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• Oscar Diaz

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MATEMÁTICAS  FINANCIERAS  Y  RENTABILIDADES    

MARCO  TEÓRICO  

    INTRODUCCIÓN     El   valor   de   dinero   en   el   tiempo   es   dentro   de   la   gerencia   del   valor   uno   de   los   elementos  requeridos  para  una  adecuada  mediación  y  manejo  de  resultados  en  las   empresas  en  los  últimos  cinco  años.     Es  importante  manejar  e  interpretar  los  conceptos  de  las  matemáticas  relacionados   con  los  flujos  financieros,  las  tasas  de  interés,  el  cálculo  de  cuotas  fijas  y  variables   y  los  análisis  de  valoración  y  evaluación  de  inversiones.       LINEAS  DE  TIEMPO  VALOR     Son   un   instrumento   que   permite   llevar   un   problema   a   un   formato   gráfico   conocidos  también  como  flujo  grama,  gráfico  o  esquema  (flujo).     Consiste  en  dibujar  una  línea  horizontal  que  representa  el  tiempo    que  puede  estar   representado  en  quinquenios,  años,  semestres,  trimestres,  meses,  días  o  cualquier   otro  período.     Y  líneas  verticales  que  equivalen  a  los  valores,  es  importante  tener  en  cuenta  que   las  líneas  no  son  necesarias  de  graficar  en  su  totalidad    esto  depende  del  tiempo   del  problema.    

          A  parte  de  los  valores  es  importante  representar  el  período,  la  tasa  y  el  período.      

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En   los   problemas   simples   el   gráfico   no   es   tan   importante,   mas   en   los   problemas   más   complejos   nos   permiten   conocer   y     entender   las   variables.   Es   importante   tener  en  cuenta  que  el  gráfico  permite  conocer  donde  esta  la  pregunta.     Las  gráficas,  nos  facilitan  el  ordenamiento  de  la  información  en  cualquier  problema   de  tipo  financiero.     INTERÉS     Valor  de  Dinero  en  el  Tiempo  (VDT):  un  precio  o  costo  tiene  un  valor  diferente  en   cada  instante  del  tiempo.  Por  tal  motivo  valores  en  diferentes  tiempos  no  pueden   ser   sumados,   para   poder   realizar   esta   operación   se   debe   trasladar   a   un   punto   específico.     El  Valor  del  Dinero  en  el  Tiempo  (VDT)  se  soporta  en  el  interés.     Se  entiende  por  interés  el  rédito  a  costo  que  un  capital  prestado  o  invertido  genera   en  un  tiempo  determinado.     Cuando   se   habla   de   costo   se   refiere   a   un   préstamo,   en   términos   bancarios   colocaciones  y  cuando  se  habla  de  crédito  o  rendimiento  se  refiere  a  inversiones  o   captaciones.     Existen  dos  tipos  de  interés  simple  y  compuesto.     VALOR  DE  DINERO  EN  EL  TIEMPO  -­  INTERÉS  SIMPLE     Se   entiende   por   Interés   Simple   la   figura   financiera   en   la   cual   los   intereses   no   se   capitalizan;;  para  que  se  genere  ese  interés  requiere  definir  el  capital,  la  tasa  (i),  el   plazo  (N)  y  el  período  (P)  de  la  obligación.     El  valor  de  interés  es  pesos  será  igual  a:     i N INT$ = VA * * 100 P

VA :  capital,  capiotal  inicial,  valor  presente  o  valor  actual  

   

i : tasa  de  interes 100 N : fracción  de  tiempo  que  relaciona  plazo  y  periodo. P

 

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El   valor   del   interés   es   el   producto   de   un   capital   multiplicado   por   un   interés   determinado  en  una  fracción  de  tiempo  determinado.     El  plazo  (N)  se  define  como  la  cantidad  de  unidades  temporales    que  contempla  o   contiene   una   operación   financiera   estos   pueden   ser   días,   meses,   trimestres,   semestres,  años,  etc.     El   período   (P)   obedece   al   número   de   unidades   de   tiempo   o   plazo   que   existen   en   un  año;;  el  período  nunca  estará  definido  en  su  problema  siempre    se  deduce.     En  el  mundo  de  las  Matemáticas  Financieras  si  el  tiempo  (N)  está  representado  en   días  calendario  el  periodo  (P)  deberá  estar  en  días  calendario;;  si  el  tiempo  (N)  está   en  días  comerciales  el  periodo  (P)  deberá  ser  360  (días  comerciales).     En   el   mundo   de   la   finanzas   el   tiempo   (N)   siempre   debe   ser   real   y   el   periodo   (P)   normalmente  se  trabaja  360  y  solo  se  utiliza  365  cuando  se  indique.     En  los  problemas  de  interés  simple  el  plazo  determina  el  período,  es  decir  que  el   período  puede  tomar  los  siguientes  valores:     1   año   2   semestres   3   cuatrimestres   4   trimestre   6                                  bimestres   12   meses   24  /26     bimensualidades   48/52     semanas   360   días  comerciales   365   días  calendario   366   días  calendario       La  tasa  se  debe  utilizar  siempre  anual.     Siempre  que  hablemos  de  interés  simple  debemos  ver  y  entender  la  gráfica  así:       VF=VA+Int$     INTERÉS                      VA    

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      El  valor  futuro  debe  ser  mayor  que  el  valor  presente.     VF = VA + Int$

i N ö æ VF = VA + ç VA * * ÷   100 P ø è i N ö æ VF = VA ´ ç 1 + ´ ÷ 100 P ø è   De   esta   fórmula   se   pueden   despejar   las   diferentes   incógnitas   que   se   puedan   presentar.         DESCUENTO  SIMPLE       DESCUENTO   VF                     VLiq       Es   el   menor   valor   reconocido   en   una   operación   financiera   ocasionado   por   la   liquidación  antes  de  su  fecha  de  vencimiento.     Existen  dos  tipos  de  descuento  matemático  y  comercial.     Descuento  Matemático  =  VF  -­  VA   Descuento  Comercial  =  VF  -­  VLiq   El   descuento   matemático   es   una   operación   financiera   que   resulta   de   despejar   la  formula  de  valores  futuro  simple.    

 

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VA =

VF   i N ö æ * ÷ ç 1 + 100 P ø è

  Se  caracteriza  por  utilizar  la  tasa  de  interés  como  tasa  de  descuento;;  en  el  mundo   financiero   se   utiliza   muy   poco   esta   formula   puesto   que   es   mas   acostumbrado   el   descuento  comercial.  A  este  se  le  reconoce  como  descuento  matemático.     El   descuento   comercial   resulta   de   tomar   un   valor   futuro   por   una   tasa   de   descuento  durante  un  tiempo  determinado.       d% N Dto$ = VF ´ ´   100 P     El   valor   líquido   es   la   cantidad   en   efectivo   que   se   recibe   una   vez   aplicado   un   descuento   comercial   a   un   valor   futuro,   una   vez   descontado   el   valor   correspondiente.       VLiq = VF - Dto$

d% N ö æ VLiq = VF - ç VF ´ ´ ÷   100 P ø è d% N ö æ VLiq = VF ´ ç 1 - ´ ÷ 100 P ø è     Los  descuentos  matemático  y  comercial  no  son  iguales  ya  que:     •   Mientras   tomo   como   base   en   el   descuento   matemático   el   valor   presente   y   en  el    descuento  comercial  como  base  un  valor  futuro.     i% N ö æ •   Mientras  que  el  factor   ç1 - ´ ÷  divide  en  el  descuento  matemático  en   è 100 P ø el  descuento  comercial  esta  como  factor.     •   Mientras   que   en   un   factor   se   suma   (descuento   matemático)   en   la   otra   se   resta  (descuento  comercial).    

 

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La  formula  del  descuento  comercial  permite  entender  el  calculo  de  las  retenciones   aplicadas   a   las   operaciones   financieras   que   realiza   el   sistema   financiero   diariamente.     DESCUENTOS  EN  CADENA     Estos  descuentos  se  manejan  en  la  parte  comercial.     Ejemplo:     Suponga  que  tiene  una  factura  de  $100,  con  descuentos  así:     8%  por  pronto  pago     3%  por  volumen     1%  por  fidelidad;;  determine  el  descuento  total?     Los  descuentos  en  cadena  se  liquidan  siempre  sobre  saldo.     100       8 92     @ %   % 3   % @   89.2 % % 4     % % % 1 %   88.35   @ %   % %   % % 1 - (1 - D1 ) ´ (1 -% D 2 ) ´ (1 - D 3 ) = DT   %   % El   descuento   total   equivale   al   valor   de  %la   factura   por   1   –   la   ponderación   de   los   descuentos  es  decir:     DTotal = VFac ´ [1 - {(1 - D1 )´ (1 - D2 ) ´ ... ´ (1 - DN )}]     VALOR  DE  DINERO  EN  EL  TIEMPO  -­  INTERÉS  COMPUESTO     Se  le  reconoce  de  esta  manera  ya  que  la  tasa  de  interés  se  aplica  al  capital  y  esos   intereses  se  convierten  en  capital,  es  decir  son  capitalizables.     Ejemplo:   Si  tomamos  un  valor  presente  de  1'000.000  a  una  tasa  del  20%  anual.  Cual  será  el   valor   futuro   a   tres   años   de   dicho   valor   aplicando   interés   simple   e   interés   compuesto?    

 

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1.    INTERÉS  SIMPLE.   200             VA=1'000.000       2.  INTERÉS  COMPUESTO       200                 VA=1'000.000       La  fórmula  es:  

200  

200  

VF=1'600.000  

288   240  

VF=1'728.000  

N

i æ ö VF = VA ´ ç 1 + ÷   100 ´ P ø è   Se  debe  ubicar  cómo  liquida  la  tasa,  dependiendo  de  esto  se  podrá  determinar  el   plazo  y  el  período  para  realizar  los  cálculos  correspondientes,  es  importante  tener   en  cuenta  que  en  el  interés  compuesto  la  tasa  manda.     Al  iniciar  la  solución  de  un  problema  de  interés  compuesto  las  tres  variables  tasa   (i),   el   plazo   (N)   y   el   periodo   (P)   deben   estar   homogenizadas,   es   decir,   estar   expresadas  en  los  mismos  términos  de  tiempo.       Entre  más  rápido  capitalice  una  tasa  mayor  será  el  valor  futuro,  es  decir  que    entre   más   pequeño   el   período   de   tiempo   (mayor   el   p)   de   capitalización   mayor   número   de  capitalizaciones  existen.     TASAS  DE  INTERÉS     Las  tasas  de  interés  se  definen  como  el  interés  de  incremento  o  decremento  de  las   operaciones  financieras.     Cuando   hablamos   de   tasas   de   interés   en   interés   simple   siempre   debe   hablarse   de   tasa   de   interés   anual   para   poder   utilizar   los   períodos   anuales.    

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  Si  se  pasa  al  interés  compuesto  los  periodos  de  capitalización  hacen  que  las  tasas   operen  de  la  misma  forma  (concepto  tasa  efectivo,  tasa  nominal,  tasa  periódica)     Las  tasas  de  interés  en  el  mundo  financiero  se  clasifican  en  fijas  y  variables.     Las  tasas  fijas  permanecen  constantes  durante  la  operación  financiera  establecida   (24%TV)   y   las   tasa     variables   cambian   o   están   en   función   de   un   mercado   (DTF   +10).     TASAS  DE  INTERÉS  FIJAS     •   Tasa   Efectiva   es   una   tasa   de   comparación,   es   aquella   tasa   que   se   utiliza   para   comparar   diversos   proyectos   de   financiación   en   la   vida   futura   (año   vencido),  la  tasa  efectiva  es  anual  vencida  debido  a  que  el  flujo  de  dinero  es   constante  en  el  sector  financiero.    Tomando  el  año  como  el  momento  en  el   cual   se   evalúa.   Esta   tasa   se   representa   con   un   número   y   se   asume   efectiva  si  no  se  dice  nada  ó  si  esta  precedida  de  EA  ó  efectivo.     •   Tasa   Nominal   es   la   tasa   base   de   liquidación,   normalmente   se   representa   por   un   número   anual   y   una   liquidación   a   un   período   así   año,   mes,   semestre,  trimestre,  etc.  Esta  puede  ser  vencido  o  anticipado  y  se  reconoce   por  la  forma  como  capitaliza.     •   Tasa  Periódica  es  la  tasa  del  período  resulta  de  tomar  una  nominal    dividida   por  el  período.  Su  terminación  gramatical  es  “  –al”    

ip =

iNOMINAL P

    Nota:  Una  tasa  efectiva  es  equivalente  a  la  tasa  nominal  año  vencido  y  a  su  vez   es  equivalente  a  la  periódica  anual.     TASAS  DE  INTERÉS  VARIABLES  (IBR,  DTF  -­  UVR    -­  PRIME  -­    LIBOR)     Las   tasas   variables   varían   en   función   de   un   mercado   determinado   en   Colombia   estas  tasas  son    IBR,  DTF,  TCC,  UVR,  IPC  y  en  el  exterior  la  Prime  y  la  Libor.       DEFINICIONES  de  tasas  variables    

 

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•   DTF   Tasa   promedio   de   los   certificados   de   depósito   a   término   fijo   ponderada  a  90  días    en  todo  el  sector  financiero.   •   IBR   Tasa  promedio  de  préstamos  interbancarios  entre  8  instituciones  del   sector  financiero  colombiano,  su  cotización  es  diaria.    

       

•   UVR   Tasa   de   variación   porcentual     de   la   Unidad   de   Valor   Real,   lo   que   se   llamaba  corrección  monetaria  (CM)   •   IPC   Tasa   de   variación   porcentual   de   IPC   ó   índice   de   precios   al   consumidor.   •   PRIME  Tasa  de  regulación  del  Mercado  Americano.   •   LIBOR  Tasa  de  regulación  del  Mercado  Europeo.  

