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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

Distribución Normal 85. Solución: a) P 1, 20 Z  2, 40   ? 0 ,3 8 4 9

0 ,4 9 1 8

Z  2,40  A  0,4918 Z  1,20  A  0,3849 

Z -1 ,2 0

0

2 ,4 0

P  0,4918  0,3849  0,8767  87,67%

P 1,20 Z  2,4  87,67%

b) P 1, 23 Z 1,87   ? 0 ,4 6 9 3

Z  1,87  A  0,4693

0 ,0 7 8 6 0 ,3 9 0 7

Z  1,23  A  0,3907  P  0,4693  0,3907  0,0786  7,86%

Z 0 1 ,2 3

1 ,8 7

P 1, 23 Z 1,87   7,86%

c) P  2,35  Z  0,50   ?

0 ,4 9 0 6

0 ,1 9 1 5

Z   2,35  A  0,4906  Z   0,50  A  0,1915

Z

P  0,4906  0,1915  0,2991  29,91%

-2 ,3 5

-0 ,5 0 0

P  2,35  Z  0,50   29,91%

86. Solución: 0 ,5 0 0 0

0 ,4 6 2 5

46 Z

-1 ,7 8

0

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

a) P Z  1, 78   ? Z   1,78  A  0,4625 P  0,5000  0,4625  0,0375  3,75%

P Z  1, 78   3,75%

0 ,5 0 0 0

b) P Z  0,56   ?

0 ,2 1 2 3

Z  0,56  A  0,2123 P  0,5000  0,2123  0,7123  71,23%

Z 0 0 ,5 6

P Z  0,56   71,23%

0 ,5 0 0 0

0 ,4 2 6 5

c) P Z  1, 45   ? Z   1,45  A  0,4265

Z

P  0,5000  0,4265  0,9265  92,65%

-1 ,4 5 0

P Z  1, 45   92,65%

0,5000

0,4846

d) P Z  2 ,16   ?

0

2,16

Z

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

Z  2,16  A  0,4846  P  0,5000  0,4846  0,9846  98,46%

P Z  2,16   98,46%

e) P  0,8  Z 1,53   ?

0,4370

0,2881

Z   0,80  A  0,2881 Z  1,53  A  0,4370 

-0,8

0

1,53

Z

P  0,2881  0,4370  0,7251  72,51% P 0,8  Z 1, 53   72,51%

87. Solución: a) Encontrar el valor de Z 0,5000  0,2266  27,34

A  0,2734   Z  0,75

P Z  0, 75   22,66%

Z  0,75

0 ,5 0 0 0

b) 0,5000  0,0314  0,4686 A  0,4686   Z   1,86

0 ,0 3 1 4 0 ,4 6 8 6 Z

Z   1,86

c) Z   0,23   0,0910 

-1 ,8 6

0

Z   1,86

0,5722  0,0910  0,4812 A  0, 4812   Z  2,08

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

Z  2,08 Z  2,08

d) Z  1,15  A  0,3749 

0 ,4 4 7 9

0,3749  0,0730  0,4479

Z  1,62

0 ,3 7 4 9

A  0,4479   Z  1,62

0 ,0 7 3 0

Z 0 1 ,1 5

Z

Z  1,62

88. Solución: a) Hallar el valor de Z A  0,4515   Z  1,66 Z  1,66 Z  1,66

b) 0,5000  0,3121  0,1879 A  0,1879   Z  0,49 Z  0,49 Z  0,49

c) 0,8023  0,5000  0,3023 A  0,3023  Z   0,85 Z   0,85

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

Z   0,85

d) 0,5000  0,4562  0,0438 A  0,0438  Z   0,11 Z   0,11 Z   0,11

e) 0,7436  2  0,3718 A  0,3718  Z  1,13 y

Z   1,13 Se considera simétrica

89. Solución: a) Hallar el área bajo la curva normal P Z  2, 68   ?

Z  2,68  A  0,4963 P  0,5000  0,4963  0,0037  0,37%

P Z

 2, 68 

 0,37%

b) P Z 1,73   ? Z  1,73  A   0,4582  P  0,5000  0,4582  0,9582  95,82%

P Z

1, 73 

 95,82%

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

c) P Z  0, 66   ? Z   0,66  A  0,2454  P  0,2454  0,5000  0,7454  74,54%

P Z

  0 , 66 

 74,54%

d) P Z  1,88   ? Z   1,88  A  0,4699  P  0,5000  0,4699  0,0301  3,01%

P Z

  1,88 

 3,01%

e) P 1, 25  Z  1, 67   ? Z  1,67  A  0,4525

Z  1,25  A  0,3944  P  0,4525  0,3944  0,0581  5,81%

f)

