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DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO UNIDAD 02 Ing. Jesús Chancatuma Huamán EPIM – UNSAAC 2017-II

CONTENIDO • Cinemática del cuerpo rígido en el plano • Cinemática del cuerpo rígido en el espacio • Cinética del cuerpo rígido

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

CAP II: CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO Ing. Jesus Chancatuma Huamán

MOVIMIENTO EN EL PLANO

Ing. Jesus Chancatuma Huamán

MOVIMIENTO EN EL PLANO

Ing. Jesus Chancatuma Huamán

ROTACION RESPECTO A UN EJE FIJO Escalarmente

Vectorialmente

Ing. Jesus Chancatuma Huamán

ROTACION RESPECTO A UN EJE FIJO

Ing. Jesus Chancatuma Huamán

MOVIMIENTO GENERAL

Ing. Jesus Chancatuma Huamán

MOVIMIENTO GENERAL

Ing. Jesus Chancatuma Huamán

MOVIMIENTO RELATIVO RESPECTO A UN MARCO DE REFERENCIA MOVIL

Ing. Jesus Chancatuma Huamán

MOVIMIENTO RELATIVO RESPECTO A UN MARCO DE REFERENCIA MOVIL

Aceleración tangencial at = α x rA/B Aceleración normal an = ωSM x ωSM x rA/B

Ing. Jesus Chancatuma Huamán

ACELERACION DE CORIOLIS • El término 2ωSM x v𝑟𝑒𝑙 se conoce como aceleración de Coriolis. • Representa la diferencia entre la aceleración de A respecto a P en un sistema no giratorio y en uno sistema giratorio. • Siempre es normal a vrel Ing. Jesus Chancatuma Huamán

ACELERACION DE CORIOLIS

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MOVIMIENTO RELATIVO RESPECTO A UN MARCO DE REFERENCIA MOVIL

Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 17 La faja flexible F está sujeta al sector en E, recibiendo una velocidad constante de 4 m/s; para el instante mostrado se pide determinar: a) La magnitud de la velocidad angular de la barra DA b) La magnitud de la velocidad angular de la barra BD c) La magnitud de la aceleración angular de la barra DA d) La magnitud de la aceleración angular de la barra BD Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 18 En el mecanismo, la manivela 2 tiene ω2 = 5k rad/s constante, donde la corredera A desliza sobre la barra 4. Se pide calcular: a) La magnitud de la velocidad del bloque C (cm/s) b) La magnitud de la aceleración de B (cm/s2) c) La magnitud de la aceleración angular de la barra 5 (rad/s2) d) La magnitud de la aceleración de C (cm/s2) Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 18

O2A = 5 cm O4A = 7.5 cm O4B = 12.5 cm BC = 10 cm Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 19 La varilla de conexión AC está animada por un movimiento oscilatorio de rotación en torno al punto C, el cual se hace oscilar en torno al punto O al miembro ranurado. Cuando θ = 30°, el movimiento angular de la varilla AC viene descrito por ω = 6rad/s y α = −30rad/s2 , se pide calcular: NOTA: OC = OB = 10 cm; AC = 20 cm Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 19 a) La velocidad angular de la guía ranurada (rad/s) b) La magnitud de la velocidad relativa de A respecto a la guía (m/s) c) La magnitud de la velocidad absoluta en B (m/s) d) La aceleración angular de la guía ranurada (rad/s 2 ) e) La magnitud de la aceleración relativa de A respecto de la guía (m/s 2 ) f) La magnitud de la aceleración absoluta en B (m/s 2 )

θ

A

B

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PROBLEMA 20 Para el mecanismo de Cepillo de Manivela, si la barra O2A tiene una velocidad angular constante en sentido horario de 1 rad/s, Si B es una rotula, determine: a) La magnitud de la velocidad angular de la barra 5 (rad/s) b) La magnitud de la velocidad angular de la barra 6 (rad/s) c) La magnitud de la aceleración de B (m/s2) d) La magnitud de la aceleración de D (m/s2) Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 20

