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• Camila Velandia

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MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y RENTABILIDADES MARCO TEÓRICO

INTRODUCCIÓN 0 El valor de dinero en el tiempo es dentro de la gerencia del valor uno de los elementos requeridos para una adecuada mediación y manejo de resultados en las empresas en los últimos cinco años. Es importante manejar e interpretar los conceptos de las matemáticas relacionados con los flujos financieros, las tasas de interés, el cálculo de cuotas fijas y variables y los análisis de valoración y evaluación de inversiones.

LINEAS DE TIEMPO VALOR Son un instrumento que permite llevar un problema a un formato gráfico conocidos también como flujo grama, gráfico o esquema (flujo). Consiste en dibujar una línea horizontal que representa el tiempo que puede estar representado en quinquenios, años, semestres, trimestres, meses, días o cualquier otro período. Y líneas verticales que equivalen a los valores, es importante tener en cuenta que las líneas no son necesarias de graficar en su totalidad esto depende del tiempo del problema.

A parte de los valores es importante representar el período, la tasa y el período. 1

En los problemas simples el gráfico no es tan importante, más en los problemas más complejos nos permiten conocer y entender las variables. Es importante tener en cuenta que el gráfico permite conocer donde está la pregunta. Las gráficas, nos facilitan el ordenamiento de la información en cualquier problema de

tipo financiero. INTERÉS Valor de Dinero en el Tiempo (VDT): un precio o costo tiene un valor diferente en cada instante del tiempo. Por tal motivo valores en diferentes tiempos no pueden ser sumados, para poder realizar esta operación se debe trasladar a un punto específico. El Valor del Dinero en el Tiempo (VDT) se soporta en el interés. Se entiende por interés el rédito a costo que un capital prestado o invertido genera en un tiempo determinado. Cuando se habla de costo se refiere a un préstamo, en términos bancarios colocaciones y cuando se habla de crédito o rendimiento se refiere a inversiones o captaciones. Existen dos tipos de interés simple y compuesto. VALOR DE DINERO EN EL TIEMPO - INTERÉS SIMPLE Se entiende por Interés Simple la figura financiera en la cual los intereses no se capitalizan; para que se genere ese interés requiere definir el capital, la tasa (i), el plazo (N) y el período (P) de la obligación. El valor de interés es pesos será igual a:

i

INT$ = VA *100

N *P

VA: capital, capiotal inicial, valor presenteo valor actual i

100 : tasa de interes : fracción de tiempo que relaciona plazo y periodo.

PN

El valor del interés es el producto de un capital multiplicado por un interés determinado en una fracción de tiempo determinado.

2

El plazo (N) se define como la cantidad de unidades temporales que contempla o contiene una operación financiera estos pueden ser días, meses, trimestres, semestres, años, etc.

El período (P) obedece al número de unidades de tiempo o plazo que existen en un año; el período nunca estará definido en su problema siempre se deduce. En el mundo de las Matemáticas Financieras si el tiempo (N) está representado en días calendario el periodo (P) deberá estar en días calendario; si el tiempo (N) está en días comerciales el periodo (P) deberá ser 360 (días comerciales). En el mundo de las finanzas el tiempo (N) siempre debe ser real y el periodo (P) normalmente se trabaja 360 y solo se utiliza 365 cuando se indique. En los problemas de interés simple el plazo determina el período, es decir que el período puede tomar los siguientes valores: 1 año 2 semestres 3 cuatrimestres 4 trimestre 6 bimestres 12 meses 24 /26 bimensualidades 48/52 semanas 360 días comerciales 365 días calendario 366 días calendario

La tasa se debe utilizar siempre anual. Siempre que hablemos de interés simple debemos ver y entender la gráfica así: VF=VA+Int$

INTERÉS

VA

El valor futuro debe ser mayor que el valor presente.

VF VA Int$ =+ i

VF VA VA*

N *

3

÷ ∙♦ ♣ ≠ ♥ =+

100

i

VF VA 1 PN ÷ ∙♦ ♣ ≠ ♥ =υ+υ P

100

De esta fórmula se pueden despejar las diferentes incógnitas que se puedan presentar.

DESCUENTO SIMPLE

DESCUENTO

VF

VLiq

Es el menor valor reconocido en una operación financiera ocasionado por la liquidación antes de su fecha de vencimiento. Existen dos tipos de descuento matemático y comercial.

DescuentoMatemático VF - VA = DescuentoComercial VF - VLiq = El descuento matemático es una operación financiera que resulta de despejar la fórmula de valores futuro simple.

4

VF

VA

i

=

N *

1 ÷ ∙♦ ♣ ≠ ♥ + P

100

Se caracteriza por utilizar la tasa de interés como tasa de descuento; en el mundo financiero se utiliza muy poco esta fórmula puesto que es más acostumbrado el descuento comercial. A este se le reconoce como descuento matemático. El descuento comercial resulta de tomar un valor futuro por una tasa de descuento durante un tiempo determinado.

d%

NP

Dto$= VFυ υ 100

El valor líquido es la cantidad en efectivo que se recibe una vez aplicado un descuento comercial a un valor futuro, una vez descontado el valor correspondiente.

VLiq VF Dto$ =− d%

N

VLiq VF VF

÷ ∙♦ ♣ ≠ ♥ =−υυ P

100 d%

N

VLiq VF 1

÷ ∙♦ ♣ ≠ ♥ =υ−υ P

100

Los descuentos matemático y comercial no son iguales ya que: • Mientras tomo como base en el descuento matemático el valor presente y en el descuento comercial como base un valor futuro.

÷ ∙♦ ♣−υ • Mientras que el factor ≠ ♥ PN

i%

1 divide en el descuento matemático en el

100 descuento comercial esta como factor. • Mientras que en un factor se suma (descuento matemático) en la otra se resta (descuento comercial).

La fórmula del descuento comercial permite entender el cálculo de las retenciones aplicadas a las operaciones financieras que realiza el sistema financiero diariamente.

5

DESCUENTOS EN CADENA Estos descuentos se manejan en la parte comercial. Ejemplo: Suponga que tiene una factura de $100, con descuentos así: 8% por pronto pago 3% por volumen 1% por fidelidad; ¿determine el descuento total? Los descuentos en cadena se liquidan siempre sobre saldo.

100 8

@ 92 3

@

@

88.35

89.2 4 1

1− (1−D1 )υ(1−D2 )υ(1−D3 ) =DT El descuento total equivale al valor de la factura por 1 – la ponderación de los descuentos, es decir:

> ⊥( ) ( ) ( )≅ 1 2 1 DN DTotal= VFac υ 1− 1−D υ 1−D υ...υ − VALOR DE DINERO EN EL TIEMPO - INTERÉS COMPUESTO Se le reconoce de esta manera ya que la tasa de interés se aplica al capital y esos intereses se convierten en capital, es decir son capitalizables. Ejemplo: Si tomamos un valor presente de 1'000.000 a una tasa del 20% anual. ¿Cuál será el

valor futuro a tres años de dicho valor aplicando interés simple e interés compuesto? 1. INTERÉS SIMPLE. 200

200

200

VF=1'600.000 VA=1'000.000 6

2. INTERÉS COMPUESTO 200

VA=1'000.000

La fórmula es:

240

288

VF=1'728.000

i

N

÷ ∙♦ ♣ VF VA 1 ≠ ♥ υ = υ + 100 P

Se debe ubicar cómo liquida la tasa, dependiendo de esto se podrá determinar el plazo y el período para realizar los cálculos correspondientes, es importante tener en cuenta que en el interés compuesto la tasa manda. Al iniciar la solución de un problema de interés compuesto las tres variables tasa (i), el plazo (N) y el periodo (P) deben estar homogenizadas, es decir, estar expresadas en los mismos términos de tiempo. Entre más rápido capitalice una tasa mayor será el valor futuro, es decir que entre más pequeño el período de tiempo (mayor el p) de capitalización mayor número de capitalizaciones existen. TASAS DE INTERÉS Las tasas de interés se definen como el interés de incremento o decremento de las operaciones financieras.

Cuando hablamos de tasas de interés en interés simple siempre debe hablarse de tasa de interés anual para poder utilizar los períodos anuales. Si se pasa al interés compuesto los periodos de capitalización hacen que las tasas operen de la misma forma (concepto tasa efectivo, tasa nominal, tasa periódica) Las tasas de interés en el mundo financiero se clasifican en fijas y variables.

Las tasas fijas permanecen constantes durante la operación financiera establecida (24%TV) y las tasas variables cambian o están en función de un mercado (IB3 +10).

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TASAS DE INTERÉS FIJAS • Tasa Efectiva es una tasa de comparación, es aquella tasa que se utiliza para comparar diversos proyectos de financiación en la vida futura (año vencido), la tasa efectiva es anual vencida debido a que el flujo de dinero es constante en el sector financiero. Tomando el año como el momento en el cual se evalúa. Esta tasa se representa con un número y se asume efectiva si no se dice nada ó si esta precedida de EA ó efectivo. • Tasa Nominal es la tasa base de liquidación, normalmente se representa por un número anual y una liquidación a un período así año, mes, semestre, trimestre, etc. Esta puede ser vencido o anticipado y se reconoce por la forma como capitaliza. • Tasa Periódica es la tasa del período resulta de tomar una nominal dividida por el período. Su terminación gramatical es “–al”

i

=

p

i

NOMINAL

P

Nota: Una tasa efectiva es equivalente a la tasa nominal año vencido y a su vez es equivalente a la periódica anual. TASAS DE INTERÉS VARIABLES (IB1, IB3 - UVR - PRIME - LIBOR) Las tasas variables varían en función IB1 de un mercado determinado en Colombia estas tasas son IB1, IB3, TCC, UVR, IPC y en el exterior la Prime y la Libor.

DEFINICIONES de tasas variables • IB3 Tasa promedio de los certificados de depósito a término fijo ponderada a 90 días en todo el sector financiero. • IB1 Tasa promedio de préstamos interbancarios entre 8 instituciones del sector financiero colombiano, su cotización es diaria. • UVR Tasa de variación porcentual de la Unidad de Valor Real, lo que se llamaba corrección monetaria (CM)

• IPC Tasa de variación porcentual de IPC ó índice de precios al consumidor. • PRIME Tasa de regulación del Mercado Americano. • LIBOR Tasa de regulación del Mercado Europeo.

El tiempo de vigencia de una tasa de interés variable es el lapso de tiempo que permanece vigente en el mercado es decir cada cuanto varía.

La periodicidad de cada una de las tasas variables es: * * * *

IB3 = Diaria – T.V. IB1 = Diaria – M.V UVR = Mensual – E.A. IPC = Mensual – E.A.

Para realizar conversiones de tasas variables es importante tener en cuenta que las tasas UVR e IPC se expresan y operan matemáticamente, de la misma manera. Para la IB3 se utiliza la siguiente formula:

DTFTA +SPREAD= TASATA Ejemplo: 1. Si tenemos una IB3 del 12,41% TV y un Spread del 10%, ¿Cuál será la tasa efectiva equivalente? IB3 + Spread = TASA 12,41 + 10 = 22,41 TV = 25,94 EA

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2. Si tenemos una tasa nominal del 25% MV. ¿Cuál será el valor equivalente en IB3, si esta es del 12,41% TV? La Tasa Nominal 25% MV = 23,99 T.V. IB3 + Spread = TASA 12,41 + X = 23,99 TV X = 11,58

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TASAS DE INTERÉS CONTINUAS Son aquellas que tienen un período superior a 365 días, normalmente cuando se utiliza una tasa continua en periodo (P) es infinito.

Estas tasas no se utilizan en el mundo financiero, solo en la Banca de Inversión y en el mundo de los proyectos y sus evaluaciones

TASA DE INTERÉS NETA Es la tasa después de impuestos.

( ) TASANETA = TASANOMINAL υ 1− TASAIMPOSITIVA TASA DE INTERÉS REAL Es la tasa después de inflación.