P125  Z  1,67   5,81%

P 1,85  Z  0,9  ? Z  0,90  A  0,3159 

Z   1,85  A  0, 4678 P  0,3159  0,4678  0,7837  78,37% P 1,85  Z  0,9  78,37%

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

g) Z  1,45  A  0,4265  P  0,4265  0,4265  0,8530  85,30%

P 1, 45  Z 1, 45   85,30%

h) Z  0,90  A  0,3159  Z  1,58  A  0,4429  P  0,4429  0,3159  0,1270  12,7%

P 0,9  Z

 1, 58 

 12,7%

90. Solución: Fórmula aplicable en estos problemas. Determinar los valores de Z Z 

X

 



a) Z 

  35,7

  2,8

38,7  35,7  1,07 2,8

Z = 1,07 Z  1,07  A  0,3577  Z  1,07

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b) Z 

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

31,5  35,7   1,50 2,8

Z = – 1,50

c) Z 

53,9  35,7  6,50 2,8

Z = 6,50

d) Z 

29,6  35,7   2,18 2,8

Z = – 2,18

91. Solución: a) Determinar las probabilidades P Z  0   0,5000  50%

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

b) P 1 Z  3   ? Z  3  A  0,4987 

Z  1  A  0,3413 P  0,4987  0,3413  0,1574  15,74%

P 1 Z 3   15,74%

c) P Z  3   ? Z  3  A  0,4987  P  0,5000  0,4987  0,0013  0,13%

P Z 3   0,13%

 No hay área, es un  d) P Z  1  0  punto en la curva   

e) P 2  Z  2   ? Z   2  A  0,4772  ó A  0,4773 Z  2  A  0,4772 ó A  0,4773 P  1,0000  0,9544  0,0456  4,56%

P 2Z  2   4,56%

92. Solución: a) Calcular las probabilidades, dado el valor de X P x 12   ?

Z 

12  10 1 2

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

Z  1  A  0,3413 P  0,5000  0,3413  0,8413

P x 12   0,8413  84,13%

b) P x 11  ? Z 

11  10  0,5 2

Z  0,5  A  0,1915  P  0,5000  0,1915  0,3085  30,85%

P x 11  30,85%

c) P x  9   ? Z 

9  10   0,5 2

Z   0,5  A  0,1915 P  0,5000  0,1915  0,6915  69,15%

P x 9  69,15%

d)

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Z 

12  10  1  A  0,3413 2

Z 

9  10   0,5  A  0,1915 2

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

P  0,3413  0,1915  0,5328  53,28%

P 9 x 12  53,28%

93. Solución: a) P x 165   ? Z 

  169

 3

165  169   1,33 3

Z   1,33  A  0,4082 P  0,5000  0,4082  0,0918

P x 165   0,0918  9,18%

También se puede trabajar, siendo la unidad de medida el metro b) P 1, 65  x 1, 70   ?

  1,69

Z 

1,70  1,69  0,33 0,03

Z 

1,65  1,69   1,33 0,03

  0,03

Z  0,33  A  0,1293 Z   1,33  A  0,4082

P 1, 65 x 1, 70   53,75%

P  0,1293  0,4082  0,5375  53,75%

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

94. Solución: p  0,25

q  0,75

μ  np σ 

npq

n  80

  80  0,25  20  

80  0,25  0,75 

15  3,87

P x  24,5   ?