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ANALISIS DE CUERPOS RODANTES Para contacto de superficies convexo – convexo 𝜌1 + 𝜌2

aP2 = an,P2

ω2 2 ρ1 ρ2 = en ρ1 + ρ2

𝝆𝟐 𝑷𝟐

𝒆𝒏

𝑷𝟏

𝝆𝟏

𝒆𝒕 Ing. Jesus Chancatuma Huamán

ANALISIS DE CUERPOS RODANTES

aP2 = an,P2

ω2 2 ρ1 ρ2 = en ρ1 − ρ2

𝒆𝒏 𝝆𝟏 − 𝝆𝟐

Para contacto de superficies cóncavo – convexo

𝒆𝒕

𝝆𝟏 𝝆𝟐

Ing. Jesus Chancatuma Huamán

ANALISIS DE CUERPOS RODANTES Para contacto en superficie plana ao = αr i

𝒗𝒐 𝒂𝒐 𝝆𝟐

PROBLEMA 21 En el mecanismo, se sabe que AB = BC = 125 mm, la rueda mayor gira con 𝜔𝐴 = 12𝑘 rad/seg (cte). Se pide calcular: a) La magnitud de la aceleración angular de AB b) La magnitud de la aceleración angular de BC c) La magnitud de la aceleración relativa de A respecto de C (cm/s2) d) La magnitud de la aceleración de B (cm/s2) Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 21

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PROBLEMA 22 En el mecanismo mostrado, el brazo ABC gira con 5 rad/seg en sentido horario y con una aceleración angular de 4 rad/s2, en el mismo sentido. Se pide determinar:

a) La velocidad angular de la rueda 2 y 3 (rad/s) b) La aceleración angular de la rueda 2 y 3 (rad/s2) c) La aceleración absoluta del punto D (m/s2) Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 22

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CUERPO RIGIDO EN EL PLANO Método Gráfico

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ANALISIS DE VELOCIDAD

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MOVIMIENTO EN EL PLANO

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MOVIMIENTO EN EL PLANO

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ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE

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ANALISIS RELATIVA

GRAFICO

DE

VELOCIDAD

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APLICACIÓN 01

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APLICACIÓN 02

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

APLICACIÓN 02

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VELOCIDAD LINEAL DE UN PUNTO CUALQUIERA

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VELOCIDAD RELATIVA

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DIAGRAMAS DE VELOCIDAD

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APLICACIÓN 03

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APLICACIÓN 03

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

APLICACIÓN 03

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APLICACIÓN 04

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

APLICACIÓN 04

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PROBLEMA 23 Aplicando el método gráfico, determinar las características cinemáticas del punto medio del eslabón 5 para la posición mostrada, si el mecanismo esta dibujado a escala 1:5 y se sabe que 𝜔 2 = 1.5 rad/s en sentido horario. Considere apropiadamente 𝜀 2 y 𝜀 3.

PROBLEMA 23

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SOLUCION 23 Medidas en verdadera magnitud:

𝜀1 = 5 𝐴02 = 5 x 4 = 20 cm 𝐴𝐶 = 5 x 5 = 25 cm 𝐵𝐷 = 5 x 6 = 30 cm

SOLUCION 01 Calculamos la velocidad en A.

VA = 𝜔2 x 𝐴02 = VA = 1.5 x 20 VA = 30 cm/seg Aplicamos una escala conveniente 𝜀 2 = 5. 𝑣 a = 30/5 𝑣 a = 6 cm

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POLIGONO DE VELOCIDADES Ecuaciones relativas para las velocidades:

VC = VA + VCA VD = VB + VDB

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RESULTADOS • Medimos del dibujo:

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RESULTADOS Calculamos las velocidades angulares de los eslabones 3 y 5: ω3 = VCA/AC = 27.7/25 = 1.108rad/seg (+) antihorario ω5 = VDB/DB = 12.05/30 = 0.400rad/seg (+) antihorario Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 24 El mecanismo mostrado en la figura tiene O2A = 20mm, AB = 50mm, AC = 35mm y descentrado = 0.38 pulgadas. El ángulo de la manivela en la posición mostrada es de 34.3° y el ángulo BAC = 38.6°. Empleando el método gráfico de análisis de velocidad, determine ω3, VA, VB y VC en la posición mostrada con ω2 = 15 rad/s en la dirección mostrada. Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 24

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SOLUCION 24

O2 Ing. Jesús Chancatuma Huamán

VB = VA + VB/A

VB/A

VB

VA

VA=20 x 15 = 300 mm/s 𝜀 = 10; 10 mm/s = 1 mm va = 30 mm

Del polígono vb = 28.727 mm VB = 287.3 mm/s vba = 27.458 mm VB/A = 274.6 mm/s Ing. Jesús Chancatuma Huamán