TASA TASA − REAL

TASA =

TASA

1+

NOMINAL INFLACION INFLACION

100 TASA DE INTERÉS BRUTA Es la tasa antes de descontar cualquier tipo de impuesto.

TASA Comisión TASA −= BRUTA NOMINAL

TASA Retención TASA −= NOMINAL NETA

ANUALIDADES o SISTEMAS DE CUOTA FIJA Las anualidades son el conjunto de pagos o ahorros periódicos iguales, y se conoce como series uniforme. Esta maneja concepto cuota fija, siempre y cuando haya cuota fija o estable si se trata de tasas variables. En las anualidades la cuota es la que manda.

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Se clasifican en:

ANUALIDAD VENCIDA Las anualidades vencidas sus cuotas se pagan al final del período.

° ↑−+ ° = υ− ⎯⏐ →

() 11i ° ↓

VP CUOTA

i

N

P

° ↵

p

() °

→

↑+−

° = υ ⎯⏐ N

1i1 VF CUOTA

p

i °

↓

°

↵

p

ANUALIDAD ANTICIPADA Las anualidades anticipadas son el conjunto de pagos periódicos que se realiza iniciando el período.

° ↑−+ = υ− →

υ+° ° ↵ ⎯⏐

()

11i

N P

VP CUOTA

() 1i

p

° ↓

i p

()

()p

° ↑+− ° = υ ⎯⏐ → N

1i1 VF CUOTA

°

↓

i p

°

↵

υ+1i

p

ANUALIDAD PERPETUA Es aquella anualidad que tiene inicio, pero no fin. Tiene únicamente valor presente.

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De estas puede haber anticipadas y vencidas.

Anualidad Perpetua Vencida:

CUOTA

VP = i

Anualidad Perpetua Anticipada:

CUOTA

VP = CUOTA + i

ANUALIDAD DIFERIDAS La anualidad diferida es aquella que tiene un tiempo diferido después del cual se inicia los pagos o el ahorro correspondiente. Este tiempo diferido puede ser un periodo de gracia o muerto. Un período es de gracia cuando se causan y/o pagan intereses. Un período muerto ni se causan ni se pagan intereses.

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() ↑−+

11i

↓→

VA CUOTA

i k periodo diferido =

−

()

=−

k N

↵⎯⏐

N plazo = 1i

υ+

GRADIENTES o SISTEMAS DE CUOTA VARIABLE Conjunto de pagos o ahorros periódicos crecientes o decrecientes en forma constante. Se utiliza este sistema para dar facilidad de flujo de caja a las personas cuando el pago del crédito es muy alto frente a su capacidad. O se utiliza para aquellos ahorros que están en función de incrementos periódicos saláriales o de ingresos. Los gradientes se clasifican en: GRADIENTES ARITMÉTICOS GRADIENTES GEOMÉTRICOS GRADIENTES ESCALONADO

GRADIENTE ARITMÉTICO Es el conjunto de pagos o ahorros crecientes o decrecientes en forma constante en pesos o unidades monetarias.

↔ ♠−+° ° ↔ ← ↵ ⎯⏐ ° −+ − = →↑ +° ° ↵ ⎯⏐ N

≈ ≈ …≡

° →↑ − + −−

1 (1 i )

VP CUOTA

CRECI

1 (1 i ) N p

N(1 i )

i

p N

i i

° ↓

Pp

° ↓

↔ ♠ −° ° ↔ ← ↵ ⎯⏐ ≈ ≈ …≡ N

° +− =N →↑

(1 i ) 1

° ↑ + − +° ° → ↵ ⎯⏐ N

P P

VF CUOTA

i

° ↓

p

CRECI i

(1 i ) 1 P

° ↓

pp

i

p

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GRADIENTE ARITMÉTICO INFINITO

CUOTA

CRECI

VP = +

i

p 2

i

GRADIENTE GEOMÉTRICO Es el conjunto de pagos o ahorros crecientes o decrecientes en forma constante en porcentaje o unidades relativas.

>≅

CUOTA (1 g) (1 i) 1 υ++−

VPN N

=− SI g ζ i gi −

CUOTA N VP υ + = SI g = i 1i

>≅

CUOTA (1 g) (1 i) υ+−+

N1

VFN N

= SI g ζ i gi −

VF CUOTA N (1 i) − = υ υ + SI g = i

GRADIENTE ESCALONADO

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Es la combinación de anualidades y gradientes geométricos generalmente para facilitar el flujo de efectivo en el mundo de los créditos. También se obtienen de la combinación entre gradientes geométricos y/o aritméticos. Estas figuras principalmente utilizadas en la colocación de créditos hipotecarios tratan de ajustarse en lo posible a los incrementos salariales en relación con que un alto porcentaje de los clientes de financiación son personas vinculadas a relaciones laborales en donde sus ingresos provienen principalmente de sueldos o prestaciones regulares a meses.

VP

Los escalonamientos pueden ser trimestrales, semestrales o anuales dependiendo de la modalidad de crédito y la forma como se determine el crecimiento de las cuotas de amortización. TABLAS DE AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE INVERSIÓN Las tablas de amortización son una representación ordenada de la forma como se amortizan los créditos sean de cuota fija o de cuota variable. Esta representación en

filas y columnas permite establecer de la cuota de amortización cuanto es interés y cuanto se aplica a la amortización del capital o principal.

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En los fondos de inversión se representa en forma ordenada las cuotas de ahorro más

los intereses que sobre el saldo se van acumulado para la constitución del fondo. FORMATO DE TABLA DE AMORTIZACIÓN N

CUOTA

INTERÉS

AMORTIZACION

SALDO

1 2 3 . . . . . N

FORMATO DE FONDO DE INVERSIÓN N

CUOTA AHORRO

INTERÉS GENERADOS

FONDO

1 2 3 . . . . . N

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HERRAMIENTAS DE EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS

Para la evaluación de proyectos y valoración de títulos se utilizan las herramientas básicas que son: ❖ NUMERO

DE VECES DE RECUPERACION DE LA INVERSION PRESENTE NETO ❖ TASA INTERNA DE RETORNO ❖ COSTO ANUAL EQUIVALENTE ❖ BENEFICIO – COSTO ❖ VALOR FUTURO NETO ❖ VALOR

El número de veces que se recupera la inversión consiste en restar los ingresos del flujo a los egresos y determinar cuánto tiempo se requiere para realizar esta cobertura. Una mejora de este sistema consiste en traer a valor presente los ingresos y los egresos del flujo financiero teniendo una tasa de oportunidad y determinar el número de periodos que se requiere para cubrir la inversión. El valor presente neto o también llamado valor actual neto consiste en encontrar el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos a una tasa de oportunidad obteniendo la diferencia que para que el proyecto sea viable se requiere un valor positivo. La tasa interna de retorno o rentabilidad máxima de la inversión es la tasa que permite igualar los flujos de ingresos y egresos del proyecto. El costo anual equivalente denominado también suma neta uniforme consiste en encontrar la anualidad equivalente (pago) del valor presente neto. El beneficio – costo de un flujo financiero consiste en dividir el valor presente de los ingresos por el valor presente de los egresos y el resultado debe ser mayor de 1 para que el flujo sea favorable. El valor futuro neto consiste en llevar a una tasa de oportunidad al futuro los ingresos y los egresos del flujo financiero. Tiene la misma interpretación del valor presente neto pero ubicado al final del flujo.

VALOR PRESENTE NETO (V P N)

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La evaluación de proyectos por medio de métodos matemáticos y financieros es una

herramienta de gran utilidad para la toma de decisiones por parte de los administradores financieros, ya que un análisis que se anticipe al futuro puede evitar posibles desviaciones y problemas en el largo plazo. Las principales herramientas y metodologías que se utilizan para medir la viabilidad de un proyecto son: CAUE: Costo Anual Uniforme Equivalente. VPN: Valor Presente Neto. VPNI: Valor Presente Neto Incremental. TIR: Tasa Interna de Retorno. TIRI: Tasa Interna de Retorno Incremental. B/C: Relación Beneficio Costo. PR: Período de Recuperación. CC: Costo Capitalizado. Todos y cada uno de estos instrumentos de análisis matemático financiero debe conducir a tomar decisiones económicas iguales, la única diferencia que se presenta es la metodología por la cual se llega al valor final, por ello es sumamente importante tener las bases matemáticas muy claras para su aplicación. En ocasiones utilizando una metodología se toma una decisión; pero si se utiliza otra y la decisión es contradictoria, es porque no se ha hecho una correcta utilización de los índices. En la aplicación de todas las metodologías se deben tener en cuenta los siguientes factores que dan aplicación a su estructura funcional: C: Costo inicial o Inversión inicial. K: Vida útil en años. S: Valor de salvamento. CAO: Costo anual de operación. CAM: Costo anual de mantenimiento. IA: Ingresos anuales. El método del Valor Presente Neto es muy utilizado por dos razones, la primera porque es de muy fácil aplicación y la segunda porque todos los ingresos y egresos

futuros se transforman a pesos de hoy y así puede verse, fácilmente, si los ingresos son mayores que los egresos. Valor Presente Neto = Valor Presente Ingresos – Valor Presente de los Egresos

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VPN = VP (I) – VP (E) El Valor Presente Neto de un proyecto o alternativa de inversión, representa el valor equivalente en pesos de hoy, de la ganancia o pérdida que se obtendrá al llevar a cabo ese proyecto. El Valor Presente Neto es el valor actual de los flujos de caja netos menos la inversión inicial. Cuando el VPN es menor que cero implica que hay una perdida a una cierta tasa de interés. Cuando el VPN es mayor que cero se presenta una ganancia. Cuando el VPN es igual a cero se dice que el proyecto es indiferente. La condición indispensable para comparar alternativas es que siempre se tome en la comparación igual número de años, pero si el tiempo de cada uno es diferente, se debe tomar como base el mínimo común múltiplo de los años de cada alternativa Relevante: En la aceptación o rechazo de un proyecto se atiende directamente a la tasa de interés que se utilice. Cuando se desconoce el valor de la tasa de descuento, se establece que el Valor Presente Neto, es igual a cero, ya que cuando ocurre es indiferente aceptar o no la inversión. Por lo general el VPN disminuye a medida que aumenta la tasa de interés, de acuerdo con la siguiente gráfica:

N

P

V

i

Dentro de los factores más importantes que intervienen en la determinación de esta tasa, se encuentran: El tiempo. El Flujo de Caja. Tasa de Descuento o Tasa de Oportunidad

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Valor de Mercado del Proyecto El mercado donde opera la empresa. Sector político y económico del país. Sector bancario. El tiempo de duración del proyecto: Conocido como Vida Útil. Es un factor de mucha importancia, ya que no se puede hablar de ningún tipo de tasa sin mencionar antes el tiempo en el cual dicha tasa tendrá validez. Podemos decir que mientras mayor sea el tiempo, el riesgo se incrementará cada vez más, debido a que el valor actual de la inversión estará más susceptible a los diversos cambios que puedan ocurrir para afectar dicho valor. Es recomendable que la tasa de descuento se haga efectiva a la mayor brevedad posible. El flujo de Caja: Los Ingresos y Egresos en el tiempo. Tasa de descuento o tasa de oportunidad: Que puede ser constante o variable. Valor de Mercado del Proyecto: Corresponde al valor comercial o ingreso que se obtiene al final de la vida útil del proyecto. Mercado donde opera la empresa: Se debe tener en cuenta este aspecto, por ejemplo, no genera el mismo rendimiento una empresa que se dedique a la venta de metales preciosos, que una que se dedique a la venta de alimentos; además se debe considerar el efecto que pueda producir la oferta y la demanda en la determinación de la tasa. Esta tasa, se puede además establecer de otra manera, tomando como parámetro la tasa bancaria, esperando tener por lo menos un rendimiento equivalente a la tasa bancaria. También se podría considerar el uso de un promedio de tasas de rendimiento obtenidas por un sector determinado en un período de tiempo determinado. Sector Bancario: Este sector debe ser considerado al momento de establecer la tasa de rendimiento, ya que, si el rendimiento que se puede obtener en una determinada inversión es menor que la tasa bancaria, los fondos destinados para esta inversión se podrían usar para otra inversión que genere por lo menos el mismo rendimiento que el ahorro bancario.

