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• Verónica Arcenia Nacarino Arango

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at eU P

N iv e

M iv ee n

at eU P

P at eU

N

De cinco encantadoras j´ovenes con el rostro totalmente tapado, dos tienen ojos marrones, y las restantes azules. Las j´ovenes de ojos marrones siempre dicen la verdad cuando se les interroga. Las j´ovenes de ojos azules, son en cambio mentirosas, nunca dicen la verdad. El siguiente problema fue propuesto a Beremiz Samir, el hombre que calculaba, ver [14].

M

iv ee n

Beremiz procedio a preguntar a la primera

¿De qu´e color son tus ojos?

P

at eU

N

La j´oven respondio en lengua china, totalmente desconocida por Beremiz. Luego se exigio que las dem´as respuestas se hicieran en a´ rabe, lengua materna de Beremiz. Procediendo a preguntar a la segunda j´oven ¿Cu´al es la respuesta que acaba de dar tu compa˜nera?

La cual respondio: Ella dijo “mis ojos son azules”. Finalmente se pregunto a la tercera j´oven ¿De que color son los ojos de las dos primeras j´ovenes?

N P

4

U

iv ee n N

M at eU

Con esta informaci´on ¿cu´al fue la respuesta de Beremiz?

M

Respondiendo: “La primera tiene ojos marrones y la segunda ojos azules”.

P

M

at eU

P

Indica quienes son las de ojos marrones y las de ojos azules, pudiendo interrogar solamente a tres de ellas, pero solo podr´as hacer una pregunta a cada una. Con las tres respuestas tendr´as que solucionar el problema, y justificar la soluci´on.

N

M

L´ogica proposicional

n

n

1

N

at e

M

n Clase

M

Proposiciones

at eU P

Definici´on 1 (Proposici´on).

iv ee n

P

M

Definici´on 2 (Negaci´on).

iv ee n

at eU

P

A continuaci´on veremos c´omo combinar proposiciones obteniendo nuevas proposiciones, usualmente llamadas proposiciones compuestas , pero aquellas que no son combinaci´on de otras son llamadas proposiciones simples . En ese sentido, podemos decir que una proposici´on compuesta es una combinaci´on de proposiciones simples.

N

Dada una proposici´on p representaremos sus posibles valores por medio de una tabla de verdad como la siguiente: p V F

M at eU

P

M

La luna est´a hecha de queso.

La luna no est´a hecha de queso.

iv ee n

P

Ejemplo 2. Considerando la lista de proposiciones en la parte izquierda, veamos sus negaciones en la parte derecha.

En invierno hace fr´ıo.

No es cierto que, en invierno hace fr´ıo.

U

5

P

Diciembre no es el mes de la navidad.

N

Diciembre es el mes de la navidad.

N

¬p F V

p V F

at eU

N

Sea p una proposici´on, definimos su negaci´on , ¬p, como la proposici´on con los valores opuestos, cuya tabla de verdad es:

n

M

at eU

N

Ejemplo 1. Los enunciados “el cielo es azul”, “el n´umero 2 es par” y “los perros ladran” son ejemplos de proposiciones. Pero los siguientes enunciados “¿Qu´e hacemos aqu´ı?”, “¡Viva el Per´u!” y “ no me mires” no son proposiciones.

n

M

Una proposici´on es un enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambas a la vez. La notaci´on usual para una proposici´on son las letras min´usculas p, q, r, · · · .

N

at eU P

N iv e

at e

M

n

L´ogica proposicional

at eU P

N iv e

at e

M

n

Definici´on 3 (La conjunci´on).

N P

iv ee n

M

p∧q V F F F

p q V V V F F V F F

N

Ejemplo 3. Sean p = “El cielo est´a nublado en invierno” y q = “Llover´a hoy con seguridad”, luego la conjunci´on de ellas es “El cielo est´a nublado en inviero y llover´a hoy con seguridad”.

at eU

n

M

at eU P

Sean p y q dos proposiciones, definimos la conjunci´on de ellas, denotada por p ∧ q, como la proposici´on “p y q” cuya tabla de verdad es como sigue

Ejemplo 4. Sean p = “Los perros ladran” y q =“los gatos maullan”, luego la conjunci´on de ellas es “ Los perros ladran y los gatos maullan”.

iv ee n

at eU

P

Ejemplo 5. Sea p =“dos es par” y q =“dos es mayor que tres”. La conjunci´on de p y q es falsa pues q es falsa.

N

M

No es dif´ıcil deducir de la defici´on por su tabla que la conjunci´on es verdadera unicamente cuando las proposiciones que la conforman son verdaderas y en cualquier otro caso es falsa.

Definici´on 4 (La disyunci´on).

P

P

Ejemplo 6. Sean p = “El cielo est´a nublado en invierno” y q = “Llover´a hoy con seguridad”, luego la disyunci´on es: “El cielo est´a nublado o llover´a hoy con seguridad”.

iv ee n

M at eU

Al igual que en la conjunci´on, no es dif´ıcil observar que de la tabla de la disyunci´on esta es falsa unicamente cuando las proposiciones que la componen lo son, en otro caso es verdadera.

P

6

U

N

Ejemplo 7. Sea p =“dos es par” y q =“dos es mayor que tres”. La disyunci´on de p y q es verdadera pues p es verdadera.

