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FÍSICA 1 Sesión N°7

Sistemas con masa variable Conservación del momento lineal en sistemas con masa variable. Cohetes, faja transportadora, modelos de formación de la gota de lluvia. Flujo de masa estacionario.

Luis Mosquera Leiva

Departamento de Ciencias Básicas

1

INTRODUCCIÓN

∆𝑚

𝑚𝑐 +𝑚𝐹

𝑣

𝑣 + ∆𝑣 + 𝑣𝑟

𝑚𝑐 + 𝑚𝐹 − ∆𝑚

𝑣 + ∆𝑣

∆𝑡 𝑓∆𝑡 = 𝑃𝑓 − 𝑃𝑖 →

𝑓=𝑚

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𝑑𝑣 𝑑𝑚 + 𝑣𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑡

2

Sistemas con masa variable El cohete Un cohete tiene masa total 𝑀𝑖 = 360𝑘𝑔 , incluidos 330 kg de combustible y oxidante. En el espacio interestelar, parte del reposo en la posición x = 0, enciende su motor en el tiempo t = 0 y pone empuje con rapidez relativa 𝑣𝑒 = 1500𝑚/𝑠 con la relación constante k =2.50 kg/s. El combustible durará un tiempo de quema real de 330 kg/(2.5 kg/s) = 132 s, pero defina un “tiempo de agotamiento proyectado” como Tp=Mi/k = 360 kg/(2.5 kg/s) = 144 s (que sería el tiempo de quema si el cohete pudiera usar su carga y tanques de combustible, e incluso las paredes de la cámara de combustión como combustible). a) Demuestre que, durante la quema, la velocidad del cohete como función del tiempo se conoce por: 𝑣 𝑡 = −𝑣𝑒 𝐿𝑛 1 −

0=𝑚

𝑑𝑣 𝑑𝑚 + 𝑣𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑚 = −𝛼 → 𝑚 = 𝑚0 − 𝛼𝑡

𝑡 𝑇𝑝

b) Haga una gráfica de la velocidad del cohete como función del tiempo para tiempos que van de 0 a 132 s. 𝑣 c) Demuestre que la aceleración del cohete es 𝑎 𝑡 = 𝑒 𝑇𝑝 −𝑡

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No hay fuerzas externas

𝑚

→

𝑑𝑣 = 𝛼𝑣𝑟 𝑑𝑡

𝑣 = 𝑣0 − 𝑣𝑟 𝐿𝑛 1 −

𝛼𝑡 𝑚0

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Sistemas con masa variable La faja transportadora Sobre una banda transportadora cae arena desde una tolva fija en una proporción de 5.00 kg/s, como se muestra en la figura. La banda transportadora esta sostenida por rodillos sin fricción. Se mueve con una rapidez constante de 0.750 m/s bajo la acción de una fuerza horizontal externa constante 𝐹𝑒𝑥𝑡 que proporciona el motor que impulsa la banda. Encuentre: a) la relación de cambio de la cantidad de movimiento de la arena en la dirección horizontal, b) la fuerza de fricción ejercida por la banda sobre la arena, c) la fuerza externa 𝐹𝑒𝑥𝑡 d) el trabajo invertido por la 𝐹𝑒𝑥𝑡 en 1 s, y e) la energía cinética adquirida por la arena que cae cada segundo debido al cambio en su movimiento horizontal. f) ¿Por qué son diferentes las respuestas en d) y e)?

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𝑎) 𝑣𝑑𝑚

𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑚 𝑐)𝑓𝑒𝑥𝑡 = 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑚 𝑑) 𝑑𝑤 = 𝑣 𝑣𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑤 = 𝑣 2 𝛼𝑡 1 𝑒) 𝐸𝑐 = 𝛼𝑡𝑣 2 2 𝑏) 𝑓 = 𝑣

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Sistemas con masa variable Helicóptero con ametralladora Helicóptero militar de 6000 kg equipado con ametralladoras que pueden hacer 4000 disparos por minuto. Cada bala tiene una masa de 0,11 kg y se dispara con una velocidad de salida de 1200 m/s. Calcular la magnitud de la fuerza compensatoria necesaria para mantener al helicóptero en una posición estacionaria en el aire.