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Sector Político: Este sector es sumamente importante, ya que tiene gran influencia sobre los demás factores. Las decisiones que tome el estado son determinantes en el rendimiento de ciertos sectores de la economía. Por ejemplo: Si el estado decide que se aumenten los impuestos a las importaciones, todas las empresas que se dediquen a esta actividad se verán afectadas; ya sea por que tengan que aumentar sus precios para poder soportar ese incremento impositivo, o tal vez deban disminuir su rango de utilidades para conservar las ventas. De

cualquier manera, el rendimiento terminará afectado por las decisiones tomadas por el gobierno. Factor Económico: Este factor es importante al momento de determinar la tasa de descuento, debido a los cambios que sufra la economía del país. Uno de estos factores es la inflación, la cual tiene mucha relevancia, ya que determina el límite por debajo del cual no se debe fijar la tasa de descuento; además de este hay que tomar en cuenta otros factores como la devaluación de la moneda, ya que si se trabaja en pesos, hay que tener una buena proyección del comportamiento de este en el mercado monetario, debido a que un cambio imprevisto de este podría causar una disminución en el rendimiento esperado y en el valor de la inversión en el proyecto. Es importante destacar que debe existir una oferta monetaria adecuada, ya que es la que va a determinar la demanda de los inversionistas. En consecuencia, para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa de interés, el VPN puede variar significativamente, hasta el punto de llegar a rechazarlo o aceptarlo según sea el caso. Al evaluar proyectos con la metodología del VPN se recomienda que el cálculo se haga con una tasa de interés superior a la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), con el fin de tener un margen de seguridad para cubrir ciertos riesgos, tales como liquidez, efectos inflacionarios o desviaciones que no se tengan previstas.

1. VPN PARA UN SÓLO PROYECTO Cuando se está evaluando un solo proyecto el índice del VPN se aplica según la teoría generalizada: Si VPN > 0 el proyecto es aceptable Si VPN < 0 el proyecto no es aceptable Si VPN = 0 es indiferente el proyecto. Esta aplicación del VPN es relativa ya que la decisión se tomará solamente de acuerdo al objetivo planeado en el proyecto y no solo con base en lo expresado anteriormente.

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EJEMPLO 1 A un señor, se le presenta la oportunidad de invertir $800.000 en la compra de un lote, el cual espera vender al final de un año en $1.200.000. Si la TIO es del 30%. ¿Es aconsejable el negocio? SOLUCIÓN Una forma de analizar este proyecto es situar en una línea de tiempo los ingresos y

egresos y trasladarlos posteriormente al Valor Presente, utilizando una tasa de interés del 30%. $1.200.000

INGRESOS

30%

EGRESOS

$800.000

Si se utiliza el signo negativo para los egresos y el signo positivo para los ingresos se tiene: VPN=-800.000+1.200.000(1.3)-1 VPN = 123.07 Como el Valor Presente Neto calculado es mayor que cero, lo más recomendable sería aceptar el proyecto, pero se debe tener en cuenta que este es solo el análisis matemático y que también existen otros factores que pueden influir en la decisión como el riesgo inherente al proyecto, el entorno social, político o la misma naturaleza que circunda el proyecto, es por ello que la decisión debe tomarse con mucho tacto.

EJEMPLO 2 Se presenta la oportunidad de montar una fábrica que requerirá una inversión inicial de $4.000.000 y luego inversiones adicionales de $1.000.000 mensuales desde el

final del tercer mes, hasta el final del noveno mes. Se esperan obtener utilidades mensuales a partir del doceavo mes en forma indefinida, de A) $2.000.000 B) $1.000.000 Si se supone una tasa de interés de 6% efectivo mensual, ¿Se debe realizar el proyecto?

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Relevante: Las inversiones que realiza la empresa deben ser constantemente vigiladas y supervisadas por los responsables del área financiera sin excepción. SOLUCIÓN En primera instancia se dibuja la línea de tiempo para visualizar los ingresos y los egresos.

A) Se calcula el VPN para ingresos de $2.000.000. VPN = -4.000.000 - 1.000.000 a7¬6% (1.06) -2 + 2.000.000/0.06 *(1.06)-11 VPN = -4.000.000 - 4.968.300 + 17.559.284 VPN = 8.591.284 En este caso el proyecto debe aceptarse ya que el VNP es mayor que cero. B) Se calcula el VNP para ingresos de $1.000.000 VPN = -4.000.000 - 1.000.000 a7¬6% (1.06) -2 + 1.000.000/0.06 *(1.06)-11 VPN = -188.508 En esta situación el proyecto debe ser rechazado. 2. VPN PARA DOS PROYECTOS Para comparar dos proyectos o alternativas de inversión debemos tener en cuenta los dos siguientes casos: Si ambos proyectos tienen vidas útiles iguales

Si los proyectos tienen vidas útiles diferentes Cuando los proyectos tienen vidas útiles iguales, el VPN se aplica de la siguiente manera: Tomar un ciclo de vida útil para cada proyecto y registrar los correspondientes flujos de caja. Calcular el VPN para cada proyecto. (VPN(a) y VPN(b))

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Con los VPN resultantes deducir cual es el mejor. La comparación de alternativas con vidas iguales mediante el método de Valor Presente es directa. Cuando los proyectos tienen vidas útiles diferentes hay formas distintas de solucionar o de tomar la mejor decisión. Sean A y B dos proyectos con vidas útiles diferentes, si en cada ciclo de vida útil de cada proyecto, el flujo de caja se repite, entonces se toma el mínimo común múltiplo de las vidas útiles y en este tiempo se registran los flujos de caja de cada proyecto. Comparando el VPN(a) y el VPN(b). Cuando los flujos de caja no se repiten en los ciclos de vida útil, un método es prolongar el ciclo menor hasta igualarlo con el mayor o viceversa. Este método requiere de otros conceptos de diversas áreas que desbordan el objeto de este análisis. EJEMPLO 1 Se tienen 2 proyectos de inversión A y B, con la siguiente información: el Proyecto A requiere de una inversión hoy por valor de $4 millones, gastos mensuales de 80.000, ingresos de 320.000 el primer mes y disminuirán en 3% cada mes, una vida útil de 1 año y medio y un valor de mercado de 2`950.000. El proyecto B requiere de una inversión hoy de $5 millones, gastos mensuales de 40.000 el primer mes y aumentaran en 3000 cada mes, ingresos de 450.000 mensuales, un valor de mercado nulo y una vida útil de un año y medio. Si la tasa de oportunidad del inversionista es del 38% anual, seleccionar el proyecto más rentable.

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Haciendo la conversión 38% Anual, es equivalente a una periódica de 2.72% mensual.

Para el Proyecto A:

+2950000[(1.0272) ^ (-18)] – 4000000-80000 (P/A,2.72%,18) = $292.858

Para el Proyecto B:

VPN B = $ 446.016. Por lo tanto: VPN B > VPN A se toma el proyecto B con el cual se obtiene una utilidad mayor Hoy.

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3. MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO INCREMENTAL (VPNI) El Valor Presente Neto Incremental es muy utilizado cuando hay dos o más alternativas de proyectos mutuamente excluyentes y en las cuales solo se conocen los gastos. En estos casos se justifican los incrementos en la inversión si estos son menores que el Valor Presente de la diferencia de los gastos posteriores. Para calcular el VPNI se deben realizar los siguientes pasos: Se deben colocar las alternativas en orden ascendente de inversión. Se sacan las diferencias entre la primera alternativa y la siguiente. Si el VPNI es menor que cero, entonces la primera alternativa es la mejor, de lo contrario, la segunda será la escogida.

La mejor de las dos se compara con la siguiente hasta terminar con todas las alternativas. Se deben tomar como base de análisis el mismo periodo de tiempo. Para analizar este tipo de metodología les presentamos el siguiente ejercicio práctico: EJEMPLO 1 Dadas las alternativas de inversión A, B y C, seleccionar la más conveniente suponiendo una tasa del 20%. Alternativas de inversión A B C Costo inicial -100.000 -120.000 -125.000 Costa anual de operación Año 1 -10.000 -12.000 -2.000 Costa anual de operación Año 2 -12.000 -2.000 -1.000 Costa anual de operación Año 3 -14.000 -2.000 0

26

SOLUCIÓN Aquí se debe aplicar rigurosamente el supuesto de que todos los ingresos se representan con signo positivo y los egresos como negativos. 1. A) Primero se compara la alternativa A con la B Alternativas de inversión A B B-A -100.000

120.000

-10.000

-12.000

Costo inicial -20.000 Costa anual de operación Año 1 -2.000 Costa anual de operación Año 2 -12.000 -2.000 +10.000 -14.000

Costa anual de operación Año 3 +12.000 B) La línea de tiempo de los dos proyectos seria:

-2.000

C) El VPNI se obtiene: VPNI = -20.000 - 2.000 (1+0.2)-1 + 10.000 (1+0.2)-2 + 12.000 (1+0.2)-3 VPNI = -7.777,7 Como el VPNI es menor que cero, entonces la mejor alternativa es la A. 2. A) Al comprobar que la alternativa A es mejor, se compara ahora con la alternativa C. Alternativas de inversión A C C-A -100.000

-125.000

-10.000

-2.000

-12.000

-1.000

-14.000

0

Costo inicial -25.000 Costa anual de operación Año 1 +8.000 Costa anual de operación Año 2 +11.000 Costa anual de operación Año 3 +14.000

B) La línea de tiempo para los dos proyectos A y C seria:

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B) El VPNI se calcula como en el caso anterior VPN = -25.000 + 8.000 (1+0.2)-1 + 11.000 (1+0.2)-2 + 14.000 (1+0.2)-3 VPN = -2.593 Como el Valor Presente Neto Incremental es menor que cero, se puede concluir que la mejor alternativa de inversión es la A, entonces debe seleccionarse esta entre las tres. La aceptación o rechazo de un proyecto en el cual una empresa piense en invertir, depende de la utilidad que este brinde en el futuro frente a los ingresos y a las tasas de interés con las que se evalué Alternativ a Simple Esta debe aplicarse cuando se evalúa y se tiene que decidir si un proyecto individual es o no conveniente

Para determinar una decisión de inversión, una empresa utiliza el Valor Presente Neto (VPN) del ingreso futuro proveniente de la inversión. Para calcularlo, la empresa utiliza el Valor Presente Descontado (VPD) del flujo de rendimientos netos (futuros ingresos del proyecto) tomando en cuenta una tasa de interés, y lo compara contra la inversión realizada. Si el Valor Presente Descontado es mayor que la inversión, el Valor Presente Neto será positivo y la empresa aceptará el proyecto; si el Valor Presente descontado fuera menor que la inversión la empresa lo rechazaría. El procedimiento técnico para computar el valor actual de una empresa es semejante al que se emplea para computar el valor actual de una inversión en bonos u obligaciones. Los factores que deben emplearse al computar el valor actual de una empresa son: 1. - Importe de las actividades futuras. 2. - Tiempo o fecha de las actividades futuras. 3. - Importe de los desembolsos futuros.

4. - Tiempo o fecha de los desembolsos futuros.

