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• Julio Tang

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Extremos con restriccion – Multiplicadores de Lagrange Adalberto Martínez

Universidad Del Magdalena – 2019 II

Hasta ahora se ha empleado las derivadas parciales para determinar los valores extremos de una función de dos variables en la cual, la única restricción es su dominio, o aquellas donde la restricción dada se utiliza para poder expresar la función a optimizar en término de dos variables. Sin embargo, hay ocasiones en las cuales las funciones de optimización están sujetas a condiciones o restricciones que requieren un proceso más eficaz y cómodo al momento de determinar los valores extremos. Es en este tipo de casos en los que se recurre a un método denominado “método de los multiplicadores de Lagrange”, éste permite encontrar los extremos de una función de varias variables sujeta a una o más restricciones usando una particularidad especial del gradiente de cada función. Su uso se fundamenta en el siguiente teorema.

Teorema de Lagrange Suponga que la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene un extremo en el punto (𝑥0 , 𝑦0 ) sobre la gráfica de la ecuación restricción g(𝑥, 𝑦) = 0. Si 𝑓 y g tienen primeras derivadas parciales continuas en un conjunto abierto que contiene la gráfica de la ecuación de restricción y 𝛁𝐠 ≠ 𝟎, entonces existe un número real 𝜆 tal que: 𝛁𝒇(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝝀𝛁g(𝑥0 , 𝑦0 ). Método: El número 𝜆 para el cual se cumple que 𝛁𝒇(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝝀𝛁g(𝑥0 , 𝑦0 ), recibe el nombre de multiplicador de Lagrange y se emplea para poder determinar los extremos de una función con restricciones. El método consiste en plantear y resolver las ecuaciones que resultan de igualar las componentes de los gradientes y la ecuación de restricción, esto es, resolver el sistema de ecuaciones: 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝜆g 𝑥 (𝑥, 𝑦) (1) 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝜆g 𝑦 (𝑥, 𝑦) (2) g(𝑥, 𝑦) = 0

(3)

Entre las soluciones del sistema anterior, los puntos (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) serán los extremos de la función, el valor máximo será el mayor valor que se obtenga al evaluar 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), de manera similar el valor mínimo será el menor valor que se obtenga al evaluar 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ). Si solo se obtiene una solución (𝑥0 , 𝑦0 ), se evalúa 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) y se prueba con un valor (𝑎, 𝑏) del dominio sujeto a la restricción y verificar si es mayor o menor. En ese caso, 𝑆𝑖 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) < 𝑓(𝑎, 𝑏), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜. 𝑆í 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) > 𝑓(𝑎, 𝑏), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜. Ejemplo. Determine los extremos de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦, 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑎 𝑎 √𝑥 + √𝑦 − 1 = 0 𝑓𝑥 = 3𝑥 2 𝑦 Luego, tenemos

𝑓𝑦 = 𝑥 3

𝑔𝑥 =

1 2√𝑥

𝑔𝑦 =

1 2√𝑦

3𝑥 2 𝑦 = 𝜆

1

(1)

2√𝑥

𝑥3 = 𝜆

1

(2)

2√𝑦

√𝑥 + √𝑦 − 1 = 0 (3)

De (1) y (2) obtenemos que: 𝜆 = 6𝑥 2 √𝑥𝑦

&

𝜆 = 2𝑥 3 √𝑦

Luego, al igualar estas ecuaciones se obtiene: 6𝑥 2 √𝑥𝑦 = 2𝑥 3 √𝑦 → 3𝑥 2 √𝑥𝑦 = 𝑥 3 √𝑦 → 9𝑥 4 𝑥𝑦 2 = 𝑥 6 𝑦 → 9𝑥 5 𝑦 2 − 𝑥 6 𝑦 = 0 → 𝑥 5 𝑦(9𝑦 − 𝑥) = 0 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝑥 5 = 0 → 𝑥 = 0 ,

𝑆í 𝑥 = 9𝑦,

𝑦=0

∨

9𝑦 − 𝑥 = 0 → 𝑥 = 9𝑦

𝑆í 𝑥 = 0,

√0 + √𝑦 − 1 = 0 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑦 = 1.

(0,1)

𝑆í 𝑦 = 0,

√𝑥 + √0 − 1 = 0 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑥 = 1.

(1, 0)

√9𝑦 + √𝑦 − 1 = 0 → 3√𝑦 + √𝑦 = 1 → 4√𝑦 = 1 → 𝑦 =

1 9 ∧ 𝑥= . 16 16

( 9

9 1 , ) 16 16

1

La solución de este sistema de ecuaciones nos proporciona tres puntos extremos: (0,1), (1,0) 𝑦 (16 , 16) Al evaluar estos valores en la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 obtenemos: 𝑓(1, 0) = 0

𝑓(0,1) = 0

𝑓(

9 1 729 , )= 16 16 65536

En consecuencia 𝑓(

9 1 729 , )= 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 , 𝑓(1, 0) = 0 𝑦 𝑓(0,1) = 0 𝑠𝑜𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 16 16 65536

NOTA: Observe en el ejemplo anterior, que no fue necesario calcular el valor de 𝜆, dado que éste multiplicador se utiliza para poder establecer el sistema de ecuaciones a partir de la condición de paralelismo entre los gradientes de la función a optimizar y la restricción dada. El método de los multiplicadores de Lagrange, permite obtener valores extremos con un sistema de ecuaciones, relativamente menos complejo que el usual en los problemas de restricción donde no se empleen los multiplicadores. Funciones de tres variables. Para los extremos de una función de tres variables 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), sujeta a la restricción g(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, debemos resolver el sistema: 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆g 𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) (1) 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆g 𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) (2) 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆g 𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) (1) g(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0

(3)

Ejercicios de práctica En los siguientes ejercicios, emplee el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar los extremos de la función dada y la restricción indicada. 1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦,

𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑎 𝑎 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 + 2𝑦 2 + 10,

𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑎 𝑎 4𝑥 2 + 𝑦 2 = 4

3. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧, 𝑆𝑢𝑗𝑒𝑡𝑎 𝑎 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 30 Problemas. Para la solución de estos problemas, emplee el método de los multiplicadores de Lagrange. 4. Encuentre el área máxima de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 36. 5. Encuentre las dimensiones de una caja rectangular abierta con volumen máximo si su área superficial es igual a 75 cm2. 6. Un cilindro circular recto cerrado tendrá un volumen de 1000 pie3. La parte superior y el fondo del cilindro se construirán con metal que cuesta 2 dólares por pie cuadrado. EL costado se formará con metal que cuesta 2,5 dólares por pie cuadrado. Determine el costo mínimo de fabricación. Respuesta: Costo 3 300√25𝜋~1284,75 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 7. Pruebe que el volumen de la mayor caja rectangular con bordes paralelos a los ejes de coordenadas, que pueda estar inscrita en el elipsoide 9𝑥 2 + 36𝑦 2 + 4𝑧 2 = 36 es 𝑉=

16√3 3