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• Gaston Gualdieri

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Máquinas Alternativas y Turbomáquinas – Ingeniería Mecánica

Sistema Biela – Manivela El sistema biela – manivela tiene por objeto transformar un movimiento rectilíneo alternativo del pistón en un movimiento circular continuo del cigüeñal (motores) o viceversa (bombas, compresores).

Donde: L = longitud de la biela. r = radio de la manivela C = carrera del piston x = desplazamiento del pistón referido al PME.  = ángulo girado por la manivela respecto a la posición que corresponde al PME.  = ángulo que forma el eje de la biela con el del cilindro.

Cinemática Para determinar la velocidad y la aceleración del pistón es necesario determinar, en primer lugar, la ecuación de posición del pistón en función del ángulo de giro del cigüeñal Con referencia al pistón consideramos: Desplazamiento lineal del pistón en función del ángulo 

x  r  L  r. cos  L. cos  x  r .1  cs  L.1  cos   r.sen  L.sen

 sen 

(1)

r.sen L

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Si adoptamos  

r L

entonces sen  .sen

De esta expresión se obtiene el ángulo  para cada posición de la manivela. Para  = 90º, sen  = 1; y por ello, el ángulo  adquiere su máximo valor: sen  =  por tanto, la relación  es el índice de la inclinación máxima de la biela. Por otra parte:

cos   1  sen 2 

 cos   1  2 sen 2

Reemplazando en (1):



x  r.1  cos   L. 1  1  2 .sen 2



(2)

Si representamos gráficamente la expresión (2) obtenemos:

De la observación del diagrama anterior se desprende que para un movimiento angular de la manivela  = 90, el pistón recorre una longitud mayor que la mitad de la carrera. Esto significa que, si la velocidad de giro del cigüeñal es constante, para recorrer la primera mitad de la carrera el motor emplea un tiempo menor que para recorrer la segunda mitad. Este fenómeno se acentúa cuanto mayor sea el valor de 

Velocidad del pistón en función del ángulo  La velocidad del pistón no es uniforme. En un determinado instante, recorriendo el pistón una parte infinitesimal de carrera dx en un tiempo infinitesimal dt, la velocidad del pistón está dada por:

v

dx d dx   dt dt d

 v  .

dx d

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 2 .sen . cos  v    r.sen  L.  1  2 .sen 2   Considerando que el término 2 .sen 2 es despreciable, resulta para los fines prácticos

1   2 .sen 2  1 ;

Y recordando que: sen . cos  

sen 2 2

la expresión anterior queda:

 r  2 .sen 2  v    r.sen  .   2  

   v    r   sen  .sen 2  2   Siendo  

(3)

 n ; n  RPM 30

Si representamos gráficamente la expresión (3) obtenemos:

La observación de la figura anterior indica que, tanto en el punto muerto superior como en el inferior, la velocidad del pistón es nula, y que, a partir del punto muerto superior, aumenta hasta adquirir su máximo valor para un ángulo  menor de 90 que corresponde, con buena aproximación, al momento en que la biela es perpendicular al codo de la manivela. No debe confundirse velocidad instantánea con velocidad media del pistón. Para cada giro de la manivela, el pistón recorre un espacio igual a dos veces la carrera; si n es el número de revoluciones del motor, el valor de la velocidad media del pistón está dada por:

Vm 

2.C.n C.n  60 30

; n  RPM

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Aceleración del pistón en función del ángulo  La aceleración del pistón la podemos obtener considerando:

a

dv d dv   dt dt d

 a  .

a   2  r  cos    . cos 2 

dv d (4)

Si representamos gráficamente la expresión (4) obtenemos:

La aceleración toma su máximo valor positivo en el PME ( = 0)  = 0



a = 2 r (1 +  )

Su máximo valor negativo corresponde al PMI (  = 180 )  = 180



a = 2 r (  - 1)

La aceleración se anula cuando es máxima la velocidad del pistón.