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5. - Tasa de descuento. Los administradores computan el valor actual descontado para evaluar los proyectos de operaciones dentro de la empresa y las posibles compras de otras empresas. En ciertos casos, el cálculo puede servir para valorar equipos especiales, aunque solamente cuando la ganancia prevista provenga de ellos y pueda determinarse y medirse en dinero. 4. COSTO CAPITALIZADO Es el Valor Presente Neto del flujo de caja de un proyecto de vida perpetua. Cuando un proyecto tiene vida útil indeterminada se considera que puede funcionar a perpetuidad, se hace estimativo y proyección del flujo de caja y se calcula el costo capitalizado o VPN para su evaluación. Se debe tener en cuenta que para esta clase de proyectos el valor que se calcula como VPN es solo un estimativo dada la dificultad real para la proyección tanto del flujo de caja como de la tasa de descuento. Por esta razón, un método utilizado frecuentemente es el de hacer evaluaciones periódicas o lo que comúnmente se conoce como evaluación EXPOST. EJEMPLO Un proyecto consiste en la construcción, mantenimiento y uso de un pequeño edificio para oficinas cuya vida útil se estima a tiempo indefinido y el flujo de caja es aproximadamente el siguiente. El costo del terreno es de $35 millones, el costo de construcción es de $185 millones, el mantenimiento anual es de $8 millones el primer año y se incrementara $1 millón por año de allí en adelante, los ingresos serán de $55 millones el primer año y se incrementaran en un 20% anual aproximadamente, la tasa de oportunidad del inversionista se estima en un 33% anual. Bajo estas condiciones determinar el valor presente neto o costo capitalizado. Como la serie de ingresos anuales forman un gradiente

geométrico perpetuo y los egresos un gradiente geométrico aritmético

perpetuo, aplicando las fórmulas correspondientes a estas clases de series variables, tenemos:

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Es decir, que este proyecto da una utilidad que medida en pesos de hoy, equivaldría a 169.5 millones. Cuando se trate de dos o más proyectos a término indefinido, para su evaluación y selección por el método del VPN, simplemente calculamos el costo capitalizado para cada uno de ellos y se hace la comparación entre estos valores en forma similar al caso de proyectos o alternativas de vida útil finita. 5. RIESGO INTERNACIONAL Aunque las técnicas básicas de preparación de presupuesto de capital son las mismas para empresas a nivel nacional e internacional, las empresas que operan en varios países enfrentan riesgos que son exclusivos de la arena internacional estos son: Riesgo de Tasa de Cambio y riesgo Político. ❖ Riesgo

de Tasa de Cambio

Es el peligro de que una modificación inesperada en la tasa de cambio de una moneda comparada con una internacional, para nuestro caso el dólar, reduzca el valor en el mercado del flujo de efectivo de dicho proyecto. Aunque es posible pronosticar la inversión inicial de un proyecto con alguna certeza, el valor en dólares de las entradas de efectivo futuras se podría alterar de manera drástica si la moneda local se devalúa frente al dólar. A corto plazo los flujos de efectivo específicos pueden compensarse por medio de instrumentos financieros como los futuros monetarios y las opciones. A largo plazo, el riesgo de la tasa de cambio se minimiza si el proyecto se financia de manera total o parcial en la moneda local. ❖ Riesgo

Político

La cantidad invertida por una compañía matriz en una subsidiaria extranjera esta con frecuencia sujeta a interrogantes, aun cuando el valor de mercado de la inversión en el país anfitrión se visualice a menudo como el “precio” relevante. La medición de los flujos de efectivo de inversiones puede depender de diversos factores, como los sistemas impositivos en los países anfitriones, regulaciones que pueden bloquear la libre circulación de los flujos de empresas transnacionales, los riesgos empresariales y financieros usuales, los riesgos inherentes a los fenómenos inflacionarios y políticos impulsados por los gobiernos locales y, por último, la aplicación de un costo de capital local.

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Cubrirse ante esta contingencia es mucho más complicado, la incapacidad para controlar este riesgo después de que ha ocurrido un cambio hace más importante el hecho de que los gerentes tomen en cuenta los riesgos políticos antes de realizar una inversión. Esto lo logran ajustando las entradas de efectivos esperadas de un proyecto con el fin de considerar la posibilidad de interferencia política o utilizando tasas de descuento ajustadas al riesgo. En general es mucho mejor ajustar de manera subjetiva los flujos de efectivo de cada proyecto individual al riesgo político que realizar un ajuste general de todos los proyectos. 6. CONCLUSIONES Sobre una base puramente teórica, el VPN es la técnica más apropiada para la elaboración de presupuestos de capital. La utilización del VPN supone que cualquier entrada de efectivo intermedia generada por una inversión se reinvente al costo de capital de la empresa. Debido a que el costo de capital suele representar una estimación razonable de la tasa a la que la empresa podría reinvertir las entradas de efectivo intermedias, el uso del VPN, cuya tasa de reinversión es más conservadora y realista, es el más adecuado para evaluación de proyectos. Los proyectos reales involucran algún grado de flexibilidad futura, por lo tanto, no pueden ser evaluados correctamente con las técnicas tradicionales del Valor Presente Neto (VPN) o de la tasa interna de retorno (TIR). La regla del VPN es óptima cuando la oportunidad de inversión es del tipo "ahora o nunca", o cuando el proyecto de inversión es completamente reversible. En la práctica, sin embargo, pocas inversiones son del tipo "ahora o nunca". No sólo porque los inversionistas tienen el derecho a decidir si invertir o no, sino porque además tienen el derecho a decidir cuándo hacerlo en un nuevo proyecto. Este segundo derecho, por lo tanto, es una opción a retrasar la inversión y es una alternativa real, a diferencia de una alternativa financiera (americana). También hay que tener presente que pocas inversiones son completamente reversibles. La puesta en marcha de un nuevo proyecto siempre involucra costos hundidos, los cuales no son recuperados si el proyecto es abandonado.

MÉTODOS DE DECISIÓN Y LA TIR

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Definición: Son los mecanismos que utiliza el decisor para analizar flujos de caja libre hacia le futuro que no siempre presentan dominación, esto es, que los ingresos de una alternativa sean siempre superiores a los de otra y los egresos de esta sean mayores que los de la primera, con el objeto e comparar las cifras de cada una de ellas. Una forma de hacerlo es utilizar el concepto de equivalencia, para llevar los flujos de caja libre a un período determinado y allí si comparar las cifras. Estos métodos tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo, los más conocidos son: ✓ Valor Presente Neto (VPN) ✓ Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) ✓ Relación Beneficio Costo (RB/C)

Valor Presente Neto: Mide el remanente en pesos de hoy después de descontar la inversión (o el préstamo que le hace el inversionista al proyecto) y el interés (calculado a la tasa de descuento) que debe devolver el proyecto al inversionista. En otras palabras, es el monto por el cual aumenta la riqueza del decisor después de haber llevado a cabo la alternativa que se estudia. El VNP, por lo tanto, permite establecer mecanismos que aumenten o maximicen el valor de la firma. Relación Beneficio/ Costo (RB/C): Es la relación entre los beneficios y los costos o egresos de un proyecto. Los beneficios se definen como el valor presente de los flujos netos de caja, cuando estos son positivos, Los costos se definen como el valor presente de los flujos netos de caja, cuando estos son negativos. TASA INTERNA DE RENTABILIDAD (TIR) Definición: Son todos los ingresos por encima de la inversión, media en términos porcentuales. Es la tasa de interés que hace equivalente los ingresos netos con los egresos netos. La tasa interna de rentabilidad es un método que tiene en cuenta el cambio del dinero en el tiempo, como una medida porcentual de la magnitud de los beneficios que le reporta un proyecto a un inversionista.

Análisis de la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) Vs. Valor Presente Neto (VPN).

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Para entender este concepto conviene definir el valor presente neto (VPN) como el valor que recibe en exceso un inversionista sobre su inversión, después de que se le ha descontado el interés de la tasa de descuento. Este cálculo se realiza fijando una tasa de interés, de modo que un VPN positivo a una determinada tasa de interés, indica que el inversionista recibe del proyecto su inversión, un interés sobre su dinero y una cantidad adicional. Ese interés y cantidad adicional que recibe el inversionista es la totalidad de los beneficios que le reporta el proyecto. De modo que cuando el Valor Presente Neto (VPN) es igual a cero, la tasa de interés a la cual esto ocurre es una medida de la totalidad de los beneficios que produce la inversión, mientras se encuentran invertidos en ese proyecto. A esta tasa de interés se le denomina Tasa Interna de Rentabilidad. Esto se puede visualizar como la tasa de descuento de un decisor que hace que el Valor Presente Neto a esa tasa sea igual a cero. Representación gráfica del Valor Neto y de la Tasa Interna de Rentabilidad.

Curva del VPN

N PV

4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0

0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0% 18,0% 20,0% Tasa de interés en %

Lo que representa el VPN y la TIR se observa en el grafico anterior en donde se muestra la relación del VPN y la tasa de interés utilizando un plano cartesiano, representando en el eje horizontal los valores de la tasa de interés y en el vertical los valores del VPN. Se relaciona cada valor de i con su correspondiente VPN formando la curva del VPN. La TIR es la tasa de interés donde la curva del VPN corta el eje horizontal, es decir para un VPN =0, la TIR es de 18%.

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Los ingresos de un proyecto se pueden descomponer en tres partes: ✓ El valor de la inversión que debe devolver el proyecto ✓ El valor de lo que ya se ganaba en su alternativa, que le permitió definir el costo de oportunidad, o lo que paga la firma por haber tenido que prestar el dinero. ✓ El remanente.

La suma del remanente y del valor que ya se ganaba en su alternativa o costo de oportunidad es lo que produce el proyecto por encima de la suma invertida. Este valor medido como una tasa de interés es lo que hace que le valor presente neto sea igual a cero, es decir la TIR.

Remanente

Cuando se lleva al período cero Es el interés que reconoce el proyecto por el préstamo de la inversión costohaber recibido del

capital) Es la devolución que hace el proyecto del

Costo del dinero descuento: CostoSe pueden presentar las oportunidad o siguientes posibilidades:

Inversión dinero recibido

para hacer la inversión

Expresado como un porcentaje es la TIR

es el VPN

✓ Cuando el remanente es positivo entonces la TIR es mayor que la tasa de descuento. ✓ Cuando el remanente es cero la TIR es igual a la tasa de descuento. ✓ Cuando lo correspondiente al costo del dinero más el remanente es menor que los intereses de la tasa de descuento entonces la TIR es menor que la tasa de descuento.

Ecuación de la TIR

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La TIR se puede calcular resolviendo la siguiente ecuación: Ij Ej ƒ-------- - ƒ---------- = 0 (1+i)j (1+i)j

Ij: Ingreso en el periodo j Ej: Egreso en el periodo j I: Tasa de descuento. j: Periodo. Esta ecuación se resuelve por prueba y error. Para calcularla se define el valor presente neto a una tasa de interés determinada, si el VPN resulta ser positivo se utiliza una tasa de interés mayor hasta que el VPN sea igual a cero. Si el primer cálculo indica que el VPN es negativo se utiliza una tasa de interés menor, hasta encontrar un VPN igual a cero. Se puede aproximar el valor interpolando linealmente entre dos tasas de interés que se encuentren suficientemente cercanas entre si y que produzcan VPN de signo contrario. Aplicación en Excel.

Para el cálculo de la función TIR (valores, estimar) se incluye en el rango de valores todo el flujo de caja y es necesario que existan valores positivos y negativos. El argumento Estimar es opcional como se puede apreciar en la figura y en caso de omitirse, el Excel asume una tasa inicial del 10%.

La TIR solo involucra las condiciones particulares de un proyecto y no se ve afectada por la subjetividad del inversionista. Sin embargo, presenta dificultades de orden matemático que llevan a desconfiar de los resultados que arroje.

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Como se aprecia, ante el mismo flujo de caja la función TIR arroja dos resultados diferentes, dependiendo del valor que se utilice en el argumento Estimar. Esta situación hace que sea de mucho cuidado la utilización de esta función pues puede llevar a conclusiones erróneas. Por otra parte, la tasa interna de retorno no tiene en cuenta los costos de financiación de los egresos que se generan para llevar a cabo la inversión ni las ganancias por reinvertir los ingresos que se deriven de la misma. Es decir que solo está mostrando la rentabilidad que se obtendrá por mantener en un negocio el saldo no recuperado de la inversión inicial, para resolver esta dificultad se utiliza otra forma de calcular la TIR que se ha llamado la Tasa Verdadera de Rentabilidad (TVR) o la Tasa Interna de Rendimiento Modificada (TIRM).

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Devuelve la tasa interna de rentabilidad de un flujo de caja periódico teniendo en cuenta el costo en que se incurre para financiar los egresos del negocio y el beneficio obtenido por la reinversión de los ingresos que genera la inversión. TIRM (valores, tasa_financiamiento, tasa_reinversión)

La TIR modificada está mostrando cuál será la rentabilidad del proyecto para un inversionista en particular al relacionar el ingreso total que producirá (valor futuro de los ingresos) y con el monto que es necesario tener disponible hoy (valor presente de los egresos) para poder llevarlo a cabo.

