 C: αn+1 = αtrial n+1 + ∆γH(σ n+1 , An+1 )    Φ(σ n+1 , An+1 ) = 0

n U ia ific

A(t) = ρ¯(∂ϕ/∂α)|t ε(t) = εe (t) + εp (t)

e

4

Motivaci´ on (Proyectos 2017-2) Simulaci´ on num´ erica del comportamiento a corte de tripletas de bloques multi-perforados de arcilla. Sebasti´an Calder´ on

d lica

350 300

X2(mm)

250 200

ad d i s ver

150 100

n U ia ific

0 0

50

100

150 X1(mm)

200

Resistencia lateral (N)

60000

250

300

ont P ,

70000

do

rta u H

50000 40000

l

e ani

cD

t´o a C

i

50

30000

e

ile h C

20000

P = 2027.97 N P=12604.34 N P = 25223.07 N

10000

0 0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

Desplazamiento del bloque (mm)

5

Motivaci´ on (Proyectos 2017-2) Formulaci´ on FEM con modos incompatibles e integraci´ on semi-impl´ıcita para electrofisiolog´ıa card´ıaca. Javiera Jilberto

ile h C

Se propone un esquema de soluci´ on para las ecuaciones de electrofisiolog´ıa card´ıaca que sea m´ as eficiente en t´erminos de costo computacional respecto a m´etodos tradicionales pero que no pierda precisi´ on.

d lica

ad d i s ver

e

t´o a C

Sea Ω ∈ R3 el dominio card´ıaco donde se simular´ a el potencial el´ ectrico durante un tiempo t = (0, T ], las ecuaciones a resolver son:

i r) = c φ(φ − α)(1 − φ) − c φr fn (φ,   U rµ a i g(φ, r) = γ + (−r − c φ(φ − b − 1)) c en Ω × (0,fi T] µ +φ i t on P , Lo anterior se discretizaoespacialemente usando FEM + IM de donde se obtienen tres d residuales: a Z rt nN φ˙ + ∇N · D∇φ − N f (φ , r )o + Z N q¯ = 0 R (u, α, r)u:= lH e i n (u , α , r ) := Z nW φ˙ + ∇W · D∇φ − W f (φ , r )o = 0 R a c DR (u , α , r ) := Z M nr˙ − f (φ , r )o = 0.

∂φ − div(D∇φ) = f (φ, r) ∂t ∂r = g(φ, r) ∂t + C.B.

u A

en Ω × (0, T ]

1

2

1

2

2

h

h

A

φ

A

h

h

A

A

Ω

α,e c

e

r,e q

e

e

∂Ωq

e

e c

Ωe

e

e

Ωe

e q

h

h

e c

r

h

h

e c

φ

h

h

h

Lo que a su vez se discretiza temporalmente usando un esquema de integraci´ on semi-impl´ıcito. 6

Motivaci´ on (Proyectos 2017-2) Formulaci´ on FEM con modos incompatibles e integraci´ on semi-impl´ıcita para electrofisiolog´ıa card´ıaca. Javiera Jilberto

d lica

65

Conduction velocity [cm/s]

60

Q1-I Q1IM-I Q1IM-SI

ad d i s ver

e

ile h C

t´o a C

i

n U ia ific

55 50

ont P ,

45

do

40 35

l

e ani

30 -2 10

cD

rta u H 10 -1

10 0

h [mm]

7

Problemas no-lineales En la pr´ actica, todos los problemas en ciencias e ingenier´ıa son no-lineales.

ile h C

Ejemplo: Considere un sistema estructural como el de la figura. Las barras tienen un comportamiento el´ astico con ´ area A y m´ odulo de elasticidad E. El sistema admite grandes deformaciones. Encuentre la funci´ on F (u) y graf´ıquela. Analice la no-linealidad del problema y discuta.

d lica

ad d i s er niAv

aU i c ifi

ont P ,

do

l

e ani

rta u H

cD

8

t´o a C

e

Problemas no-lineales Soluci´ on: F˜ (u) = 2 con

˜ 0 = L0 ; L H

!