    El   tiempo   de   vigencia   de   una   tasa   de   interés   variable   es   el   lapso   de   tiempo   que   permanece  vigente  en  el  mercado  es  decir  cada  cuanto  varía.       La  periodicidad  de  cada  una  de  las  tasas  variables  es:     *  DTF   =  Semanal  –  T.A.   *  IBR   =  Diaria  –  M.V   *  UVR   =  Mensual  –  E.A.   *  IPC   =  Mensual  –  E.A.     Para   realizar   conversiones   de   tasas   variables   es   importante   tener   en   cuenta   que   las  tasas  UVR  e  IPC  se  expresan  y  operan  matemáticamente,  de  la  misma  manera.     Para  la  DTF  se  utiliza  la  siguiente  formula:     DTFTA + SPREAD = TASA TA   Ejemplo:     1.   Si  tenemos  una  DTF  del  12,41%  TA  y  un  Spread  del  10%,  ¿Cuál  será  la  tasa   efectiva  equivalente?     DTF  +  Spread  =  TASA         12,41  +  10  =  22,41  TA  =  25,94  EA    

 

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2.   Si   tenemos   una   tasa   nominal   del   25%   MV.   ¿Cuál   será   el   valor   equivalente   en  DTF,  si  esta  es  del  12,41%  TA?     La  Tasa  Nominal  25%  MV  =  23,99  T.A.     DTF  +  Spread  =  TASA         12,41  +  X                =  23,99  TA                              X                =    11,58           TASAS  DE  INTERÉS  CONTINUAS     Son   aquellas   que   tienen   un   período   superior   a   365   días,   normalmente   cuando   se   utiliza  una  tasa  continua  en  periodo  (P)  es  infinito.     Estas  tasas  no  se  utilizan  en  el  mundo  financiero,  solo  en  la  Banca  de  Inversión  y   en  el  mundo  de  los  proyectos  y  sus  evaluaciones       TASA  DE  INTERÉS  NETA     Es  la  tasa  después  de  impuestos.     TASA NETA = TASA NOMINAL ´ (1 - TASA IMPOSITIVA )       TASA  DE  INTERÉS  REAL     Es  la  tasa  después  de  inflación.     TASA NOMINAL - TASA INFLACION   TASA REAL = TASA INFLACION 1+ 100     TASA  DE  INTERÉS  BRUTA     Es  la  tasa  antes  de  descontar  cualquier  tipo  de  impuesto.       TASA BRUTA - Comisión = TASA NOMINAL   TASA NOMINAL - Retención = TASA NETA

 

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    ANUALIDADES  o  SISTEMAS  DE  CUOTA  FIJA     Las   anualidades   son   el   conjunto   de   pagos   o   ahorros   periódicos   iguales,   y   se   conoce  como  series  uniforme.  Esta  maneja  concepto  cuota  fija,  siempre  y  cuando   haya  cuota  fija  o  estable  si  se  trata  de  tasas  variables.     En  las  anualidades  la  cuota  es  la  que  manda.       Se  clasifican  en:       ANUALIDAD  VENCIDA     Las  anualidades  vencidas  sus  cuotas  se  pagan  al  final  del  período.                   ìï1 - (1 + iP )-N üï VP = CUOTA ´ í ý ip ïî ïþ   ìï (1 + ip )N - 1 üï VF = CUOTA ´ í ý ip ïî ïþ      

 

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ANUALIDAD  ANTICIPADA     Las   anualidades   anticipadas   son   el   conjunto   de   pagos   periódicos   que   se   realiza   iniciando  el  período.                     -N ïì1 - (1 + iP ) ïü VP = CUOTA ´ í ý ´ (1 + ip ) ip ïî ïþ   ìï (1 + ip )N - 1 üï VF = CUOTA ´ í ý ´ (1 + ip ) ip ïî ïþ

      ANUALIDAD  PERPETUA     Es  aquella  anualidad  que  tiene  inicio  pero  no  fin.  Tiene  únicamente  valor  presente.                       De  estas  puede  haber  anticipadas  y  vencidas.       Anualidad  Perpetua  Vencida:         CUOTA   VP = i    

 

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  Anualidad  Perpetua  Anticipada:    

VP = CUOTA +

CUOTA   i

    ANUALIDAD  DIFERIDAS     La  anualidad  diferida  es  aquella  que  tiene  un  tiempo  diferido  después  del  cual  se   inicia   los   pagos   o   el   ahorro   correspondiente.   Este   tiempo   diferido   puede   ser   un   periodo  de  gracia  o  muerto.     Un  período  es  de  gracia  cuando  se  causan  y/o  pagan  intereses.   Un  período  muerto  ni  se  causan  ni  se  pagan  intereses.                 ì1 - (1 + i)-N ü -k VA = CUOTA í ý ´ (1 + i) i î þ   k = periodo  diferido

N =  plazo                                  

 

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      GRADIENTES  o  SISTEMAS  DE  CUOTA  VARIABLE     Conjunto   de   pagos   o   ahorros   periódicos   crecientes   o   decrecientes   en   forma   constante.  Se  utiliza  este  sistema  para  dar  facilidad  de  flujo  de  caja  a  las  personas   cuando   el   pago   del   crédito   es   muy   alto   frente   a   su   capacidad.   O   se   utiliza   para   aquellos   ahorros   que   están   en   función   de   incrementos   periódicos   saláriales   o   de   ingresos.     Los  gradientes  se  clasifican  en:     GRADIENTES  ARITMÉTICOS     GRADIENTES  GEOMÉTRICOS     GRADIENTES  ESCALONADO             GRADIENTE  ARITMÉTICO     Es  el  conjunto  de  pagos  o  ahorros  crecientes  o  decrecientes  en  forma  constante  en   pesos  o  unidades  monetarias.       -N -N ù ïì1 - (1 + ip ) ïü CRECI éïì1 - (1 + ip ) ïü -N VP = CUOTA í + - N(1 + i ) ê ú   ý í ý P iP ip iP ïî ïþ ïþ êëïî úû       ù ìï (1 + ip )N - 1 üï CRECI éìï (1 + iP )N - 1 üï VF = CUOTA í êí ý + ý - Nú   ip ip ip ïþ ïî ïþ ëêïî ûú       GRADIENTE  ARITMÉTICO  INFINITO       CUOTA CRECI   VP = + ip i2

 

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GRADIENTE  GEOMÉTRICO     Es  el  conjunto  de  pagos  o  ahorros  crecientes  o  decrecientes  en  forma  constante  en   porcentaje  o  unidades  relativas.       CUOTA ´ (1 + g)N (1 + i) -N - 1              SI   g ¹ i   VP = g - i     CUOTA ´ N                                                                          SI   g = i     VP = 1+i     CUOTA ´ (1 + g)N - (1 + i)N                    SI   g ¹ i   VF = g - i                            SI      g  =  i     VF = CUOTA ´ N ´ (1 + i)N-1      

[

[

]

]

GRADIENTE  ESCALONADO     Es   la     combinación   de   anualidades   y   gradientes   geométricos   generalmente     para   facilitar  el  flujo  de  efectivo  en  el  mundo  de  los  créditos.  También  se  obtienen  de  la   combinación  entre  gradientes  geométricos  y/o  aritméticos.       Estas   figuras   principalmente   utilizadas   en   la   colocación   de   créditos   hipotecarios   tratan  de  ajustarse  en  lo  posible  a  los  incrementos  salariales  en  relación  a  que  un   alto  porcentaje  de  los  clientes  de  financiación  son  personas  vinculadas  a  relaciones   laborales   en   donde   sus   ingresos   provienen   principalmente   de   sueldos   o   prestaciones  regulares  a  meses.                         VP  

 

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Los  escalonamientos  pueden  ser  trimestrales,  semestrales  o  anuales  dependiendo   de   la   modalidad   de   crédito   y   la   forma   como   se   determine   el   crecimiento   de   las   cuotas  de  amortización.       TABLAS  DE  AMORTIZACIÓN  Y  FONDOS  DE  INVERSIÓN     Las  tablas  de  amortización  son  una  representación  ordenada  de  la  forma  como  se   amortizan  los  créditos  sean  de  cuota  fija  o  de  cuota  variable.  Esta  representación   en   filas   y   columnas   permite   establecer   de   la   cuota   de   amortización   cuanto   es   interés  y  cuanto  se  aplica  a  la  amortización  del  capital  o  principal.     En  los  fondos  de  inversión  se  representa  en  forma  ordenada  las  cuotas  de  ahorro   mas  los  INTERÉSes  que  sobre  el  saldo  se  van  acumulado    para  la  constitución  del   fondo.     FORMATO  DE  TABLA  DE  AMORTIZACIÓN     N   CUOTA   INTERÉS   AMORTIZACION   SALDO   1           2           3           .           .           .           .           .           N               FORMATO  DE  FONDO  DE  INVERSIÓN     N   CUOTA   INTERÉS     FONDO   AHORRO   GENERADOS   1           2           3           .           .           .           .           .           N              

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HERRAMIENTAS  DE  EVALUACIÓN  FINANCIERA  DE  PROYECTOS       Para  la  evaluación  de  proyectos  y  valoración  de  títulos  se  utilizan  las  herramientas   básicas  que  son:     v   NUMERO  DE  VECES  DE  RECUPERACION  DE  LA  INVERSION   v   VALOR  PRESENTE  NETO   v   TASA  INTERNA  DE  RETORNO   v   COSTO  ANUAL  EQUIVALENTE   v   BENEFICIO  –  COSTO   v   VALOR  FUTURO  NETO     El  número  de  veces  que  se  recupera  la  inversión  consiste  en  restar  los  ingresos  del   flujo   a   los   egresos   y   determinar   cuanto   tiempo   se   requiere   para   realizar   esta   cobertura.     Una   mejora   de   este   sistema   consiste   en   traer   a   valor   presente   los   ingresos   y   los   egresos   del   flujo   financiero   teniendo   una   tasa   de   oportunidad   y   determinar   el   número  de  periodos  que  se  requiere  para  cubrir  la  inversión.     El  valor  presente  neto  o  también  llamado  valor  actual  neto  consiste  en  encontrar  el   valor   presente   de   los   ingresos   y   el   valor   presente   de   los   egresos   a   una   tasa   de   oportunidad   obteniendo   la   diferencia   que   para   que   el   proyecto   sea   viable   se   requiere  un  valor  positivo.     La   tasa   interna   de   retorno   o   rentabilidad   máxima   de   la   inversión   es   la   tasa   que   permite  igualar  los  flujos  de  ingresos  y  egresos  del  proyecto.     El   costo   anual   equivalente   denominado   también   suma   neta   uniforme   consiste   en   encontrar  la  anualidad  equivalente  (pago)  del  valor  presente  neto.     El  beneficio  –  costo  de  un  flujo  financiero  consiste  en  dividir  el  valor  presente  de   los  ingresos  por  el  valor  presente  de  los  egresos  y  el  resultado  debe  ser  mayor  de   1  para  que  el  flujo  sea  favorable.     El   valor   futuro   neto   consiste   en   llevar   a   una   tasa   de   oportunidad   al   futuro   los   ingresos  y  los  egresos  del  flujo  financiero.  Tiene  la  misma  interpretación  del  valor   presente  neto  pero  ubicado  al  final  del  flujo.            

 

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VALOR  PRESENTE  NETO      (  V  P  N  )  

  La   evaluación   de   proyectos   por   medio   de   métodos   matemáticos   y   financieros   es   una   herramienta   de   gran   utilidad   para   la   toma   de   decisiones   por   parte   de   los   administradores   financieros,   ya   que   un   análisis   que   se   anticipe   al   futuro   puede   evitar  posibles  desviaciones  y  problemas  en  el  largo  plazo.       Las  principales  herramientas  y  metodologías  que  se  utilizan  para  medir  la  viabilidad   de  un  proyecto  son:     CAUE:  Costo  Anual  Uniforme  Equivalente.   VPN:  Valor  Presente  Neto.   VPNI:  Valor  Presente  Neto  Incremental.   TIR:  Tasa  Interna  de  Retorno.   TIRI:  Tasa  Interna  de  Retorno  Incremental.   B/C:  Relación  Beneficio  Costo.   PR:  Período  de  Recuperación.   CC:  Costo  Capitalizado.     Todos   y   cada   uno   de   estos   instrumentos   de   análisis   matemático   financiero   debe   conducir   a   tomar   decisiones   económicas   iguales,   la   única   diferencia   que   se   presenta   es   la   metodología   por   la   cual   se   llega   al   valor   final,   por   ello   es   sumamente  importante  tener  las  bases  matemáticas  muy  claras  para  su  aplicación.     En   ocasiones   utilizando   una   metodología   se   toma   una   decisión;;   pero   si   se   utiliza   otra   y   la   decisión   es   contradictoria,   es   porque   no   se   ha   hecho   una   correcta   utilización  de  los  índices.     En  la  aplicación  de  todas  las  metodologías  se  deben  tener  en  cuenta  los  siguientes   factores  que  dan  aplicación  a  su  estructura  funcional:     C:  Costo  inicial  o  Inversión  inicial.   K:  Vida  útil  en  años.   S:  Valor  de  salvamento.   CAO:  Costo  anual  de  operación.   CAM:  Costo  anual  de  mantenimiento.   IA:  Ingresos  anuales.     El   método   del   Valor   Presente   Neto   es   muy   utilizado   por   dos   razones,   la   primera   porque  es  de  muy  fácil  aplicación  y  la  segunda  porque  todos  los  ingresos  y  egresos  

 

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VPN

futuros   se   transforman   a   pesos   de   hoy   y   así   puede   verse,   fácilmente,   si   los   ingresos  son  mayores  que  los  egresos.     Valor  Presente  Neto  =  Valor  Presente  Ingresos  –  Valor  Presente  de  los   Egresos     VPN  =  VP  (I)    –  VP  (E)     El   Valor   Presente   Neto   de   un   proyecto   o   alternativa   de   inversión,   representa   el   valor   equivalente   en   pesos   de   hoy,   de   la   ganancia   o   perdida   que   se   obtendrá   al   llevar  a  cabo  ese  proyecto.  El  Valor  Presente  Neto  es  el  valor  actual  de  los  flujos  de   caja  netos  menos  la  inversión  inicial.     Cuando  el  VPN  es  menor  que  cero  implica  que  hay  una  perdida  a  una  cierta  tasa   de  interés.     Cuando  el  VPN  es  mayor  que  cero  se  presenta  una  ganancia.       Cuando  el  VPN  es  igual  a  cero  se  dice  que  el  proyecto  es  indiferente.     La  condición  indispensable  para  comparar  alternativas  es  que  siempre  se  tome  en   la  comparación  igual  número  de  años,  pero  si  el  tiempo  de  cada  uno  es  diferente,   se   debe   tomar   como   base   el   mínimo   común   múltiplo   de   los   años   de   cada   alternativa     Relevante  :  En  la  aceptación  o  rechazo  de  un  proyecto  se  atiende  directamente  a   la  tasa  de  interés  que  se  utilice.       Cuando  se  desconoce  el  valor  de  la  tasa  de  descuento,  se  establece  que  el  Valor   Presente  Neto,  es  igual  a  cero,  ya  que  cuando  ocurre  es  indiferente  aceptar  o  no  la   inversión.     Por   lo   general   el   VPN   disminuye   a   medida   que   aumenta   la   tasa   de   interés,   de   acuerdo  con  la  siguiente  gráfica:  

i

 

 

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  Dentro   de   los   factores   más   importantes   que   intervienen   en   la   determinación   de   esta  tasa,  se  encuentran:       El  tiempo.     El  Flujo  de  Caja.       Tasa  de  Descuento  o  Tasa  de  Oportunidad     Valor  de  Mercado  del  Proyecto     El  mercado  donde  opera  la  empresa.       Sector  político  y  económico  del  país.       Sector  bancario.       El  tiempo  de  duración  del  proyecto:  Conocido  como  Vida  Útil.  Es  un  factor  de   mucha   importancia,   ya   que   no   se   puede   hablar   de   ningún   tipo   de   tasa   sin   mencionar  antes  el  tiempo  en  el  cual  dicha  tasa  tendrá  validez.  Podemos  decir  que   mientras  mayor  sea  el  tiempo,  el  riesgo  se  incrementará  cada  vez  más,  debido  a   que   el   valor   actual   de   la   inversión   estará   más   susceptible   a   los   diversos   cambios   que   puedan   ocurrir   para   afectar   dicho   valor.   Es   recomendable   que   la   tasa   de   descuento  se  haga  efectiva  a  la  mayor  brevedad  posible.     El  flujo  de  Caja:  Los  Ingresos  y  Egresos  en  el  tiempo.     Tasa   de   descuento   o   tasa   de   oportunidad:   Que   puede   ser   constante   o   variable.     Valor  de  Mercado  del  Proyecto:  Corresponde  al  valor  comercial  o  ingreso  que   se  obtiene  al  final  de  la  vida  útil  del  proyecto.     Mercado  donde  opera  la  empresa:  Se  debe  tener  en  cuenta  este  aspecto,  por   ejemplo,  no  genera  el  mismo  rendimiento  una  empresa  que  se  dedique  a  la  venta   de  metales  preciosos,  que  una  que  se  dedique  a  la  venta  de  alimentos;;  además  se   debe   considerar   el   efecto   que   pueda   producir   la   oferta   y   la   demanda   en   la   determinación  de  la  tasa.    Esta  tasa,  se  puede  además  establecer  de  otra  manera,   tomando   como   parámetro   la   tasa   bancaria,   esperando   tener   por   lo   menos   un   rendimiento  equivalente  a  la  tasa  bancaria.  También  se  podría  considerar  el  uso  de   un  promedio  de  tasas  de  rendimiento  obtenidas  por  un  sector  determinado  en  un   período  de  tiempo  determinado.     Sector  Bancario:  Este  sector  debe  ser  considerado  al  momento  de  establecer  la   tasa   de   rendimiento,   ya   que   si   el   rendimiento   que   se   puede   obtener   en   una   determinada  inversión  es  menor  que  la  tasa  bancaria,  los  fondos  destinados  para   esta   inversión   se   podrían   usar   para   otra   inversión   que   genere   por   lo   menos   el   mismo  rendimiento  que  el  ahorro  bancario.    