Calculo de w3 ω3

VBA 274.6 ω3 = − =− = −5.492 rad/s AB 50 𝝎𝟑 = 𝟓. 𝟒𝟗𝟐 𝐫𝐚𝐝/𝐬 (𝐡𝐨𝐫𝐚𝐫𝐢𝐨) Ing. Jesús Chancatuma Huamán

VC = VA + VC/A

VC/A

VA

VC

VC/A= 5.492 x 35 = 192.22mm/s 𝜀 = 10; 10 mm/s = 1 mm va = 19.222 mm Del polígono vc = 13.936 mm VC = 139.36 mm/s Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 25 El mecanismo mostrado en la figura tiene L1 = 61.9, L2 = 15, L3 = 45.8, L4 = 18.1, L5 = 23.1 mm. θ2 = 68.3° en el sistema de coordenadas xy, el cual esta a –23.3° en el sistema de coordenadas XY. La componente X de O2C es de 59.2 mm.

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PROBLEMA 25

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VELOCIDAD DE DESLIZAMIENTO

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CENTROS INSTANTÁNEOS DE VELOCIDAD • Un centro instantáneo de velocidad se define como un punto común a dos cuerpos en movimiento plano que tiene la misma velocidad instantánea en cada cuerpo.

• Un mecanismo de cuatro barras tiene 6 centros instantáneos, uno de seis tiene 15 y uno de ocho tiene 28 Ing. Jesús Chancatuma Huamán

REGLA DE KENNEDY • Teorema de Aronhold-Kennedy

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REGLA DE KENNEDY • Polo (1,3)

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REGLA DE KENNEDY • Polo (2,4)

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CASO CORREDERA

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CASO MANIVELA-CORREDERA

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CASO MANIVELACORREDERA

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CASO MANIVELACORREDERA

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CASO LEVA SEGUIDOR • Teorema de Kennedy

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CASO LEVA SEGUIDOR • Representación como mecanismo de 4 barras

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CASO LEVA-SEGUIDOR

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ANALISIS DE VELOCIDAD CON CI

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PROBLEMA 26 La figura muestra una braza con autobloqueo en una plataforma que se utiliza en muelles de embarque. Se pide: • Localice todos los centros instantáneos del mecanismo de 4 barras. • Determine la velocidad angular del eslabon 4, si se sabe que el eslabon 2 se eleva a una velocidad constante de 3 rad/s.

4

2

3

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SOLUCION 26 • Diagrama cinemático y centros instantáneos (teorema de Kennedy)

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SOLUCION 26 • Ubicación de todos los centros instantáneos

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 26 • Diagrama cinemático con información de los centros instantáneos

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SOLUCION 26

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SOLUCION 26

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SOLUCION 26 • Esta velocidad angular también se determina a partir de la velocidad del centro instantáneo (24), ya que este punto se considera parte de los eslabones 2 y 4. Sin embargo, resulta difícil visualizar el punto que gira en relación con el eslabón 4.

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 27 La figura muestra un triturador de rocas. Se pide: • Localizar todos los centros instantáneos de este mecanismo. • En la posición mostrada, determinar la velocidad del ariete triturador cuando la manivela gira a una velocidad constante de 60 rpm en sentido horario. Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 27 • Diagrama cinemático y centros instantáneos (teorema de Kennedy)

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 27 • Ubicación de todos los centros instantáneos

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 27 • Diagrama cinemático con información de los centros instantáneos

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 27

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PROBLEMA 28 El mecanismo mostrado en la figura tiene O2A = 20mm, AB = 50mm, AC = 35mm y descentrado = 0.38 pulgadas. El ángulo de la manivela en la posición mostrada es de 34.3° y el ángulo BAC = 38.6°. Empleando el método gráfico de centros instantáneos de velocidad, determine ω3, VA, VB y VC en la posición mostrada con ω2 = 15 rad/s en la dirección mostrada. Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 28

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 28 Ubicamos todos los centros instantáneos de velocidad.

