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TOPOGRAFIA PARA TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS DOCENTE : ING. MIGUEL A. GALARRETA CH.

TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TOPICOS DE TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es la medición de los triángulos En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. La trigonometría se utilizó durante siglos en TOPOGRAFÍA, navegación y astronomía. ING. MIGUEL A. GALARRETA CH.

TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO ELEMENTOS Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto. α

+ γ = 90º

Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia. Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este. Para el angulo α:

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Para el angulo γ:

TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO FUNCIONESTRIGONOMETRICAS

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO TRIANGULOS NOTABLES

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO TEOREMA DE PITAGORAS

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO ANGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Si un objeto esta por encima de la horizontal, se llama angulo de elevación al angulo formado por una linea horizontal y la linea visual hacia el objeto. Si un objeto esta por debajo de la horizontal, se llama angulo de depresión al angulo formado por una linea horizontal y la linea visual hacia el objeto.

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO EJEMPLO 01.- en un triangulo, las medidas de sus angulos son α y β, se cumple que tan α =4/5. Determinar las razones trigonométricas restantes. EJEMPLO 02.- determinar el angulo de inclinación mínimo necesario para que el avion de la figura pueda despegar sobrevolando el cerro.

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO EJEMPLO 03.- del grafico que se adjunta determinar la altura del edificio.

EJEMPLO 04.una persona observa en un ángulo de 54º lo alto que es un edificio; si la persona mide 1.72m y esta ubicado a 18 m de la base del edificio. ¿Cuál es la altura en metros del edificio?

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO EJEMPLO 05.un faro esta ubicado sobre la playa. El faro tiene una altura de 675 metros. Desde lo alto del faro y un angulo de 76º se divisa una embarcación ¿a que distancia de la base del faro se encuentra la embarcación? EJEMPLO 06.- Con los datos que se muestram calcular la altura del edificio.

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76º

TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO EJEMPLO 07.un faro esta ubicado sobre la playa. El faro tiene una altura de 675 metros. Desde lo alto del faro y un angulo de 76º se divisa una embarcación ¿a que distancia de la base del faro se encuentra la embarcación? EJEMPLO 08.- Con los datos que se muestram calcular la altura del edificio.

ING. MIGUEL A. GALARRETA CH.

76º

TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO EJEMPLO 09.- desde un punto a nivel del suelo y a 135 m de la base de una torre, el angulo de elevacion a la parte mas alta de la torre es de 57º . Calcular la altura de la torre. EJEMPLO 10.- un arbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60m de largo. Encontral el angulo de elevación del sol en ese momento. EJEMPLO 11.- de la figura calcular: a. La longitud del circuito Karts. b. Cual es el menor numero de vueltas que hay que dar el circuito para recorrer mas de 1 kilometro.

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO EJEMPLO 12.- del grafico que se muestra se tiene dos triángulos rectángulos AOB y ODC. Calcular la distancia AB.

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO EJEMPLO 13.- del grafico que se muestra calcular la altura de la torre, si la altura de la persona es de 1.65m.

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO EJEMPLO 14.- con los datos de la figura calcular la altura H del edificio.

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO EJEMPLO 15.- con los datos de la figura calcular la altura H de la montaña.

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TRIANGULO RECTANGULO EJEMPLO 16.- con los datos de la figura calcular la altura del edificio.

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TEOREMA DE LOS SENOS

Es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus respectivos ángulos opuestos.

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TEOREMA DE LOS COSENOS

Dado un triángulo ABC cualquiera, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TEOREMA DE LOS COSENOS Y SENOS EJEMPLO 17.- del grafico que se muestra calcular a que altura se encuentra el globo.

EJEMPLO 18.- del grafico que se muestra calcular la distancia del barco al castillo..

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TEOREMA DE LOS COSENOS Y SENOS EJEMPLO 19.- se quiere conocer la anchura de un rio, para lo que se tomaron dos angulos desde un punto B y C, si la distancia entre estos puntos es de 354 m, calcula lo ancho del rio del punto B al punto A. EJEMPLO 20.- Este es el cartel de una campaña publicitaria contra el tabaco. ¿Cuánto mide el cigarro que aparece en él? ING. MIGUEL A. GALARRETA CH.

TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TEOREMA DE LOS COSENOS Y SENOS EJEMPLO 21.- una ambulancia esta socorriendo a los heridos de un accidente de tráfico . Observa el mapa y señala cual de los dos hospitales se encuentra mas cerca del lugar del accidente. EJEMPLO 22.Una parcela triangular está delimitada por tres árboles como se muestra en la figura. Sus dueños han decidido vallarla. Si la alambrada se vende en rollos de 50 metros, ¿cuántos rollos necesitan comprar? ¿Cuántos metros les sobrarán? ING. MIGUEL A. GALARRETA CH.

TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TEOREMA DE LOS COSENOS Y SENOS EJEMPLO 23.de la figura calcular el perímetro de la piscina triangular de la figura.

EJEMPLO 24.- Observa el dibujo y calcula: a. La distancia alpinista.

que recorrira el

b. La altura de la montaña.

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TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TEOREMA DE LOS COSENOS Y SENOS EJEMPLO 25.Cuando en la sucursal bancaria de la figura suena una alarma, la señal se recibe en las dos comisarías más cercanas. Los policías de la comisaría A acuden al banco a una velocidad de 90 kilómetros por hora, y los de la comisaría B lo hacen a 100 kilómetros por hora. ¿Qué policías llegarán primero?

ING. MIGUEL A. GALARRETA CH.

TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TEOREMA DE LOS COSENOS Y SENOS EJEMPLO 25.- hallar la altura de la torre, sabiendo que el triangulo DCB es un triangulo recto.

ING. MIGUEL A. GALARRETA CH.

TOPOGRAFÍA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS TEOREMA DE LOS COSENOS Y SENOS EJEMPLO 26.el alineamiento AB representa el eje de un puente en construcción. El punto A ha sido materializado en el terreno por medio de una estaca. Se sabe que el punto B debe estar ubicado exactamente a 35m del punto A, pero debido a que un obstaculo impide medir directamente esta distancia, se ha escogido un punto axuliar C a 48.325m de A y se ha el ángulo α=95º27’32”. Calcular el ángulo γ requerido para ubicar B a partir de C. ING. MIGUEL A. GALARRETA CH.

GRACIAS