 

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Sector   Político:   Este   sector   es   sumamente   importante,   ya   que   tiene   gran   influencia   sobre   los   demás   factores.   Las   decisiones   que   tome   el   estado   son   determinantes  en  el  rendimiento  de  ciertos  sectores  de  la  economía.   Por   ejemplo:   Si   el   estado   decide   que   se   aumenten   los   impuestos   a   las   importaciones,   todas   las   empresas   que   se   dediquen   a   esta   actividad   se   verán   afectadas;;   ya   sea   por   que   tengan   que   aumentar   sus   precios   para   poder   soportar   ese   incremento   impositivo,   o   tal   vez   deban   disminuir   su   rango   de   utilidades   para   conservar  las  ventas.  De  cualquier  manera  el  rendimiento  terminará  afectado  por   las  decisiones  tomadas  por  el  gobierno.     Factor  Económico:  Este  factor  es  importante  al  momento  de  determinar  la  tasa   de  descuento,  debido  a  los  cambios  que  sufra  la  economía  del  país.  Uno  de  estos   factores  es  la  inflación,  la  cual  tiene  mucha  relevancia,  ya  que  determina  el  límite   por  debajo  del  cual  no  se  debe  fijar  la  tasa  de  descuento;;  además  de  este  hay  que   tomar   en   cuenta   otros   factores   como   la   devaluación   de   la   moneda,   ya   que   si   se   trabaja  en  pesos,  hay  que  tener  una  buena  proyección  del  comportamiento  de  este   en   el   mercado   monetario,   debido   a   que   un   cambio   imprevisto   de   este   podría   causar  una  disminución  en  el  rendimiento  esperado  y  en  el  valor  de  la  inversión  en   el   proyecto.   Es   importante   destacar   que   debe   existir   una   oferta   monetaria   adecuada,  ya  que  es  la  que  va  a  determinar  la  demanda  de  los  inversionistas.     En  consecuencia,  para  el  mismo  proyecto  puede  presentarse  que  a  una  cierta  tasa   de   interés,   el   VPN   puede   variar   significativamente,   hasta   el   punto   de   llegar   a   rechazarlo  o  aceptarlo  según  sea  el  caso.     Al  evaluar  proyectos  con  la  metodología  del  VPN  se  recomienda  que  el  calculo  se   haga  con  una  tasa  de  interés  superior  a  la  Tasa  de  Interés  de  Oportunidad  (TIO),   con  el  fin  de  tener  un  margen  de  seguridad  para  cubrir  ciertos  riesgos,  tales  como   liquidez,  efectos  inflacionarios  o  desviaciones  que  no  se  tengan  previstas.         1.  VPN  PARA  UN  SÓLO  PROYECTO     Cuando   se   está   evaluando   un   solo   proyecto   el   índice   del   VPN   se   aplica   según   la   teoría  generalizada:       Si  VPN  >  0  el  proyecto  es  aceptable     Si  VPN  <  0  el  proyecto  no  es  aceptable     Si  VPN  =  0  es  indiferente  el  proyecto.     Esta   aplicación   del   VPN   es   relativa   ya   que   la   decisión   se   tomará   solamente   de   acuerdo   al   objetivo   planeado   en   el   proyecto   y   no   solo   con   base   en   lo   expresado   anteriormente.      

 

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  EJEMPLO  1     A  un  señor,  se  le  presenta  la  oportunidad  de  invertir  $800.000  en  la  compra  de  un   lote,  el  cual  espera  vender  al  final  de  un  año  en  $1.200.000.  Si  la  TIO  es  del  30%.   ¿Es  aconsejable  el  negocio?     SOLUCIÓN   Una  forma  de  analizar  este  proyecto  es  situar  en  una  línea  de  tiempo  los  ingresos   y   egresos   y   trasladarlos   posteriormente   al   Valor   Presente,   utilizando   una   tasa   de   interés  del  30%.       $1.200.000  

INGRESOS  

30%  

EGRESOS  

$800.000  

    Si  se  utiliza  el  signo  negativo  para  los  egresos  y  el  signo  positivo  para  los  ingresos   se  tiene:     VPN=-­800.000+1.200.000(1.3)-­1       VPN  =  123.07     Como   el   Valor   Presente   Neto   calculado   es   mayor   que   cero,   lo   más   recomendable   sería  aceptar  el  proyecto,  pero  se  debe  tener  en  cuenta  que  este  es  solo  el  análisis   matemático  y  que  también  existen  otros  factores  que  pueden  influir  en  la  decisión   como   el   riesgo   inherente   al   proyecto,   el   entorno   social,   político   o   la   misma   naturaleza  que  circunda  el  proyecto,  es  por  ello  que  la  decisión  debe  tomarse  con   mucho  tacto.       EJEMPLO  2   Se   presenta   la   oportunidad   de   montar   una   fábrica   que   requerirá   una   inversión   inicial   de   $4.000.000   y   luego   inversiones   adicionales   de   $1.000.000   mensuales  

 

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desde   el   final   del   tercer   mes,   hasta   el   final   del   noveno   mes.   Se   esperan   obtener   utilidades  mensuales  a  partir  del  doceavo  mes  en  forma  indefinida,  de       A)  $2.000.000     B)  $1.000.000         Si   se   supone   una   tasa   de   interés   de   6%   efectivo   mensual,   ¿Se   debe   realizar   el   proyecto?     Relevante:   Las   inversiones   que   realiza   la   empresa   deben   ser   constantemente   vigiladas  y  supervisadas  por  los  responsables  del  área  financiera  sin  excepción.     SOLUCIÓN   En  primera  instancia  se  dibuja  la  línea  de  tiempo  para  visualizar  los  ingresos  y  los   egresos.  

  A)  Se  calcula  el  VPN  para  ingresos  de  $2.000.000.   VPN  =  -­4.000.000  -­  1.000.000  a7¬6%  (1.06)-­2  +  2.000.000/0.06  *(1.06)-­11   VPN  =  -­4.000.000  -­  4.968.300  +  17.559.284   VPN  =  8.591.284   En  este  caso  el  proyecto  debe  aceptarse  ya  que  el  VNP  es  mayor  que  cero.     B)  Se  calcula  el  VNP  para  ingresos  de  $1.000.000   VPN  =  -­4.000.000  -­  1.000.000  a7¬6%  (1.06)-­2  +  1.000.000/0.06  *(1.06)-­11   VPN  =  -­188.508   En  esta  situación  el  proyecto  debe  ser  rechazado.     2.  VPN  PARA  DOS  PROYECTOS       Para  comparar  dos  proyectos  o  alternativas  de  inversión  debemos  tener  en  cuenta   los  dos  siguientes  casos:            Si  ambos  proyectos  tienen  vidas  útiles  iguales  

 

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     Si  los  proyectos  tienen  vidas  útiles  diferentes       Cuando   los   proyectos   tiene   vidas   útiles   iguales,   el   VPN   se   aplica   de   la   siguiente   manera:       Tomar   un   ciclo   de   vida   útil   para   cada   proyecto   y   registrar   los   correspondientes   flujos  de  caja.     Calcular  el  VPN  para  cada  proyecto.  (  VPN(a)  y  VPN(b)  )     Con  los  VPN  resultantes  deducir  cual  es  el  mejor.  La  comparación  de  alternativas   con  vidas  iguales  mediante  el  método  de  Valor  Presente  es  directa.       Cuando   los   proyectos   tienen   vidas   útiles   diferentes   hay   formas     distintas   de   solucionar  o  de  tomar  la  mejor  decisión.       Sean  A  y  B  dos  proyectos  con  vidas  útiles  diferentes,  si  en  cada  ciclo  de  vida  útil   de   cada   proyecto,   el   flujo   de   caja   se   repite,   entonces   se   toma   el   mínimo   común   múltiplo  de  las  vidas  útiles  y  en  este  tiempo  se  registran  los  flujos  de  caja  de  cada   proyecto.  Comparando  el  VPN(a)  y  el  VPN(b).       Cuando   los   flujos   de   caja   no   se   repiten   en   los   ciclos   de   vida   útil,   un   método   es   prolongar   el   ciclo   menor   hasta   igualarlo   con   el   mayor   o   viceversa.   Este   método   requiere   de   otros   conceptos   de   diversas   áreas   que   desbordan   el   objeto   de   este   análisis.         EJEMPLO  1     Se  tienen  2  proyectos  de  inversión  A  y  B,  con  la  siguiente  información:  el  Proyecto   A   requiere   de   una   inversión   hoy   por   valor     de   $4   millones,   gastos   mensuales   de   80.000,   ingresos   de   320.000   el   primer   mes   y   disminuirán   en   3%   cada   mes,   una   vida  útil  de  1  año  y  medio  y  un  valor  de  mercado  de  2`950.000.       El    proyecto  B  requiere  de  una  inversión  hoy  de  $5  millones,    gastos  mensuales  de     40.000   el   primer   mes     y   aumentaran   en   3000   cada   mes,   ingresos   de   450.000     mensuales,  un  valor  de  mercado  nulo  y  una  vida  útil    de  un  año  y  medio.  Si  la  tasa   de   oportunidad   del   inversionista   es   del   38%   anual,   seleccionar   el   proyecto   mas   rentable.              

 

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             Haciendo   la   conversión   38%   Anual,   es   equivalente   a   una   periódica   de   2.72%   mensual.     Para  el  Proyecto  A:             +2950000[(1.0272)  ^(-­18)]  –  4000000-­80000  (P/A,2.72%,18)  =  $292.858           Para  el  Proyecto  B:        

 

 

                                   

 

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    VPN  B  =  $  446.016.       Por  lo  tanto:     VPN  B  >  VPN  A  se  toma  el  proyecto  B  con  el  cual  se  obtiene  una  utilidad  mayor   Hoy.         3.  MÉTODO  DEL  VALOR  PRESENTE  NETO  INCREMENTAL  (VPNI)     El   Valor   Presente   Neto   Incremental   es   muy   utilizado   cuando   hay   dos   o   más   alternativas  de  proyectos  mutuamente  excluyentes  y  en  las  cuales  solo  se  conocen   los  gastos.  En  estos  casos  se  justifican  los  incrementos  en  la  inversión  si  estos  son   menores   que   el   Valor   Presente   de   la   diferencia   de   los   gastos   posteriores.   Para   calcular  el  VPNI  se  deben  realizar  los  siguientes  pasos:     Se  deben  colocar  las  alternativas  en  orden  ascendente  de  inversión.       Se  sacan  las  diferencias  entre  la  primera  alternativa  y  la  siguiente.       Si   el   VPNI   es   menor   que   cero,   entonces   la   primera   alternativa   es   la   mejor,   de   lo   contrario,  la  segunda  será  la  escogida.       La   mejor   de   las   dos   se   compara   con   la   siguiente   hasta   terminar   con   todas   las   alternativas.       Se  deben  tomar  como  base  de  análisis  el  mismo  periodo  de  tiempo.       Para   analizar   este   tipo   de   metodología   les   presentamos   el   siguiente   ejercicio   práctico:     EJEMPLO  1     Dadas   las   alternativas   de   inversión   A,   B   y   C,   seleccionar   la   más   conveniente   suponiendo  una  tasa  del  20%.     Alternativas  de  inversión   A   B   C   Costo  inicial   -­100.000   -­120.000   -­125.000   Costa  anual  de  operación  Año  1   -­10.000   -­12.000   -­2.000   Costa  anual  de  operación  Año  2   -­12.000   -­2.000   -­1.000  

 

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Costa  anual  de  operación  Año  3   -­14.000  

-­2.000  

0  

    SOLUCIÓN     Aquí   se   debe   aplicar   rigurosamente   el   supuesto   de   que   todos   los   ingresos   se   representan  con  signo  positivo  y  los  egresos  como  negativos.     1.   A)  Primero  se  compara  la  alternativa  A  con  la  B   Alternativas  de  inversión   A   B   B-­A   Costo  inicial   -­100.000   -­120.000   -­20.000   Costa  anual  de  operación  Año  1   -­10.000   -­12.000   -­2.000   Costa  anual  de  operación  Año  2   -­12.000   -­2.000   +10.000   Costa  anual  de  operación  Año  3   -­14.000   -­2.000   +12.000     B)  La  línea  de  tiempo  de  los  dos  proyectos  seria:  

  C)  El  VPNI  se  obtiene:   VPNI  =  -­20.000  -­  2.000  (1+0.2)-­1  +  10.000  (1+0.2)-­2  +  12.000  (1+0.2)-­3   VPNI  =  -­7.777,7     Como  el  VPNI  es  menor  que  cero,  entonces  la  mejor  alternativa  es  la  A.     2.     A)  Al  comprobar  que  la  alternativa  A  es  mejor,  se  compara  ahora  con  la  alternativa   C.   Alternativas  de  inversión  

A  

C  

C-­A  

Costo  inicial  

-­100.000  

-­125.000   -­25.000  

Costa  anual  de  operación  Año  1  

-­10.000  

-­2.000  

+8.000  

Costa  anual  de  operación  Año  2  

-­12.000  

-­1.000  

+11.000  

Costa  anual  de  operación  Año  3  

-­14.000  

0  

+14.000  

 

 

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B)  La  línea  de  tiempo  para  los  dos  proyectos  A  y  C  seria:  

  B)  El  VPNI  se  calcula  como  en  el  caso  anterior     VPN  =  -­25.000  +  8.000  (1+0.2)-­1  +  11.000  (1+0.2)-­2  +  14.000  (1+0.2)-­3    VPN  =  -­2.593     Como   el   Valor   Presente   Neto   Incremental   es   menor   que   cero,   se   puede   concluir   que   la   mejor   alternativa   de   inversión   es   la   A,   entonces   debe   seleccionarse   esta   entre  las  tres.     La  aceptación  o  rechazo  de  un  proyecto  en  el  cual  una  empresa  piense  en  invertir,   depende   de   la   utilidad   que   este   brinde   en   el   futuro   frente   a   los   ingresos   y   a   las   tasas  de  interés  con  las  que  se  evalué     Alternativa   Simple   Esta   debe   aplicarse   cuando   se   evalúa  y  se  tiene  que  decidir  si  un   proyecto   individual   es   o   no   conveniente     Para   determinar   una   decisión   de   inversión,   una   empresa   utiliza   el   Valor   Presente   Neto   (VPN)   del   ingreso   futuro   proveniente   de   la   inversión.   Para   calcularlo,   la   empresa  utiliza  el  Valor  Presente  Descontado  (VPD)  del  flujo  de  rendimientos  netos   (futuros   ingresos   del   proyecto)   tomando   en   cuenta   una   tasa   de   interés,   y   lo   compara   contra   la   inversión   realizada.   Si   el   Valor   Presente   Descontado   es   mayor   que   la   inversión,   el   Valor   Presente   Neto   será   positivo   y   la   empresa   aceptará   el   proyecto;;  si  el  Valor  Presente  descontado  fuera  menor  que  la  inversión  la  empresa   lo  rechazaría.     El   procedimiento   técnico   para   computar   el   valor   actual   de   una   empresa   es   semejante   al   que   se   emplea   para   computar   el   valor   actual   de   una   inversión   en   bonos  u  obligaciones.   Los  factores  que  deben  emplearse  al  computar  el  valor  actual  de  una  empresa  son:     1.  -­  Importe  de  las  actividades  futuras.   2.  -­  Tiempo  o  fecha  de  las  actividades  futuras.  