N

at eU

p∨q V V V F

p q V V V F F V F F

M

n

N

M

Sean p y q dos proposiciones, definimos la disyunci´on de ellas, denotada por p ∨ q, como la proposici´on “p o q” cuya tabla de verdad es como sigue

iv ee n pYq F V V F

P

q V F V F

at eU

p V V F F

N

M

P

Observemos que la disyunci´on exclusiva, pYq, a diferencia de la disyunci´on p∨q esta es verdadera unicamente cuando p y q tienen valores opuestos, siendo falsa cuando sus valores coinciden. Esto nos induce a pensar que la disyunci´on exclusiva p y q significa la disyunci´on de ellas pero no ambas a las vez, es decir p Y q significa (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q).

N

Ejemplo 8. Sean p =“Malena est´a en la UP” y q =“Malena est´a en su casa”, luego la disyunci´on exclusiva de p y q es “O Malena est´a en la UP o est´a en su casa”.

iv ee n

at eU

Definici´on 6 (La condicional).

p→q V F V V

q V F V F

P

p V V F F

at eU

N

M

Sean p y q dos proposiciones, definimos la condicional de ellas, denotada por p → q, como la proposici´on “Si p entonces q”, con tabla de verdad dada por

M

En este caso p se denomina el antecedente y q el consecuente .

iv ee n

M at eU

P

Ejemplo 9. Considerando p =“Juan gana la loter´ıa” y q =“Juan est´a feliz”, la condicional p → q ser´a “Si Juan gana la loter´ıa entonces est´a feliz”. De la tabla de la condicional observamos que ella es falsa unicamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en otro caso es verdadera.

P

7

U

N

Ejemplo 10. Sean p y q dos proposiciones. Si p Y q es verdadera entonces p ∧ q es falsa y p ∨ q es verdadera.

N

M

at eU P

Sean p y q dos proposiciones, se define la disyunci´on exclusiva de ellas, denotada por p Y q, como la proposici´on “O p o q” con tabla de verdad como sigue

N

M

Definici´on 5 (La disyunci´on exclusiva).

n

n

at eU P

N iv e

at e

M

n

Usualmente a la disyunci´on tambi´en la llaman la disyunci´on inclusiva. Pues existe otro tipo de disyunci´on que pasamos a definir a continuaci´on.

contrapositiva ¬q → ¬p.

iv ee n

at eU P

rec´ıproca q → p

N

M

Sean p y q dos proposiciones. Asociado a la proposici´on condicional p → q se definen las proposiciones:

Ejemplo 11. La proposici´on rec´ıproca del ejemplo anterior es “Si Juan est´a feliz entonces gana la loter´ıa”. Siendo su contrapositivas son “Si Juan no est´a feliz entonces no gana la loter´ıa”.

P

N

M

p↔q V F F V

q V F V F

iv ee n

P at eU

Ejercicios para la clase

P

Ejemplo 12. Si p =“Malena tiene 18 a˜nos” y q =“Malena tiene derecho al voto electoral”, entonces la bicondicional de p y q es “Malena tiene 18 a˜nos si y solo si tiene derecho al voto electoral.

a) Malena es puntual o Diana siempre llega tarde.

at eU

N

1. Simbolizar las proposiciones siguientes, estableciendo primero un diccionario:

b) O e´ l est´a equivocado y yo tengo raz´on, o quedar´e sorprendido.

c) Alejandro no es nuestro representante y Alan no es nuestro capit´an.

iv ee n

M at eU

b) Es falso que, hablamos y no trabajamos.

N

a) Sandra dice que Mariano no tiene 17 a˜nos.

M

2. Negar las proposiciones siguientes:

P

3. (PC1-2014-0) Si la proposici´on (p ∧ q) Y (p Y ¬q) es verdadera, determine el valor de verdad de la proposici´on ¬q → p.

U

8

P

4. (EP-2014-I) Sean p y q dos proposiciones, se define la proposici´on “p ∗ q” mediante la siguiente tabla.

N

M

p V V F F

at eU

Sean p y q dos proposiciones, definimos la proposici´on bicondicional , denotada por p ↔ q, como la proposici´on “p si y solo si q” cuya tabla de verdad es

N

M

Definici´on 8 (La bicondicional).

n

n

at eU P

N iv e

at e

M

n

Definici´on 7.

Ejercicios adicionales

iv ee n

D´e las tablas de verdad de las proposiciones “(p ∗ q) → (q ∗ p)” y “(p → q) ∗ (q → p)”.

N

M

at eU P

p∗q F F F V

at eU P

N iv e

at e

M

n

p q V V V F F V F F

b) Si f es diferenciable entonces f es continua.

P at eU

2. Negar las proposiciones siguientes condicionales: a) Si Nicole estudia entonces no trabaja.

N

M

1. (PC1-2014-I) Construya la tabla de la proposici´on (p → q) ∧ (q → p).

n

c) Si f alcanza su m´ınimo en x0 entonces la derivada de f en x0 es cero.

3. Si la proposici´on (p ∨ ¬q) → ¬p es falsa, determine el valor de verdad de ¬(p ∧ q) → p.

iv ee n

at eU

Lecturas recomendadas

N

M

P

4. Si la proposici´on ¬[(p ∧ q ∧ r) → s] → (¬p ∨ s) es falsa, determine el valor de p, q, r y s.

1. Simbolizaci´on de proposiciones, Cap´ıtulo 1 (pp. 1–37) de Introducci´on a la l´ogica matem´atica, P. Suppes y S. Hill, editorial Revert´e.

P

at eU P U

9

N

M iv ee n N

M at eU

P

n

N

M

2. L´ogica y conjuntos, Cap´ıtulo 1 (pp. 1–4) de Prec´alculo Apuntes de estudio 77, 2014, J. Zu˜niga, Universidad del Pac´ıfico.