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• Francisca Ale

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Administración CLASE 7 SISTEMAS DE ECUACIONES Sistemas lineales: Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: a11 ·x1 + a12 · x2 +a13 · x3 +···+a1n · xn = b1 a21 ·x1 + a22 · x2 +a23 · x3 +···+a2n · xn = b2 . . . am1 · x1 +am2 · x2 +am3 · x3 +···+ amn ·xn = bm En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas y bj se denominan términos independientes. En el caso de que las incógnitas sean 2, se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2 , y en el caso de tres; x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular el valor de las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Tipos de sistemas: En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales IR. Un sistema de ecuaciones, según el número de soluciones que tenga, se llama: • Sistema Compatible Determinado; Si tiene una única solución, y la representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto. • Sistema Compatible Indeterminado; Si tiene infinitas soluciones y la representación gráfica son dos rectas coincidentes. • Sistema Incompatible; Si no tiene solución y la representación gráfica del sistema son dos rectas que son paralelas entre si. Entonces: * INCOMPATIBLES

(No tienen solución)

→ S.I.

* COMPATIBLES

(Tienen solución)

* DETERMINADOS (Solución única) → S.C.D. * INDETERMINADOS (Infinitas soluciones) → S.C.I.

Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. a) Solución única:

b) Sin solución:

c) Infinitas soluciones:

x+ 2y = −3 −2x+y = 1

x+ 2y = −3 −2x− 4y = 5

x+ 2y = −3 3x+ 6y = −9

Intersección de rectas (en punto (-1,-1))

Rectas paralelas

Rectas que coinciden

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay 2 incógnitas y 2 ecuaciones. Donde los métodos de solución más comunes son: * Reducción * Igualación * Sustitución Sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas: Como cada ecuación lineal con 3 incógnitas corresponde a un plano en el espacio, la solución del sistema corresponderá a la posición en que dichos planos estén en el espacio. Lo más sencillo es saber que ocurre con los planos 2 a 2, pues en el espacio dos planos sólo pueden estar en 3 posiciones: * Son coincidentes: Las ecuaciones tienen coeficientes de las incógnitas y términos independientes proporcionales. * Son paralelos: Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales, pero los términos independientes NO. * Son secantes: Los coeficientes no son proporcionales. Puesto que podemos determinar la posición de los planos 2 a 2, podemos determinar en que posición se encuentran los 3 a la vez, fijándonos en los casos: 1. 2.

3.

Si el sistema es S.C.D. (Solución única), es que los tres planos se cortan en un punto, que es la solución del sistema. Si el sistema es S.C.I. (Infinitas soluciones), puede ocurrir que: a) Los tres planos se corten en una recta. b) Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta. c) Los tres planos son coincidentes. Si el sistema es S.I. (Sin solución), puede ocurrir que: a) Los planos se cortan dos a dos. b) Dos planos son paralelos y el otro los corta. c) Los tres planos son paralelos. d) Dos planos son paralelos y el otro coincidente con uno de ellos.

EJEMPLO

1:

El propietario de una tienda de televisores desea expandir su negocio comprando y poniendo a la venta dos nuevos modelos de televisores que acaban de salir al mercado. Cada televisor del primer tipo cuesta $300 y cada televisor del segundo tipo $400. Cada televisor del primer tipo ocupa un espacio de 4 pies cuadrados, mientras que cada uno del segundo tipo ocupa 5 pies cuadrados. Si el propietario sólo tiene disponibles $2000 para su expansión y 26 pies cuadrados de espacio, ¿cuántos modelo de cada tipo deberá comprar y poner a la venta haciendo uso completo del capital disponible y del espacio? Solución: Supóngase que el propietario compra x televisores del primer modelo e y del segundo. Entonces, le cuesta $300x comprar el primer modelo y $400y comprar el segundo tipo de televisores. Dado que la cantidad total que ha de gastar es de $2000, es necesario que 300x+ 400y= 2000

(i)