 

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3.  -­  Importe  de  los  desembolsos  futuros.   4.  -­  Tiempo  o  fecha  de  los  desembolsos  futuros.   5.  -­  Tasa  de  descuento.     Los   administradores   computan   el   valor   actual   descontado   para   evaluar   los   proyectos   de   operaciones   dentro   de   la   empresa   y   las   posibles   compras   de   otras   empresas.  En  ciertos  casos,  el  calculo  puede  servir  para  valorar  equipos  especiales,   aunque   solamente   cuando   la   ganancia   prevista   provenga   de   ellos   y   pueda   determinarse  y  medirse  en  dinero.     4.  COSTO  CAPITALIZADO       Es   el   Valor   Presente   Neto   del   flujo   de   caja   de   un   proyecto   de   vida   perpetua.   Cuando   un   proyecto   tiene   vida   útil   indeterminada   se   considera   que   puede   funcionar   a   perpetuidad,   se   hace   estimativo   y   proyección   del   flujo   de   caja   y   se   calcula   el   costo   capitalizado   o   VPN   para   su   evaluación.   Se   debe   tener   en   cuenta   que   para   esta   clase   de   proyectos   el   valor   que   se   calcula   como   VPN   es   solo   un   estimativo  dada  la  dificultad  real  para  la  proyección  tanto  del  flujo  de  caja  como  de   la  tasa  de  descuento.    Por  esta  razón,  un  método  utilizado  frecuentemente  es  el  de   hacer   evaluaciones   periódicas   o   lo   que   comúnmente   se   conoce   como   evaluación   EXPOST.       EJEMPLO         Un   proyecto   consiste   en   la   construcción,   mantenimiento   y   uso   de   un   pequeño   edificio  para  oficinas  cuya  vida  útil    se  estima    a  tiempo  indefinido  y  el  flujo  de  caja   es  aproximadamente  el  siguiente.      El   costo   del   terreno   es   de   $35   millones,   el   costo   de   construcción   es   de   $185   millones,   el   mantenimiento   anual   es   de   $8   millones   el   primer   año   y   se   incrementara   $1   millón   por   año   de   allí   en   adelante,   los   ingresos     serán   de   $55   millones  el  primer  año  y  se  incrementaran  en  un  20%  anual    aproximadamente,  la   tasa   de   oportunidad   del   inversionista   se   estima   en   un   33%   anual.   Bajo   estas   condiciones  determinar  el  valor  presente  neto  o  costo  capitalizado.    

 

 

 

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Como   la   serie   de   ingresos   anuales   forman   un   gradiente   geométrico   perpetuo   y   los   egresos   un   gradiente   geométrico   aritmético   perpetuo,   aplicando   las   formulas   correspondientes     a   estas   clases   de   series   variables,  tenemos:             Es   decir,   que   este   proyecto     da   una   utilidad   que     medida   en   pesos   de   hoy,   equivaldría  a  169.5  millones.       Cuando  se  trate  de  dos  o  mas  proyectos    a  término  indefinido,  para  su  evaluación   y   selección   por   el   método   del   VPN,   simplemente   calculamos   el   costo   capitalizado   para   cada   uno   de   ellos   y   se   hace   la   comparación   entre   estos   valores   en   forma   similar  al  caso  de  proyectos  o  alternativas  de  vida  útil  finita.     5.  RIESGO  INTERNACIONAL       Aunque   las   técnicas   básicas   de   preparación   de   presupuesto   de   capital   son   las   mismas   para   empresas   a   nivel   nacional   e   internacional,   las   empresas   que   operan   en   varios   países   enfrentan   riesgos   que   son   exclusivos   de   la   arena   internacional   estos  son:  Riesgo  de  Tasa  de  Cambio  y  riesgo  Político.       v   Riesgo  de  Tasa  de  Cambio       Es   el   peligro   de   que   una   modificación   inesperada   en   la   tasa   de   cambio   de   una   moneda   comparada   con   una   internacional,   para   nuestro   caso   el   dólar,   reduzca   el   valor   en   el   mercado   del   flujo   de   efectivo   de   dicho   proyecto.   Aunque   es   posible   pronosticar   la   inversión   inicial   de   un   proyecto   con   alguna   certeza,   el   valor   en   dólares  de  las  entradas  de  efectivo  futuras  se  podría  alterar  de  manera  drástica  si   la   moneda   local   se   devalúa   frente   al   dólar.   A   corto   plazo   los   flujos   de   efectivo   específicos   pueden   compensarse   por   medio   de   instrumentos   financieros   como   los   futuros  monetarios  y  las  opciones.  A  largo  plazo,  el  riesgo  de  la  tasa  de  cambio  se   minimiza  si  el  proyecto  se  financia  de  manera  total  o  parcial  en  la  moneda  local.         v   Riesgo    Político       La  cantidad  invertida  por  una  compañía  matriz  en  una  subsidiaria  extranjera  esta   con   frecuencia   sujeta   a   interrogantes,   aun   cuando   el   valor   de   mercado   de   la   inversión  en  el  país  anfitrión  se  visualice  a  menudo  como  el  “precio”  relevante.  La   medición   de   los   flujos   de   efectivo   de   inversiones   pueden   depender   de   diversos   factores,  como  los  sistemas  impositivos  en  los  países  anfitriones,  regulaciones  que   pueden  bloquear  la  libre  circulación  de  los  flujos  de  empresas  transnacionales,  los   riesgos  empresariales  y  financieros  usuales,  los  riesgos  inherentes  a  los  fenómenos  

 

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inflacionarios   y   políticos   impulsados   por   los   gobiernos   locales   y,   por   ultimo,   la   aplicación  de  un  costo  de  capital  local.       Cubrirse   ante   esta   contingencia   es   mucho   más   complicado,   la   incapacidad   para   controlar  este  riesgo  después  de  que  ha  ocurrido  un  cambio  hace  más  importante   el   hecho   de   que   los   gerentes   tomen   en   cuenta   los   riesgos   políticos   antes   de   realizar  una  inversión.  Esto  lo  logran  ajustando  las  entradas  de  efectivos  esperadas   de   un   proyecto   con   el   fin   de   considerar   la   posibilidad   de   interferencia   política   o   utilizando   tasas   de   descuento   ajustadas   al   riesgo.   En   general   es   mucho   mejor   ajustar   de   manera   subjetiva   los   flujos   de   efectivo   de   cada   proyecto   individual   al   riesgo  político  que  realizar  un  ajuste  general  de  todos  los  proyectos.       6.  CONCLUSIONES       Sobre   una   base   puramente   teórica,   el   VPN   es   la   técnica   más   apropiada   para   la   elaboración   de   presupuestos   de   capital.   La   utilización   del   VPN   supone   que   cualquier  entrada  de  efectivo  intermedia  generada  por  una  inversión  se  reinvente   al   costo   de   capital   de   la   empresa.   Debido   a   que   el   costo   de   capital   suele   representar   una   estimación   razonable   de   la   tasa   a   la   que   la   empresa   podría   reinvertir   las   entradas   de   efectivo   intermedias,   el   uso   del   VPN,   cuya   tasa   de   reinversión  es  más  conservadora  y  realista,  es  el  más  adecuado  para  evaluación  de   proyectos.       Los  proyectos  reales  involucran  algún  grado  de  flexibilidad  futura,  por  lo  tanto  no   pueden   ser   evaluados   correctamente   con   las   técnicas   tradicionales   del   Valor   Presente   Neto   (VPN)   o   de   la   tasa   interna   de   retorno   (TIR).   La   regla   del   VPN   es   óptima  cuando  la  oportunidad  de  inversión  es  del  tipo  "ahora  o  nunca",  o  cuando   el  proyecto  de  inversión  es  completamente  reversible.     En   la   práctica,   sin   embargo,   pocas   inversiones   son   del   tipo   "ahora   o   nunca".   No   sólo   porque   los   inversionistas   tienen   el   derecho   a   decidir   si   invertir   o   no,   sino   porque  además  tienen  el  derecho  a  decidir  cuándo  hacerlo  en  un  nuevo  proyecto.     Este  segundo  derecho,  por  lo  tanto,  es  una  opción  a  retrasar  la  inversión  y  es  una   alternativa   real,   a   diferencia   de   una   alternativa   financiera   (americana).   También   hay  que  tener  presente  que  pocas  inversiones  son  completamente  reversibles.  La   puesta   en   marcha   de   un   nuevo   proyecto   siempre   involucra   costos   hundidos,   los   cuales  no  son  recuperados  si  el  proyecto  es  abandonado.        

 

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MÉTODOS  DE  DECISIÓN  Y  LA  TIR     Definición:  Son  los  mecanismos  que  utiliza  el  decisor  para  analizar  flujos  de  caja   libre   hacia   le   futuro   que   no   siempre   presentan   dominación,   esto   es,   que   los   ingresos  de  una  alternativa  sean  siempre  superiores  a  los  de  otra  y  los  egresos  de   esta   sean   mayores   que   los   de   la   primera,   con   el   objeto   e   comparar   las   cifras   de   cada   una   de   ellas.   Una   forma   de   hacerlo   es   utilizar   el   concepto   de   equivalencia,   para  llevar  los  flujos  de  caja  libre  a  un  período  determinado  y  allí  si  comparar  las   cifras.   Estos   métodos   tienen   en   cuenta   el   valor   del   dinero   en   el   tiempo,   los   más   conocidos  son:     ü   Valor  Presente  Neto  (  VPN)   ü   Tasa  Interna  de  Rentabilidad  (TIR)   ü   Relación  Beneficio  Costo(  RB/C)     Valor  Presente  Neto:  Mide  el  remanente  en  pesos  de  hoy  después  de  descontar   la   inversión   (o   el   préstamo   que   le   hace   el   inversionista   al   proyecto)   y   el   interés   (calculado  al  tasa  de  descuento)  que  debe  devolver  el  proyecto  al  inversionista.  En   otras  palabras,  es  el  monto  por  el  cual  aumenta  la  riqueza  del  decisor  después  de   haber   llevado   a   cabo   la   alternativa   que   se   estudia.   El   VNP,   por   lo   tanto,   permite   establecer  mecanismos  que  aumenten  o  maximicen  el  valor  de  la  firma.     Relación   Beneficio/   Costo(   RB/C):   Es   la   relación   entre   los   beneficios   y   los   costos  o  egresos  de  un  proyecto.  Los  beneficios  se  definen  como  el  valor  presente   de  los  flujos  netos  de  caja,  cuando  estos  son  positivos,  Los  costos  se  definen  como   el  valor  presente  de  los  flujos  netos  de  caja,  cuando  estos  son  negativos.       TASA  INTERNA  DE  RENTABILIDAD  (TIR)     Definición:     Son   todos   los   ingresos   por   encima   de   la   inversión,   media   en   términos   porcentuales.  Es  la  tasa  de  interés  que  hace  equivalente  los  ingresos  netos  con  los   egresos  netos.     La   tasa   interna   de   rentabilidad   es   un   método   que   tiene   en   cuenta   el   cambio   del   dinero  en  el  tiempo,  como  una  medida  porcentual  de  la  magnitud  de  los  beneficios   que  le  reporta  un  proyecto  a  un  inversionista.    

 

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Análisis  de  la  Tasa  Interna  de  Rentabilidad  (TIR)  Vs.  Valor  Presente  Neto   (VPN).     Para  entender  este  concepto  conviene  definir  el  valor  presente  neto  (VPN)  como  el   valor  que  recibe  en  exceso  un  inversionista  sobre  su  inversión,  después  de  que  se   le  ha  descontado  el  interés  de  la  tasa  de  descuento.  Este  cálculo  se  realiza  fijando   una   tasa   de   interés,   de   modo   que   un   VPN     positivo   a   una   determinada   tasa   de   interés,   indica   que   el   inversionista   recibe   del   proyecto   su   inversión,   un   interés   sobre  su  dinero  y  una  cantidad  adicional.       Ese   interés   y   cantidad   adicional   que   recibe   el   inversionista   es   la   totalidad   de   los   beneficios  que  le  reporta  el  proyecto.  De  modo  que  cuando  el  Valor  Presente  Neto   (VPN)  es  igual  a  cero,  la  tasa  de  interés  a  la  cual  esto  ocurre  es  una  medida  de  la   totalidad   de   los   beneficios   que   produce   la   inversión,   mientras   se   encuentran   invertidos  en  ese  proyecto.  A  esta  tasa  de  interés  se  le  denomina  Tasa  Interna  de   Rentabilidad.   Esto   se   puede   visualizar   como   la   tasa   de   descuento   de   un   decisor   que  hace  que  el  Valor  Presente  Neto  a  esa  tasa  sea  igual  a  cero.     Representación   gráfica     del   Valor   Neto   y   de   la   Tasa   Interna   de   Rentabilidad.     Curva  del  VPN

VPN

4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%

16,0%

18,0%

20,0%

Tasa  de  interés  en  %

    Lo  que  representa  el  VPN  y  la  TIR  se  observa  en  el  grafico  anterior  en  donde  se   muestra   la   relación   del   VPN   y   la   tasa   de   interés   utilizando   un   plano   cartesiano,   representando  en  el  eje  horizontal  los  valores  de  la  tasa  de  interés  y  en  el  vertical   los   valores   del   VPN.   Se   relaciona   cada   valor   de   i   con   su   correspondiente   VPN     formando   la   curva   del   VPN.   La   TIR   es   la   tasa   de   interés   donde   la   curva   del   VPN   corta  el  eje  horizontal,  es  decir  para  un  VPN  =0,  la  TIR  es  de  18%.    

 

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Los  ingresos  de  un  proyecto  se  pueden  descomponer  en  tres  partes:     ü   El  valor  de  la  inversión  que  debe  devolver  el  proyecto   ü   El  valor  de  lo  que  ya  se  ganaba  en  su  alternativa,  que  le  permitió  definir  el   costo  de  oportunidad,  o  lo  que  paga  la  firma  por  haber  tenido  que  prestar  el   dinero.   ü   El  remanente.       La  suma  del  remanente  y  del  valor  que  ya  se  ganaba  en  su  alternativa  o  costo  de   oportunidad  es  lo  que  produce  el  proyecto  por  encima  de  la  suma  invertida.  Este   valor  medido  como  una  tasa  de  interés  es  lo  que  hace  que  le  valor  presente  neto   sea  igual  a  cero,  es  decir  la  TIR.       Cuando   se     lleva   al   período   cero     es  el  VPN   Remanente   Costo  del  dinero   (Tasa  de   descuento:  Costo   de  oportunidad  o   costo  del  capital)   Inversión  

Es   el   interés   que  reconoce  el   proyecto   por   haber   recibido   el   préstamo   de   la  inversión  

Expresado   como   un   porcentaje  es   la  TIR  

Es  la  devolución   que   hace   el   proyecto   del   dinero   recibido   para   hacer   la   inversión  

    Se  pueden  presentar  las  siguientes  posibilidades:       ü   Cuando  el  remanente  es  positivo  entonces  la  TIR  es  mayor  que  la  tasa  de   descuento.   ü   Cuando  el  remanente  es  cero  la  TIR  es  igual  a  la  tasa  de  descuento.   ü   Cuando  lo  correspondiente  al  costo  del  dinero  más  el  remanente  es  menor   que  los  INTERÉSes  de  la  tasa  de  descuento  entonces  la  TIR  es  menor  que   la  tasa  de  descuento.      

 

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Ecuación  de  la  TIR     La  TIR  se  puede  calcular  resolviendo  la  siguiente  ecuación:              Ij                                          Ej   å-­-­-­-­-­-­-­-­          -­        å-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­  =  0        (1+i)j                              (1+i)j     Ij:  Ingreso  en  el  periodo  j   Ej:  Egreso  en  el  periodo  j   I:  Tasa  de  descuento.   j:  Periodo.     Esta   ecuación   se   resuelve   por   prueba   y   error.   Para   calcularla   se   define   el   valor   presente  neto  a  una  tasa  de  interés  determinada,  si  el  VPN  resulta  ser  positivo  se   utiliza   una   tasa   de   interés   mayor   hasta   que   el   VPN   sea   igual   a   cero.   Si   el   primer   cálculo  indica  que  el  VPN  es  negativo  se  utiliza  una  tasa  de  interés  menor,  hasta   encontrar   un   VPN   igual   a   cero.   Se   puede   aproximar   el   valor   interpolando   linealmente  entre  dos  tasas  de  interés  que  se  encuentren  suficientemente  cercanas   entre  si  y  que  produzcan  VPN  de  signo  contrario.     Aplicación  en  Excel.     Para   el   cálculo   de   la   función   TIR   (valores,   estimar)   se   incluye   en   el   rango   de   valores   todo   el   flujo   de   caja   y   es   necesario   que   existan   valores   positivos   y   negativos.  El  argumento  Estimar  es  opcional  como  se  puede  apreciar  en  la  figura  y   en  caso  de  omitirse,  el  Excel  asume  una  tasa  inicial  del  10%.     La   TIR   solo   involucra   las   condiciones   particulares   de   un   proyecto   y   no   se   ve   afectada   por   la   subjetividad   del   inversionista.   Sin   embargo,   presenta   dificultades   de  orden  matemático  que  llevan  a  desconfiar  de  los  resultados  que  arroje.      