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Dinámica Conociendo las leyes que regulan el movimiento de los órganos del sistema biela manivela y la masa de las partes que lo constituyen, es posible obtener las fuerzas que se generan en dicho movimiento. Las partes dotadas de movimiento alterno están sometidas a fuerzas de inercia calculables por medio de la fórmula F=-ma.a ; donde “ma” es la masa dotada de movimiento alterno y “a” la aceleración Las partes unidas a la manivela y que giran con ella están sometidas a la fuerza centrífuga expresada por Fc=mc.ω2.r Masas dotadas de movimiento alterno y movimiento circular El pistón y las partes unidas a él, están dotadas de movimiento alternativo. El caso de la biela es un poco más complejo; ésta se une por una extremidad con el pistón y, por la otra, con el perno de la manivela. En ambas lleva montados cojinetes que, con relación del peso, se consideran parte integrante de la biela. La extremidad unida al pistón (pie de biela) participa de su movimiento alterno, mientras que la que se une al eje (cabeza de biela) participa del movimiento circular del mismo. La caña de la biela posee un movimiento de roto traslación. En la práctica es común englobar un tercio de su peso con la cabeza y los otros dos tercios con el pie. De esta manera se consideran, con aproximación más que suficiente, concentradas sobre el perno del pistón y dotadas de movimiento alterno las masas de las siguientes partes:  Pistón completo con sus aros  Perno del pistón y partes anexas  Pie de biela y dos tercios de la caña Se consideran concentradas sobre el eje del perno de la manivela y dotadas de movimiento circular las masas de las siguientes partes:  Perno de la manivela  Cabeza de biela completa y un tercio de la caña  Codos de la manivela y contrapesos con masas reducidas al radio del cigüeñal. DIAGRAMA DE FUERZAS EN UN PISTON DE UN M. C. I.

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 Fx 0 Fn  Fb  sen  0  Fn  Fb  sen

 Fy m

a

a

Fg  Fb  cos   m a  a

Llamamos Fa  ma  a

Fg  Fa  Fb  cos 

Llamamos F  Fg  Fa

Fb 

F cos 

Fn 

F  sen cos 

 Fn  F  tg

Sobre el muñón de biela de cigüeñal actúan: Fb y Fc Fg  fuerza producida por la presión de los gases. Fg = P. Ap P = presión existente en el interior del cilindro en un determinado instante o proceso Ap = área del pistón. Fa  fuerza alterna de inercia. Fa = - ma a

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F  Fuerza resultante a lo largo del eje del cilindro, que en cada instante del ciclo será la suma o diferencia de la fuerza debida a la presión de los gases y la fuerza de inercia. F = Fg + Fa

Fc  fuerza de masas giratorias, Fc = mc 2 r mc son las masas sometidas a movimiento circular

Fuerzas alternas de inercia (Fa) Recordando que la aceleración es

a   2  r  cos    . cos 2  resulta:

Fa   ma   2  r  cos    . cos 2  En esta última expresión, el término entre paréntesis está formado por dos términos: cos α y λcos 2α, cada uno de los cuales representa una función sinusoidal. Trazando las curvas que representan la variación de sus valores, se puede observar que el segundo termino tiene una frecuencia doble del primero, lo cual significa que en un determinado tiempo adquiere el valor cero y su valor máximo un número de veces doble del correspondiente primer término.

Fuerzas alternas de inercia (media vuelta de cigüeñal)

El área del diagrama de fuerzas alternas, que aparece sombreado en la figura de abajo, representa el trabajo realizado por las fuerzas de inercia, se puede demostrar que este trabajo es nulo para cada media revolución de la manivela, porque las áreas OAD y BED son equivalentes.

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Trabajo de las fuerzas alternas de inercia

Diagrama de las fuerzas resultantes La fuerza resultante que, dirigida según el eje del cilindro, actúa en cada instante sobre la manivela, se obtiene efectuando la composición de los valores que en cada momento adquieren la fuerza debida a la presión del fluido activo sobre el pistón y la fuerza alterna de inercia. Según que estas componentes estén dirigidos en el mismo sentido o en sentido opuesto, la fuerza resultante será la suma o la diferencia de los mismos. En líneas de trazos y puntos se representa el diagrama de las presiones ejercidas por el gas sobre el pistón; presiones cuyos valores en función de la posición del pistón están dadas por el ciclo indicado del motor. En línea de trazos se representa el diagrama de las fuerzas alternas de inercia. La línea continua es el diagrama resultante obtenido de la composición del diagrama de trazos y puntos con el dibujado sólo con trazos. Tener presente que: se toma como fuerza positiva aquella que tiene el mismo sentido que la velocidad del pistón, negativa en caso contrario.