˜0 L

p − 1 (1 − u ˜) ˜ 0 − 2˜ L u+u ˜2

u ˜=

F (u) F˜ (˜ u) = ; KH

u ; H

e

t´o= AE K a L C 0

e

L0 = 2 L0 = 4

cia fi i nt

0.3

ad d i s r

d lica

ile h C

iv Un

Po , do

0.2

l

e ani

rta u H

0.0

cD

1

2

0.1

9

Problemas no-lineales A partir de este ejemplo surgen varias preguntas: ¯ ¿C´ 1 Dado un valor de F omo es la existencia y unicidad del problema F˜ (˜ u∗ = F¯ )? Si F¯ < Fcr :

d lica

ad d i s ver

t´o a C

ni U Estabilidad del problema: Asumiendo ia que existe una soluci´on u˜ ¿C´omo ¯i?fic cambia u ˜ si se perturba F ¿Hay dependencia continua de u ˜ sobre los t onSnap-Through datos F¯ ? Fen´ omenoP del o, d a urt H el i n Da

2

∗

∗

c

e

ile h C

∗

10

Problemas no-lineales Definici´ on (de Hadamard) Un problema bien definido es aquel donde:

e

d lica

1

Existe soluci´ on

2

La soluci´ on es u ´nica

3

La soluci´ on depende de manera continua de los datos

ad d i s ver

ile h C

t´o a C

i

n U ia ific

Claramente, el ejemplo del problema no-lineal no est´ a bien definido pero es f´ acil ”resolverlo” de manera gr´ afica. Sin embargo, nos interesa poder encontrar soluciones de forma gen´erica. Para esto, reformulamos el problema:

ont P ,

do

rta u H

Proposici´ on (Problema de ra´ıces de una funci´ on NL)

el i n a

) Sea G ∈ C ∞ (R, R). Encuentre ξ ∗ ∈ R tal que

cD

(P¯ )

G(ξ ∗ ) = 0

11

M´etodo de Newton En general, es dif´ıcil resolver (P¯ ) en forma exacta. Buscaremos entonces encontrar soluciones aproximadas usando el m´ etodo de Newton. Para esto, expandimos G en su serie de Taylor en torno a ξi : dG 2 G(ξ) = G(ξi ) + (ξ − ξi ) + h2 (ξ)(ξ − ξi ) dξ ξi donde h2 (ξ) −−−→ 0. Despreciando el residuo: ξ→ξi

t´o a C

d lica

e

ile h C

ad d i s er donde DG(ξ ) := dG y ∆ξ := (ξ − ξn).ivLo anterior define una relaci´ on de dξ U recursi´ on: cia fi i Proposici´ on (M´ etodo de Newton) ont P ,ξ , encuentre ∆ξ tal que o Dado d  rta ∆ξ = −DG(ξ ) G(ξ )  ∀ i = 0, ... u (1) H  l  e ξ = ξ + ∆ξ ni a c D dada una estimaci´on inicial ξ , usamos (1) con la esperanza que:

Luego, ⇒ G(ξi ) + DG(ξi )∆ξi = 0

i

i

i

ξi

i

i

i

i

i+1

−1

i

i

i

0

lim ξi = ξ ∗

i→∞

12

(2)

M´etodo de Newton Notamos que en el m´etodo de Newton, hay dos cantidades que son calculadas en cada iteraci´ on i: 1

ile h C

El residual G(ξi )

de a lic a Ambas cantidades ser´ an importantes en el desarrollo de FEM-NL.Respecto o ´ t a (1) existen varias interrogantes: C ad No necesariamente ¿Existe una u ´nica soluci´ on de (1) ∀ i = 0, ...?id−→ ers No necesariamente −→ ¿Se logra siempre la convergencia (2)?iv n U ¿Si existe soluci´ on, es el l´ımite (2) independiente de ξ ? −→ No a i c necesariamente ifi t n Po , ado t r u H ∴ La soluci´ o l e n num´erica de un problema no-lineal tambi´en est´a llena de i n interrogantes. a cD

2

El operador tangente DG(ξi )

0

13

Algoritmo: M´etodo de Newton Inputs: x0 (punto inicial), tol (tolerancia), nitmax (n´ umero m´ aximo de iteraciones) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Inicializaci´ on err = tol + 1 nit = 0 x = x0 while nit < nitmax & err > tol do gn = G(x) dgn = T G(x) if dgn == 0 then stop(err = tol × 10−10 ) warning(NO CONVERGENCIA!) else dx = −(dgn)−1 gn x+ = dx err = abs(dx) nit+ = 1 end

d lica

i

n U ia ific

ont P , 10 11

o tad

iel

c

n Da

r Hu

12

13 14 15 16

ad d i s ver

14

t´o a C

e

ile h C

Objetivo General

d lica

Introducci´ on a problemas no-lineales

ad d i s ver

Hoy Motivaci´ on

i

n U ia ific

Problemas NL M´etodo de Newton Pr´ oxima clase

ont P ,

ado t r ude Gˆateaux H Diferencial l nie a D Derivada Direccional

c

15

t´o a C

e

ile h C