Asimismo, la cantidad de espacio ocupada por los dos tipos de televisores es de 4xpies cuadrados y 5y pies cuadrados, respectivamente. El espacio total disponible para los dos modelos es de 26 pies cuadrados. Por tanto 4x + 5y = 26 (ii) Para encontrar el número de televisores de cada modelo que deberá comprar y poner a la venta, debemos resolver las ecuaciones (i) y (ii) para x e y. Es decir, debemos encontrar los valores de x e y que satisfagan a la vez las ecuaciones (i) y (ii). Obsérvese que cada una de ellas es una ecuación lineal en x e y. Así entonces: Las dos ecuaciones que resultan del problema formulado al inicio de esta sección. 300x + 400y = 2000 4x + 5y = 26

(i) (ii)

(Método de sustitución) En este caso, despejamos x ó y (lo que sea más sencillo) de una de las ecuaciones y sustituimos el valor de esta variable en la otra ecuación. De la ecuación (ii) (despejando x), tenemos. 4x = 26 − 5y

x

26  5 y 4

(iii)

Sustituimos este valor de x en la ecuación (i) y despejamos y.

 26  5 y  300    5 y  26  4  75(26 − 5y) +400y = 2000 1950 − 375y + 400y = 2000 25y = 200 − 1950 = 50 y=2

/

Sustituyendo y= 2 en la ecuación (iii) tenemos que:

x

1 26  10   4 4

En consecuencia, la solución del sistema de ecuaciones (i) y (ii) es x = 4 e y= 2. En otras palabras, el comerciante deberá comprar 4 televisores del primer tipo, y 2 del segundo, si emplea todo el espacio disponible y utiliza todo su capital.

EJEMPLO

2

La tienda “El Sol”, que se especializa en todo tipo de frutas secas, vende maníes a $0,70 la libra y almendras a $1,60 la libra. Al final de un mes, el propietario se entera de que los maníes no se venden bien y decide mezclar maníes con almendras para producir una mezcla de 45 libras, que venderá a $1,00 la libra. ¿Cuántas libras de maníes y de almendras deberá mezclar para mantener los mismos ingresos? Solución: Sea x las libras de maníes que la mezcla contiene e y las libras correspondientes de almendras. Dado que el peso total de la mezcla es de 45 libras;

x + y= 45 El ingreso de x libras de maníes a $0,70 la libra es de 0,7x dólares y el ingreso de y libras de almendras a $1,60 la libra es de 1,6y dólares. El ingreso obtenido de la mezcla de 45 libras a $1,00 por libra será de $45. Dado que el ingreso de la mezcla deberá ser el mismo que el de las frutas separadas, tenemos la siguiente ecuación: Ingreso de los maníes + Ingreso de las almendras = Ingreso de la mezcla 0,7x+ 1,6y= 45 7x + 16y = 450 De esta manera, llegamos al sistema de ecuaciones lineales siguiente:

x + y = 45 7x + 16y = 450 De la primera ecuación, obtenemos que x = 45 − y. Luego sustituimos este valor de x en la ecuación de abajo y despejamos y. 7(45 − y) + 16y = 450 315 − 7y + 16y = 450 9y = 450 − 315 y = 15 Por tanto, x= 45 − y

= 45 − 15 = 30.

En consecuencia, 30 libras de maníes deberán mezclarse con 15 libras de almendras para formar la mezcla.