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Analizando las diversas fases del ciclo podemos observar que en la primer carrera (aspiración) actúa únicamente la fuerza de inercia de las masas alternas, dado que la fuerza debida a la ligera depresión que se produce en el cilindro es de carácter despreciable. En la segunda carrera, al moverse el pistón de abajo arriba, el diagrama de las fuerzas de inercia se invierte, y la presión causada por la compresión se opone al movimiento del pistón. En la primera parte de la carrera de expansión la fuerza de inercia se opone a la fuerza producida por la presión de combustión; en una segunda parte ambas fuerzas se suman. En la carrera de escape el cilindro está en comunicación con el exterior, los gases ofrecen una resistencia mínima al movimiento del pistón y, por lo tanto, actúa sobre la manivela solamente la fuerza de inercia. La fuerza resultante F que actúa sobre el pistón, suma de la alterna de inercia Fa y de la correspondiente a la presión del gas Fg, está equilibrada por la reacción de la biela y de las paredes del cilindro; por lo tanto ejerce sobre la biela una fuerza Fb, dirigida según su eje sobre el botón de la manivela. Su intensidad es:

Fb 

F cos 

Y sobre las paredes del cilindro actúa una fuerza Fn, normal a la misma, cuya intensidad es:

Fn  F  tg Esta última fuerza resulta tanto mayor cuanto más abierto sea el ángulo  y es causa de pérdida de potencia por rozamiento del pistón contra las paredes del cilindro.

Cupla Motriz La fuerza Fb es ejercida por la biela sobre el botón de la manivela y, por lo tanto, sobre el eje cigüeñal, da origen a la cupla motríz (o momento torsor) Cm:

d  r  sen   

siendo d = distancia de Fb respecto al eje de rotación

Ft  Fb  sen    Fr  Fb  cos    La cupla motriz se calcula como Mt = Fb.d , sustituyendo :

Cm 

F  r  sen    cos  Pág 9 de 19

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 sen  cos   cos   sen   Cm  F  r   cos     cos   sen Cm  F  r   sen  cos  

  

Siendo:

sen    sen

y

cos   1  2  sen 2

La expresión de Cm queda:

   sen  cos  Cm  F  r   sen  1  2  sen 2 

   

Despreciando el término 2 sen2  :

   Cm  F  r   sen   sen 2  2   Otra forma de calcularlo es obteniendo la Ft, por lo que en este caso será:

Cm  Ft  r La siguiente figura muestra el diagrama del par motor para un motor monocilíndrico de 4 tiempos ilustrando claramente su forma pulsante, causante de irregularidad de marcha y de vibraciones. La suma algebraica del área positiva y negativa del diagrama representa el trabajo motor realizado en un ciclo. Igualando el área a la de un rectángulo que tenga como base la misma abscisa, la altura correspondiente representa el valor del par motor medio o momento motor medio. Como sabemos, la fuerza alterna de inercia no influye sobre el valor medio del par motor, debido a que su trabajo es nulo para cada media revolución de la manivela; en cambio, sí influye sobre los valores instantáneos que adquiere el par motor.

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Par motor medio

Es evidente que en el motor monocilíndrico de 4 tiempos, habiendo una sola fase útil por cada 2 revoluciones, el valor de ordenada máxima es mucho mayor que el de la ordenada media Reparto de los ciclos en los motores pluricilíndricos En el caso de motores de varios cilindros, para regularizar el par motor y hacer mas uniforme la marcha del motor se procura que los ciclos de los diversos cilindros se sucedan con intervalos angulares, desfasando entre sí las manivelas de manera que las correspondientes a dos ciclos sucesivos estén desviadas un ángulo que está dado por la siguiente relación :

  180

h i

donde “h” es el n de tiempos e “i” es el n de cilindros. De esta manera, en el campo de los motores de 4 tiempos, para un motor de 2 cilindros se tiene una fase útil por revolución (θ = 360º), en uno de cuatro cilindros una cada media revolución (θ = 180º); en uno de 8 cilindros, una cada cuarto de revolución (θ = 90º), y así sucesivamente. Resulta así evidente que cuanto mayor es el número de cilindros, aumentan las fases útiles por revolución, y por lo tanto es siempre menor la diferencia entre la ordenada máxima y la media del par motor.

