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• alexislirio99

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759

Integrales Curvilíneas o de Linea

Notación.-

Dada una curva C parametrizada por a ( i ) con una cierta orientación, cuando se le — > reparametriza por una función co(t) que le invierte la orientación, entonces se le

denota por C_.

Al estudiar las integrales de línea nos interesa no solamente el conjunto de puntos que une a la curva C, si no la manera como ha sido orientada, es decir, la parametrización a (r).

fr.4

Definición.] A una curva C con una parametrización a (i) se le llama camino o trayectoria.

A

las

— > integrales de línea se le ha dado muchas notaciones, por ejemplo sí un campo vectorial F en R n es una función definida sobre un conjunto abierto U c R ” y con valores en R", es decir.

F: U c z R "------ >Rn, tal que:

F ( x ) = (Fl ( x ) , F 2( x ) , . . . , F n( x ) ) donde x = (x, , x 2 , . . . , x „ )

-» — >— > — > — > para n = 2 denotaremos x - ( x . y ) , F ( x ) = ( P ( x ) , Q { x ) ) —>

—»

n = 3 denotaremos x = ( x , y , z ) , F ( x ) = ( P ( x ) , Q ( x ) , R ( x ) )

760

Eduardo Espinoza Ramos

Campo vectorial F sobre el conjunto abierto U a R ” Luego

3

3

sí F: R ----- >R tal que :

F(x,y,z ) = P{x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k y r =x i + y j+ z k

donde d r =dx i + d y j + d z k ala

integral curvilínea denotaremos por:

\ c F(x,y,z).d r = ¡ c (f\ x, y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z)k).(dx i +dy j + d z k )

= | ^P(x,y,z)dx+ Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

Observación.-

En una integral de línea, la curva a lo largo del cual se realiza la integración se denomina camino o trayectoria de integración, si el camino de integración es una curva cerrada se denota de la manera siguiente.

Ejemplo.-

§^F(x,y,z).dr

£ F(x,y,z).dr

(antihorario)

(horario) 2

2

Calcular la integral de línea del campo F ( x , y ) = (x , y ) sobre la parábola C: y = x desde A(0,0) hasta B(l,l). Solución

Parametrizando la curva C: a (t) = (t, t ), t e[0 ,l]

2

761

Integrales Curvilíneas o de Linea 2 2 como F(jr,y) = (x , y ) F ( a ( /) ) = F ( M 2) = ( f V ) \c F(x , y). (d x , d y)

= Jq( t 2, t 4 )(dt, 2 1dt)

P 2 5 ** ' 6 /> 2 = J ( r + 2r ) —x y z F(x, y, z) = -------- i ------------ j ----------- k , donde C es la

f -> Calcular J F(x, y , z ) .d r , donde

II r II3

II r ||3

|| r ||3

2 2 2 • • • • curva de intersección de la superficie esférica x + y + z = 4 y e l cilindro

x +2 y

recorrida de manera que, mirando desde el eje Z , el sentido es antihorario.

R pta.

2

••

=4, 0

x y . J. xdy ,donde C es un segmento de recta —h— = 1 , desde el punto de intersección JC an b C h con el eje de abscisa hasta el punto de intersección con el eje de ordenada.

ab

R p ta. —

2

52)

Calcular la integral de línea

F ( x, y, z ) .d r , donde F ( x , y ,z ) = ( xy ,y, z) y la curva C está

formada por las intersecciones de las superficies S j: x + y

J z

2

y

= 9 con S 2 - x + y + z = 6x

2

-----, de manera que si se observa desde el origen de

coordenadas el sentido es antihorario. R p ta. 0 53)

f

.

Calcular J F { x, y , z ) . d r , si F {x, y, z) = { y,-z ,x), donde C es la curva definida por las c

2, 2 2 2 X +y . . . ecuaciones -------:— + z = a , y = x, en sentido horario vista desde el eje z positivo.

2

Integrales Curvilíneas o de Linea

54)

799

j x e y dx + (— ------ ■ r - x2y e y )dy siendo el contorno del

Calcular la integral curvilínea

c

x +y¿

cuadrado de lado 2 a determinado por las desigualdades |jc| < a y |y| á a

Rpta. 0 55)

Calcular

la

integral

de

línea

de

la

función

vectorial

x- 1 -y F ( x , y ) = (—j----------------- —---------- , —2------------------------------------------------------------------------- 2----- ) a Kx 2 + y 2 - 2 x+ 1 ’ x 2 + y 2 - 2 x + l ' partes de las rectas x + y + 2 = 0 , x - y + 2 = 0 y la parábola x + y 2 = 4 , recorrida en

Rpta. -2 n

sentido horario.

56)

E valuarJ (e y ,-se n n x ).(d x ,d y ) donde C es el triángulo de vértices (1,0), (0,1), (-1,0) 4

Rpta. 4 - 2 e - (—) n

recorrido en sentido antihorario.

57)

Hallar la integral curvilínea j ( x 2 , -xy)(dx,dy)

y = x 2 desde (1,-1)

Rpta. 0

hasta (1,1)

58)

sobre la parábola

f

1

H allarla integral curvilínea J — ------ j ( - y , x)(dx,dy) alrededor del circulo de radio a > 0,

c x +y

$

aV 3 a en sentido antihorario desde (a,0 ) hasta (------ ,—) centro en (0 ,0 ).

2

2

n Rpta. —

6

59)

Hallar la integral curvilínea J x 2dx + x y dy , donde C es el camino cerrado formado por el segmento de la parábola y = x 2 entre (0 ,0 ) y ( 1, 1) y el segmento de recta desde ( 1, 1) hasta

800

Eduardo Espinola Ramos

60)

Calcular la integral J x y dx + xy dy , donde C es el camino cerrado, formado por la recta

C

2

2

2

x = 1 y la parábola y 1 - x (antihorario) 61)

Hallar

la

integral

de

línea

Rpta. ~ del

campo

vectorial

dado

por:

3

F (x , y , z ) = ( 2x 2ex sen y + ex senj>, xex c o s y - 2 y 2z, ~ “ ^ _ ) a 1° lari ° de C, la poligonal que une los puntos: A(0,0,9), B(ln 2, -it, 6 ) , C(ln 3, ji, -3) y D(ln e, 2n, 1) desde A hasta D. ]1 6 ^ 3

Rpta. — 62)

Calcular la integral

J

3

x 2dy + y 2d i + z 2dx donde C es el arco x 2 - 2y z = 0 , y + z - J 2 x = l

entre los puntos A(0,0,1) y B(0,1,0). 63)

J

Evaluar la integral

( 2 x y - z)dx + y zd y + x d z , donde C es la curva x = t 2, y = 2 t 3,

z = í2 - l, 0 á t ¿ l .

64)

Rpta. — 14

Evaluar J xydx + eyd y , donde C es el arco de la curva y + 2 = \x + 2\, desde el punto (0,0) al punto (-4,0)

65)

Rpta. 2e

Calcular la integral í x( ^ ^ - y ) V2d x + y ( c

+z

y + z

^

40

-2e

dy + z( - r — , ) V2d z , donde C. está 2x + z

en el primer octante y es la curva de intersección del plano x = y con el cilindro 2 x 2 + z 2 = 1 , recorrida en el sentido antihorario. 66)

Rpta. 85

Hallar el valor de la integral curvilínea de la función F ( x , y , z ) = (x , y , z + y ) según la curva C: a (t) = (ln(í + 2), sen y - , t 2 + -j ) desde el punto A del plano x = 0 al punto B del plano

2

2 = —; A, B pertenecen a C.

1 3 Rpta. —In

10

8

(2 )— —♦ —

——