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Universidad Israel Investigación Operativa

Octubre - 2019

MODELOS MATEMÁTICOS

•Objetivos generales: •Conocer el modelo matemático •Analizar y calcular ejemplos aplicados a la vida real.

MODELOS MATEMÁTICOS

Concepto

•Un modelo matemático es una descripción matemática (con frecuencia mediante una función o una ecuación), de un fenómeno de mundo real. •Por ejemplo el tamaño de una población, la demanda de un producto.

Propósito del Modelo Matemático Entender el fenómeno de un problema

Propósito Formular y dar un nombre a variables independiente y dependientes

Proceso

Límites del Modelo Matemático

Nunca es una representación totalmente precisa de una situación física, es idealizada

Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente como para permitir cálculos matemáticos.

Ejemplo: • En una liquidación de maletines Nike y Adidas los maletines se ven y parecen igual de buenos. Cual es la mejor compra y por qué?

Solución:

• $95 * 0,4 = $38 • $95 - $38 = $57

Solución:

• $95 * 0,4 = $38 • $95 - $38 = $57

• $85 * 0,35 = $29,75 • $85 - $29,75 = $55,25

Conceptos Iniciales • La Programación Lineal es un área de la Investigación Operativa que trata acerca de la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada entre todas las alternativas posibles de solución. • La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir y representar un problema. El adjetivo lineal implica que todas las variables y funciones matemáticas del modelo son de primera potencia o lineales.

Programación Lineal • En el tratamiento de problemas de programación lineal hay dos aspectos esenciales: • 1. Formulación del problema (Identificarlo y describirlo). • 2. Construcción de un modelo matemático que represente el problema y permita encontrar la solución óptima.

Construcción de un modelo matemático

•Paso 1. Identificar las variables de decisión •Paso 2. Identificar la función objetivo (Maximizar o Minimizar) •Paso 3. Identificar las restricciones •Paso 4. Construcción del modelo matemático

1.- Variables de Decisión • Las variables de decisión representan opciones o elecciones cuantificables que inciden en el problema y en las cuales es necesario determinar los valores respectivos. • Están presentes tanto en la función objetivo como en las restricciones. • Ejemplo: • X: Cantidades de unidades a vender del artículo A • Y: Cantidades de unidades a vender del artículo B

2.- Función Objetivo • La función objetivo está asociada con la pregunta central que pretende responder en el problema, por ejemplo: • Minimizar los costos o el tiempo de producción • Maximizar el beneficio o las unidades a elaborar • La función objetivo es la medida de efectividad a obtener con la solución de problemas y se expresa como una función matemática de las variables de decisión.

3.- Restricciones: • Las restricciones constituyen todas las limitaciones a imputar sobre los valores de las variables de decisión. Se expresan matemáticamente en forma de ecuaciones o inecuaciones. • Ejemplos: • Disponibilidad de recursos: Cantidades de materia prima e insumos, horas/máquina, horas/hombre, fondos monetarios, espacio de almacenamiento, etc.

Importante:

4.- Construcción del modelo

4.- Construcción del modelo (Forma canónica) X son las variables del problema C son los parámetros (constantes)

a y b también son parámetros Restricciones Funcionales

Restricciones de No Negatividad

Importante: • Los modelos matemáticos de programación lineal constan de una función objetivo Z a optimizar, restricciones funcionales y restricción de no negatividad. Tanto el objetivo como las restricciones se expresan en función de las variables de decisión (Xn) del problema. • En la forma canónica, las restricciones pueden ser inecuaciones o ecuaciones.

4.- Construcción del modelo (Forma estándar) El modelo matemático en forma estándar de programación lineal presenta la siguiente estructura:

Sujeto a:

4.- Construcción del modelo (Forma estándar) El modelo matemático en forma estándar de programación lineal presenta la siguiente estructura:

Sujeto a:

Se obtiene a partir del modelo canónico. Las restricciones funcionales todas deben ser ecuaciones y no desigualdades

4.- Construcción del modelo (Forma estándar) El modelo matemático en forma estándar de programación lineal presenta la siguiente estructura:

Sujeto a:

4.- Construcción del modelo (Forma estándar) El modelo matemático en forma estándar de programación lineal presenta la siguiente estructura:

Sujeto a:

4.- Construcción del modelo (Forma estándar) El modelo matemático en forma estándar de programación lineal presenta la siguiente estructura:

Sujeto a:

4.- Construcción del modelo (Forma estándar) El modelo matemático en forma estándar de programación lineal presenta la siguiente estructura:

Sujeto a:

Se multiplican por 0 las constantes que sume o reste en el modelo estándar para evitar que se altere la función objetivo original.