Par motor medio

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La relación entre el valor máximo y medio del par motor es un índice del grado de irregularidad del motor. Como ejemplo se dan valores de referencia para diferentes motores (son sólo a modo orientativo) Cantidad de cilindros

Cupla máxima Cupla media

Cantidad de cilindros

Cupla máxima Cupla media

1 2 3 4

10,3 4,45 3,47 1,95

5 6 8

2,33 1,65 1,49

La frecuencia con la cual se repite el valor máximo de Cm para un motor de 2 tiempos es igual a la de uno de 4 tiempos que tenga doble número de cilindros.

La regularidad de funcionamiento definitiva para un determinado motor se obtiene asignando un valor adecuado al momento de inercia del sistema en rotación, lo cual se logra por medio del volante. El dimensionado del volante tiene en cuenta factores tales como regularidad, arranque, marcha mínima, peso, aceleración, etc., por lo que se adopta una solución de compromiso. El arranque del motor se facilita con un volante de gran momento de inercia, porque el mismo acumula en la primera fase útil mayor energía para superar rápidamente las fases pasivas que preceden a la combustión siguiente, sobre todo teniendo en cuenta que la velocidad angular alcanzable en este período no es muy elevada. Lo mismo ocurre para la marcha en ralentí: cuanto mayor es la masa del volante, menor es el régimen necesario para almacenar la energía cinética que debe mantener en movimiento el motor en la fase pasiva. En cambio, para asegurar una aceleración rápida, es necesario reducir al mínimo la inercia de las masas en movimiento. En general, cuanto mayor es el número de cilindros es posible utilizar menor masa volánica, producto de las menores fluctuaciones del par motor. Con la utilización del volante, el momento de salida será entonces, a una determinada velocidad:

Consideraciones sobre la relación λ La importancia de la relación λ = r/L es de carácter totalmente mecánico, ya que no interesa a las características termodinámicas del motor. Cuanto menor sea λ, tanto menor será el empuje lateral del pistón sobre las paredes del cilindro, pero resultará mayor el peso de la parte de la biela sometida a movimiento alterno, y esto conduce a fuerzas alternas de inercia mayores. Consideremos la expresión de la fuerza alterna de inercia:

Fa   ma   2  r  cos    . cos 2 

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El valor de la masa ma aumenta al incrementarse L, pero en menor grado que en proporción directa, mientras que λ varía de manera inversamente proporcional a L. De aquí se puede deducir que la fuerza alterna de inercia de primer orden aumenta al aumentar L, a consecuencia del incremento de ma. Mientras que la de segundo orden permanece casi constante porque el aumento de ma es compensada por la disminución de λ. En la práctica estas consideraciones se concilian con necesidades de diseño, de espacio y de peso. Por lo general, el valor de esta relación está comprendido entre 0,2 y 0,3.

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Motor desplazado (o descentrado) El empuje lateral Fn del pistón sobre la pared del cilindro, expresado por Fn = F tg , provoca pérdidas de potencia por rozamiento y desgaste en el motor. Para reducir este empuje, no siendo conveniente aumentar excesivamente la longitud de la biela para reducir λ (y con esto la oblicuidad β), se actúa sobre el ángulo  mediante una traslación lateral del eje vertical del perno, que entonces no pasará por el eje del cigüeñal. El mecanismo queda entonces desplazado.

La traslación debe hacerse para la misma parte hacia la cual se produce la rotación de la manivela en el proceso de expansión. La biela resulta así menos inclinada ( ) en los procesos de aspiración y expansión, y más inclinada () en los procesos de compresión y escape. Se tiene como consecuencia una disminución del empuje máximo y un aumento del mínimo. El desplazamiento provoca además anomalías en lo que se refiere a los puntos muertos y a la carrera.

