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RESISTENCIA DE MATERIALES

MG. ING. SAULO GALLO

LOGRO DE LA SESIÓN

“Al finalizar la sesión, el estudiante diseña elementos sometidos a carga axial usando casos prácticos de la vida real, de manera clara y precisa”.

« Estado Uniaxial » ÍNDICE: 1. Indeterminación estática

2. Temperatura

« Estado Uniaxial » ÍNDICE: 1. Indeterminación estática

2. Temperatura

PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

CONCENTRACIONES DE ESFUERZO - PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

Video: Concentración de esfuerzo en Ensayo a Tracción https://www.youtube.com/watch?v=7BKcb8gPheg

CONCENTRACIONES DE ESFUERZO - PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

Generalmente, se suele acostumbrar usar la fórmula 𝜎 = 𝑃/𝐴 para determinar los esfuerzos en barras con carga axial, la cual se basa en una distribución uniforme de esfuerzos en el área transversal.

Sin embargo, las barras tienen agujeros, ranuras y otros cambios abruptos en su geometría que producen perturbaciones en el patrón uniforme de esfuerzos. Estas discontinuidades causan grandes esfuerzos en regiones muy pequeñas de la barra, conocidas como concentraciones de esfuerzo.

CONCENTRACIONES DE ESFUERZO - PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

Por ejemplo, el esfuerzo máximo directamente debajo de la carga concentrada P puede ser varias veces el esfuerzo promedio P/bt. Sin embargo, a medida que nos alejamos del punto de aplicación, el esfuerzo máximo disminuye con rapidez.

A una distancia del extremo de la barra igual al ancho b de la barra, la distribución de esfuerzos es casi uniforme 𝑃

𝜎 = 𝐴 , 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 "b" 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 .

CONCENTRACIONES DE ESFUERZO - PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

Concentraciones de esfuerzos en agujeros

CONCENTRACIONES DE ESFUERZO - PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

El Principio de Saint-Venant establece que: “Los esfuerzos en el cuerpo causados por cualquier tipo de carga SON UNIFORMES siempre que nos alejemos de la región cargada una distancia cuando menos igual a la dimensión mayor de la región cargada (en nuestro caso, la dimensión b)”

INDETERMINACIÓN ESTÁTICA

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Hasta el momento, hemos estudiado las reacciones y fuerzas internas de elementos estáticamente determinados. Sin embargo, la mayoría de las estructuras son más complejas, tal como se muestra en la Fig.1, las cuales se clasifican como estáticamente indeterminadas. 𝐹𝑦 = 0 → 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 − 𝑃 = 0 … (𝐼) Fig. 1.Barra indeterminada

estáticamente

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Para analizar este tipo de estructuras, se completan a las ecuaciones de equilibrio con ecuaciones que describen los desplazamientos de la estructura. Por ejemplo, las fuerzas de la figura producen en la barra un cambio de longitud 𝛿𝐴𝐵 igual a cero:

𝛿𝐴𝐵 = 0 … (𝐼𝐼: 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑) Para resolver la Ec.II, debemos expresarla en términos de las fuerzas desconocidas 𝑅𝐴 𝑦 𝑅𝐵 a través de las relaciones de fuerza-desplazamiento.

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Estas relaciones dependen del material. Si el material es linealmente elástico, se puede usar la ecuación 𝛿 = 𝑃𝐿/𝐸𝐴 para obtener las relaciones de fuerza y desplazamiento. De esta manera, tenemos:

EJEMPLO 01 – DEFORMACIÓN AXIAL

La barra AD mostrada en la figura tiene una sección transversal de 0.4in2 y es cargada por las fuerzas P1=2700lb, P2=1800lb y P3=1300lb. Las longitudes de los segmentos de las barras son: a=60in, b=24in, c=36in: a) Si el E=30 106 psi, calcule la deformación 𝛿 de la barra. ¿Se acorta o se alarga?

EJEMPLO 02 – DEFORMACIÓN AXIAL

La barra de acero A-36 consta de dos segmentos con área transversal 𝐴𝐴𝐵 = 1𝑖𝑛2 y 𝐴𝐵𝐷 = 2𝑖𝑛2. Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el desplazamiento de B respecto de C. [Hibbeler (2011), Problema 4.1, 8va. ed.]

EJEMPLO 03 – ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Se tiene una barra horizontal rígida AB soportada por los alambres (CD y EF). Calcular la carga admisible P para las siguientes condiciones: El alambre CD es de aluminio, con módulo 𝐸1 = 72𝐺𝑃𝑎, diámetro 𝑑1 = 4𝑚𝑚 y longitud 𝐿1 = 0.40𝑚. El alambre EF es de magnesio, con módulo 𝐸2 = 45𝐺𝑃𝑎, diámetro 𝑑2 = 3𝑚𝑚 y longitud 𝐿2 = 0.30𝑚. Los esfuerzos admisibles en los alambres de aluminio y magnesio son 𝜎1 = 200𝑀𝑃𝑎 y 𝜎2 = 175𝑀𝑃𝑎, respectivamente.