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 28 Para la velocidad angular:

VA=20 x 15 = 300 mm/s w3 = 300/54.629 w3 = 5.492 rad/s (horario)

VC VA

w3

w3

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 28 vc

Aplicamos una escala: 𝜀 = 10; 10 mm/s = 1 mm va = 30 mm

va

Del polígono: vc = 13.937 mm VC = 139.37 mm/s Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 28 Del polígono: vc = 13.937 mm VC = 139.37 mm/s

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 28 • Según el análisis de CI, podemos determinar vb en función de vc.

vc

vc

vb

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 28 Del polígono:

vb= 28.727 mm VB = 287.27 mm/s

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ANALISIS DE ACELERACIÓN

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ACELERACION DE UN PUNTO • Aceleración normal - tangencial

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ACELERACION RELATIVA • Aceleraciones relativas normal y tangencial (B/A)

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

CONVENCION DE SIGNOS • Aceleración de un eslabón en rotación pura con 𝛼 2 positiva y w2 negativa

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

POLIGONO DE ACELERACIONES • Se obtiene mediante el uso de las ecuaciones del movimiento relativo

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POLIGONO DE ACELERACIONES • Ecuaciones del movimiento relativo:

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ANALISIS GRAFICO DE LA ACELERACIÓN • Para resolver gráficamente cualquier problema de análisis de aceleración, se requieren sólo tres ecuaciones:

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ANALISIS GRAFICO DE LA ACELERACIÓN La figura muestra un mecanismo de cuatro barras en una posición particular. Se desea encontrar las aceleraciones 𝛼 3, 𝛼 4 y las aceleraciones AA, AB, AC. Ing. Jesús Chancatuma Huamán

aB = aA + aB/A

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aC = aA + aC/A

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MECANISMOS DE 4 BARRAS

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MECANISMO MANIVELA-CORREDERA

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

ACELERACIÓN DE CUALQUIER PUNTO DE UN MECANISMO

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ACELERACIÓN DE CORIOLIS • Cuando una junta deslizante está presente en un eslabón rotatorio, una componente adicional de la aceleración estará presente, la componente Coriolis.

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

ACELERACIÓN DE CORIOLIS La velocidad total posee dos componentes: uno es de transmisión y el otro es de deslizamiento.

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

ACELERACIÓN DE CORIOLIS La aceleración total posee cuatro componentes: normal, tangencial, Coriolis y deslizamiento.

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

ACELERACIÓN DE CORIOLIS La componente de Coriolis se encuentra en la aceleración relativa de dos puntos cuando se presentan simultáneamente las tres condiciones siguientes: l. Los dos puntos son coincidentes, pero se encuentran en diferentes eslabones; 2. El punto sobre un eslabón sigue una trayectoria que se encuentra sobre el otro eslabón, y 3. Gira el eslabón sobre el cual se encuentra la trayectoria. Ing. Jesús Chancatuma Huamán

ACELERACIÓN DE CORIOLIS • La velocidad angular w debe ser la del eslabón que contiene la trayectoria del punto que se desliza.

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

ACELERACIÓN DE CORIOLIS

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

ACELERACIÓN DE CORIOLIS • Polígono de aceleraciones

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

MECANISMO MANIVELA-CORREDERA INVERTIDO

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 29 Aplicando el método gráfico, determinar las características cinemáticas del punto medio del eslabón 5 para la posición mostrada, si el mecanismo esta dibujado a escala 1:5 y se sabe que 𝜔 2 = 1.5 rad/s en sentido horario. Considere apropiadamente 𝜀 2 y 𝜀 3.

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 29

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 29 De la solución del problema 01, conocemos los valores de ω3 y ω5. ω3 = 1.108rad/seg (+) antihorario ω5 = 0.400rad/seg (+) antihorario

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 29 • Ecuaciones del movimiento relativo

• Calculo de las aceleraciones normales

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 29 • Elegimos una escala apropiada 𝜀3 = 9

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 29 • Polígono de aceleraciones

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 29 • Resultados de aceleración:

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

SOLUCION 29 • Resultados de aceleración angular:

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 30 La figura muestra un mecanismo con sus dimensiones. Use un método gráfico para calcular las aceleraciones de los puntos A, B y C en la posición mostrada, w2 = 20 rad/s.

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 30

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 31 La figura muestra un mecanismo de retorno rápido con sus dimensiones. Use el método gráfico para calcular las aceleraciones de los puntos A, B y C en la posición mostrada w2 = 10 rad/s.