El resultado que arroja la función TIRM es inferior al que se obtiene con la función TIR, pues esta última solo refleja las características del proyecto, mientras que la modificada incluye la subjetividad del inversionista al tener en cuenta el destino que dará a los recursos que va obteniendo del proyecto, tal como se aprecia a continuación:

Devuelve la tasa interna de rentabilidad de un flujo de caja periódico teniendo en cuenta el costo en que se incurre para financiar los egresos del negocio y el beneficio obtenido por la reinversión de los ingresos que genera la inversión.

TIR.NO.PER (valores, fechas, Estimar). Devuelve la tasa interna de retorno para un flujo de caja que no tiene periodicidad constante.

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Con esta función se resuelve el limitante de la periodicidad constante que se ha mencionado para la función TIR. Es importante tener en cuenta dos aspectos en el cálculo de la TIR no periódica: Primero, la tasa de interés resultante está expresada en términos nominales anuales y siempre se utiliza para los cálculos el año de 365 días

Segundo, en el argumento valores se debe incluir todo el flujo de caja, no solo los valores que se encuentran en períodos futuros. La evaluación financiera consiste en la proyección y análisis del flujo de efectivo de un proyecto. Las herramientas de análisis son bien conocidas en textos y cursos que se dictan sobre proyectos; las proyecciones, por su parte, son particulares de cada proyecto y solo se pueden hacer aceptablemente si se conoce el negocio que se está proyectando. Sin embargo, como es en estas proyecciones donde radica el éxito de la evaluación de proyectos, en esta parte se mostrarán las facilidades que ofrece el Excel para hacer proyecciones de flujos de efectivo. El trabajo de las proyecciones consiste en saber cuándo y en qué cuantía se presentarán los ingresos y egresos de los proyectos, teniendo en cuenta que dependen de innumerables variables. No obstante, se deben tomar las variables más representativas del negocio y trabajarlas como parámetros de entrada, de manera que sea posible modificarlas fácilmente y así facilitar el análisis.

Regla de Decisión de la TIR Igual que le VPN la TIR es un modelo matemático y normativo que dice lo siguiente: ✓ Si la TIR es mayor que la tasa de descuento se debe aceptar. ✓ Si la TIR es igual a la tasa de descuento, se debe ser indiferente. ✓ Si la TIR es menor que la tasa de descuento se debe rechazar. Esta regla de decisión coincide con la del VPN par aceptar o rechazar alternativas.

Clases de tasa Interna de Rentabilidad. Tasa Interna de Rentabilidad Ponderada (TIRP)

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Es un método que involucra explícitamente las suposiciones del VPN en el cálculo de rentabilidad. Con este procedimiento se elimina la contradicción entre el VPN y la TIR, así mismo, sirve para eliminar el problema de las múltiples TIR. Los proyectos de inversión se pueden componer de dos partes: una que se encuentra invertida a la tasa interna de rentabilidad generalizada y otra parte que se halla invertida a la tasa de oportunidad (tasa de descuento). Esto conlleva a calcular una tasa de rentabilidad que pondera las dos partes de que se compone cada inversión. Los fondos invertidos a cada tasa de rentabilidad indicarían el peso de cada una de ellas. Esta ponderación se obtiene calculando la TIR del flujo de caja compuesto de las

dos inversiones. 1/n

VFI + VF K-I TIRP = ------------------ -1 K TIRP = Tasa interna de rentabilidad ponderada. VF1 = Valor futuro de los fondos reinvertidos a la tasa de descuento. VF k-I = Valor futuro del excedente invertido a la tasa de descuento. I = Inversión inicial. K = Cantidad de dinero disponible.

La TIR Ponderada es sólo un índice para ordenar o seleccionar alternativas; no indica valores de rentabilidad del dinero en determinada alternativa.

Tasa Interna de Rentabilidad Incremental. Método obsoleto para eliminar la contradicción entre el VPN y TIR. Consiste en calcular la TIR del flujo que resulte de restar el flujo de caja de una alternativa de otra; si la TIR incremental es mayor que la tasa de descuento, entonces la alternativa de la cual se restó la otra, es buena. Por ejemplo, si TIR A-B es mayor que la tasa de descuento, entonces se justifica invertir una suma extra en A, por lo tanto, A es mejor que B. Sirve para detectar cual es la tasa de interés en la cual la decisión de escogencia entre dos alternativas mutuamente excluyentes se cambia. El cálculo hay que hacerlo por pares alternativas.

Múltiples Tasas Internas de Rentabilidad. Una inversión puede ser de tipo convencional o no convencional. Una inversión de tipo convencional es aquella que tiene uno o más períodos de beneficios después de uno o más períodos de inversión. Una inversión es no convencional cuando tiene períodos alternados de inversión y periodos de beneficios.

39 Convencional

No Convencional

En las gráficas anteriores, las flechas hacia abajo significan un flujo neto de fondos identificable con un sacrificio de recursos y las flechas hacia arriba significan un flujo neto de fondos identificable con un beneficio.

La TIR no es más que una de las raíces de un polinomio de grado (n), ya que lo que se busca es aquel valor de (i) para el cual el VPN de una inversión es igual a cero. Matemáticamente se puede establecer que un polinomio de grado (n), puede presentar los siguientes casos: ✓ No existe raíz real para el polinomio. ✓ Existe una raíz real para este polinomio. ✓ Existen múltiples raíces reales. Este problema de múltiples TIR se elimina con la Tasa Interna de Rentabilidad Ponderada.

Tasa Mínima atractiva de Retorno (TMAR) Es la tasa un poco más alta a la cual normalmente el inversionista realiza sus inversiones. Si la TMAR igual a la tasa del inversionista este seguirá realizando sus inversiones normales, para que acepte un nuevo proyecto debe ofrecérsele una tasa mayor para que compense el riesgo de un proyecto nuevo. Por otra parte, la tasa del inversionista debe ser superior a la inflación porque si el inversionista coloca su dinero por debajo de la inflación está obteniendo una rentabilidad real negativa. Ese excedente sobre la tasa del inversionista se denomina el premio al riesgo o SPREAD. En general se concluye que si la TIR es mayor a la TMAR el proyecto es bueno y si la TIR es menor que la TMAR el proyecto no es aconsejable. La TIR + R (Tasa Interna de Retorno con Reinversión) Cuando un proyecto genera unos ingresos, y esos ingresos son reinvertidos, la tasa que se calcula d este proyecto incluido la reinversión se denomina TIR con reinversión.

Tasa Verdadera de Rentabilidad (TVR) o Tasa de Rendimiento Modificada (TIRM)

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Devuelve la tasa interna de rentabilidad de un flujo de caja periódico teniendo en cuenta el costo en que se incurre para financiar los egresos del negocio y el beneficio obtenido por la reinversión de los ingresos que genera la inversión. El principio en que se basa esta función es el del valor del dinero en el tiempo, que se desglosa en los dos puntos siguientes: • Los egresos en que se incurre durante la vida de un proyecto tienen un costo de financiación por que el inversionista los debe reunir ahorrando, tomándolos en

préstamo o retirándolos de otra inversión, por lo tanto, este costo debe tenerse en cuenta en el cálculo de la rentabilidad de un proyecto. Para ello, los egresos del proyecto se descuentan al período cero (o se traen a valor presente) con una tasa de interés que refleje el costo de financiación de los recursos, representada por el argumento tasa _ financiamiento. El valor presente de los egresos se calcula con una tasa de descuento prudente (igual a la tasa que rinden los depósitos normales de la empresa) con el fin de saber en pesos de hoy cuánto se requiere depositar en una cuenta para reunir los desembolsos que en cada período requiere el proyecto

• Los ingresos que recibe el inversionista durante la vida del proyecto pueden ser reinvertidos en otros negocios o en el mercado financiero. Para reconocer este proceso, los ingresos se llevan a valor futuro con una tasa de interés que refleje la tasa de oportunidad del inversionista, pues se supone que los dineros liberados por el proyecto se pueden reinvertir en los negocios a que normalmente tiene acceso el inversionista y no al rendimiento que genera este proyecto en particular. La tasa de oportunidad está representada por el argumento tasa _ reinversión

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La TIR modificada está mostrando cuál será la rentabilidad del proyecto para un inversionista en particular al relacionar el ingreso total que producirá (valor futuro de los ingresos) y con el monto que es necesario tener disponible hoy (valor presente

de los egresos) para poder llevarlo a cabo.

El resultado que arroja la función TIRM es inferior al que se obtiene con la función TIR, pues esta última solo refleja las características del proyecto, mientras que la modificada incluye la subjetividad del inversionista al tener en cuenta el destino que dará a los recursos que va obteniendo del proyecto. Devuelve la tasa interna de rentabilidad de un flujo de caja periódico teniendo en cuenta el costo en que se incurre para financiar los egresos del negocio y el beneficio obtenido por la reinversión de los ingresos que genera la inversión.

APLICACIONES REALES EN EL SECTOR FINANCIERO. En el sector financiero se utiliza cuando se pide prestado dinero, la tasa de interés se aplica al saldo insoluto de tal manera que el monto total del crédito y los intereses quedan cancelados exactamente con el último pago. Si alguien presta dinero para un proyecto o invierte en él, existe un saldo no recuperado en cada período de tiempo. La tasa de interés es el retorno sobre este saldo no recuperado de tal manera que el crédito total y los intereses se recuperan exactamente con el último ingreso. La tasa de retorno define ambas situaciones. Dado lo anterior, podemos definir la tasa interna de retorno como la tasa de interés pagada sobre los saldos insolutos de dinero tomado en préstamo o la tasa de interés ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión (préstamo), de tal manera que el pago o el ingreso final, lleva el saldo a cero, considerando el interés (ganado o adeudado).

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EJERCICIOS DESARROLLADOS Ejercicio 1 Si se invierten $5.000 hoy en un fondo del cual se espera que produzca $100 anuales durante 10 años y $7.000 al final de los 10 años ¿cuál es la tasa de retorno? Solución. Primero: se dibuja el flujo de caja. $7.000 $100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P = $5.000 Segundo: se establece la ecuación de la tasa de retorno. 0= -5.000 + 100(P/A,i%,10) + 7.000(P/F,i%,10) Tercero: Se seleccionan los valores de (i) por ensayo y error, hasta lograr el balance la ecuación. P = $5.000 F = 10*(100) +7.000 F = $8.000 n = 10 Ahora podemos plantear: 5000 = 8.000 (P/F,i%,10) (P/F,I%,10) = 0.625 La tasa de interés está próxima a 5% utilizamos 5 %y 6% en la ecuación. 0 = -5.000 + 100(P/A,5%,10) + 7.000(P/F,5%, 10) 0 = -5000+ 100*7.7217 +7000*0.6139 0 ζ $69.46 Estamos pasados del lado positivo, lo cual indica que los ingresos reportan más del 5%, se tomará i = 6%, así:

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0 = -5.000+100(P/A,6%,10) + 7.000(P/F,6%,10) 0 = -5.000 +100*7.3601 +7.000*0.5594 0 ζ -348.19 Como la tasa de interés del 6% es muy alta interpolamos entre 5% y 6%. i = 5+0.16= 5.16% (TIR)

Ejercicio 2 Una familia compra una casa vieja por $25.000 con la idea de hacerle mejoras y luego venderla para negocio. En el primer año en que compraron la casa gastaron $5000 en mejoras. En el segundo año gastaron $1.000 y $800 en el tercero. Además, pagaron impuestos sobre la propiedad a $500 anuales, vendiéndola al final de los 3 años en $35.000 ¿qué tasa de retorno obtuvieron en su inversión?

