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FÍSICA MATEMÁTICA II

Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Tema 1. Elementos de EDO Puntos de reposo de sistemas lineales planos.

Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer: • La clasificación de los puntos de reposo de sistemas lineales planos con coeficientes constantes, sus propiedades y su determinación.

x´ ax  by y´ cx  dy

a A  c

b 0 d

Determinación de valores propios

𝐴− 𝐼 =

𝑎− 𝑐

𝑏 𝑑−

=0

2 − 𝑎 + 𝑑  + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0

2 − 𝑡𝑟𝐴 + 𝐴 = 0

1) Las raíces λ1,λ2 son reales y distintas (λ1≠λ2). Nodo Impropio a) negativas (λ10). Repulsor. y

x

λ1 0

0 λ2

1c) Las raíces λ1,λ2 son reales y distintas (λ1≠λ2). Con signos contrarios. Punto de Silla.

λ1 0

0 λ2

2.1) Las raíces λ1,λ2 son reales e iguales (λ1=λ2=). a) negativa (0). Nodo Propio . Repulsor. y

x

λ 0

0 λ

2.2) Las raíces λ1,λ2 son reales e iguales (λ1=λ2=). a) negativa (0). Nodo Degenerado. Repulsor.

λ 0

1 λ

3) Las raíces λ1,λ2 son complejas conjugadas, 1,2 = β𝑖. Foco.

a)  ≠0 a1) 0. Repulsor.

3) Las raíces λ1,λ2 son complejas conjugadas, 1,2 = β𝑖. b) =0, raíces imaginarias puras. Centro.

q=detA Inestable

Asintóticamente Estable

8

1.5

x 10

p2-4q=0

0.15

Estable

1

0.1

0.5

0.05

0 x2

x2

0

-0.5

-0.05

-1 -0.1

-1.5 -0.15

-2 -2.5 -4

-3

-2

-1

0 x1

1

2

3

-0.2 -0.2

4

Nodos límite (Propios) -0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

x1

7

x 10

Espirales

Espirales 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.08 x2

4

0

0.06

3

-0.05 0.04

-0.1

0.02

2

-0.15

-0.25

-0.02

x2

x2

1

-0.2

0

0

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 x1

Centros

-0.04

-1

-0.06 -0.08 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005

-2

-3 -4

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 x1

Nodos Impropios

-3

-2

-1

0 x1

1

2

3

4

Nodos Impropios

p=-trA 0.6

0.4

x2

0.2

Inestable

0

-0.2

-0.4

-0.6 -0.6

-0.4

-0.2

0 x1

0.2

Puntos Silla

0.4

0.6

ANEXO

A =1 B=0 C = -1 D = 2

u' = A u + B v v' = C u + D v 1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1

u' = A u + B v v' = C u + D v

A = 0 B = -1 C=1 D=0

1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1

u' = A u + B v v' = C u + D v

A =0 B=1 C = -2 D = -2

1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1

u' = A u + B v v' = C u + D v

A = -1 B = 0 C=0 D=1

1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1

u' = A u + B v v' = C u + D v

A = 1 B = -3 C = 4 D = -6

1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1

u' = A u + B v v' = C u + D v

A = 6 B = -5 C = 2 D = -1

1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1

u' = A u + B v v' = C u + D v

A =1 B=2 C = 2 D = -2

1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1

u' = A u + B v v' = C u + D v

A = 1 B = -1 C = 2 D = -1

1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1

u' = A u + B v v' = C u + D v

A =0 B=1 C = -2 D = -1

1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1

u' = A u + B v v' = C u + D v

A =0 B=1 C = 2 D = -1

1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1

u' = A u + B v v' = C u + D v

A =0 B=1 C = -1 D = 0

1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1

u' = A u + B v v' = C u + D v

A =0 B=1 C=1 D=0

1 0.8 0.6 0.4

v

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 u

0.5

1