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• Jaime Augusto Salcedo Diaz

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15.7 Una de las cuerdas de una guitarra está en el eje x cuando está en equilibrio. El extremo x=0 (el puente de la guitarra) está fijo. Una onda senoidal incidente viaja por la cuerda en dirección –x a 143 m/s con amplitud A=0.75 mm y frecuencia f=440 Hz. Esta onda se refleja del extremo fijo en x=0, y la superposición de las ondas incidente y reflejada forma una onda estacionaria. a) Obtenga la ecuación que da el desplazamiento de un punto de la cuerda en función de la posición y el tiempo. b) Encuentre los puntos de la cuerda que no se mueven. c) Calcule la amplitud, la velocidad transversal máxima y la aceleración transversal máxima en los puntos de máxima oscilación.

f=440 Hz, v=143 m/s

ω = 2πf = 2π (440 Hz ) = 2760rad / s 2π 2πf 2πω ω 2760rad / s = = = = = 19.3rad / m k= λ v v 2π v 143m / s

A=0.75 mm

y ( x, t ) = AOE sin kx sin ωt = [2(0.75 10 −3 m) sin(19.3rad / m) x] sin( 2760rad / s )t y ( x, t ) = (1.5 10 −3 m) sin(19.3rad / m) x sin(2760rad / s)t b) Las posiciones de los nodos están en x=0,λ/2,2λ/2…:

λ=

v 143m / s = = 0.325m f 440 Hz

x = 0,0.163m,0.325m...

c) El desplazamiento máximo es 1.5 10-3 m, dos veces la amplitud de la onda incidente. Este máximo se da en los antinodos, que están a medio camino entre nodos adyacentes (x=0.081 m, x=0.244 m…). Para una partícula en cualquier punto de la cuerda:

∂y ( x, t ) = AOE sin kx(ω cos(ωt )) = ∂t = [(1.5 10 −3 m) sin(19.3rad / m) x][(2760rad / s ) cos(2760rad / s )t ] = = [(4.15m / s ) sin(19.3rad / m) x] cos(2760rad / s )t

v y ( x, t ) =

En un antinodo sin(19.3 rad/s)x=±1, y el valor de la velocidad transversal varía entre 4.15 m/s y -4.15 m/s. La aceleración es:

a y ( x, t ) =

∂v y

= AOE sin kx(−ω 2 sin(ωt )) =

∂t = [(−1.15 10 4 m / s 2 ) sin(19.3rad / m) x] sin(2760rad / s)t En los antinodos, el valor de la aceleración transversal varía entre +1.15 104 m/s2 y - +1.15 104 m/s2.

MODOS NORMALES EN UNA CUERDA Consideremos ahora una cuerda de longitud finita L, sujeta rígidamente en AMBOS extremos (como las cuerdas en guitarras, violines, piano..). La onda estacionaria en la cuerda, en este caso, debe tener un nodo en ambos los extremos. Dos nodos adyacentes están separados media longitud de onda (λ/2), así que la longitud de la cuerda debe ser λ/2, 2(λ/2), 3(λ/2) o en general un numero entero de medias longitudes de onda:

L=n

λ 2

(n = 1,2,3...)

Cuerda fija en ambos extremos

Despejando λ de esta ecuación y denotando los posibles valored de λ con λn:

λn =

2L n

(n = 1,2,3..)

Si esta relación no existe, la onda no es estacionaria

A la serie de posibles longitudes de onda estacionaria λn corresponde una serie de posibles frecuencias de onda estacionaria fn, cada una relacionada con su longitud de onda por fn=v/λn. La frecuencia más pequeña f1 corresponde a la longitud de onda más grande (n=1) λ=2L:

f1 =

v 2L

FRECUENCIA FUNDAMENTAL

Las otras frecuencias de onda estacionaria son:

fn = n

f2 =

2v 3v , f3 = .. 2L 2L

v = nf1 (n = 1,2,3..) 2L

Estas frecuencias se llaman ARMÓNICOS y la serie es la serie armónica.

Un MODO NORMAL de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia. Hay un numero infinito de modos normales, cada uno con su frecuencia y patrón de vibración característicos. Aquí se muestran los primeros 3 patrones de modo normal:

f1

λ/2=L (n=1)

f2 2λ/2=L (n=2) f3 3λ/2=L (n=3)

15.36 Un afinador de pianos estira un alambre de piano de acero con una tensión de 800 N. El alambre tiene 0.4 m de longitud y una masa de 3 g. a) Calcule la frecuencia de su modo fundamental de vibración. b) Determine el número del armónico más alto que podría oír una persona que capta frecuencias de hasta 10000 Hz. a)

b)

v 1 τ 1 τL 1 (800  )(0.4m) f1 = = = = = 408Hz −3 2 L 2 L µ 2 L m 2(0.4m) (3 10 kg )

10000 Hz = 24.5 408Hz

ONDAS SONORAS El SONIDO es una onda longitudinal en un medio. El sonido puede viajar en aire y por cualquier gas, líquido o sólido. En una onda longitudinal senoidal, todas las partículas del fluido oscilan con un MAS en una dirección paralela a la dirección de la onda.