EJEMPLO

3

Un fabricante de productos químicos debe surtir una orden de 500 litros de solución de ácido al 25% (veinticinco por ciento del volumen es ácido). Si hay disponibles en existencia soluciones al 30% y al 18%, ¿cuántos litros de cada una debe mezclar para surtir el pedido? Solución: Sean x e y, respectivamente, el número de litros de las soluciones al 30% y 18% que deben mezclarse. Entonces: x + y = 500 Para ayudar a visualizar la situación, se dibuja el diagrama en la figura 3.36. En 500 litros de una solución al 25%, habrá 0,25 (500) = 125 litros de ácido. Este ácido proviene de dos fuentes: 0,30x litros de la solución al 30% y 0,18y litros provienen de la solución al 18%. Entonces; 0,30x + 0,18y = 125 Estas dos ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Al resolver la primera para x se obtiene x = 500  y. Después de sustituir en la segunda se obtiene 0,30 (500  y) + 0,18y = 125 Al resolver ésta para y, se encuentra que y = 208 1/3 litros. Así x = 500 = 208 1/3 = 29l 2/3 litros EJEMPLO 4 (Equilibrio) Es necesario saber que una ecuación que relaciona el precio por unidad y la cantidad demandada (suministrada), se llama ecuación de demanda (ecuación de oferta). Suponga que para un producto Z la ecuación de demanda es: 1 p q  12 (1) 180 y la ecuación de oferta es: 1 p q  8 (2) 300 donde q, p  0. Las correspondientes curvas de demanda y oferta son las líneas de las figuras: Figura 1

Figura 2

Al analizar la figura 1, se observa que los clientes comprarán 540 unidades por semana cuando el precio sea $9 por unidad, 1080 unidades cuando el precio sea $6, y así sucesivamente. En la figura 2 se muestra que cuando el precio es de $9 por unidad, los productores colocarán 300 unidades por semana en el mercado, a $10 colocarán 600 unidades, y así sucesivamente. Cuando las curvas de demanda y oferta de un producto se representan en el mismo plano de coordenadas, el punto (m, n) donde las curvas se intersecan se llama punto de equilibrio (vea la figura 3). Figura 3

El precio, n, llamado precio de equilibrio, es aquél al que los consumidores comprarán la misma cantidad que los productores ofrezcan a ese precio. En pocas palabras, n es el precio en el que se da una estabilidad entre productor y consumidor. La cantidad m se llama cantidad de equilibrio. Para determinar con precisión el punto de equilibrio, se resolverá el sistema formado por las ecuaciones de oferta y demanda. Esto se hará para los datos anteriores, es decir, el sistema: (Ecuación de demanda) (Ecuación de oferta)

Al sustituir “p” por

1 q  8 en la ecuación de demanda, se obtiene: 300 1 1 q8   q  12 300 180 1   1   q  4  300 180 

q = 450

(cantidad de equilibrio)

Por lo tanto,

p

1 450  8 300 p = 9,50

(precio de equilibrio)

y el punto de equilibrio es (450; 9,50). Por lo tanto, al precio de $9,50 por unidad, los fabricantes producirían exactamente la cantidad (450) de unidades por semana que los consumidores comprarían a ese precio (vea la figura 4).

Sistemas cuadráticos Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución , para ello seguiremos los siguientes pasos: 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. 2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación , se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones:

3x 2  2 x  3 y  y  1 2 y  3 y 2  3x  4 Ellas forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.

Por ejemplo,

3x 2  2 x  3 y  y  1 2 y  3 y 2  3x  4

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas. Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos encontrar el punto (o puntos)de intersección entre ambas gráficas: Si la parábola y la recta se tocan en un sólo punto, entonces existe una solución para ambas ecuaciones.

Si las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones.

Si la recta se intersecta con la parábola en dos lugares, entonces hay dos soluciones para ambas ecuaciones. El número posible de soluciones para un sistema de dos ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito (las rectas son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un lugar), o 2 (se cruzan en dos lugares).

Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas

Dos ecuaciones cuadráticas que tienen sólo un punto en común, como un vértice compartido, tienen una solución.

Dos ecuaciones cuadráticas que se superponen pero tienen ecuaciones diferentes tienen dos soluciones.

Dos ecuaciones cuadráticas que no se superponen (no tienen valores comunes de y) no tienen solución.

Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones válidas para ambas ecuaciones. Finalmente: La solución de sistemas de ecuaciones no lineales puede hacerse usando las técnicas de graficar, sustitución y combinación lineal. De la misma forma que con sistemas de ecuaciones lineales, cuando encontramos soluciones a sistemas de ecuaciones no lineales, estamos buscando la intersección de sus gráficas o los lugares donde las ecuaciones tienen los mismos valores de las variables.

EJERCICIOS Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones.