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 31

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CUERPO RIGIDO EN EL ESPACIO

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

CASO GENERAL

𝝎

• Caso general de traslación y rotación. • Las ecuaciones vectoriales son las mismas que las estudiadas en el caso de movimiento plano.

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

CASOS PARTICULARES • Traslación pura

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

CASOS PARTICULARES • Rotación pura vA = ω x rA/B + vA/B

aA = ω x rA/B + ω x (ω x rA/B )+2ω x vA/B + aA/B

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

ANALISIS DEL MOVIMIENTO 𝑒2

𝜔2

𝜔 = 𝑤1 + 𝑤2 𝜔 = 𝜔1 𝑒1 + 𝜔2 𝑒2 … (𝑖)

𝜔1 𝑒1

• El vector 𝑒1 es cte • El vector 𝑒2 es variable debido al movimiento de 𝑒1 • La rotación resultante:

(punto fijo) Ing. Jesús Chancatuma Huamán

ANALISIS DEL MOVIMIENTO • Derivamos (i): 𝑤 = 𝑤1 𝑒1 + 𝑤1 𝑒1 + 𝑤2 𝑒2 + 𝑤2 𝑒2 • Donde: 𝑒2 = 𝑤1 𝑥 𝑒2

• Reemplazando: 𝑤 = 𝑤1 𝑒1 + 𝑤2 𝑒2 + 𝑤1 𝑥 𝑤2 𝛼 = 𝛼1 𝑒1 + 𝛼2 𝑒2 + 𝑤1 𝑥 𝑤2 Ing. Jesús Chancatuma Huamán

TEOREMA DE EULER • Se aplica para la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo. Ecuaciones vectoriales:

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 32 El brazo robótico gira en torno a su base con Ω = 8k rad/s y Ω = 4k rad/s2. Simultáneamente el brazo cilíndrico AO = 6 m, gira hacia arriba con γ = −6j rad/s, γ = −3j rad/s2 y la garra A gira con ωp = 5k rad/s y 𝛼p = 5k rad/s2, si a = 2 m, cuando 𝛾 = 53°, A se aleja de O con 9 m/s y 6 m/s2, asimismo B se aleja de A con 7 m/s y 4 m/s2, se pide calcular:

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 32 • La magnitud de la velocidad del punto A (m/s) • La magnitud de la aceleración del punto A (m/s2) • La magnitud de la aceleración del punto B en el eje x (m/s2) • La magnitud de la aceleración del punto B en el eje y (m/s2) • La magnitud de la aceleración del punto B en el eje z (m/s2) Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 33 En la figura, la posición de la punta de la aguja A esta controlada por el brazo robótico mostrado. En la posición indicada la punta se mueve a una velocidad u = 150 mm/s (cte) relativa al solenoide BC. Al mismo tiempo el brazo CD gira a una rapidez angular ω2 = 1.6 rad/s (cte) con respecto a la componente DEG. Sabiendo que el brazo robótico gira alrededor del eje x a una rapidez angular ω1 = 1.2 rad/s (cte). Determinar la velocidad y aceleración del punto A. Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 33

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 34 La varilla de 125 cm está conectada a la corredera A, mediante una rótula y a B mediante una horquilla, cuando la corredera pasa por el eje X, la velocidad y aceleración de la corredera A son 45j cm/s y 15j cm/s2, se pide calcular:

a) La magnitud de la velocidad angular de la barra AB (rad/s) b) La magnitud de la aceleración angular de la barra AB en el eje X (rad/s2) c) La magnitud de la aceleración angular de la barra AB en el eje Y (rad/s2) d) La magnitud de la aceleración angular de la barra AB en el eje Z (rad/s2) e) La magnitud de la aceleración de B (cm/s2) Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 34

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 35 La varilla AB está unida a A y B mediante dos rótulas. Si la proyección de la velocidad angular y aceleración angular sobre la misma es nula, sabiendo que el disco C se mueve con 10j rad/s y 6j rad/s2. Se pide calcular: a) La magnitud de la aceleración angular de la barra AB b) La magnitud de la aceleración del punto A c) La magnitud de la aceleración angular de la barra AB en las direcciones X, Y, Z Ing. Jesús Chancatuma Huamán

PROBLEMA 35

Ing. Jesús Chancatuma Huamán

FIN DE LA UNIDAD