Las partículas se agrupan: compresión

Las Las Las partículas partículas se partículas se se agrupan: separan: separan: compresión expansión expansión

Las ondas sonoras se pueden describir en términos de variaciones de presión en puntos diferentes. El oído humano funciona detectando tales variaciones de presión.

y ( x, t ) = A cos(kx − ωt ) Onda sonora en dirección +x

El oído humano es sensible a las ondas en el intervalo de frecuencias de 20 a 20000 Hz (gama audible), pero también se usa el término sonido para frecuencias mayores (ultrasónicas) y menores (infrasónicas)

OÍDO: una onda sonora que entre en el canal auditivo ejerce una presión sobre un lado del tímpano; el aire del otro lado, comunicado con el exterior por la trompa de Eustaquio, está a la presión atmosférica. La diferencia de presión mueve il tímpano. y1

y2

S

Sea p(x,t) la fluctuación de presión instantánea en una onda sonora en cualquier punto x en el instante t. p(x,t) es la cantidad en que la presión difiere de la presión atmosférica pa. Para ver el vínculo entre p(x,t) y el desplazamiento y(x,t) en una onda sonora consideremos el cilindro de la figura.

∆x x

x+∆x

Dirección de propagación

Si no está presente una onda sonora, el cilindro tiene longitud ∆x y volumen V=S∆x. Si está presente una onda en el instante t, el extremo del cilindro que estaba en x se desplaza en y1=y(x,t) y el que estaba en x+∆x se desplaza en y2=y(x+∆x,t). Si y2 > y1 el volumen del cilindro aumenta, causando una disminución de presión. Si y2 < y1 el volumen diminuye y la presión aumenta. La fluctuación de presión depende de la diferencia entre el desplazamiento de puntos vecinos del medio.

Cuantitativamente el cambio de volumen V del cilindro es:

∆V = S ( y2 − y1 ) = S [ y ( x + ∆x, t ) − y ( x, t )] En el límite que ∆x->0 el cambio fraccionario de volumen es:

S [ y ( x + ∆x, t ) − y ( x, t )] ∂y ( x, t ) ∆V = lim = ∆x →0 V S∆x ∂x − p ( x, t ) B= Introduciendo el módulo de volumen B ∂y ( x, t ) / ∂x

∂y ( x, t ) p ( x, t ) = − B ∂x

y ( x, t ) = A cos(kx − ωt )

p( x, t ) = BkA sin(kx − ωt ) BkA=pmax amplitud de presión

EJEMPLO 16.1 En una onda sonora senoidal de moderada intensidad, las variaciones máximas de presión son de 3 10-2 Pa por arriba y por debajo de la presión atmosférica pa. Calcule el desplazamiento máximo correspondiente si la frecuencia es de 1000 Hz. En aire a presión atmosférica y densidad normales, la rapidez del sonido es de 344 m/s y el módulo de volumen B=1.42 105 Pa.

pmax k=

pmax = BkA ⇒ A = Bk

2π

λ

=

2πf 2π (1000 Hz ) = = 18.3rad / m v 344m / s

pmax 3 10 −2 Pa −8 A= = = 1 . 2 10 m 5 kB (18.3rad / m)(1.42 10 Pa)

RAPIDEZ DE LAS ONDAS SONORAS Vimos que para una onda transversal:

v=

τ µ

En general, la rapidez de una onda mecánica tiene la forma:

v=

fuerza de restitución inercia que se opone al retorno al equilibrio

Una onda sonora en un fluido causa compresiones y expansiones, de modo que el término de fuerza de restitución debe tener que ver con lo fácil o difícil que es comprimir el fluido: módulo de volumen B. El término de inercia está relacionado con la masa, que para un fluido se representa con la densidad ρ. Entonces para una onda longitudinal en un fluido:

v=

B

ρ

Rapidez de una onda longitudinal en un fluido

Si la onda longitudinal se propaga en una barra sólida, la rapidez está dada por:

v=

Y

donde Y es el módulo de Young del sólido.

ρ

Rapidez del sonido en varios medios: Aire (20o)

344 m/s

Agua(20o)

1482 m/s

Acero

5941 m/s

Aluminio

6420 m/s

EJEMPLO 16.3 Un barco usa un sistema de sonar para detectar objetos submarinos. El sistema emite ondas sonoras y mide el tiempo que tarda la onda reflejada (eco) en volver al detector. Determine la rapidez del sonido en agua y calcule la longitud de onda de 262 Hz. (ρ=1000 kg/m3, B=0.0218 1011 Pa).

v=

0.0218 1011 Pa = = 1480m / s 3 ρ 1000kg / m

B

v 1480m / s λ= = = 5.65m f 262 Hz

RAPIDEZ DEL SONIDO EN GASES El módulo de volumen B de un gas depende de la presión del gas. La expresión para el módulo de volumen de un gas es:

B = γp0 Donde p0 es la presión de equilibrio del gas y γ es “la razón de capacidades caloríficas” (número adimensional). Por ejemplo, para el aire γ=1.4. La densidad ρ de un gas también depende de la presión, que a su vez depende de la temperatura. Resulta que el cociente B/ρ para un gas ideal no depende de la presión, sólo de la temperatura:

v=

γRT M

Rapidez del sonido en un gas ideal

donde T es la temperatura absoluta en Kelvin (K), M es la masa molar y R es la “constante de los gases”, R=8.31 J/mol K