Analice algebraicamente y responda 1. (Análisis del punto de equilibrio) El costo variable de producir cierto artículo es de 90¢ por unidad y los costos fijos son de $240 al día. El artículo se vende por $1.20 cada uno. ¿Cuántos artículos deberá producir y vender para garantizar que no haya ganancias ni pérdidas? 2. (Análisis del punto de equilibrio) Los costos fijos por producir cierto artículo son de $5000 al mes y los costos variables son de $3.50 por unidad. Si el productor vende cada uno a $6.00, responda a cada uno de los incisos siguientes. a) Encuentre el punto de equilibrio. b) Determine el número de unidades que deben producirse y venderse al mes para obtener una utilidad de $1000 mensuales. c) Obtenga la pérdida cuando sólo 1500 unidades se producen y venden cada mes. 3. (Análisis del punto de equilibrio) El costo de producir x artículos está dado por yc = 2,8x + 600 y cada artículo se vende a $4,00. a) Encuentre el punto de equilibrio. b) Si se sabe que al menos 450 unidades se venderán, ¿cuál debería ser el precio fijado a cada artículo para garantizar que no haya pérdidas? 4. (Análisis del punto de equilibrio) Un fabricante produce artículos a un costo variable de 85¢ cada uno y los costos fijos son de $280 al día. Si cada artículo puede venderse a $1,10, determine el punto de equilibrio.

5. (Análisis del punto de equilibrio) En el ejercicio 4, si el fabricante puede reducir el costo variable a 70¢ por artículo incrementando los costos diarios a $350, ¿es ventajoso hacerlo así? (Tal reducción sería posible; por ejemplo, adquiriendo una nueva máquina que bajara los costos de producción pero que incrementara el cargo por intereses). 6. (Análisis del punto de equilibrio) El costo de producir x artículos a la semana está dado por yc = 1000 + 5x. Si cada artículo puede venderse a $7, determine el punto de equilibrio. Si el fabricante puede reducir los costos variables a $4 por artículo incrementando los costos fijos a $1200 a la semana, ¿le convendría hacerlo? 7. (Análisis no lineal del punto de equilibrio) El costo de producir x artículos al día está dado en dólares por yc = 80 + 4x + 0,1x2. Si cada artículo puede venderse a $10, determine el punto de equilibrio. 8. (Análisis no lineal del punto de equilibrio) El costo de producir x artículos al día está dado en dólares por yc = 2000 + 100 x. Si cada artículo puede venderse a $10, encuentre el punto de equilibrio. Determine el precio y cantidad de equilibrio para las curvas de demanda y oferta siguientes: 9.

10. 11.

d: 2p + 3x = 100 1 s: p  x2 10 d: 3p + 5x = 200 s : 7p 3x = 56

12.

d: 5p + 8x = 80 s: 3x = 2p  1

13.

d: p2 + x2 = 25 s: p = x + 1

d: 4p+ x = 50 s: 6p  5x = 10

14.

d: p2 +2x2 = 114 s: p = x + 3

15. (Equilibrio de mercado) Un comerciante puede vender diariamente 200 unidades de cierto bien en $30 por unidad y 250 unidades en $27 por unidad. La ecuación de oferta para ese bien es 6p= x + 48. a) Determine la ecuación de demanda para el bien, suponga que es lineal. b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. c) ¿Qué subsidio por unidad aumentará la demanda en 24 unidades? Resuelva las siguientes ecuaciones de oferta y demanda. Explique en dónde estaría el equilibrio del mercado. 16.

S: p = x + 5 D: 3p + 4x = 12

17.

S: 2p  3x = 8 D: 3p + 6x = 9

18. (Equilibrio de mercado) Para cierto producto, si el precio es $4 por unidad, los consumidores comprarán 10,000 unidades mensuales. Si el precio es $5 por unidad, los consumidores comprarán 9000 unidades mensuales. a) Suponiendo que la curva de la demanda es una línea recta, determine su ecuación. b) La ecuación de oferta para este producto es:

Determine el punto de equilibrio y la cantidad total gastada por los consumidores en este producto en el precio de equilibrio.