Solución. Primero se dibuja el diagrama de flujo. $35.000 0123 $500 $500 $500 $5.000 $1.000 $800

Segundo se establece la Ecuación de retorno. O= -25.000+35.000(P/F,i%,3)-1.300(P/F,i%,3)-1500(P/F,i%,2)5.500(P/F,i%,1) Tercero: Se seleccionan los valores de (i) por ensayo y error, hasta lograr el balance la ecuación. P = $25.000 F = 35.000 –5.500-1.500-1.300 F = $26.700 n=3 Ahora podemos plantear: 25.000 = 26.700 (P/F,i%,3) (P/F,I%,3) = 0.9363 44

La tasa de interés está próxima a 2% utilizamos 2 %y 1.5% en la ecuación. 0= -25.000+35.000(P/F,2%,3)-1.300(P/F,2%,3)-1500(P/F,2%,2)-5.500(P/F,2%,1) 0 = -25.000+ 35.000*0.9423 –1.300*0.9423-1500*0.9612-5.500*0.9804 0 ζ $-78.94 Estamos pasados del lado negativo, lo cual indica que los ingresos reportan menos del 2%, se tomará i= 1.5%, así: O=-25.000+35.000(P/F,1.5%,3)-1.300(P/F,1.5%,3)-1500(P/F,1.5%,2)5.500(P/F,1.5%,1) 0 ζ 352.66 Interpolamos entre 1.5% y 2%.

i= 1.5+0.41= 1.91% (TIR)

Ejercicio 3 Un terreno con una serie de recursos arbóreos produce por su explotación $100.000 mensual, al final de cada mes durante un año; al final de este tiempo, el terreno podrá ser vendido en $800.000. Si el precio de compra es de $1.500.000, hallar la tasa interna de retorno TIR. Solución. Primero: se dibuja el flujo de caja. $800.000 $100.000

0 1 2 3 12 P = $1.500.000

Segundo: se establece la ecuación de la tasa de retorno. 0= -1.500.000 + 100.000(P/A,i%,12) + 800.000(P/F,i%,12)

45

Tercero: Se seleccionan los valores de (i) por ensayo y error, hasta lograr el balance la ecuación. P = $1.500.000 F = 100.000*(12) +800.000 F = $2.000.000 n = 12 Ahora podemos plantear: 1.500.000 = 2.000.000 (P/F,i%,12) (P/F,I%,12) = 0.75 La tasa de interés está próxima a 3% utilizamos 3 %y 4% en la ecuación. 0 = -1.500.000 + 100.000(P/A,3%,12) + 800.000(P/F,3%, 12) 0 = -1.500.000+ 100.000*9.9540 +800.000*0.7014 0 ζ $56.520

Estamos pasados del lado positivo, lo cual indica que los ingresos reportan más del 3%, se tomará i = 4%, así: 0 = -1.500.000 + 100.000(P/A, 4%, 12) + 800.000(P/F,4%, 12) 0 = -1.5000.000 +100.000*9.3851 +800.000*0.6246 0 ζ -61.810 Como la tasa de interés del 4% es muy alta interpolamos entre 3% y 4%. i= 3+0.48= 3.48% (TIR)

Ejercicio 4 Una compañía le propone al gobierno construir un puente cuyo costo inicial es de $1.000.000 y necesita de $100.000 al final de cada año como costo de mantenimiento y $500.000 por la cuota de amortización, con lo cual al final de este tiempo el puente será propiedad del estado si la TIO de la compañía es de 2,5% efectivo mensual se pide determinar cuál es la verdadera rentabilidad del proyecto.

46

Solución. Primero: se dibuja el flujo de caja. $500.000

012345

P= $1.000.000 $100.000 Puesto que los $500.000 y los $100.000 se encuentran enfrentados en el mismo periodo de tiempo la GRÁFICA se puede simplificar, así: $400.000

012345

P = $1.000.000

Segundo: se establece la ecuación de la tasa de retorno. 0= -1.000.000 + 400.000(P/A,i%,5) Tercero: Se seleccionan los valores de (i) por ensayo y error, hasta lograr el balance la ecuación. P = $1.000.000 F = 400.000*(5) F = $2.000.000 n=5 Ahora como la TIO es del 2.5% efectivo mensual, equivalente al 30% MV, utilizamos esta taza: La tasa de interés está próxima a 30% utilizamos 30 %y 28% en la ecuación. 0= -1.000.000 + 400.000(P/A,30%,5) 0 = -1.000.000+ 400.000*2.4356 0 ζ $-25.760 47

Estamos pasados del lado negativo, lo cual indica que los ingresos reportan menos del 30%, se tomará i= 28%, así: 0= -1.000.000 + 400.000(P/A,28%,5) 0 = -1.000.000+ 400.000*2.53 0 ζ $12.000 Interpolamos entre 30% y 28%. i= 28+0.64= 28.64% (TIR)

Ejercicio 5 Suponga que una persona adquirió un bono por la cantidad de $1.000.000 Si la vida del bono es de 5 años al final de los cuales se recupera el valor de la inversión y los intereses que se ganan al final de cada año son de $200.000, cual es la TIR que se obtiene en esta inversión. Solución.

Primero: se dibuja el flujo de caja. $1.000.000 $200.000

012345

P = $1.000.000

Segundo: se establece la ecuación de la tasa de retorno. 0= -1.000.000 + 200.000(P/A,i%,5) + 1000.000(P/F,i%,5) Tercero: Se seleccionan los valores de (i) por ensayo y error, hasta lograr el balance la ecuación. P = $1.000.000 F = 200.000*(5) +1.000.000 F = $2.000.000 n=5 Ahora podemos plantear: 1.000.000 = 2.000.000 (P/F,i%,5)

48

(P/F,I%,5) = 0.5 La tasa de interés está próxima a 15% utilizamos 3 %y 4% en la ecuación. 0= -1.000.000 + 200.000(P/A,20%,5) + 1000.000(P/F,20%,5) 0 = -1.000.000+ 200.000*2.9906 +1.000.000*0.4019 0 ζ $20 Estamos pasados del lado positivo, lo cual indica que los ingresos reportan más del 20%, se tomará i= 22%, así: 0= -1.000.000 + 200.000(P/A,22%,5) + 1000.000(P/F,22%,5) 0 = -1.000.000+ 200.000*2.8636 +1.000.000*0.3700 0 ζ $-57.280 Como la tasa de interés del 4% es muy alta interpolamos entre 3% y 4%. i= 20+0.07= 20.07% (TIR)

Ejercicio 6 Un inversionista de bienes raíces compra una propiedad en $6.000 y la vende 17 años más tarde en $21.000 los impuestos sobre la propiedad fueron de $80 el primer año, $90 el segundo y $10 más cada año hasta que fue vendida. ¿Cuál es la Tasa de retorno de la inversión? Solución. Primero: se dibuja el flujo de caja. $21.000

0 1 2 3 4 5 …………12 ………………………………… 17

80 90 P= $6.000

49

Segundo: se establece la ecuación de la tasa de retorno. 0= 21.000(P/F,i%,17) - 80(P/A,i%,17) - 10(P/G,i%,17)

Tercero: Se seleccionan los valores de (i) por ensayo y error, hasta lograr el balance la ecuación. P = $6.000 F = 21.000-80*17-1360 F = $18280 n = 17 Ahora podemos plantear: 6000 = 18.280 (P/F,i%,5) (P/F,I%,5) = 0.3282 La tasa de interés está próxima a 7% utilizamos 7 %y 6% en la ecuación. 0=-6000+ 21.000(P/F,7%,17) - 80(P/A,7%,17) - 10(P/G,7%,17) 0 = -6.000+ 21.000*0.3166 –80*0.7632-10*62,592 0 ζ $-758,376

Estamos pasados del lado negativo, lo cual indica que los ingresos reportan menos del 7%, se tomará el un i= 6%, así: 0=-6000+ 21.000(P/F,6%,17) - 80(P/A,6%,17) - 10(P/G,6%,17) 0 ζ $267.206 i= 6+0.26054= 6.2605% (TIR)

Ejercicio 7 Un viejo chofer de taxi descubre la posibilidad de comprar un vehículo en $50.000, el cuál cree que le producirá ingresos netos $10.000 anuales durante los 5 años siguientes a su compra. Al final de este periodo espera vender el taxi en $25.000, ¿nuestro amigo desea saber que tan buen negocio es el que tiene entre manos?

50

Solución. Primero: se dibuja el flujo de caja. $25.000 $10.000

012345 P= $50.000

Segundo: se establece la ecuación de la tasa de retorno. 0=- 50.000+25000(P/F,i%,5) + 10.000(P/A,i%,5) Tercero: Se seleccionan los valores de (i) por ensayo y error, hasta lograr el balance la ecuación. P = $50.000

F = 25.000+10.000*5 F = $75.000 n=5 Ahora podemos plantear: 50.000 = 75.000 (P/F,i%,5) (P/F,I%,5) = 0.67 La tasa de interés está próxima a 13% utilizamos 13 %y 12% en la ecuación. 0=- 50.000+25.000(P/F,13%,5) + 10.000(P/A,13%,5) 0=- 50.000+25.000*0.5428 + 10.000*3.5172 0 ζ $-1.258 Estamos pasados del lado negativo, lo cual indica que los ingresos reportan menos del 13%, se tomará el un i= 12%, así: 0=- 50.000+25.000(P/F,12%,5) + 10.000(P/A,12%,5) 0=- 50.000+25.000*0.5674 + 10.000*3.605 0 ζ $235 i= 12+0.16= 12.16% (TIR)

51

CONCLUSIONES • La TIR es un método matemático que tiene en cuenta el cambio del valor del dinero en el tiempo. • La TIR es una medida porcentual de la magnitud de los beneficios que reporta un proyecto a un inversionista.

• La TIR indica la rentabilidad del dinero mientras este se encuentra invertido en el proyecto. • La TIR es una tasa de interés que descuenta una serie de flujos anuales de efectivo de tal manera que el valor presente neto (en el año cero) de la serie sea igual a la inversión inicial. • La TIR es la tasa de interés que hace equivalente los ingresos netos con los egresos netos. • La suma del remanente y del valor que ya se ganaba en su alternativa o costo

de oportunidad es lo que produce el proyecto por encima de la suma invertida. Este valor medido como una tasa de interés es lo que hace que le valor presente neto sea igual a cero, es decir la TIR. • La TIR es la tasa de interés donde la curva del VPN corta el eje horizontal, es decir para un VPN =0.

MANEJO DE CALCULADORA FINANCIERA 1.- INDIQUE CUALES TECLAS SE UTILIZAN PARA: GUARDAR DATOS EN MEMORIA INVESTIGAR MEMORIA SOBRANTE REGRESAR DENTRO MENU BORRAR PARCIAL LA LINEA DE OPERACIÓN BORRAR LA PANTALLA Y EL MENU VIGENTE DEFINIR UN NUMERO DE DECIMALES

52

MODIFICAR EL IDIOMA DEL MENU INVESTIGAR MAS DECIMALES TEMPORALMENTE PARA DAR CONTRASTE A LA PANTALLA PARA CALCULAR LOGARITMOS CAMBIAR DE SIGNO UN NUMERO IMPRIMIR INFORMACIÓN EN PAPEL REGRESAR AL MENU PRINCIPAL DESDE CUALQUIER PUNTO BORRAR LETRAS O NUMEROS INSERTAR UN ESPACIO EN UNA FORMULA

53

2.- DETERMINE QUE REALIZA CADA CONJUNTO DE TECLAS: AMARILLO - INPUT

DISP – FIJAR

MATH – TRIGO

AMARILLO - TECLA X

NUMERO – STO - 1

RCL - 5

ON (SOSTENIDO) - +

AMARILLO – EXIT

AMARILLO – DISP – INTL – ESPAÑOL EXIT

54

3.- DETERMINE QUE COMPRENDE CADA COMPONENTE DEL MENU PRINCIPAL:7 FIN

COM

SUMA

CALEN

RESOL

TEXTO

4.- MANEJO DE LA OPCION CALEN: CUANTOS DIAS REALES HAY ENTRE EL 18 DE MARZO DE 1954 Y EL DIA DE HOY ________________________ CUANTOS DIAS COMERCIALES EXISTEN ENTRE 9 DE AGOSTO DE 1996 Y EL DIA DE HOY _____________________

QUE DIA SE INVIRTIÓ UN CAPITAL POR EL CUAL EL 25 DE NOVIEMBRE DEL 2000 SE LIQUIDARON 317 DIAS DE INTERÉSES_________________________ SI INVIERTO EL 2 DE ENERO DEL 2001 UN CDT A 618 DIAS CUAL ES LA FECHA DE VENCIMIENTO DEL TITULO ________________________________ CUANTOS AÑOS BISIESTOS HAY ENTRE 1993 Y EL 2004_________________ CUANTOS DIAS FALTAN PARA EL 31 DE DICIEMBRE DEL 2004____________ CUANTOS DIAS VINCULADO A LA EMPRESA TIENE _____________________ CUANTOS

DIA

DE

VIDA

TIENE

_______________________________________

MANEJO DE LINEAS DE TIEMPO VALOR

55

REPRESENTE GRÁFICAMENTE UNA INVERSIÓN (VP) EN UN CDT QUE SE REALIZÓ EL 20 DE ENERO DEL 2020 Y SE REDIME (VF) EN 118 DIAS A UNA TASA DE INTERÉS DETERMINADA.