 

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  Como  se  aprecia,  ante  el  mismo  flujo  de  caja  la  función  TIR  arroja  dos  resultados   diferentes,   dependiendo   del   valor   que   se   utilice   en   el   argumento   Estimar.   Esta   situación  hace  que  sea  de  mucho  cuidado  la  utilización  de  esta  función  pues  puede   llevar  a  conclusiones  erróneas.   Por   otra   parte,   la   tasa   interna   de   retorno   no   tiene   en   cuenta   los   costos   de   financiación   de   los   egresos   que   se   generan   para   llevar   a   cabo   la   inversión   ni   las   ganancias  por  reinvertir  los  ingresos  que  se  deriven  de  la  misma.  Es  decir  que  solo   esta   mostrando   la   rentabilidad   que   se   obtendrá   por   mantener   en   un   negocio   el   saldo   no   recuperado   de   la   inversión   inicial,   para   resolver   esta   dificultad   se   utiliza   otra  forma  de  calcular  la  TIR  que  se  ha  llamado  la  Tasa  Verdadera  de  Rentabilidad   (TVR)  o  la  Tasa  Interna  de  Rendimiento  Modificada  (TIRM).  

 

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Devuelve  la  tasa  interna  de  rentabilidad  de  un  flujo  de  caja  periódico  teniendo  en   cuenta   el   costo   en   que   se   incurre   para   financiar   los   egresos   del   negocio   y   el   beneficio  obtenido  por  la  reinversión  de  los  ingresos  que  genera  la  inversión.   TIRM  (valores,  tasa_financiamiento,  tasa_reinversión)     La   TIR   modificada   esta   mostrando   cuál   será   la   rentabilidad   del   proyecto   para   un   inversionista  en  particular  al  relacionar  el  ingreso  total  que  producirá  (valor  futuro   de   los   ingresos)   y   con   el   monto   que   es   necesario   tener   disponible   hoy   (valor   presente  de  los  egresos)  para  poder  llevarlo  a  cabo.     El  resultado  que  arroja  la  función  TIRM  es  inferior  al  que  se  obtiene  con  la  función   TIR,  pues  esta  última  solo  refleja  las  características  del  proyecto,  mientras  que  la   modificada   incluye   la   subjetividad   del   inversionista   al   tener   en   cuenta   el   destino   que   dará   a   los   recursos   que   va   obteniendo   del   proyecto,   tal   como   se   aprecia   a   continuación:      

    Devuelve  la  tasa  interna  de  rentabilidad  de  un  flujo  de  caja  periódico  teniendo  en   cuenta   el   costo   en   que   se   incurre   para   financiar   los   egresos   del   negocio   y   el   beneficio  obtenido  por  la  reinversión  de  los  ingresos  que  genera  la  inversión.   TIR.NO.PER(valores,   fechas,   Estimar).   Devuelve   la   tasa   interna   de   retorno   para  un  flujo  de  caja  que  no  tiene  periodicidad  constante.   Con   esta   función   se   resuelve   el   limitante   de   la   periodicidad   constante   que   se   ha   mencionado  para  la  función  TIR.  Es  importante  tener  en  cuenta  dos  aspectos  en  el   cálculo  de  la  TIR  no  periódica:    

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Primero,   la   tasa   de   interés   resultante   está   expresada   en   términos   nominales   anuales  y  siempre  se  utiliza  para  los  cálculos  el  año  de  365  días   Segundo,  en  el  argumento  valores  se  debe  incluir  todo  el  flujo  de  caja,  no  solo  los   valores  que  se  encuentran  en  períodos  futuros.     La  evaluación  financiera  consiste  en  la  proyección  y  análisis  del  flujo  de  efectivo  de   un   proyecto.   Las   herramientas   de   análisis   son   bien   conocidas   en   textos   y   cursos   que  se  dictan  sobre  proyectos;;  las  proyecciones,  por  su  parte,  son  particulares  de   cada  proyecto  y  solo  se  pueden  hacer  aceptablemente  si  se  conoce  el  negocio  que   se  está  proyectando.  Sin  embargo,  como  es  en  estas  proyecciones  donde  radica  el   éxito  de  la  evaluación  de  proyectos,  en  esta  parte  se  mostrarán  las  facilidades  que   ofrece  el  Excel  para  hacer  proyecciones  de  flujos  de  efectivo.   El   trabajo   de   las   proyecciones   consiste   en   saber   cuándo   y   en   qué   cuantía   se   presentarán   los   ingresos   y   egresos   de   los   proyectos,   teniendo   en   cuenta   que   dependen   de   innumerables   variables.   No   obstante,   se   deben   tomar   las   variables   más   representativas   del   negocio   y   trabajarlas   como   parámetros   de   entrada,   de   manera   que   sea   posible   modificarlas   fácilmente   y   así   facilitar   el   análisis.     Regla  de  Decisión  de  la  TIR     Igual   que   le   VPN   la   TIR   es   un   modelo   matemático   y   normativo   que   dice   lo   siguiente:     ü   Si  la  TIR  es  mayor  que  la  tasa  de  descuento  se  debe  aceptar.   ü   Si  la  TIR  es  igual  a  la  tasa  de  descuento,  se  debe  ser  indiferente.   ü   Si  la  TIR  es  menor  que  la  tasa  de  descuento,  se  debe  rechazar.     Esta  regla  de  decisión  coincide  con  la  del  VPN  par  aceptar  o  rechazar  alternativas.       Clases  de  tasa  Interna  de  Rentabilidad.     Tasa  Interna  de  Rentabilidad  Ponderada  (TIRP)     Es  un  método  que  involucra  explícitamente  las  suposiciones  del  VPN  en  el  cálculo   de  rentabilidad.  Con  este  procedimiento  se  elimina  la  contradicción  entre  el  VPN  y   la  TIR,  así  mismo,  sirve  para  eliminar  el  problema  de  las  múltiples  TIR.     Los   proyectos   de   inversión   se   pueden   componer   de   dos   partes:   una   que   se   encuentra  invertida  a  la  tasa  interna  de  rentabilidad  generalizada  y  otra  parte  que   se   halla   invertida   a   la   tasa   de   oportunidad   (tasa   de   descuento).   Esto   conlleva   a   calcular  una  tasa  de  rentabilidad  que  pondera  las  dos  partes  de  que  se  compone  

 

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cada  inversión.  Los  fondos  invertidos  a  cada  tasa  de  rentabilidad,  indicarían  el  peso   de   cada   una   de   ellas.   Esta   ponderación   se   obtiene   calculando   la   TIR   del   flujo   de   caja  compuesto  de  las  dos  inversiones.   1/n  

 

VFI  +  VF  K-­I   TIRP  =      -­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­          -­1   K  

  TIRP    =  Tasa  interna  de  rentabilidad  ponderada.   VF1        =  Valor  futuro  de  los  fondos  reinvertidos  a  la  tasa  de  descuento.   VF  k-­I  =  Valor  futuro  del  excedente  invertido  a  la  tasa  de  descuento.   I  =  Inversión  inicial.   K  =  Cantidad  de  dinero  disponible.  

  La   TIR   Ponderada   es   sólo   un   índice   para   ordenar   o   seleccionar   alternativas;;   no   indica  valores  de  rentabilidad  del  dinero  en  determinada  alternativa.       Tasa  Interna  de  Rentabilidad  Incremental.     Método   obsoleto   para   eliminar   la   contradicción   entre   el   VPN   y   TIR.   Consiste   en   calcular  la  TIR  del  flujo  que  resulte  de  restar  el  flujo  de  caja  de  una  alternativa  de   otra;;   si   la   TIR   incremental   es   mayor   que   la   tasa   de   descuento,   entonces   la   alternativa   de   la   cuál   se   resto   la   otra,   es   buena.   Por   ejemplo,   si   TIRA-­B   es   mayor   que  la  tasa  de  descuento,  entonces  se  justifica  invertir  una  suma  extra  en  A,  por  lo   tanto  A  es  mejor  que  B.  Sirve  para  detectar  cual  es  la  tasa  de  interés  en  la  cual  la   decisión  de  escogencia  entre  dos  alternativas  mutuamente  excluyentes,  se  cambia.   El  cálculo  hay  que  hacerlo  por  pares  alternativas.     Múltiples  Tasas  Internas  de  Rentabilidad.     Una  inversión  puede  ser  de  tipo  convencional  o  no  convencional.  Una  inversión  de   tipo  convencional  es  aquella  que  tiene  uno  o  más  períodos  de  beneficios  después   de   uno   o   más   períodos   de   inversión.   Una   inversión   es   no   convencional   cuando   tiene  períodos  alternados  de  inversión  y  periodos  de  beneficios.         Convencional        

 

No  Convencional  

 

 

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En  las  gráficas  anteriores,  las  flechas  hacia  abajo  significan  un  flujo  neto  de  fondos   identificable   con   un   sacrificio   de   recursos   y   las   flechas   hacia   arriba   significan   un   flujo  neto  de  fondos  identificable  con  un  beneficio.     La  TIR  no  es  más  que  una  de  las  raíces  de  un  polinomio  de  grado  (n),  ya  que  lo   que  se  busca  es  aquel  valor  de  (i)  para  el  cual  el  VPN  de  una  inversión  es  igual  a   cero.  Matemáticamente  se  puede  establecer  que  un  polinomio  de  grado  (n),  puede   presentar  los  siguientes  casos:     ü   No  existe  raíz  real  para  el  polinomio.   ü   Existe  una  raíz  real  para  este  polinomio.   ü   Existen  múltiples  raíces  reales.     Este   problema   de   múltiples   TIR   se   elimina   con   la   Tasa   Interna   de   Rentabilidad   Ponderada.       Tasa  Mínima  atractiva  de  Retorno  (TMAR)     Es   la   tasa   un   porco   más   alta   a   la   cual   normalmente   el   inversionista   realiza   sus   inversiones.  Si  la  TMAR  igual  a  la  tasa  del  inversionista  este  seguirá  realizando  sus   inversiones   normales,   para   que   acepte   un   nuevo   proyecto   debe   ofrecérsele   una   tasa  mayor  para  que  compense  el  riesgo  de  un  proyecto  nuevo.  Por  otra  parte  la   tasa   del   inversionista   debe   ser   superior   a   la   inflación   porque   si   el   inversionista   coloca   su   dinero   por   debajo   de   la   inflación   esta   obteniendo   una   rentabilidad   real   negativa.  Ese  excedente    sobre  la  tasa  del  inversionista  se  denomina  el  premio  al   riesgo  o  SPREAD.       En  general  se  concluye  que  si  la  TIR  es  mayor  a  la  TMAR  el  proyecto  es  bueno  y  si   la  TIR  es  menor  que  la  TMAR  el  proyecto  no  e  aconsejable.       La  TIR  +  R    (Tasa  Interna  de  Retorno  con  Reinversión)     Cuando   un   proyecto   genera   unos   ingresos,   y   esos   ingresos   son   reinvertidos,   la   tasa   que   se   calcula   d   este   proyecto   incluido   la   reinversión   se   denomina   TIR   con   reinversión.       Tasa  Verdadera  de  Rentabilidad  (TVR)  o  Tasa  de  Rendimiento  Modificada   (TIRM)     Devuelve  la  tasa  interna  de  rentabilidad  de  un  flujo  de  caja  periódico  teniendo  en   cuenta   el   costo   en   que   se   incurre   para   financiar   los   egresos   del   negocio   y   el   beneficio  obtenido  por  la  reinversión  de  los  ingresos  que  genera  la  inversión.  

 

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El  principio  en  que  se  basa  esta  función  es  el  del  valor  del  dinero  en  el  tiempo,  que   se  desglosa  en  los  dos  puntos  siguientes:   •   Los  egresos  en  que  se  incurre  durante  la  vida  de  un  proyecto  tienen  un  costo   de  financiación  por  que  el  inversionista  los  debe  reunir  ahorrando,  tomándolos   en   préstamo   o   retirándolos   de   otra   inversión,   por   lo   tanto   este   costo   debe   tenerse  en  cuenta  en  el  cálculo  de  la  rentabilidad  de  un  proyecto.  Para  ello,  los   egresos   del   proyecto   se   descuentan   al   período   cero   (o   se   traen   a   valor   presente)   con   una   tasa   de   interés   que   refleje   el   costo   de   financiación   de   los   recursos,  representada  por  el  argumento  tasa  _  financiamiento.  El  valor   presente  de  los  egresos  se  calcula  con  una  tasa  de  descuento  prudente  (igual  a   la  tasa  que  rinden  los  depósitos  normales  de  la  empresa)  con  el  fin  de  saber  en   pesos   de   hoy   cuánto   se   requiere   depositar   en   una   cuenta   para   reunir   los   desembolsos  que  en  cada  período  requiere  el  proyecto    

      •   Los  ingresos  que  recibe  el  inversionista  durante  la  vida  del  proyecto  pueden   ser   reinvertidos   en   otros   negocios   o   en   el   mercado   financiero.   Para   reconocer  este  proceso,  los  ingresos  se  llevan  a  valor  futuro  con  una  tasa  de   interés  que  refleje  la  tasa  de  oportunidad  del  inversionista,  pues  se  supone   que   los   dineros   liberados   por   el   proyecto   se   pueden   reinvertir   en   los   negocios   a   que   normalmente   tiene   acceso   el   inversionista   y   no   al   rendimiento  que  genera  este  proyecto  en  particular.  La  tasa  de  oportunidad   esta  representada  por  el  argumento  tasa  _  reinversión        

 

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      La   TIR   modificada   esta   mostrando   cuál   será   la   rentabilidad   del   proyecto   para   un   inversionista  en  particular  al  relacionar  el  ingreso  total  que  producirá  (valor  futuro   de   los   ingresos)   y   con   el   monto   que   es   necesario   tener   disponible   hoy   (valor   presente  de  los  egresos)  para  poder  llevarlo  a  cabo.     El  resultado  que  arroja  la  función  TIRM  es  inferior  al  que  se  obtiene  con  la  función   TIR,  pues  esta  última  solo  refleja  las  características  del  proyecto,  mientras  que  la   modificada   incluye   la   subjetividad   del   inversionista   al   tener   en   cuenta   el   destino   que  dará  a  los  recursos  que  va  obteniendo  del  proyecto.  Devuelve  la  tasa  interna   de  rentabilidad  de  un  flujo  de  caja  periódico  teniendo  en  cuenta  el  costo  en  que  se   incurre   para   financiar   los   egresos   del   negocio   y   el   beneficio   obtenido   por   la   reinversión  de  los  ingresos  que  genera  la  inversión.     APLICACIONES  REALES  EN  EL  SECTOR  FINANCIERO.     En  el  sector  financiero  se  utiliza  cuando  se  pide  prestado  dinero,  la  tasa  de  interés   se   aplica   al   saldo   insoluto   de   tal   manera   que   el   monto   total   del   crédito   y   los   intereses   quedan   cancelados   exactamente   con   el   último   pago.   Si   alguien   presta   dinero   para   un   proyecto   o   invierte   en   él,   existe   un   saldo   no   recuperado   en   cada   período  de  tiempo.  La  tasa  de  interés  es  el  retorno  sobre  este  saldo  no  recuperado   de  tal  manera  que  el  crédito  total  y  los  intereses  se  recuperan  exactamente  con  el   último  ingreso.  La  tasa  de  retorno  define  ambas  situaciones.     Dado   lo   anterior,   podemos   definir   la   tasa   interna   de   retorno   como   la   tasa   de   interés  pagada  sobre  los  saldos  insolutos  de  dinero  tomado  en  préstamo  o  la  tasa   de   interés   ganada   sobre   el   saldo   no   recuperado   de   una   inversión   (préstamo),   de   tal   manera   que   el   pago   o   el   ingreso   final,   lleva   el   saldo   a   cero,   considerando   el   interés  (ganado  o  adeudado).    