Z 

24,5  20 4,80   1,16 3,87 3,87

Z  1,16  A  0,3770  P  0,5000  0,3770  0,1230  12,30%

P x  24,5  12,30%

95. Solución: P x 14, 5   ?

p  0,02

q  0,98

n  1.000

  0,02 1.000   20  

Z 

 0,02  1.000   0,98

 4,42

14,5  20  5,5   1,24 4,42 4,42

Z   1,24  A  0,3925 P  0,3925  0,5000  0,8925  89,25%

P x 14,5  89,25%

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

96. Solución: p 1 6

P 15,5  x 16, 5   ?

q 5 6

n  96

  96  1   16  6   96  1   5   6  6



80  13,3  3,65 6

Z 

15,5  16  0,5   0,14 3,65 3,65

Z 

16,5  16  0,14 3,65

Z  0,14  0,0557

P15,5 x 16,5  11,14% P  0,0557  0,0557  0,1114  11,14%

97. Solución:   25,3

  8,1

Z 

20,6  25,3  4,7   0,58 8,1 8,1

Z 

29,1  25,3 3,8   0,47 8,1 8,1

P 20 , 6  x  29 ,1  ?

Z   0,58  A  0,2190 

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

Z  0,47  A  0,1808  P 20,6 x  29,1  39,98% P  0,2190  0,1808  0,3998  39,98%

98. Solución:   17,2

  3,5

a) P x  20   ? Z 

20  17,2 2,8   0,80 3,5 3,5

Z  0,80  A  0,2881 P  0,5000  0,2881  0,2119  21,19%

P x  20  21,19%

b) P x 19, 4   ? Z 

19,4  17,2 2,2   0,63 3,5 3,5

Z  0,63  A  0,2357  P  0,5000  0,2357  0,7357  73,57% P x 19,4  73,57%

c) P 9,3 x 11, 7   ?

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Z 

9,3  17,2  7,9   2,26 3,5 3,5

Z 

11,7  17,2  5,5   1,57 3,5 3,5

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

Z   2,26  A  0,4881 Z   1,57  A  0,4418 P  0,4881  0,4418  0,0463  4,63% P 9,3 x 11,7   4,63%

99. Solución:   15,00

Z 

  1,62

P 15  x 18   ?

18  15  3  1,85 1,62 1,62

Z  1,85  A  0,4678 P  0,4678  46,78% P15 x 18  46,78%

100. Solución:   30

  6

P 24  x  36   ?

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Z 

24  30   6  1 6 6

Z 

36  30  6 1 6 6

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

Z  1  A  0,3413 P  0,3413  0,3413  0,6826  68,26% P 24 x 36  68,26%

101. Solución:   3,0

  1,5

n  100

receptores

P x 1  1 Z 

1 3   2  1,33 1,5 1,5

Z   1,33  A  0,4082  P  0,5000  0,4082  0,0918  9,18% E  np  100  0,0918  9

P x 1  9,18%

9 tubos por cada 100 receptores (un tubo por receptor)

102. Solución:

61

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P 680.000  x  685.000   ?

  4.500

  686.000

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

Z 

680.000  686.000   6.000  1,33 4.500 4.500

Z 

685.000  686.000   1.000  0,22 4.500 4.500

Z   1,33  A  0,4082  Z   0,22  A  0,0871 P  0,4082  0,0871  0,3211  32,11% P 680.000 x 685.000  32,11%

103. Solución:   21,2

Z 

P 15  x  30   ?

  3,1

15  21,2  6,2   2 3,1 3,1

Z   2  A  0,4772 ó A  0,4773

Z 

30  21,2 8,8   2,84 3,1 3,1

Z  2,84  A  0,4977  P  1   0,4772  0,4977   0,0251  2,51%

P15  x 30  2,51%

104. Solución:   18,75

  6,50

P 15  x  25   ?

62

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Z 

15  18,75 3,75   0,58 6,50 6,50

Z 

25  18,75 6,25   0,96 6,50 6,50

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

Z   0,58  A  0,2190 

Z  0,96  A  0,3315 P  0,2190  0,3315  0,5505  55,05%

E  0,5505  50   27,52 Años

105. Solución: Z  0,8

Z   0,4

  ?