REPRESENTE EN UN GRÁFICO UN CREDITO (VP) A 24 CUOTAS (P) MENSUALES A UNA TASA DE INTERÉS.

REPRESENTE UN AHORRO (VF) DE 8 CUOTAS (P) MENSUALES QUE CRECEN EN UN 5% EN UN FONDO QUE RECONOCE UN INTERÉS.

REPRESENTE GRÁFICAMENTE UN CRÉDITO DE VIVIENDA CON CUOTAS PAGADERAS MENSUALMENTE, QUE CRECE CADA AÑO EN UN 15% Y ES DE TASA DE INTERÉS FIJA.

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VALOR DE DINERO EN EL TIEMPO - INTERÉS SIMPLE 1. Una Entidad Financiera nos hace un préstamo hoy para capital de trabajo de $ 15.000.000, a un trimestre, con el 12% de interés simple. Al entregarnos el dinero nos descuenta un 3% de comisión sobre el principal para cubrir el costo del estudio del crédito. ¿A qué tasa de interés simple nos sale costando el préstamo?

2. Si usted invierte hoy, 15 de junio de 2019 $ 4.800.000 en una Financiera al 10% simple, ¿cuál será el valor futuro de esa suma al 13 de noviembre del próximo año bajo la modalidad de interés comercial?

3. Un amigo está en apuros de plata y necesita que usted le compre, hoy 20 de marzo 2019, un documento más sus intereses por $12.000.000, con vencimiento el 7 de

octubre del año entrante. Si su tasa de oportunidad es del 12% simple, ¿En cuánto le compraría usted este documento?

4. Un amigo pasa por su oficina a ofrecer una ganga que consiste en que usted le compra a él hoy 30 de enero 2020, un reloj por $1.580.000 y él le garantiza que se la recompra el 27 de mayo del próximo año por $1.796.500. Si su tasa de

oportunidad es del 21 %, hace usted el negocio o no, atendiendo al criterio de rentabilidad.

5. ¿En cuántos días calendario se convierte un principal de $ 5.000.000 en un valor futuro de $ 6.000.000, a una tasa del 18% anual de interés simple?

6. Calcule el valor futuro con interés simple de $ 5.000.000 al 16% anual en 6 trimestres.

7. Hallar el descuento comercial simple de $ 1.750.000 al 18% anual en 7 meses. Y determinar el valor líquido o valor con descuento.

57

8. Si $ 570.000 se convierten en $ 700.000 al cabo de 18 meses. ¿Cuál es la tasa de interés simple pagada?

58

9. Si $ 500.000 se convierten en $ 600.000 con una tasa de interés simple del 18% anual. ¿Cuánto tiempo en meses debe transcurrir?

10. ¿Cuánto tiempo en semestres se requiere para que un capital se duplique al 2,5% mensual?

11. Un documento tiene valor de vencimiento de $ 900.000 el día 20 de Julio de 2019, un inversionista adquiere este documento el día 24 de mayo de 2019 mediante una operación de descuento al 15%. Está pensando en volver a venderlo al 16%. ¿En qué fecha deberá hacerse esta nueva transacción a fin de ganarse $ 18.500 en total?

12. Una comercializadora ofrece un descuento del 8% en ventas al por mayor, el 6% por pronto pago y el 2% por transporte. ¿Cuál debe ser el descuento adicional que puede ofrecerse a los empleados de la misma empresa para que el descuento total no sea superior al 18%.

59

13. Una deuda de $ 75.000, con vencimiento en 12 meses y otra de $x con vencimiento en 18 meses, van a cancelarse mediante dos pagos iguales de $50.000 c/u con vencimiento en 9 meses y 15 meses, respectivamente. Determinar el valor $x, con una tasa de interés del 12% suponiendo como fecha de análisis a los 9 meses.

14. Una empresa adquiere materia prima por un valor de $15.000.000 y conviene pagar el 15% anual de interés sobre el saldo. Si paga $5.000.000 4 meses después de la compra y $ 7.000.000 a los 9 meses de la compra. ¿Qué pago tendrá que hacer un año después de la compra, para liquidar totalmente el saldo?

15. Una empresa recibe el 30 septiembre un préstamo por $15.000.000 a una tasa de interés simple del 27% anual y un plazo de 450 días. Calcule el saldo en la fecha de vencimiento de la obligación, si se efectuaron los siguientes abonos el próximo año: el 15 de junio la suma de $5.000.000 el 18 de julio la suma de $4.500.000 el 23 de agosto la suma de $1.500.000

60

VALOR DE DINERO EN EL TIEMPO - INTERÉS COMPUESTO 1. ¿Cuál es el valor presente de $ 5.000.000 pagaderos dentro tres años, si los descontamos al 12% TV?

2. ¿Cuánto tiempo en trimestres tomará $ 3.000.000 para convertirse en $4.500.000, a una tasa del 9% SV.?

3. Si usted invierte en una Financiera, a una tasa de interés del 18% TV, $ 500.000 hoy, $ 1.000.000 dentro de 6 meses y $ 1.500.000 dentro de 12 meses. ¿Cuál será el valor acumulado dentro de año y medio?

4. ¿Cuál es el valor del dólar el 15 de agosto del 2020 si hoy tiene un valor de $3.368 y se espera una devaluación del 8%.

61

5. ¿Cuál es la tasa de devaluación efectiva si el 22 de enero del 2019 el dólar tenía un valor del $3146,99 y hoy está en $3371,45?

6. Una persona debe pagar $ 3.000.000 dentro de dos años y $ 5.000.000 dentro de 5

años. a. ¿Qué pago único cancelando las dos deudas podría hacer hoy? b. ¿Qué pago único cancelando las dos deudas podría hacer dentro de cinco años? Calcular los valores suponiendo una tasa de oportunidad del 9% SV.

7. El gerente de su compañía lo llama a usted y le dice: vamos a prestarle al doctor Salazar, hoy $ 15.000.000, al 18% compuesto trimestralmente. Arreglar un plan de pagos para que devuelva el capital con sus correspondientes intereses en cinco pagos semestrales sucesivos, pero con la condición de que el primer pago sea menor que el segundo y este sea menor que el tercero y así sucesivamente.

8. Hallar el valor presente de $ 20.000.000 al 12% MV, en 18 meses, 12 meses y 6 meses.

9. ¿Cuál es la tasa de interés que se requiere para duplicar un CDT en pesos en 60 meses? Suponga que la capitalización es:

62

A. Anual B. Semestral C. Trimestral D. Mensual

10. Un proyecto exige una inversión inicial de $ 680.000 y devolverá $800.000 en 2 años. Calcular la rentabilidad mes vencido que genera el proyecto.

63

11. Una persona debe $3.000.000, con vencimiento en 6 meses e interés del 18% capitalización trimestral. Si el documento es vendido 2 meses antes del vencimiento y el comprador desea ganar un interés del 2% mensual sobre el monto de su inversión, calcular el precio de compra.

12. A un inversionista le presentan 3 proyectos, donde puede invertir su dinero: a) Una compañía de préstamos ofrece duplicar el dinero invertido en 8 años. b) Una empresa de sistemas ofrece que, por cada $6.000.000 invertidos devolverá $ 7.500.000 en 36 meses. c) Un banco ofrece pagar el 8% MV., en depósitos a término fijo. ¿Cuál será la mejor alternativa de inversión de acuerdo con la rentabilidad?

13. Una empresa tiene dos deudas con un banco, la primera deuda es de $1.000.000 con interés del 28% MV, se adquirió hace 6 meses y hoy se vence; la segunda deuda por $2.000.000 al 21% MV, se contrató hace dos meses y vence en 8 meses, debido a la incapacidad de cancelar la deuda, la empresa propone al banco refinanciar su deuda, llegándose a una acuerdo entre las partes de la siguiente forma: hacer 3 pagos iguales con vencimiento en 6,9 y 12 meses con una tasa del 24% MV. ¿Cuál es el valor de cada pago?

64

14. Un electrodoméstico tiene un valor de contado de $1.000.000 y se debe financiar con dos pagos iguales en los meses 6 y 12. Hallar el valor de estos pagos, si la tasa de interés que se cobra es del 2% mensual.

15. ¿Cuánto se debe depositar hoy en una cuenta de ahorros que paga un interés del

2% mensual, para poder retirar $75.000 dentro de seis meses, $45.000 dentro de ocho meses, la mitad de lo depositado dentro de diez meses y aún se tenga un saldo de $300.000 dentro de doce meses?

16. Una obligación financiera que consta de 3 pagarés así: $100.000 para dentro de 4 meses, $250.000 para dentro de 1 año y $300.000 para dentro de 15 meses, se debe sustituir por un único pagare para dentro de diez meses. Si el interés es del 3% EM hallar el valor del nuevo pagaré.

65

17. Calcular el valor de contado de un activo que financiado se paga de la siguiente forma: una cuota inicial de $200.000, al final del mes 5 un pago igual a la tercera parte de su valor y al final del mes 7 un pago igual a la mitad de su valor. La tasa de interés que le cobraron fue del 3% mensual.

18. Por la compra de insumos una microempresa tiene pendiente con su proveedor los

siguientes pagos: $1.000.000 en 3 meses, $2.000.000 en 7 meses y $5.000.000 en 12 meses. Para mejorar su nivel de endeudamiento el gerente de la empresa le solicita su proveedor refinanciar la deuda por dos pagos: $3.000.000 hoy y el resto en un solo pago en el mes 6. Si los insumos fueron financiados a una tasa de interés del 2,1% mensual hallar el valor del pago.

19. Diana quiere comprar un Televisor nuevo que de contado cuesta $1.800.000 y se puede financiar en tres contados: $400.000 en dos meses y dos pagos iguales en los meses 6 y 9. Hallar el valor de los pagos si la tasa de interés a la que le financian es el 1.85% mensual.

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20. Alejandra adquiere un carro nuevo y se lo financiaron con cuota inicial del 10% del valor del carro y tres pagos en los bimestres 4, 8 y 12 por valor de $7.000.000 cada uno. Hallar el valor de contado del carro si lo financiaron a una tasa de interés del 17.15% NTV.

21. Para viajar a Europa una pareja requiere acumular $20.000.000 en 18 meses. Para

tal fin abren una fiducia que les renta el 12.5% NSV con un depósito inicial de $4.000.000. ¿Cuánto deben depositar en la fiducia en los meses 6 y 12 para poder lograr su objetivo? Fecha Focal mes 5º.

22. Una deuda había acordado pagarse con tres pagos así: $800.000 hoy, $1.200.000 en el mes 6 y $2.000.000 en el mes 14. Se decide entre las partes modificar el acuerdo de pago por un pago único en el mes 12. Calcular el valor de este pago si la tasa de interés es el 2,2% bimestral.

67

23. Hallar el valor del depósito con el que se abrió una cuenta de ahorros si en el trimestre 3 se retiran $150.000, en el trimestre 7 se retira la mitad de lo depositado, en el trimestre 15 se depositan $400.000 y se tiene en el trimestre 24 un saldo de $780.000. La tasa de interés a la renta la cuenta es el 11,9% efectivo anual.