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2. Temperatura

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2. Temperatura

DEFORMACIONES POR TEMPERATURA

MOTIVACIÓN

Video: Expansión y contracción de lámina bimetálica https://www.youtube.com/watch?v=M9p5ZJIyPi8

Video: Forjado de una Katana (Japanese sword) https://www.youtube.com/watch?v=viqrOAG13Q0

DEFORMACIONES POR TEMPERATURA

Las cargas externas no son las únicas fuentes de esfuerzos internos, sino también podemos tener los efectos térmicos debido a los cambios por temperatura, desajustes debido a imperfecciones en la construcción. Estos cambios de temperatura producen dilatación o contracción de los materiales estructurales, causando deformaciones térmicas y esfuerzos térmicos. Fig. 1.- Bloque de material sujeto a aumento de temperatura.

𝝐𝑻 = 𝜶 ∆𝑻 Donde 𝛼 es la propiedad del material llamada coeficiente de dilatación o expansión térmica.

DEFORMACIONES POR TEMPERATURA

Suponiendo que la deformación unitaria longitudinal de barra con carga axial es 𝜖 = 𝜎/𝐸. Por lo tanto, al reemplazar en la ecuación anterior tendremos: 𝝈 = 𝑬𝜶 ∆𝑻 Los materiales estructurales ordinarios se dilatan cuando se calientan y se contraen cuando se enfrían, y en consecuencia, un aumento de temperatura produce una deformación térmica positiva.

Fig. 2.- Incremento de longitud de una barra prismática debido a un aumento de temperatura.

𝜹𝑻 = 𝝐𝑻 𝑳 = 𝜶 ∆𝑻 𝑳

DEFORMACIONES POR TEMPERATURA

En el caso de estructuras sin restricciones de movimiento (que puede dilatarse o contraerse con libertad), no se producen esfuerzos internos debido a un cambio interno de temperatura en todo el objeto Por ejemplo, las barras de la estructura estáticamente determinada en la Fig.3 pueden alargarse o acortarse libremente, produciendo un desplazamiento en el nudo B pero sin producir esfuerzos internos en las barras y en los soportes. Fig. 3.Armadura estáticamente determinada con cambio uniforme de temperatura en cada miembro.

DEFORMACIONES POR TEMPERATURA

En cambio, una estructura estáticamente indeterminada puede o no tener esfuerzos internos por temperatura, dependiendo del carácter de la estructura y de la naturaleza de los cambios de temperatura. Por ejemplo, cuando se calientan uniformemente todas las barras de la armadura de la Fig.4, la articulación D se moverá en sentido horizontal.

Fig. 4.estáticamente con cambio temperatura.

Armadura indeterminada uniforme de

Sin embargo, si algunas barras se calientan y otras no, se desarrollarán esfuerzos térmicos, porque el arreglo estáticamente indeterminado de las barras evita la dilatación libre.

EJEMPLO 01 – DEFORMACIONES POR TEMPERATURA

Una barra rígida ABCD está empernada en el nodo A y apoyada sobre dos cables en los puntos B y C. El cable en B tiene un diámetro nominal de 𝑑𝐵 = 12𝑚𝑚 y el cable en C tiene un diámetro nominal de 𝑑𝐶 = 20𝑚𝑚. Una carga P actúa en el nodo D de la barra. ¿Cuál será la carga permisible de P si el aumento de temperatura es de 60°y cada cable tiene un F.S=5 respecto a su carga última? E=140GPa. 𝛼 = 12 ∗ 10−6 /°𝐶. 𝑇𝐵 𝑢𝑙𝑡 = 120,000𝑁 𝑇𝐶 𝑢𝑙𝑡 = 231,000𝑁

RETROALIMENTACIÓN Y AUTOEVALUACIÓN

Revisar los problemas del cap. 1 del libro de: • Mecánica de materiales, de R.C. Hibbeler 8va edición, Prentice Hall, 2011. Problemas F1-7 a F1-12. • Mecánica de materiales, de F.P Beer 5ta edición, McGraw Hill, 2010. Problemas F1-1 a F1-15.

REFERENCIAS  Beer, F. P. D., JOHNSTON, J. T., RUSSELL, E., Beer, F. P., Johnston jr, E. R., Dewolf, J. T., & Arges, K. P. (2010), Mecánica de materiales, McGraw-Hill-Interamericana 5ta. ed.  Hibbeler, R. C. (2012). Structural Analysis. Pearson education, 8va. ed.  Hibbeler, R. C. (2011). Mecánica de materiales. Pearson education, 8va. ed.

 Arteaga, N., Iberico C., Gonzales, C., Mego, C. (2015). Resistencia de materiales I-II. Nueva edición – Editorial Ciencias.

RESISTENCIA DE MATERIALES

MG. ING. SAULO GALLO