Suponiendo que la expulsión de las balas no afecta significativamente la masa total del helicóptero:

𝑓 = 𝑚𝑣2 𝑚=

4000 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑠/𝑚𝑖𝑛 0,11𝑘𝑔/𝑏𝑎𝑙𝑎𝑠 = 7,33𝑘𝑔/𝑠 60𝑠/𝑚𝑖𝑛

𝑓 = 𝑚𝑣2 = 7,33𝑘𝑔/𝑠 −1200𝑚/𝑠 𝑖 = −8800𝑁𝑖

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Sistemas con masa variable La gota de lluvia Una gota de agua de lluvia cae a través de una nube de pequeñas gotitas. A medida que cae, incrementa su masa al chocar inelásticamente con las pequeñas gotitas. El problema consiste en determinar la posición x y velocidad v de la gota en función del tiempo t, conocida la masa inicial m0, la velocidad inicial v0 y la altura inicial x0 en el instante t=0. 𝑑𝑚 ∝ á𝑟𝑒𝑎 × 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝜌𝑛 𝜋𝑟 2 𝑣 = 𝑘𝑚2/3 𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑚 = 𝑘𝑚𝛼 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑚 = 𝑘𝑑𝑥 𝑚𝛼 𝑚

𝑚 𝑚0

−𝛼

𝑥

𝑑𝑚 =

𝑘𝑑𝑥 0

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Sistemas con masa variable La cadena Una cadena de longitud L y masa total M se libera desde el reposo con su extremo inferior apenas tocando lo alto de una mesa, como se muestra en la figura. Encuentre la fuerza que ejerce la mesa sobre la cadena después de que la cadena cae una distancia x, como se muestra en la figura. (Suponga que cada eslabón llega al reposo en el instante en que llega a la mesa.)

Sea s la longitud de la cadena depositada sobre la plataforma. La fuerza que ejerce la plataforma sobre la cadena será:

𝑓 = 𝜌𝑠𝑔 + 𝜌𝑠 2 La fuerza necesaria para frenar la cadena al llegar a la plataforma El momentum lineal de la cadena: 𝜌𝑑𝑠𝑠 se reduce a cero en un tiempo dt

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Flujo de masa estacionario

𝑓 = 𝑚 𝑣2 − 𝑣1

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Flujo de masa estacionario Una tobera expulsa agua a razón de 1892,5 l/min. La tobera está unida a una tubería de 10 cm de diámetro y tiene un diámetro de salida de 5 cm. Si la presión media en la tubería es de 113,4 Kpa, determinar la fuerza que se ejerce sobre cada perno.

𝑄=

1892,5 𝑙/𝑚𝑖𝑛 = 0,0315𝑚3 /𝑠 1000𝑙 60𝑠/𝑚𝑖𝑛 𝑚3

𝑄 = 𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2 𝑣1 = 4,01 𝑚/𝑠 𝑣2 = 16,04 𝑚/𝑠 𝑝1 𝐴1 − 𝐹𝑛 = 𝜌𝑔𝑄 𝑣2𝑥 − 𝑣1𝑥 𝐹𝑛 = 518,9𝑁

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Bibliografía

1. Tongue and Sheppard. “Dinámica. Análisis y Diseño de Sistemas en Movimiento”. University of Berkeley. Ed. Limusa Wiley. 2009. 2. Robert W. Soutas-Little, Daniel J. Inman, Daniel S. Balint. “Dinámica. Edición Computacional”. Imperial College London. Cengage Learning 2009. 3. Robert L. Borelli and Courtney Coleman. “Ecuaciones diferenciales. Una Perspectiva de Modelación”. Oxford University Press. 2002. 4. M. Alonso, E. J. Finn. “Física Vol I ”. Georgetown University. Addison – Wesley 1995.

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