• Author / Uploaded
• SEBAS OLARTE

Citation preview

´ ´ MATEMATICAS BASICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELL´ IN ´ FUNCIONES INYECTIVAS E INVERSA DE UNA FUNCION (Tomado de: Stewart, James. “Prec´ alculo”. Quinta Edici´on. Secci´on 2.8)

Soluci´ on

FUNCIONES UNO A UNO Y SUS INVERSAS Funciones Uno a Uno

a) La gr´afica de f se obtiene√trasladando 2 unidades a la derecha la gr´afica de y = x:

Definici´ on Una funci´ on f , con dominio Df , se dice uno a uno (1-1) o inyectiva si no hay dos elementos distintos en Df que tengan la misma imagen. Es decir, si x1 ∈ Df y x2 ∈ Df x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) o equivalentemente f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 . Ejemplo

Como ninguna recta horizontal corta la gr´ afica de f en m´as de un punto, entonces f es uno a uno.

La funci´ on f (x) = x2 no es uno a uno, ya que hay al menos dos elementos −2 y 2 del dominio de f que tienen la misma imagen f (−2) = f (2) = 4.

b) La gr´afica de g se obtiene trasladando 3 unidades hacia abajo la gr´afica de y = |x|:

A partir de la gr´ afica de una funci´ on se puede saber si la funci´ on es o no uno a uno. Prueba de la Recta Horizontal Una funci´ on f es uno a uno si y s´ olo si ninguna recta horizontal (paralela al eje x) corta su gr´ afica en m´ as de un punto. En efecto, consideremos la gr´ afica de una funci´ on f :

Existe al menos una recta horizontal que corta la gr´ afica de g en dos puntos distintos. Luego g no es uno a uno. c) La gr´afica de h se obtiene trasladando 1 unidad a la izquierda la gr´afica de y = x3 :

Hay al menos una recta horizontal que intersecta la gr´afica de f en dos puntos distintos, es decir, existen al menos dos elementos a y b del dominio de f tales que f (a) = f (b) . Luego f no es uno a uno.

Ejemplo Usando la prueba de la recta horizontal, determine si las siguientes funciones son uno a uno: √ a) f (x) = x − 2. No existe alguna recta horizontal que corte la gr´ afica de h en m´as de un punto. Luego, h es uno a uno.

b) g (x) = |x| − 3. 3

c) h (x) = (x + 1) . 1

Ejemplo

Inversa de una Funci´ on

Sea f una funci´ on uno a uno, con dominio Df y rango Rf . Compruebe que las funciones f (x) = son inversas entre s´ı. La funci´ on g con dominio Rf y rango Df , tal que

√ 3

x − 5 y g (x) = x3 + 5

Soluci´ on

g (y) = x ⇐⇒ f (x) = y, ∀y ∈ Rf ,

El dominio tanto de f como de g es R. Calculemos (f ◦ g) (x) y (g ◦ f ) (x):
p • (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f x3 + 5 = 3 (x3 + 5) − 5 = √ 3 x3 = x, ∀x ∈ R.

3 √ √ • (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g 3 x − 5 = 3 x − 5 + 5 = (x − 5) + 5 = x, ∀x ∈ R.

se llama la funci´ on inversa de f y se denota por f −1 .

Por la propiedad anterior de las funciones inversas, concluimos que las funciones f y g son inversas entre s´ı, esto es, √ f −1 (x) = g (x) = x3 + 5 y g −1 (x) = f (x) = 3 x − 5.

Entonces f −1 es la inversa de f si ∀y ∈ Rf , f −1 (y) = x ⇐⇒ f (x) = y. De acuerdo con la definici´ on, si f env´ıa a x en y entonces f −1 env´ıa a y en x (lo devuelve al valor inicial).

¿C´ omo Hallar la Funci´ on Inversa de una Funci´ on Uno a Uno?

Ejemplo

Si y = f (x) es una funci´on uno a uno, para hallar su inversa f −1 se procede as´ı:

Si g es una funci´ on uno a uno y Dg = {2, 3, 4} y

1. Se escribe y = f (x).

g (2) = 10, g (3) = 20 y g (4) = −15,

2. Se despeja x en t´erminos de y, si es posible (se obtiene x = f −1 (y)).

entonces 3. Se intercambian x y y en la ecuaci´on anterior para obtener y = f −1 (x).

g −1 (10) = 2, g −1 (20) = 3 y g −1 (−15) = 4.