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Equilibrado del Motor Las fuerzas de inercia, alternas y centrífugas, de los órganos en movimiento y las presiones del gas, dan origen a fuerzas y a momentos que actúan sobre la estructura del motor, y desde éste se transmite a la fundación en que descansa el motor. Puesto que tales fuerzas y momentos son variables en el tiempo, y los soportes y la estructura tienen mayor o menor elasticidad, el motor puede hallarse sometido a un complejo movimiento vibratorio. El equilibrado del motor tiene por objeto reducir y, si es posible, eliminar estas vibraciones, anulando las causas que las producen. Equilibrado del eje cigüeñal Las vibraciones causadas por las fuerzas y los momentos que se originan por efecto de las masas giratorias, se eliminan realizando el equilibrado del eje cigüeñal, considerado como un eje recto que lleva, a una distancia r de su eje de rotación, las masas de las partes definidas como giratorias. Para que el equilibrio resulte completo, el eje debe ser equilibrado estática y dinámicamente. El eje está equilibrado estáticamente cuando es nula la resultante de las fuerzas centrífugas; lo cual se verifica cuando su baricentro se halla sobre el eje de rotación.

(a)

(b) Fig. 1 – Eje de motor monocilíndrico

El eje monocilíndrico de la figura 1 (a), al girar, está sometido a una fuerza centrífuga Fc, aplicada en el centro que se transmite íntegramente a los cojinetes de bancada. Esta fuerza puede ser equilibrada (fig. 1 b) añadiendo dos contrapesos de masa m`c y a distancia rc al eje de rotación tales que:

Para motores de varios cilindros, es regla general disponer las manivelas de forma que se obtenga un desfasaje uniforme de los ciclos de trabajo, para alcanzar la máxima regularidad posible del par motor. De esta manera, en la mayor parte de los casos, la disposición de las manivelas resulta tal, que queda automáticamente satisfecha la condición de equilibrio estático, ya que el eje admite un plano de simetría que pasa por el eje de rotación El eje está equilibrado dinámicamente cuando es nula la resultante de los momentos generados por las fuerzas centrífugas tomados con respecto a un punto cualquiera del eje.

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(a)

(b) Fig. 2 – Eje de motor con dos cilindros

El eje de la figura 2 (a) se encuentra estáticamente equilibrado porque, hallándose las dos manivelas dispuestas a 180º la una de la otra, la resultante de las fuerzas están en equilibrio. Sin embargo, haciendo girar el eje se produce, en correspondencia con cada manivela, una fuerza centrífuga Fc, y como estas dos fuerzas actúan separadas una distancia b, el eje estará sometido a un momento Fc x b no equilibrada. El eje se equilibra colocando contrapesos de masa m`c como se muestra en la figura 2 (b) de forma tal que:

Los ejes que tienen un número de manivelas superior a dos están dinámicamente equilibrados cuando, conseguido ya el equilibrio estático, admiten un plano de simetría perpendicular al eje de rotación, respecto del cual las manivelas resultan simétricas en número, forma y posición. Todos los demás ejes no están equilibrados, pero puede lograrse que lo estén mediante contrapesos. Mientras el equilibrado estático interesa solamente al eje en su totalidad, el dinámico puede considerar cada una de las cigüeñas en que está el eje idealmente dividido entre soportes. Casi siempre se obtiene el equilibrio dinámico del eje al anularse las diversas resultantes de los momentos distintos de cero: esto significa que las diversas partes que constituyen el eje pueden existir momentos que lo soliciten a flexión, la cual es impedida por la reacción de los cojinetes de bancada. Por esta razón, los cojinetes están cargados también por efecto de las solicitaciones centrífugas. Para eliminar esta carga, sobre todo en motores rápidos, es buena norma equilibrar mediante contrapesos cada cigüeña, aunque ya lo esté en su totalidad. Equilibrado de la fuerza alterna de primer orden La fuerza alterna está expresada por la relación:

Y está constantemente dirigida según el eje del cilindro. Consideremos un solo cilindro. La fuerza alterna de primer orden , puede ser considerada como la proyección sobre el eje del cilindro de una fuerza centrífuga ficticia , generada por un a masa ma igual a la masa que nos imaginamos concentrada sobre el perno de la manivela (Figura 3).