X

 88

X

 64

 ? Z  X  

1 0,8  2 0,4  1,2

  

88    64   24

0,8  20   88   16  88     88  16  72

  24  20 1,2   20   72

106. Solución:   151

  15

N  500

63

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

a) P 120  x 155   ? Z 

120  151   31  2,07 15 15

Z 

155  151  4  0,27 15 15

Z   2,07  A  0,4808

P 120 x 155   58,72%

Z  0,27  A  0,1064 P  0,4808  0,1064  0,5872  58,72%

E  500  0,5872   294 Estudiantes

b) P x 185   ? Z 

185  151 34   2,27 15 15

Z  2,27  A  0,4884  P  0,5000  0,4884  0,0116  1,16%

E  500  0,0116   6 Estudiantes

P x 185   1,16%

107. Solución:   6,7

  1,2

64

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

a) P 5,5  x  6,5   ? Z 

6,5  6,7  0,2   0,17 1,2 1,2

Z 

5,5  6,7  1,2   1 1,2 1,2

Z   0,17  A  0,0675

P 5,5 x  6,5  27,38%

Z   1,00  A  0,3413 P  0,3413  0,0675  0,2738  27,38%

b) A  0,4000   Z   1,28  1,28 

X

 6,7 1,2

X

  1,28 1,20   6,7

X

  1,536  6,7  5,164

X

 5,16

c) Z 

X

 



A  0,4000   Z  1,28 1,28 1,20   6,7  8,236 X

 8,24

108. Solución:   72

 9

A  0,4000   Z  1,28

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

1,28  9   X  72 X  11,52  72  83,52 X  83,52

109. Solución: n  10.000

 169

  2,5

a) P x 172   ? Z 

172  169  3  1,2 2,5 2,5

Z  1,20  A  0,3849  P  0,5000  0,3849  0,1151  11,51 % E  np

E  0,1151 10.000   1.151 alumnos

b) 0,7500  2  0,3750 A  0,3750   Z  1,15

1,15  2,5  X s  169



X s  171,87

 1,15  2,5  X i  169 

X i  166,12

110. Solución: X 1  72 X 2  85 X 3  17

1  85  2  90  3  25

1  7 2  3 3  7

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Z 

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

X 



Z1 

72  85   13   1,85 7 7

Z2 

85  90   5   1,66 3 3

Z3 

17  25   8   1,14 7 7

Z 3  Z 2  Z1

111. Solución:   4,83

  1,20

A  0,3000   Z   0, 84 A  0,2500   Z  0,67

0,67 1,20   X s  4,83 0,804  X s  4,83

X s  0,804  4,83  5,634

 0,84 1,20   X i   4,83  1,008  X i  4,83 X i  4,83 1,008  3,82 X s  5,63

X i  3,82

112. Solución: N  10.000

  450

67

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

P 450  X  460   1.700  0,17 10.000 A  0,1700   Z  0, 44

0,44 

460  450



  10  22,72 0,44

113. Solución:   2

P

x  28 

 0,03

a) 0,5000  0,0300  0,4700 Z  1,88  A  0,4700 

  ? 1,88  2   28   3,76  28  

  28  3,76  24,24   24,24

b) 0,5000  0,4500  0,9500 A  0,4500   Z  1,65 1,65  2   X  24,24

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Cap.6 Distribuciones de probabilidad

3,30  24,24  X  27,54 X

 27,54

114. Solución:   10

  70

Z 

61  70 9    0,9 10 10

Z 

79  70  9  0,9 10 10

P 61 

x  79 

 ?

Z  0,9  A  0,3159  P  0,3159  0,3159  0,6318

0,6318 1,000

 

P 61 

x  79

 63,18%

24 X

24 1  38 alumnos 0,6318

X



X

 38 alumnos

115. Solución:   15

  3,50

P x  16, 25   ?

N ?

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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Z 

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

16,25  15 1,25   0,36 3,5 3,5

Z  0,36  A  0,1406  P  0,5000  0,1406  0,3594  35,94%

35,94 100,00

N 

 

647 N

647 100  1.800 observaciones 35,94

N  1.800 observaciones

116. Solución:   68 0,19685; con el cual

 ?

(En la tabla, el más cercano a 0,2000 es se toma el valor de Z)

0,2000  Z  0,52 0,52   78  68

  10  19,23 0,52   19,23

70