Importante:

Ejemplo: • El Restaurante Buen Sazón ofrece a su clientela Dos (2) platos corrientes al desayuno de gran aceptación en la comunidad. El primero por un precio de venta de $5.500, contiene 2 huevos en pericos, 2 arepitas de queso y una taza de café con leche. El segundo por un valor de $7.000 consta de 3 huevos en tortilla, 3 arepitas de queso y una taza con café de leche. Diariamente se disponen en el Restaurante de 3.000 huevos, 2.400 arepitas de queso y 3.600 tazas con café de leche para atender a sus clientes. ¿Cuántos desayunos del primer y segundo plato se deben preparar para maximizar los ingresos por ventas?

PASO 1 • Identificar las variables del ejercicio

• X = Plato No. 1 del desayuno • Y = Plato No. 2 del desayuno

PASO 2 • Identificar la función objetivo

• Maximizar los ingresos por ventas

PASO 3

• Identificar las restricciones Restricción

X

Y

Disponible

PASO 3

• Identificar las restricciones Restricción

X

Y

Disponible

Huevos

2

3

3000

2

3

2400

1

1

3600

$5500

$7000

Arepitas de Queso Tazas con café de leche Ingresos por ventas

PASO 4 • Construcción del modelo matemático • Función objetivo (Maximizar Ingresos por ventas) • Max Z = 5500X + 7000Y ????

PASO 4 • Construcción del modelo matemático • Función objetivo (Maximizar los ingresos por ventas) • Max Z = 5500X + 7000Y • (Valor opción 1 de desayuno + valor opción 2 desayuno)

PASO 4

PASO 4

Huevos disponibles para desayunos Arepitas de queso para desayunos Tazas con café de leche para desayunos

Limitaciones de no negatividad

PASO 4

PASO 4

Importante • En el modelo matemático canónico las restricciones funcionales se conservan tal cual como se encuentran definidas en el problema original.

Cambio a Modelo estándar

• Que necesito modificar para convertir el modelo canónico en estándar?.

Modelo Estándar • En el modelo estándar las variables S1, S2, S3 constituyen variables de ????.

Modelo Estándar • En el modelo estándar las variables S1, S2, S3 constituyen variables de holgura, las cuales deben agregarse para convertir la desigualdad presente en el modelo canónico en igualdad y se incluye también en la función objetivo con coeficientes de “0” para ????.

Modelo Estándar • En el modelo estándar las variables S1, S2, S3 constituyen variables de holgura, las cuales deben agregarse para convertir la desigualdad presente en el modelo canónico en igualdad y se incluye también en la función objetivo con coeficientes de “0” para no alterar la función objetivo original. Bajo esta forma las restricciones funcionales pasan todas a ser igualdades.

Ejemplo: • Se dispone de 120 refrescos que contienen cafeína y 180 refrescos sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 dólares por cada paquete que venda de tipo A y 5 dólares por cada uno que vende del tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.

PASO 1 • Identificar las variables del ejercicio

• X = Paquetes de tipo A • Y = Paquetes de tipo B

PASO 2 • Identificar la función objetivo

• Maximizar los beneficios de producción de los paquetes

PASO 3 • Identificar las restricciones Restricción

X

Y

Disponible

PASO 3 • Identificar las restricciones Restricción Refrescos con cafeína Refrescos sin cafeína

Total Ganancia

X

Y

Disponible

3

2

120

3

4

180

$6

$5

PASO 4 • Construcción del modelo matemático • Función objetivo (Maximizar la ganancia) • Max Z = 6X + 5Y ????

PASO 4

PASO 4

Modelo canónico

Modelo Estándar • ???

Modelo canónico

Modelo Estándar

Ejercicio en clase: • Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de por lo menos 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. ¿Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo?

PASO 1 • Identificar las variables del ejercicio

• X = Crudo Ligero • Y = Crudo pesado

PASO 2 • Identificar la función objetivo

• Minimizar el costo

PASO 3 • Identificar las restricciones Restricción

X

Y

Disponible

Gasolina (G)

0,3

0,3

900000

Combustible para calefacción (C)

0,2

0,4

800000

Combustible para turbinas (T)

0,3

0,2

500000

Costo

$35

$30

PASO 4 • Construcción del modelo matemático • Función objetivo (Minimizar costo) • Min Z = 35X + 30Y

PASO 4 • Construcción del modelo matemático • Función objetivo (Minimizar costo) • Min Z = 35X + 30Y

Paso 4

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