 

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EJERCICIOS  DESARROLLADOS     Ejercicio  1     Si   se   invierten   $5.000   hoy   en   un   fondo   del   cual   se   espera   que   produzca   $100   anuales   durante   10   años   y   $7.000   al   final   de   los   10   años   ¿cuál   es   la   tasa   de   retorno?     Solución.     Primero:  se  dibuja  el  flujo  de  caja.                                                                                                                                                                                            $7.000                                                                                                    $100                                0          1            2            3            4              5            6            7            8            9            10                                  P  =  $5.000     Segundo:  se  establece  la  ecuación  de  la  tasa  de  retorno.   0=  -­5.000  +  100(P/A,i%,10)  +  7.000(P/F,i%,10)     Tercero:   Se   seleccionan   los   valores   de   (i)   por   ensayo   y   error,   hasta   lograr   el   balance  la  ecuación.       P  =  $5.000   F  =  10*(100)  +7.000   F  =  $8.000   n  =  10   Ahora  podemos  plantear:   5000  =  8.000  (P/F,i%,10)   (P/F,I%,10)  =  0.625     La  tasa  de  interés  está  próxima  a  5%  utilizamos  5  %y  6%  en  la  ecuación.     0  =  -­5.000  +  100(P/A,5%,10)  +  7.000(P/F,5%,  10)     0  =  -­5000+  100*7.7217  +7000*0.6139   0  ¹  $69.46     Estamos  pasados  del  lado  positivo,  lo  cual  indica  que  los  ingresos  reportan  más  del   5%,  se  tomará  i  =  6%,  así:    

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  0  =  -­5.000+100(P/A,6%,10)  +  7.000(P/F,6%,10)     0  =  -­5.000  +100*7.3601  +7.000*0.5594   0  ¹  -­348.19   Como  la  tasa  de  interés    del  6%  es  muy  alta  interpolamos  entre  5%  y  6%.               i  =  5+0.16=  5.16%  (TIR)   Ejercicio  2     Una   familia   compra   una   casa   vieja   por   $25.000   con   la   idea   de   hacerle   mejoras   y   luego  venderla  para  negocio.  En  el  primer  año  en  que  compraron  la  casa  gastaron   $5000   en   mejoras.   En   el   segundo   año   gastaron   $1.000   y   $800   en   el   tercero.   Además   pagaron   impuestos   sobre   la   propiedad   a   $500   anuales,   vendiéndola   al   final  de  los  3  años  en  $35.000  ¿qué  tasa  de  retorno  obtuvieron  en  su  inversión?       Solución.     Primero  se  dibuja  el  diagrama  de  flujo.                                                                                                                              $35.000     0                            1                                      2                                              3                                        $500                            $500                                $500                                  $5.000                        $1.000                              $800  

  Segundo  se  establece  la  Ecuación  de  retorno.     O=   -­25.000+35.000(P/F,i%,3)-­1.300(P/F,i%,3)-­1500(P/F,i%,2)-­ 5.500(P/F,i%,1)     Tercero:   Se   seleccionan   los   valores   de   (i)   por   ensayo   y   error,   hasta   lograr   el   balance  la  ecuación.     P  =  $25.000   F  =  35.000  –5.500-­1.500-­1.300   F  =  $26.700   n  =  3     Ahora  podemos  plantear:     25.000  =  26.700  (P/F,i%,3)    

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(P/F,I%,3)  =  0.9363     La  tasa  de  interés  está  próxima  a  2%  utilizamos  2  %y  1.5%  en  la  ecuación.     0=  -­25.000+35.000(P/F,2%,3)-­1.300(P/F,2%,3)-­1500(P/F,2%,2)-­5.500(P/F,2%,1)     0  =  -­25.000+  35.000*0.9423  –1.300*0.9423-­1500*0.9612-­5.500*0.9804   0  ¹  $-­78.94     Estamos  pasados  del  lado  negativo,  lo  cual  indica  que  los  ingresos  reportan  menos   del  2%,  se  tomará    i=  1.5%,  así:     O=-­25.000+35.000(P/F,1.5%,3)-­1.300(P/F,1.5%,3)-­1500(P/F,1.5%,2)-­ 5.500(P/F,1.5%,1)     0  ¹  352.66     Interpolamos  entre  1.5%  y  2%.            i=  1.5+0.41=  1.91%  (TIR)   Ejercicio  3     Un   terreno   con   una   serie   de   recursos   arbóreos   produce   por   su   explotación   $100.000  mensual,  al  final  de  cada  mes  durante  un  año;;  al  final  de  este  tiempo,  el   terreno  podrá  ser  vendido  en  $800.000.  Si  el  precio  de  compra  es  de  $1.500.000,   hallar  la  tasa  interna  de  retorno  TIR.     Solución.     Primero:  se  dibuja  el  flujo  de  caja.                                                                                                                                                                                            $800.000   $100.000                                  0          1            2            3                                                                                                          12                              P  =  $1.500.000        

 

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Segundo:  se  establece  la  ecuación  de  la  tasa  de  retorno.   0=  -­1.500.000  +  100.000(P/A,i%,12)  +  800.000(P/F,i%,12)     Tercero:   Se   seleccionan   los   valores   de   (i)   por   ensayo   y   error,   hasta   lograr   el   balance  la  ecuación.     P  =  $1.500.000   F  =  100.000*(12)  +800.000   F  =  $2.000.000   n  =  12     Ahora  podemos  plantear:   1.500.000  =  2.000.000  (P/F,i%,12)   (P/F,I%,12)  =  0.75     La  tasa  de  interés  está  próxima  a  3%  utilizamos  3  %y  4%  en  la  ecuación.     0  =  -­1.500.000  +  100.000(P/A,3%,12)  +  800.000(P/F,3%,  12)     0  =  -­1.500.000+  100.000*9.9540  +800.000*0.7014   0  ¹  $56.520     Estamos  pasados  del  lado  positivo,  lo  cual  indica  que  los  ingresos  reportan  más  del   3%,  se  tomará    i  =  4%,  así:     0  =  -­1.500.000  +  100.000(P/A,  4%,  12)  +  800.000(P/F,4%,  12)   0  =  -­1.5000.000  +100.000*9.3851  +800.000*0.6246   0  ¹  -­61.810     Como  la  tasa  de  interés    del  4%  es  muy  alta  interpolamos  entre  3%  y  4%.            i=  3+0.48=  3.48%  (TIR)     Ejercicio  4     Una  compañía  le  propone  al  gobierno  construir  un  puente  cuyo  costo  inicial  es  de   $1.000.000   y   necesita   de   $100.000   al   final   de   cada   año   como   costo   de   mantenimiento  y  $500.000  por  la  cuota  de  amortización,  con  lo  cual  al  final  de  este   tiempo  el  puente  será  propiedad  del  estado  si  la  TIO  de  la  compañía  es  de  2,5%   efectivo  mensual  se  pide  determinar  cual  es  la  verdadera  rentabilidad  del  proyecto.    

 

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Solución.     Primero:  se  dibuja  el  flujo  de  caja.     $500.000    

                             0          1                            2                            3                            4                            5      

  P=  $1.000.000                                                $100.000     Puesto   que   los   $500.000   y   los   $100.000   se   encuentran   enfrentados   en   el   mismo   periodo  de  tiempo  la  GRÁFICA  se  puede  simplificar,  así:     $400.000                                  0          1                            2                            3                            4                            5       P  =  $1.000.000    

  Segundo:  se  establece  la  ecuación  de  la  tasa  de  retorno.   0=  -­1.000.000  +  400.000(P/A,i%,5)       Tercero:   Se   seleccionan   los   valores   de   (i)   por   ensayo   y   error,   hasta   lograr   el   balance  la  ecuación.     P  =  $1.000.000   F  =  400.000*(5)     F  =  $2.000.000   n  =  5     Ahora   como   la   TIO   es   del   2.5%   efectivo   mensual,   equivalente   al   30%   MV,   utilizamos  esta  taza:   La  tasa  de  interés  está  próxima  a  30%  utilizamos  30  %y  28%  en  la  ecuación.     0=  -­1.000.000  +  400.000(P/A,30%,5)     0  =  -­1.000.000+  400.000*2.4356     0  ¹  $-­25.760    

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  Estamos  pasados  del  lado  negativo,  lo  cual  indica  que  los  ingresos  reportan  menos   del  30%,  se  tomará    i=  28%,  así:     0=  -­1.000.000  +  400.000(P/A,28%,5)       0  =  -­1.000.000+  400.000*2.53     0  ¹  $12.000   Interpolamos  entre  30%  y  28%.            i=  28+0.64=  28.64%  (TIR)   Ejercicio  5     Suponga   que   una   persona   adquirió   un   bono   por   la   cantidad   de   $1.000.000   Si   la   vida  del  bono  es  de  5  años  al  final  de  los  cuales  se  recupera  el  valor  de  la  inversión   y  los  intereses  que  se  ganan  al  final  de  cada  año  son  de  $200.000  ,  cual  es  la  TIR   que  se  obtiene  en  está  inversión.     Solución.     Primero:  se  dibuja  el  flujo  de  caja.                                                                                                                                                                            $1.000.000   $200.000                                  0          1                            2                          3                            4                              5                                P  =  $1.000.000  

  Segundo:  se  establece  la  ecuación  de  la  tasa  de  retorno.   0=  -­1.000.000  +  200.000(P/A,i%,5)  +  1000.000(P/F,i%,5)     Tercero:   Se   seleccionan   los   valores   de   (i)   por   ensayo   y   error,   hasta   lograr   el   balance  la  ecuación.       P  =  $1.000.000   F  =  200.000*(5)  +1.000.000   F  =  $2.000.000   n  =  5   Ahora  podemos  plantear:   1.000.000  =  2.000.000  (P/F,i%,5)  

 

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(P/F,I%,5)  =  0.5     La  tasa  de  interés  está  próxima  a  15%  utilizamos  3  %y  4%  en  la  ecuación.     0=  -­1.000.000  +  200.000(P/A,20%,5)  +  1000.000(P/F,20%,5)     0  =  -­1.000.000+  200.000*2.9906  +1.000.000*0.4019   0  ¹  $20     Estamos  pasados  del  lado  positivo,  lo  cual  indica  que  los  ingresos  reportan  más  del   20%,  se  tomará    i=  22%,  así:     0=  -­1.000.000  +  200.000(P/A,22%,5)  +  1000.000(P/F,22%,5)     0  =  -­1.000.000+  200.000*2.8636  +1.000.000*0.3700   0  ¹  $-­57.280   Como  la  tasa  de  interés    del  4%  es  muy  alta  interpolamos  entre  3%  y  4%.            i=  20+0.07=  20.07%  (TIR)         Ejercicio  6     Un  inversionista  de  bienes  raíces  compra  una  propiedad  en  $6.000  y  la  vende  17   años   más   tarde   en   $21.000   los   impuestos   sobre   la   propiedad   fueron   de   $80   el   primer  año,  $90  el  segundo  y  $10  más  cada  año  hasta  que  fue  vendida.  Cual  es  la   Tasa  de  retorno  de  la  inversión?     Solución.   Primero:  se  dibuja  el  flujo  de  caja.                                                                                                                                                                                                                      $21.000                                      0                1              2              3            4              5  …………12  …………………………………    17                                                        80          90                          P=  $6.000  

     

49  

Segundo:  se  establece  la  ecuación  de  la  tasa  de  retorno.   0=  21.000(P/F,i%,17)  -­  80(P/A,i%,17)  -­  10(P/G,i%,17)     Tercero:   Se   seleccionan   los   valores   de   (i)   por   ensayo   y   error,   hasta   lograr   el   balance  la  ecuación.     P  =  $6.000   F  =  21.000-­80*17-­1360   F  =  $18280   n  =  17   Ahora  podemos  plantear:   6000  =  18.280  (P/F,i%,5)   (P/F,I%,5)  =  0.3282     La  tasa  de  interés  está  próxima  a  7%  utilizamos  7  %y  6%  en  la  ecuación.     0=-­6000+  21.000(P/F,7%,17)  -­  80(P/A,7%,17)  -­  10(P/G,7%,17)     0  =  -­6.000+  21.000*0.3166  –80*0.7632-­10*62,592   0  ¹  $-­758,376     Estamos  pasados  del  lado  negativo,  lo  cual  indica  que  los  ingresos  reportan  menos   del  7%,  se  tomará  el  un  i=  6%,  así:     0=-­6000+  21.000(P/F,6%,17)  -­  80(P/A,6%,17)  -­  10(P/G,6%,17)   0  ¹  $267.206            i=  6+0.26054=  6.2605%  (TIR)     Ejercicio  7     Un  viejo  chofer  de  taxi  descubre  la  posibilidad  de  comprar  un  vehículo  en  $50.000,   el   cuál   cree   que   le   producirá   ingresos   netos   $10.000   anuales   durante   los   5   años   siguientes  a  su  compra.  Al  final  de  este  periodo  espera  vender  el  taxi  en  $25.000,   nuestro  amigo  desea  saber  que  tan  buen  negocio  es  el  que  tiene  entre  manos?     Solución.   Primero:  se  dibuja  el  flujo  de  caja.                                                                                                                                                                            $25.000   $10.000                                    0          1                            2                          3                            4                              5    

 

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                 P=  $50.000  

  Segundo:  se  establece  la  ecuación  de  la  tasa  de  retorno.     0=-­  50.000+25000(P/F,i%,5)  +  10.000(P/A,i%,5)     Tercero:   Se   seleccionan   los   valores   de   (i)   por   ensayo   y   error,   hasta   lograr   el   balance  la  ecuación.       P  =  $50.000   F  =  25.000+10.000*5   F  =  $75.000   n  =  5     Ahora  podemos  plantear:     50.000  =  75.000  (P/F,i%,5)   (P/F,I%,5)  =  0.67     La  tasa  de  interés  está  próxima  a  13%  utilizamos  13  %y  12%  en  la  ecuación.     0=-­  50.000+25.000(P/F,13%,5)  +  10.000(P/A,13%,5)     0=-­  50.000+25.000*0.5428  +  10.000*3.5172   0  ¹  $-­1.258     Estamos  pasados  del  lado  negativo,  lo  cual  indica  que  los  ingresos  reportan  menos   del  13%,  se  tomará  el  un  i=  12%,  así:     0=-­  50.000+25.000(P/F,12%,5)  +  10.000(P/A,12%,5)     0=-­  50.000+25.000*0.5674  +  10.000*3.605   0  ¹  $235            i=  12+0.16=  12.16%  (TIR)    

 

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CONCLUSIONES     •  La   TIR   es   un   método   matemático   que   tiene   en   cuenta   el   cambio   del   valor   del  dinero  en  el  tiempo.     •  La   TIR   es   una   medida   porcentual   de   la   magnitud   de   los   beneficios   que   reporta  un  proyecto  a  un  inversionista.       •  La  TIR  indica  la  rentabilidad  del  dinero  mientras  este  se  encuentra  invertido   en  el  proyecto.     •  La  TIR  es  una  tasa  de  interés  que  descuenta  una  serie  de  flujos  anuales  de   efectivo  de  tal  manera  que  el  valor  presente  neto  (en  el  año  cero)  de  la  serie   sea  igual  a  la  inversión  inicial.     •  La  TIR  es  la  tasa  de  interés  que  hace  equivalente  los  ingresos  netos  con  los   egresos  netos.     •  La   suma   del   remanente   y   del   valor   que   ya   se   ganaba   en   su   alternativa   o   costo   de   oportunidad   es   lo   que   produce   el   proyecto   por   encima   de   la   suma   invertida.  Este  valor  medido  como  una  tasa  de  interés  es  lo  que  hace  que  le   valor  presente  neto  sea  igual  a  cero,  es  decir  la  TIR.     •  La  TIR  es  la  tasa  de  interés  donde  la  curva  del  VPN  corta  el  eje  horizontal,   es  decir  para  un  VPN  =0.  