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Fig. 3 – Fuerza alterna de primer orden

Fig. 4 – Equilibrado de la fuerza alterna de primer orden

La fuerza alterna F´a puede ser equilibrada por la componente vertical de la fuerza centrífuga , producida por una masa ma añadida al eje en oposición al botón de la manivela (Figura 4). Sin embargo, se genera la fuerza

La cual está dirigida normalmente al eje del cilindro y posee igual magnitud y la misma pulsación que la fuerza alterna. El resultado es haber girado 90º la línea de acción de la fuerza alterna. La solución es colocar una masa igual a , con lo que se logra equilibrar la mitad de la fuerza alterna, mientras que nace otra fuerza alterna normal al eje del cilindro y de una intensidad igual a la mitad de la que se tendría en sentido vertical sin contrapeso.

Fig. 5 – Equilibrado de la mitad de la fuerza alterna de primer orden

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La composición de estas dos fuerzas alternas que actúan según direcciones perpendiculares entre sí, da origen a una fuerza rotativa con velocidad y de una intensidad equivalente a que resulta imposible equilibrar. Éste es el grado máximo de equilibrado de la fuerza alterna de primer orden que se puede alcanzar con contrapesos en el eje cigüeñal para un motor monocilíndrico. Para motores de varios cilindros, las fuerzas alternas de primer orden están equilibradas cuando el eje motor lo está estáticamente (es decir, sin contrapesos). El par debido a la fuerza alterna de primer orden está equilibrado cuando lo está el par debido a la fuerza centrífuga de las masas en rotación, es decir, cuando el eje resulta equilibrado dinámicamente. Otra manera de equilibrar la fuerza alterna de primer orden es mediante la utilización de un compensador armónico, que consiste en dos ejes subsidiarios, colocados según se muestra en la figura 6, donde cada uno posee una masa igual a la mitad de la ma que origina la Fa, girando ambos a la misma velocidad, pero en sentido opuesto. Este sistema es raramente utilizado, ya que hace complejo el sistema al sumar más piezas en movimiento.

Fig. 6 – Compensador armónico

Fuerza alterna de segundo orden La fuerza alterna de segundo orden , no es de modo alguno equilibrable, ni siquiera parcialmente, con la ayuda de contrapesos sobre el eje motor, ya que eventuales masas equilibradoras tendrían que girar a velocidad doble del mismo eje. Lo mismo sucede con el momento generado en motores de varios cilindros. La importancia de la fuerza alterna de segundo orden, para los efectos de las vibraciones en la estructura del motor, es mucho menor que la de la fuerza de primer orden, dado que está afectado por el valor de λ (con valor entre 0,25 y 0,30) En general, un eje es aceptable cuando están satisfechas las condiciones de la regularidad del par motor, del equilibrado de la fuerza y par centrífugo, y del equilibrado del a fuerza alterna de primer orden y su par relativo. Teóricamente, una forma de equilibrado de la fuerza alterna de segundo orden es la utilización de un compensador armónico similar al de la figura 6, con dos masas de cada una y que giren a las velocidades

.

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Balanceo del eje cigüeñal Cuando se construye el eje se verifica su equilibrio dinámico con máquinas adecuadas, con ellas se determina la cantidad y posición angular de la masa no balanceada que puede ser consecuencia de imperfecciones constructivas. Por medio de oportunos retoques (lo más común son orificios sobre partes cuya resistencia no interesa) se puede conseguir el grado de calidad necesario.

Fig. 7 – Máquina balanceadora para ejes cortos

Fig. 8 – Máquina Balanceadora equipada con agujereadora que se desplaza automáticamente sobre los planos de corrección – Notar el pedestal intermedio (utilizado para evitar flexión en largos cigüeñales)

Como ejemplo, para entender la importancia del balanceo, consideremos un cigüeñal que tiene 40 mm de radio y gira a 5000 RPM. En estas condiciones un desequilibrio de 1 gramo generará una fuerza rotativa de 1 Kilogramo. En conclusión, un correcto balanceo del cigüeñal permite:  Incrementar la vida del motor entre un 25 y 100%  Incrementar la potencia, hasta un 10%  Disminuir el consumo de combustible  Incrementar la velocidad y la aceleración  Reducir las vibraciones y el ruido

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