Ejemplo Calcule la inversa de las siguientes funciones uno a uno. x7 + 1. 3 1 + 3x b) g (x) = . 5 − 2x a) f (x) =

Soluci´ on a) Escribimos y = f (x) y despejamos x:

Propiedades de la Funci´ on Inversa

y = f (x) Sea f una funci´ on uno a uno con dominio Df y rango Rf . La funci´ on inversa f −1 satisface las siguientes propiedades de cancelaci´ on:

x7 +1 3 x7 + 3 y= 3 3y = x7 + 3 y=

f −1 (f (x)) = x, ∀x ∈ Df (´ o (f −1 ◦ f )(x) = x, ∀x ∈ Df )
f f −1 (y) = y, ∀y ∈ Rf (´ o (f ◦ f −1 )(y) = y, ∀y ∈ Rf )

3y − 3 = x7 p x = 7 3y − 3.

Adem´ as, si dos funciones g y h son tales que

Intercambiamos x y y y la ecuaci´on resultante es y = f −1 (x): √ y = 7 3x − 3 √ f −1 (x) = 7 3x − 3.

g (h (x)) = x, ∀x ∈ Dh (´ o (g ◦ h) (x) = x, ∀x ∈ Dh ) y h (g (x)) = x, ∀x ∈ Dg , (´ o (h ◦ g) (x) = x, ∀x ∈ Dg ) entonces, h es la inversa de g y g es la inversa de h (en otras palabras, g y h son inversas entre s´ı). 2

la gr´afica de h−1 .

b) Escribimos y = g (x) y despejamos x: 1 + 3x 5 − 2x 5y − 2xy = 1 + 3x y=

5y − 1 = 3x + 2xy 5y − 1 = (3 + 2y) x 5y − 1 . x= 3 + 2y Intercambiamos x y y y la ecuaci´ on resultante es y = g −1 (x): Soluci´ on

5x − 1 3 + 2x 5x − 1 g −1 (x) = . 3 + 2x y=

Trazamos la recta y = x y reflejamos la gr´afica de h con respecto a esta recta. La gr´afica que se obtiene es la gr´ afica de h−1 .

Gr´ afica de la Funci´ on Inversa

Consideremos una funci´ on f uno a uno. Si un punto (a, b) pertenece a la gr´ afica de f entonces f (a) = b y, por definici´on de funci´ on inversa, f −1 (b) = a. Es decir, el punto (b, a) pertenece a la gr´ afica de f −1 . (a, b) ∈ gr´ afica de f

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

b = f (a) f −1 (b) = a (b, a) ∈ gr´ afica de f −1

Ejemplo Sea f la funci´on definida por f (x) =

Adem´ as, los puntos (a, b) y (b, a) son sim´etricos respecto a la recta y = x. Esto es, el punto (b, a) se obtiene al reflejar el punto (a, b) con respecto a la recta y = x.

√

2x + 1.

1. Usando la prueba de la recta horizontal, determine si f es o no una funci´on uno a uno. 2. En caso afirmativo, halle la funci´on f −1 , su dominio y rango. 3. En el mismo plano cartesiano trace las gr´ aficas de f y su inversa. Soluci´ on 1. Sea f (x) =

√

2x + 1.

1 Df = {x ∈ R/2x + 1 ≥ 0} = [− , ∞). 2 √ A partir de la gr´afica de y = x y usando transformaciones de funciones obtenemos la gr´afica de f : Luego, la gr´ afica de y = f −1 (x) se obtiene al reflejar la gr´ afica de y = f (x) con respecto a la recta y = x.

Ejemplo

Si la siguiente es la gr´ afica de una funci´ on h, uno a uno. Trace 3

Adem´as Df −1 = Rf = [0, ∞) y Rf −1 = Df = [− 21 , ∞).

De la gr´ afica de f observemos que Rf = [0, ∞) y adem´ as, por prueba de la recta horizontal, concluimos que f es una funci´ on uno a uno. Luego, f tiene una funci´ on inversa f −1 .

3. Recordemos que la gr´afica de y = f −1 (x) se obtiene reflejando la gr´afica de y = f (x) respecto a la recta y = x.

2. Hallemos la funci´ on f −1 : √ Sea y = f (x) = 2x + 1. Despejemos x en t´erminos de y: √ y 2 = 2x + 1, y ≥ 0 y = 2x + 1 ⇐⇒ y2 − 1 ⇐⇒ = x, y ≥ 0 2 2 y −1 ⇐⇒ x = = f −1 (y), y ≥ 0. 2 Intercambiando x y y en la ecuaci´ on anterior obtenemos: x2 − 1 , x ≥ 0. y = f −1 (x) = 2

4