 

52  

MANEJO  DE  CALCULADORA  FINANCIERA     1.-­  INDIQUE  CUALES  TECLAS  SE  UTILIZAN  PARA:     GUARDAR  DATOS  EN  MEMORIA        

 

INVESTIGAR  MEMORIA  SOBRANTE        

 

REGRESAR  DENTRO  MENU    

 

BORRAR  PARCIAL  LA  LINEA  DE  OPERACIÓN      

 

BORRAR  LA  PANTALLA  Y  EL  MENU  VIGENTE      

 

DEFINIR  UN  NUMERO  DE  DECIMALES      

 

MODIFICAR  EL  IDIOMA  DEL  MENU      

 

INVESTIGAR  MAS  DECIMALES  TEMPORALMENTE      

 

PARA  DAR  CONTRASTE  A  LA  PANTALLA    

 

PARA  CALCULAR  LOGARITMOS      

 

CAMBIAR  DE  SIGNO  UN  NUMERO      

 

IMPRIMIR  INFORMACIÓN  EN  PAPEL      

 

REGRESAR   AL   MENU   PRINCIPAL   DESDE   CUALQUIER     PUNTO     BORRAR  LETRAS  O  NUMEROS    

 

INSERTAR  UN  ESPACIO  EN  UNA  FORMULA    

 

 

 

53  

  2.-­  DETERMINE  QUE  REALIZA  CADA  CONJUNTO  DE  TECLAS:       AMARILLO  -­  INPUT    

DISP  –  FIJAR  

 

MATH  –  TRIGO  

 

AMARILLO  -­  TECLA  X  

 

NUMERO  –  STO    -­  1  

 

RCL  -­    5  

 

ON  (SOSTENIDO)  -­  +  

 

AMARILLO  –  EXIT  

 

AMARILLO   –   DISP   –     INTL  –  ESPAÑOL   EXIT  

   

     

 

54  

  3.-­  DETERMINE  QUE  COMPRENDE    CADA  COMPONENTE  DEL  MENU  PRINCIPAL:7     FIN    

COM  

 

SUMA  

 

CALEN  

 

RESOL  

 

TEXTO  

 

  4.-­  MANEJO  DE  LA  OPCION  CALEN:     CUANTOS   DIAS   REALES   HAY   ENTRE   EL   18   DE   MARZO   DE   1954     Y   EL   DIA   DE   HOY   ________________________     CUANTOS  DIAS  COMERCIALES  EXISTEN  ENTRE  9  DE  AGOSTO  DE  1996  Y  EL  DIA  DE  HOY   _____________________     QUE   DIA   SE   INVIRTIÓ   UN   CAPITAL   POR   EL   CUAL   EL   25   DE   NOVIEMBRE   DEL   2000   SE   LIQUIDARON  317  DIAS  DE  INTERÉSES_________________________     SI   INVIERTO   EL   2   DE   ENERO   DEL   2001   UN   CDT   A   618   DIAS   CUAL   ES   LA   FECHA   DE   VENCIMIENTO  DEL  TITULO  ________________________________     CUANTOS  AÑOS  BISIESTOS  HAY  ENTRE  1993  Y  EL  2004_________________     CUANTOS  DIAS  FALTAN  PARA  EL  31  DE  DICIEMBRE  DEL  2004____________     CUANTOS  DIAS  VINCULADO  A  LA  EMPRESA  TIENE  _____________________     CUANTOS  DIA  DE  VIDA  TIENE  _______________________________________  

 

55  

MANEJO  DE  LINEAS  DE  TIEMPO  VALOR     REPRESENTE  GRÁFICAMENTE  UNA  INVERSIÓN  (VP)  EN  UN  CDT  QUE  SE  REALIZÓ   EL   20   DE   MAYO   DEL   2014   Y   SE   REDIME   (VF)   EN   118   DIAS   A   UNA   TASA   DE   INTERÉS  DETERMINADA.                   REPRESENTE  EN  UN  GRÁFICO  UN  CREDITO  (VP)  A  24  CUOTAS  (P)    MENSUALES  A   UNA  TASA  DE  INTERÉS.                 REPRESENTE  UN  AHORRO  (VF)    DE  8  CUOTAS  (P)    MENSUALES  QUE  CRECEN  EN   UN  5%  EN  UN  FONDO  QUE  RECONOCE  UN  INTERÉS.                   REPRESENTE   GRÁFICAMENTE   UN   CREDITO   DE   VIVIENDA   CON   CUOTAS   PAGADERAS  MENSUALMENTE,  QUE  CRECE  CADA  AÑO  EN  UN  15%  Y  ES  DE  TASA   DE  INTERÉS  FIJA.                  

 

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VALOR  DE  DINERO  EN  EL  TIEMPO  -­  INTERÉS  SIMPLE     1.  Una  Entidad  Financiera  nos  hace  un  préstamo  hoy  para  capital  de  trabajo  de  $   15.000.000,   a   un   trimestre,   con   el   12%   de   interés   simple.   Al   entregarnos   el   dinero  nos  descuenta  un  3%  de  comisión  sobre  el  principal  para  cubrir  el  costo   del   estudio   del   crédito.   ¿A   qué   tasa   de   interés   simple   nos   sale   costando   el   préstamo?                     2.  Si  usted  invierte  hoy,  15  de  junio  de  2014  $  4.800.000  en  una  Financiera  al  10%   simple,  cual  será  el  valor  futuro  de  esa  suma  al  13  de  Noviembre  del  próximo  año   bajo  la    modalidad  de  interés  comercial.                           3.   Un   amigo   esta   en   apuros   de   plata   y   necesita   que   usted   le   compre,   hoy   20   de   Marzo  2014,  un  documento  más  sus  intereses  por  $12.000.000,    con  vencimiento   el   7   de   Octubre   del   año   entrante.   Si   su   tasa   de   oportunidad   es   del   12%   simple,   ¿En  cuánto  le  compraría  usted  este  documento?                 4.  Un    amigo  pasa  por  su  oficina  a  ofrecer  una  ganga  que  consiste  en  que  usted  le   compra  a  él  hoy  30    de  Enero  2014,  un  reloj  por  $1.580.000  y  él  le  garantiza  que  

 

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se   la   recompra   el   27   de   mayo   del   próximo   año   por   $1.796.500.   Si   su   tasa   de   oportunidad   es   del   21   %,   hace   usted   el   negocio   o   no,   atendiendo   al   criterio   de   rentabilidad.                   5.  ¿En  cuantos  días  calendario  se  convierte  un  principal  de  $  5.000.000  en  un  valor   futuro  de  $  6.000.000,  a  una  tasa  del  18%  anual  de  interés  simple?                     6.   Calcule   el   valor   futuro   con   interés   simple   de   $   5.000.000   al   16%   anual   en   6   trimestres.                 7.  Hallar  el  descuento  comercial  simple  de  $  1.750.000  al  18%  anual    en  7  meses.   Y  determinar  el  valor  líquido  o  valor  con  descuento.                 8.  Si  $  570.000  se  convierten  en  $  700.000  al  cabo  de  18  meses.  ¿Cuál  es  la  tasa   de  interés  simple  pagada?                  

 

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            9.  Si  $  500.000  se  convierten  en  $  600.000  con  una  tasa  de  interés  simple  del  18%   anual.  ¿Cuánto  tiempo  en  meses  debe  transcurrir?                 10.   ¿Cuánto   tiempo   en   semestres   se   requiere   para   que   un   capital   se   duplique   al   2.5%  mensual?               11.  Un  documento  tiene  valor  de  vencimiento  de  $  900.000  el  día  20  de  Julio  de   2014,   un   inversionista   adquiere   este   documento   el   día   24   de   mayo   de   2014   mediante  una  operación  de  descuento  al  15%.  Esta  pensando  en  volver  a  venderlo   al  16%.  ¿En  qué  fecha  deberá  hacerse  esta  nueva  transacción  a  fin  de  ganarse  $   18.500  en  total?                         12.  Una  comercializadora  ofrece  un  descuento  del  8%  en  ventas  al  por  mayor,  el   6%  por  pronto  pago  y  el  2%  por  transporte.  ¿Cuál  debe  ser  el  descuento  adicional   que  puede  ofrecerse  a  los  empleados    de  la  misma  empresa  para  que  el  descuento   total  no  sea  superior  al  18%.    

 

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              13.     Una   deuda   de   $   75.000,   con   vencimiento   en   12   meses   y   otra   de   $x   con   vencimiento   en   18   meses,   van   a   cancelarse   mediante   dos   pagos   iguales   de   $50.000   c/u   con   vencimiento   en   9   meses   y   15   meses,   respectivamente.   Determinar  el  valor  $x,  con  una  tasa  de  interés  del  12%  suponiendo  como  fecha   de  análisis  a  los    9  meses.                         14.  Una  empresa  adquiere  materia  prima  por  un  valor  de  $15.000.000  y  conviene   pagar  el  15%  anual  de  interés  sobre  el  saldo.  Si  paga  $5.000.000  4  meses  después   de   la   compra   y   $   7.000.000   a   los   9   meses   de   la   compra.   ¿Qué   pago   tendrá   que   hacer  un  año  después  de  la  compra,  para  liquidar  totalmente  el  saldo?                   15. Una  empresa  recibe  el  30  septiembre  un  préstamo  por  $15.000.000  a  una  tasa   de  interés  simple  del  27%  anual  y  un  plazo  de  450  días.  Calcule  el  saldo  en  la   fecha  de  vencimiento  de  la  obligación,  si  se  efectuaron  los  siguientes  abonos  el   próximo  año:     el  15  de  junio  la  suma  de  $5.000.000   el  18  de  julio  la  suma  de  $4.500.000   el  23  de  agosto  la  suma  de  $1.500.000    

 

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VALOR  DE  DINERO  EN  EL  TIEMPO  -­  INTERÉS  COMPUESTO     1.   ¿Cuál   es   el   valor   presente   de   $   5.000.000   pagaderos   dentro   tres   años,   si   los   descontamos  al  12%  TV?                   2.   ¿Cuánto   tiempo   en   trimestres   tomará   $   3.000.000   para   convertirse   en   $4.500.000,  a  una  tasa  del  9%  SV.?                       3.   Si   usted   invierte   en   una   Financiera,   a   una   tasa   de   interés   del   18%   TV,   $   500.000  hoy,  $  1.000.000  dentro  de  6  meses  y  $  1.500.000  dentro  de  12    meses,     ¿Cuál  será  el  valor  acumulado  dentro  de  año  y  medio?                 4.   ¿Cuál   es   el   valor   del   dólar   el   15   de   agosto   del   2014   si   hoy   tiene   un   valor   de   $1.850  y  se  espera  una  devaluación  del  8%.                    

 

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5.  ¿Cuál  es  la  tasa  de  devaluación  efectiva  si  el  22  de  Enero  del  2014  el  dólar  tenía   un    valor  del  $1880.3  y  hoy  está  en  $1940.6?                     6.  Una  persona  debe  pagar  $  3.000.000  dentro  de  dos  años  y  $  5.000.000  dentro   de  5  años.     a.  ¿Qué  pago  único  cancelando  las  dos  deudas  podría  hacer  hoy?   b.  ¿Qué  pago  único  cancelando  las  dos  deudas  podría  hacer  dentro  de  cinco   años?     Calcular  los  valores  suponiendo  una  tasa  de  oportunidad  del  9%  SV.                       7.   El   gerente   de   su   compañía   lo   llama   a   usted   y   le   dice:   vamos   a   prestarle   al   doctor  Salazar,  hoy  $  15.000.000,  al  18%    compuesto  trimestralmente.  Arreglar  un   plan   de   pagos   para   que   devuelva   el   capital   con   sus   correspondientes   interés   en   cinco  pagos    semestrales  sucesivos,  pero  con  la  condición    que  el  primer  pago  sea   menor  que  el  segundo  y  este  sea  menor  que  el  tercero    y  así  sucesivamente.                      

 

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8.  Hallar  el  valor  presente  de  $  20.000.000    al  12%  MV,  en  18  meses,  12  meses  y   6  meses.                     9.  ¿Cuál  es  la  tasa  de  interés  que  se  requiere  para  duplicar  un  CDT  en  pesos  en  60   meses?.  Suponga  que  la  capitalización  es:     A.  Anual   B.  Semestral   C.  Trimestral   D.  Mensual                       10.  Un  proyecto  exige  una  inversión  inicial  de  $  680.000  y  devolverá  $800.000  en   2  años.  Calcular  la  rentabilidad  mes  vencido  que  genera  el  proyecto.                              

 

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11.  Una  persona  debe  $  3.000.000,  con  vencimiento  en  6  meses  e  interés  del  18%   capitalización   trimestral.   Si   el   documento   es   vendido   2   meses   antes   del   vencimiento   y   el   comprador   desea   ganar   un   interés   del   2%   mensual   sobre   el   monto  de  su  inversión,  calcular  el  precio  de  compra.                 12.  A  un  inversionista  le  presentan  3  proyectos,  donde  puede  invertir  su  dinero:       a)  Una    compañía  de  préstamos  ofrece  duplicar  el  dinero  invertido  en  8  años.     b)   Una   empresa   de   sistemas   ofrece   que,   por   cada   $6.000.000   invertidos   devolverá  $  7.500.000  en  36  meses.     c)  Un  banco  ofrece  pagar  el  8%  MV.,  en  depósitos  a  término  fijo.       ¿Cuál  será  la  mejor  alternativa  de  inversión  de  acuerdo  a  la  rentabilidad?                   13.   Una   empresa   tiene   dos   deudas   con   un   banco,   la   primera   deuda   es   de   $1.000.000  con  interés  del  28%  MV,  se  adquirió  hace  6  meses  y  hoy  se  vence;;  la   segunda   deuda   por   $2.000.000   al   21%   MV,   se   contrató   hace   dos   meses   y   vence   en  8  meses,  debido  a  la  incapacidad  de  cancelar  la  deuda,  la  empresa  propone  al   banco   refinanciar   su   deuda,   llegándose   a   una   acuerdo   entre   las   partes   de   la   siguiente   forma:   hacer   3   pagos   iguales   con   vencimiento   en   6,9   y   12   meses   con   una  tasa  del  24%  MV.  ¿Cuál  es  el  valor  de  cada  pago?                  