24. Colombina S.A acordó pagar una obligación con 60 cuotas mensuales de $750.000 a una tasa de interés del 1,25% mensual. El nuevo vicepresidente financiero de la compañía desea disminuir el nivel de endeudamiento de la empresa y propone al banco modificar la serie de cuotas por tres pagos: $5.000.000 en el mes 6, $7.000.000 en el mes 18 una cuota final el mes 24. ¿Si el banco mantiene la misma tasa de interés cual es el valor de esa cuota?

68

CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS • ¿CUÁL ES LA VARIACIÓN LA UVR PARA EL ÚLTIMO AÑO?:_____________ • ¿CUÁL ES EL VALOR DE LA IB3 ESTA SEMANA?: ___________ • ¿CUÁL ES EL VALOR DE LA IB1 ESTA SEMANA?: ___________ • ¿CUÁL FUE EL INCREMENTO DEL IPC EN LOS ÚLTIMOS 12 MESES?: ____________ DETERMINE SI LA TASA ES EFECTIVA (E), NOMINAL (N) Y PERIÓDICA (P). COLOQUE UNA x. TASA 25% 2% MENSUAL

EA

Nominal

Per

20 TV 18 SA 22 EA 4.5% ANTICIPADA TRIMESTRAL 18% EA 7% SEMESTRAL 21 AV 19 ANUAL 22 MV 7% ANTICIPADA SEMESTRAL 20%

1. ¿CUÁL ES LA TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A LAS SIGUIENTES TASAS NOMINALES?:

69

A.- 18% TV _____________________ B.- 15% MV _____________________ C.- 8% SV _____________________ D.- 9% DV _____________________ E.- 12% AV _____________________ 2. CUAL ES LA TASA NOMINAL EQUIVALENTE A LAS SIGUIENTES TASAS EFECTIVAS: A.- 14% ____________________ TV B.- 20% ____________________ MV C.- 18% ____________________ AV D.- 15% ____________________ AV E.- 11% ____________________ SV 3. ENCUENTRE LA TASA EQUIVALENTE DE LAS SIGUIENTES TASAS NOMINALES: A.- 12% TV _______________ %TV B.- 10% MV _______________ %MV C.- 11% SV _______________ %CV

D.- 14% DV _______________ %SV E.- 11% AV _______________ %AV F.- 13% TV _______________ %MV G.- 14% CV _______________ %MV H.- 10% MV _______________ %CV I.- 19% CV _______________ %SV J.- 13% AV _______________ %AV 4. ¿CUÁL ES LA TASA EFECTIVA O NOMINAL DE LAS SIGUIENTES TASAS PRESENTADAS EN TÉRMINOS DE UVR?: A.- UVR + 9% _____________________ % B.- UVR + 8% _____________________ % C.- UVR + 7% _____________________MV% D.- UVR + 4% _____________________TV%

5. ¿CUÁL ES LA TASA EFECTIVA O NOMINAL DE LAS SIGUIENTES TASAS PRESENTADAS EN TÉRMINOS DE IB3?: A.- IB3 + 7 _____________ % B.- IB3 + 4 _____________ % C.- IB3 + 10 _____________ AV % D.- IB3 + 5 _____________ TV % E.- IB3 + 2 _____________ MV % 6. ¿CUÁL ES LA TASA EN TÉRMINOS DE UVR EQUIVALENTE A LAS SIGUIENTES?: A.- IB3 + 9 UVR +/- _________ % B.- IB3 + 17 UVR +/- _________ % C.- IB3 + 15 UVR +/- _________ % D.- IB3 + 13 UVR +/- _________ % E.- UVR + 14% IB3 +/- _________ % F.- UVR + 9% IB3 +/- _________ % G.- UVR + 10% IB3 +/- _________ %

7.- ¿CUÁL ES LA TASA EQUIVALENTE A LAS SIGUIENTES?:

70

A.- 1% MENSUAL IB3 +/- _________ % B.- 3% TRIMESTRAL UVR +/_________ % C.- 1.5 % MENSUAL VENCIDA _________ AV D.- UVR + 10% __________ TV E.- IB3 + 11 __________ MV F.- 2 % MENSUAL UVR +/- _________ % G.- IB1 + 10% IB3 +/_________ % 8.- UN CLIENTE DESEA SABER QUE TASA ES MÁS CONVENIENTE PARA OBTENER RECURSOS DE CREDITO: A.- UVR + 8% B.- IB3 + 7 C.- 12% TV D.- 13 % MV E.- 14 % EFECTIVA

9.- ¿Cuál es la tasa neta mes vencida de un CDT al IB3 + 2, utilice la IB3 de la semana?:

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10. ¿Cuál es la tasa real de un crédito otorgado a la IB3 + 8%. ¿Si las cuotas se cobran anualmente?

11. Un banco ofrece a sus clientes una tasa de IB3 + 5. ¿Cuál es la tasa equivalente en UVR que la corporación puede ofrecer?, ¿Cuál es la tasa efectiva?, ¿Cuál es la tasa en IB1?, ¿Cuál es la tasa equivalente mes vencida?

12. Una persona invirtió $1.000.000 el 1 de enero de 2020 y recibió un cheque con capital más intereses netos del último trimestre de $1.009.800 el 31 de diciembre pasado. ¿Qué tasa en términos de IB3 pagó el banco si se liquidaron y pagaron trimestre vencido los rendimientos correspondientes? (Suponga que la IB3 no cambio durante el plazo)

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13. ELABORAR EL CUADRO A CONTINUACIÓN. Suponga de UVR, la IB3, y la IB1 a la fecha de la elaboración del ejercicio. Y tome el IPC del año anterior. TASAS UVR IB3 MV IB1 AV TV Mensual Trimestral Semestral Anual BV SV DV(360) DV(365)

UVR + 14

IB3 + 12

24 MV

21 TV

IB1 + 2.5%

MV Bimestral EFECTIVA

PAGOS PERIODICOS IGUALES - ANUALIDADES – CUOTA FIJA

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1. Su Entidad Financiera hace un préstamo a un empleado por $24.000.000, a 12 meses, al 26.82% efectivo y pagadero también por mensualidades vencidas. Calcule el valor de las cuotas.

2. Hallar la cuota semestral de un préstamo de $ 12.000.000 al 24% TV en 3 años.

3. ¿Cuántas cuotas de $ 2.000.000 se requieren para acumular en capital de $ 12.000.000 si se coloca en ahorros que pagan el 24% TV?

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4. Hallar la tasa de interés TV cobrada por un préstamo de $ 9.000.000 si se pagan 20 cuotas trimestrales vencidas de $800.000. Presente su respuesta en términos de IB3.

5. Si recibo arriendo de $ 1.000.000 mensuales el primer día del mes durante 24 meses y lo invierto en una cuenta que me paga intereses del 18% capitalizable trimestralmente ¿Cuánto dinero tendré en la cuenta el final del trimestre 8?

6. Hace cinco años compre una casa pagando una cuota inicial del 25% y asumiendo un crédito hipotecario a 15 años, tasa de interés del 24% mes vencido pagadero en cuotas mensuales. Actualmente debo $ 48.000.000. ¿Cuál fue el precio original de la casa?

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7. Si conseguimos recursos con un plan que consiste en que recibimos en préstamo $30.000.000 hoy y los devolvemos pagando 15 cuotas mensuales vencidas de a $1.500.000 más un último pago de $10.000.000 al final de mes 18. ¿Cuál es el costo efectivo de este dinero?

8. Una compañía está en difícil situación económica y está haciendo planes para negociar sus deudas. Con el Banco X tiene pendiente una obligación por $ 1.850.000 mensuales, cuyo importe no ha podido cubrir en los últimos cinco meses, incluyendo una cuota que vence hoy. Esta deuda se extiende por seis meses, y está liquidada al 27% mes vencido. Adicionalmente tiene otra obligación por $ 10.500.000 ya incorporados los intereses, que se vencen dentro de 12 meses, liquidada al 32% trimestre vencido. Si la compañía está planeando la renegociación de obligaciones desea proponerle a la Corporación juntar el valor de esas dos deudas a hoy, sin que le cobren intereses de mora por la parte vencida, anular las obligaciones anteriores, y firmar un nuevo pagaré a una tasa del 28% trimestre vencido, pero pagando cuotas mensuales de $ 8.000.000. ¿Cuánto tiempo durará amortizándole a banco X la nueva deuda?

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9. Una empresa necesita comprar una máquina. La puede adquirir con una cuota inicial de 3.000.000 y doce pagos mensuales de $1.200.000 cada uno, haciendo el primer pago dentro de un año. Determinar el valor de contado de la máquina si la tasa de interés cobrada es el 37% E.A.

10. Usted depositó 100.000 cada mes durante dos años en una entidad que paga el 30% Nominal Mes Vencido; a partir del segundo año empieza a retirar $100.000 por mes vencido durante dos años; en los siguientes ocho trimestres deposita $500.000 en cada uno. Encuentre el acumulado total en la cuenta un año después del último depósito trimestral.

11. Para garantizar la educación universitaria de su hijo un padre de familia decide establecer un fondo con un aporte inicial de $5.000.000. El fondo después de 30 años debe tener acumulado un total de $60.000.000. Calcular la cuota anual que debe depositar el padre de familia durante los primeros 20 años si la tasa de interés es 7% efectiva anual.

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12. Importaciones Panda compró en Panamá un lote de mercancía por valor de $50.000.000 que acordó pagarlo con cuota inicial de $5.000.000, 36 cuotas mensuales de $900.000 y dos pagos extraordinarios en los meses 12 y 24. Si la tasa de interés cobrada es el 1.75% mensual calcular el valor de los pagos extraordinarios.

13. Andrés compró un lote por valor de $30.000.000 el cual acordó pagarlo con 24 cuotas mensuales y dos abonos extraordinarios de $2.000.000 cada uno en los meses 6 y 18. Si la tasa de interés cobrada es 1.87% efectiva mensual, ¿de qué valor son los depósitos mensuales que debe realizar?

14. Jorge había pactado el pago de un préstamo a su banco con una cuota inicial de $4.000.000 y 8 cuotas trimestrales vencidas de $1.550.000 y un abono extra de $1.000.000 en el mes 6. La tasa de interés pactada fue del 36% capitalizable trimestralmente. Se resuelve a última hora cancelarla con 24 cuotas mensuales iguales. Calcula el valor de las nuevas cuotas.

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15. Una obligación consta de 12 pagos por mes anticipado con una tasa de interés del

2.5% mensual se debe sustituir por veinte pagos mensuales vencidos de $20.000 cada uno, debiendo hacer el primero dentro de cinco meses a una tasa de interés del 2.5% mensual. Calcular el valor de los pagos de la primera obligación

16. El acreedor de una obligación de $40.000.000 que acordó cancelarse con cuota inicial del 10% y 48 cuotas mensuales de $1.338.425 después de hecho el pago de la cuota 19 decide pagar el saldo de la deuda con tres pagos iguales en los meses 24, 36 y 48. Si la tasa de interés pactada es el 32% Nominal Mes Vencido. Calcular el valor de estos pagos.

17. Se debe pagar una deuda de $6.000.000 en 6 cuotas con el siguiente plan de pago: cuotas mensuales iguales con una tasa de interés del 1.5% mensual y gracia parcial durante los primeros tres meses. Construya la tabla de amortización.

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PAGOS PERIODICOS VARIABLES - GRADIENTES – CUOTAS VARIABLES

1.- ¿Cuál es el valor presente de un conjunto de cuotas que inician en $1.000.000 y crecen mensualmente en $50.000 durante cuatro semestres si la tasa de interés es del 21% MV?

2.- ¿Cuál es el valor futuro dentro de cinco años de un fondo de ahorros que crece mensualmente en inflación del 8% anual; si la primera cuota es de $200.000 y paga un interés del UVR + 2?

3. Financiar una deuda de $ 10.000.000 hoy, en 60 cuotas mensuales sabiendo que la primera se debe cancelar dentro de 6 meses y de allí en adelante (en el séptimo mes) las cuotas aumentarán en el 5% cada periodo hasta la vigésima cuota y a partir de ese momento las cuotas permanecerán constantes en $ 900.000. La tasa de interés es del 4% mensual. Determinar el valor de la primera cuota del gradiente.

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