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Alumno: Antonio Castillo Miguel

Matrícula: 101039

Grupo: I064

Asignatura: “Modelos matemáticos para la producción” UNIDAD III: Distribución de probabilidades

Docente: Dr. Alonso Díaz Hernández

Actividad de aprendizaje 4: “Ejercicios de probabilidad”

Calgary, AB, Canadá 23 de Julio de 2018

Objetivo: Resolver los ejercicios a partir de los temas abordados en el bloque, con la finalidad de practicar la aplicación de fórmulas para el cálculo de probabilidad.

Instrucciones: El

alumno

deberá

resolver

de

forma

individual

los

siguientes

ejercicios:

1.- Una empresa está haciendo un estudio de mercado para determinar la aceptación y consumo de su producto. La empresa sabe que una de cada tres casas cuenta con un producto similar al que van a desarrollar. ¿Si investigan al azar 90 casas, qué probabilidad hay de que entre ellas haya por lo menos 30 productos similares? 1. ¿Qué tipo de probabilidad es? Es una distribución de probabilidad binomial. 2. ¿Cuál es la fórmula o forma de determinar la probabilidad?

𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝑪𝒏𝒌 𝒑𝒌 (𝟏 − 𝒑)𝒌 3. ¿Cuál es el resultado? Datos:

n = 90 casas p = 1/3 = 0.333333 1-p= 2/3 = 0.666666 𝑋 ≥ 30

𝑷(𝑿 ≥ 𝟑𝟎) = 𝟏 − 𝑷(𝑿 < 𝟑𝟎) = 𝟏 − 𝑷(𝑿 ≤ 𝟐𝟗) 𝑷(𝑿 ≤ 𝟐𝟗) = 𝑷(𝑿 = 𝟎) + 𝑷(𝑿 = 𝟏) + 𝑷(𝑿 = 𝟐) + ⋯ + 𝑷(𝑿 = 𝟐𝟗) Usando la función en Excel “DISTR.BINOM.N” y colocando los valores pedidos por la función

Nos da que la 𝑷(𝑿

≤ 𝟐𝟗) = 𝟎. 𝟒𝟔𝟎𝟒𝟑𝟐𝟒𝟕

De esto podemos resolver el planteamiento de que al menos haya 30 productos similares:

𝑷(𝑿 ≥ 𝟑𝟎) = 𝟏 − 𝑷(𝑿 < 𝟑𝟎) = 𝟏 − 𝑷(𝑿 ≤ 𝟐𝟗) = 𝟏 − 𝟎. 𝟒𝟔𝟎𝟒𝟑𝟐𝟒𝟕 = 𝟎. 𝟓𝟑𝟗𝟓𝟔𝟕𝟓𝟑 𝑷(𝑿 ≥ 𝟑𝟎) = 𝟎. 𝟓𝟑𝟗𝟓𝟔𝟕𝟓𝟑 La probabilidad de que al menos haya 30 productos similares en las 90 casas muestreadas es del 53.96%. También se puede resolver realizando una tabla de probabilidades del 0 al 29 y sumando las probabilidades en cada caso, sin embargo, es más fácil usar la función de Excel ya que permite dar el resultado acumulado, que sería lo mismo que hacer la tabla y sumar todos los resultados puntuales.

2.- La probabilidad de que un artículo producido por una planta de manufactura sea defectuoso es p = 0.035. Se envió un cargamento de 25.000 artículos a un cliente. Cuál es el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica. 1. ¿Qué tipo de probabilidad es? Es una distribución de probabilidad binomial. 2. ¿Cuál es la fórmula o forma de determinar la probabilidad?

𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝑪𝒏𝒌 𝒑𝒌 (𝟏 − 𝒑)𝒌 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂 = 𝑬(𝑿) = µ (𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂) = 𝒏𝒑 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 = 𝑽(𝑿) = 𝝆𝟐 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) 𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕á𝒏𝒅𝒂𝒓 = √𝑽(𝑿) = √𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) 3. ¿Cuál es el resultado? Datos: n = 25000 p = 0.035 1 – p = 0.965 Solución El valor esperado o media es calculado por la siguiente expresión,

𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂 = 𝑬(𝑿) = µ (𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂) = 𝒏𝒑 = (𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎)(𝟎. 𝟎𝟑𝟓) = 𝟖𝟕𝟓 𝒂𝒓𝒕í𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐𝒔 La varianza se expresa de la siguiente manera:

𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 = 𝑽(𝑿) = 𝝆𝟐 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) = (𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎)(𝟎. 𝟎𝟑𝟓)(𝟎. 𝟗𝟔𝟓) = 𝟖𝟒𝟒. 𝟑𝟕𝟓 La desviación típica o estándar se encuentra así:

𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕á𝒏𝒅𝒂𝒓 = √𝑽(𝑿) = √𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) = √𝟖𝟒𝟒. 𝟑𝟕𝟓 = 𝟐𝟗. 𝟎𝟓𝟖

3.- En la inspección de pintura de chasis realizada por un proceso automático se identifican 2 imperfecciones en promedio por día. Determine las probabilidades de identificar: una imperfección en 1 mes (30 días laborales). 1. ¿Qué tipo de probabilidad es? Es una distribución de probabilidad de Poisson. 2. ¿Cuál es la fórmula o forma de determinar la probabilidad?

𝝀𝒙 𝓮−𝝀 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒇(𝒙, 𝝀) = 𝒙! 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂 = 𝑬(𝑿) = µ (𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂) = 𝝀 3. ¿Cuál es el resultado? Datos:

𝝀=𝟐 𝒙=𝟏

𝒊𝒎𝒑𝒆𝒓𝒇𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒂 𝒊𝒎𝒑𝒆𝒓𝒇𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏𝒆𝒔 𝒙 𝟑𝟎 = 𝟔𝟎 𝒅í𝒂 𝒎𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒔

𝒊𝒎𝒑𝒆𝒓𝒇𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒎𝒆𝒔

Resultado:

𝟔𝟎𝟏 𝓮−𝟔𝟎 𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝒇(𝒙, 𝝀) = = 𝟓. 𝟐𝟓𝟑𝟗𝟏𝒙𝟏𝟎−𝟐𝟓 𝟏! Es decir que el porcentaje de probabilidad de que únicamente se encuentre 1 imperfección en un mes dado que hay en promedio 60 al mes es prácticamente nula (𝟓. 𝟐𝟓𝟑𝟗𝟏𝒙𝟏𝟎−𝟐𝟑 %).

Referencias Rodríguez Franco, J. &. (2014). Estadística para administración. Grupo Editorial Patria. Pp. 241-296 Naiman, A., & Rosenfeld, R. &. (1987). Introducción a la estadística. McGraw-Hill Interamericana. Pp. 62-214