 

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CONVERSIÓN  DE  TASAS  DE  INTERÉS     •   ¿CUÁL  ES  LA  VARIACIÓN  LA  UVR  PARA  EL  ÚLTIMO  AÑO?:_____________   •   ¿CUÁL  ES  EL  VALOR  DE  LA  DTF  ESTA  SEMANA?:  ___________   •   ¿CUÁL  ES  EL  VALOR  DE  LA  IBR  ESTA  SEMANA?:  ___________   •   ¿CUÁL   FUE   EL   INCREMENTO   DEL   IPC   EN   LOS   ÚLTIMOS   12   MESES?:   ____________     DETERMINE   SI   LA   TASA   ES   EFECTIVA   (E),   NOMINAL   (N)   Y   PERIÓDICA   (P).   COLOQUE  UNA  x.     TASA   EA   Nominal   Per   25%  

 

 

 

2%  MENSUAL  

 

 

 

20  TV  

 

 

 

18  SA  

 

 

 

22  EA  

 

 

 

4.5%  ANTICIPADA  TRIMESTRAL  

 

 

 

18%  EA  

 

 

 

7%  SEMESTRAL  

 

 

 

21  AV  

 

 

 

19  ANUAL  

 

 

 

22  MV  

 

 

 

7%  ANTICIPADA  SEMESTRAL  

 

 

 

20%  

 

 

 

 

 

65  

  1.   ¿CUÁL   ES   LA   TASA   EFECTIVA   EQUIVALENTE   A   LAS   SIGUIENTES   TASAS   NOMINALES?:       A.-­   18%         TV     _____________________     B.-­   15%     MV     _____________________     C.-­      8%     SV     _____________________     D.-­      9%     DV     _____________________     E.-­   12%     AV     _____________________     2.   CUAL   ES   LA   TASA   NOMINAL   EQUIVALENTE   A   LAS   SIGUIENTES   TASAS   EFECTIVAS:       A.-­   14%       ____________________    TV     B.-­   20%       ____________________    MV     C.-­   18%       ____________________    AV     D.-­   15%       ____________________    AV     E.-­   11%       ____________________    SV       3.  ENCUENTRE  LA  TASA  EQUIVALENTE  DE  LAS  SIGUIENTES  TASAS  NOMINALES:       A.-­   12%     TV     _______________    %TV     B.-­   10%       MV     _______________    %MV     C.-­   11%       SV     _______________    %CV     D.-­   14%       DV     _______________    %SV     E.-­   11%       AV     _______________    %AV     F.-­   13%       TV     _______________    %MV     G.-­   14%       CV     _______________    %MV     H.-­   10%       MV     _______________    %CV     I.-­   19%       CV     _______________    %SV     J.-­   13%       AV     _______________    %AV     4.   ¿CUÁL   ES   LA   TASA   EFECTIVA   O   NOMINAL   DE   LAS   SIGUIENTES   TASAS   PRESENTADAS  EN  TÉRMINOS  DE  UVR?:         A.-­   UVR  +  9%   _____________________  %       B.-­   UVR  +  8%   _____________________  %       C.-­   UVR  +  7%   _____________________MV%       D.-­   UVR  +  4%   _____________________TV%  

 

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  5.   ¿CUÁL   ES   LA   TASA   EFECTIVA   O   NOMINAL   DE   LAS   SIGUIENTES   TASAS   PRESENTADAS  EN  TÉRMINOS  DE  DTF?:         A.-­   DTF  +    7   _____________                  %       B.-­   DTF  +    4   _____________                  %       C.-­   DTF  +  10   _____________    AV    %       D.-­   DTF  +    5   _____________    TV    %       E.-­   DTF  +    2   _____________    MV    %     6.  ¿CUÁL  ES  LA  TASA  EN  TÉRMINOS  DE  UVR  EQUIVALENTE  A  LAS  SIGUIENTES?:         A.-­   DTF  +        9     UVR  +/-­    _________  %       B.-­   DTF  +      17     UVR  +/-­    _________  %       C.-­   DTF  +      15     UVR  +/-­    _________  %       D.-­   DTF  +      13     UVR  +/-­    _________  %       E.-­   UVR  +    14%  DTF    +/-­    _________  %       F.-­   UVR  +      9%   DTF    +/-­    _________  %       G.-­   UVR  +  10%   DTF    +/-­    _________  %       7.-­  ¿CUÁL  ES  LA  TASA  EQUIVALENTE  A  LAS  SIGUIENTES?:          

A.-­   B.-­   C.-­  

1%    MENSUAL       3%    TRIMESTRAL       1.5  %    MENSUAL  VENCIDA  

  DTF  +/-­    _________  %   UVR  +/-­    _________  %     _________  AV  

 

D.-­  

UVR  +  10%    

 

 

__________  TV  

 

E.-­  

DTF  +  11        

 

 

 

__________  MV  

  F.-­   2  %  MENSUAL         UVR  +/-­    _________  %     G.-­   IBR  +  10%           DTF  +/-­    _________  %     8.-­  UN  CLIENTE  DESEA  SABER  QUE  TASA  ES  MÁS  CONVENIENTE  PARA  OBTENER   RECURSOS  DE  CREDITO:                

A.-­   B.-­   C.-­   D.-­   E.-­  

UVR  +  8%   DTF  +  7   12%    TV   13  %  MV   14  %  EFECTIVA    

 

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9.-­  ¿Cuál  es  la  tasa  neta  mes  vencida  de  un  CDT  al  DTF  +  2,  utilice  la  DTF  de  la   semana?:               10.  ¿Cuál  es  la  tasa  real  de  un  crédito  otorgado  a  la  DTF  +  8%.  Si  las  cuotas  se   cobran  anualmente?                   11.     Un   banco   ofrece   a   sus   clientes   una   tasa   de   DTF   +   5.   ¿Cuál   es   la   tasa   equivalente  en  UVR  que  la  corporación  puede  ofrecer?,    ¿Cuál  es  la  tasa  efectiva?,     ¿Cuál  es  la  tasa  en  IBR?,      ¿Cuál  es  la  tasa  equivalente  mes  vencida?                   12.  Una  persona  invirtió  $1.000.000  el  1  de  enero  de  2010  y  recibió  un  cheque  con   capital  más  intereses  netos  del  último  trimestre  de  $1.009.800  el  31  de  diciembre   pasado.    ¿Qué  tasa  en  términos  de  DTF  pagó  el  banco  si  se  liquidaron  y  pagaron   trimestre   vencido   los   rendimientos   correspondientes?   (Suponga   que   la   DTF   no   cambio  durante  el  plazo)            

 

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13.   ELABORAR   EL   CUADRO   A   CONTINUACIÓN.   Suponga   de   UVR,   la   DTF,   y   la   IBR  a  la  fecha  de  la  elaboración  del  ejercicio.  Y  tome  el  IPC  del  año  anterior.     TASAS   UVR  +  14   DTF  +  12   24  MV   21  TV   IBR  +  2.5%   UVR             DTF      

 

 

 

 

 

MV  

 

 

 

 

 

IBR  

 

 

 

 

 

AV  

 

 

 

 

 

TV  

 

 

 

 

 

Mensual  

 

 

 

 

 

Trimestral  

 

 

 

 

 

Semestral  

 

 

 

 

 

Anual  

 

 

 

 

 

TV  

 

 

 

 

 

SV  

 

 

 

 

 

DV(360)  

 

 

 

 

 

DV(365)    

 

 

 

 

 

MV  

 

 

 

 

 

TV  

 

 

 

 

 

EFECTIVA  

 

 

 

 

 

                         

 

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PAGOS  PERIODICOS  IGUALES  -­  ANUALIDADES  –  CUOTA  FIJA     1.  Su  Entidad  Financiera  hace  un  préstamo  a  un  empleado  por  $24.000.000,  a  12   meses,   al   26.82%   efectivo   y   pagadero   también   por   mensualidades   vencidas.   Calcule  el  valor  de  las  cuotas.                         2.  Hallar  la  cuota  semestral  de  un  préstamo  de  $  12.000.000  al  24%  TV  en  3  años.                         3.   ¿Cuántas   cuotas   de   $   2.000.000   se   requieren   para   acumular   en   capital   de   $   12.000.000  si  se  coloca  en  ahorros  que  pagan  el  24%  TV?                        

 

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4.   Hallar   la   tasa   de   interés   TV   cobrada   por   un   préstamo   de   $   9.000.000   si   se   pagan   20   cuotas   trimestrales   anticipadas   de   $800.000.   Presente   su   respuesta   en   términos  de  DTF.                       5.  Si  recibo  arriendo  de  $  1.000.000  mensuales  el  primer  día  del  mes  durante  24   meses   y   lo   invierto   en   una   cuenta   que   me   paga   intereses   del   18%   capitalizable   trimestralmente  ¿Cuánto  dinero  tendré  en  la  cuenta  el  final  del  trimestre  8?                         6.   Hace   cinco   años   compre   una   casa   pagando   una   cuota   inicial   del   25%   y   asumiendo  un  crédito  hipotecario  a  15  años,  tasa  de  interés  del  24%  mes  vencido   pagadero   en   cuotas   mensuales.   Actualmente   debo   $   48.000.000.     ¿Cuál   fue   el   precio  original  de  la  casa?                  

 

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7.   Si   conseguimos   recursos   con   un   plan   que   consiste   en   que   recibimos   en   préstamo   $   30.000.000   hoy   y   los   devolvemos   pagando   15   cuotas   mensuales   vencidas  de  a  $  1.500.000  mas  un  ultimo  pago  de  $10.000.000  al  final  de  mes  18,   cual  es  el  costo  efectivo  de  este  dinero?                             8.  Una    compañía  está  en  difícil  situación  económica  y  está  haciendo  planes  para   negociar   sus   deudas.   Con   el   Banco   X   tiene   pendiente   una   obligación   por   $   1.850.000   mensuales,   cuyo   importe   no   ha   podido   cubrir   en   los   últimos   cinco   meses,   incluyendo   una   cuota   que   vence   hoy.   Esta   deuda   se   extiende   por   seis   meses,  y  está  liquidada  al  27%  mes  vencido.       Adicionalmente   tiene   otra   obligación   por   $   10.500.000   ya   incorporados   los   intereses,  que  se  vencen  dentro  de  12  meses,  liquidada  al  32%  trimestre  vencido.   Si  la  compañía  esta  planeando  la  renegociación  de  obligaciones  desea  proponerle  a   la   Corporación   juntar   el   valor   de   esas   dos   deudas   a   hoy,   sin   que   le   cobren   intereses  de  mora  por  la  parte  vencida,  anular    las  obligaciones  anteriores,  y  firmar     un   nuevo   pagaré   a   una   tasa   del   28%   trimestre   vencido,   pero   pagando   cuotas   mensuales   de   $   8.000.000,   ¿Cuánto   tiempo   durará   amortizándole   a   banco   X   la   nueva  deuda?                        

 

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PAGOS  PERIODICOS  VARIABLES  -­  GRADIENTES  –  CUOTAS  VARIABLES     1.-­  ¿Cuál  es  el  valor  presente  de  un  conjunto  de  cuotas  que  inician  en  $1.000.000   y  crecen  mensualmente  en  $50.000  durante  cuatro  semestres  si  la  tasa  de  interés   es  del  21%  MV?.                     2.-­   ¿Cuál   es   el   valor   futuro   dentro   de   cinco   años     de   un   fondo   de   ahorros   que   crece  mensualmente  en  inflación  del  8%  anual;;  si  la  primera  cuota  es  de  $200.000   y  paga  un  interés  del  UVR  +  2?                           3.   Financiar   una   deuda   de   $   10.000.000   hoy,   en   60   cuotas   mensuales   sabiendo   que   la   primera   se   debe   cancelar   dentro   de   6   meses   y   de   allí   en   adelante   (en   el   séptimo   mes)   las   cuotas     aumentarán   en   el   5%     cada   periodo   hasta   la   vigésima   cuota   y   a   partir   de   ese   momento   las   cuotas   permanecerán   constantes   en   $   900.000.  La  tasa  de  interés  es  del  4%  mensual.  Determinar  el  valor  de  la  primera   cuota  del  gradiente.                  

 

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4.  Se  debe  reunir  la  suma  de  $  14  millones  para  dentro  de  seis  años  y  con  tal  fin   se  harán  depósitos  mensuales  tales  que  cada  uno  sea  igual  a  la  mitad  del  anterior   durante   el   primer   año;;   si   estos   mismos   depósitos   se   repiten   en   cada   uno   de   los   tres   años   siguientes   determinar   el   valor   del   primer   deposito   de   cada   año,   suponiendo    una  tasa  de  interés  del  6%  anual.                       5.     Financiar   $   150   millones   de   hoy   en   cinco   años   con   cuotas   mensuales   que   aumentan   en   $   50.000   cada   mes   durante   los   cuatro   primeros   años   luego   se   mantengan  constantes.  La    tasa  de  interés  será  del  2%  mensual                     6.   Un   empleado   decide   ahorrar     la   cuarta   parte   de   su   salario   mensual,   en   una   cuenta   de   ahorros   que   paga   un   interés   del   UVR%   (suponga   la   UVR   en   6%).   El   empleado   tiene   en   la   actualidad   un   salario   de   $   700.000   mensuales   y   le   será     aumentado  en  el  5%  cada  año.  Hallar  la  cantidad  que  tendrá  ahorrada  al  cabo  de   veinte  años.                          

 

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TABLAS  DE  AMORTIZACIÓN    

1.  Cuota  Fija  Amortización    

Tabla  de  Amortización   Cuota  Fija  Interés     Vencido  Mensual   Valor  préstamo:                        $  15.000.000   Tasa  de  interés     DTF  +  12   Períodos       12   Valor  Cuota  Fija               ___________________   No.   CUOTA   INTERÉS   AMORTIZACIÓN   SALDO   0           1           2           3           4           5           6           7           8           9           10           11           12             2.-­  Cuota  Fija  de  Amortización  con  extraordinarias   Valor  préstamo:           $  15.000.000   Tasa  de  interés         DTF  +  12   Períodos           12   Valor  Cuota               _____________   Cuota  Extraordinaria  Semestral              $      5.000.000   Miles  $   No.   CUOTA   INTERÉS   AMORTIZACIÓN   CUOTA   EXTRAORDINARIA   0           1           2           3           4           5           6           7           8           9           10           11           12              

SALDO                            

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  3.-­  Cuota  Creciente  de  Amortización     Valor  préstamo:           Tasa  de  interés         Períodos           Valor  Cuota    Uno         %  de  Crecimiento  Mensual     2%  

$  15.000.000   DTF  +  15   12   _____________   Miles  $   AMORTIZACIÓN  

No.   CUOTA   INTERÉS   SALDO   0           1           2           3           4           5           6           7           8           9           10           11           12             4.-­    Cuota  Creciente  de  Amortización  y  extraordinarias     Cuota  Creciente:         20%  anual   Valor  préstamo:           $  15.000.000   Tasa  de  interés           25%  efectivo   Períodos             12  meses   Valor  Cuota  Uno         _____________   Cuota  Extraordinaria  Semestral         $  3.000.000   No.   CUOTA   INTERÉS   AMORTIZACIÓN   Extraordinarias   0             1             2             3             4             5             6             7             8             9             10             11             12            

 

SALDO  

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EJERCICIOS  DE  TABLAS  DE    AMORTIZACION     SUPONGA  DTF  7.5  %  TV  Y  LA  CORRECION  MONETARIA  DE  LA  UVR  DEL  6%.   1.   –   CALCULAR   LA   CUOTA   Y   ELABORAR   LA   TABLA   DE   AMORTIZACIÓN   DE     $   8.000.000   A   LA   IBR   +   9   CON   UN   PLAZO   DE   18   MESES   Y   CUOTAS   DE   AMORTIZACION  FIJAS  MENSUALES.   N   CUOTA   INTERÉS   CAPITAL     SALDO     0             1             2             3             4             ..             18               2.   -­   CALCULE   LA   CUOTA   Y   ELABORAR   LA   TABLA   DE   AMORTIZACION   DE     $   8.000.000   A   LA   IBR   +   9   CON   UN   PLAZO   DE   18   MESES   Y   CUOTAS   DE   AMORTIZACION   FIJAS   MENSUALES   Y   TRES   CUOTAS   TRIMESTRALES   DE   $1.200.000.     N   CUOTA   INTERÉS   CAPITAL     SALDO   0             1             2             3             4             ..             18               3.   -­   CALCULAR   LA   CUOTA   Y   ELABORAR   LA   TABLA   DE   AMORTIZACION   DE     $   8.000.000   A   LA   IBR   +   9   CON   UN   PLAZO   DE   18   MESES   SI   LAS   CUOTAS   DE   AMORTIZACION  SON  CRECIENTES  MENSUALMENTE  EN  EL  5%.     N   CUOTA   INTERÉS   CAPITAL     SALDO     0             1             2             3             4             ..             18              

 

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4.   -­   CALCULAR   LA   CUOTA   Y   ELABORAR   LA   TABLA   DE   AMORTIZACIÓN   DE     $   8.000.000   A   LA   IBR   +   9   CON   UN   PLAZO   DE   18   MESES   Y   CUOTAS   DE   AMORTIZACION   FIJAS   DURANTE   EL   TRIMESTRE     SI   SE   AUMENTA   EL   VALOR   DE   LA  CUOTA  EN  UN  20%  A  PARTIR  DEL  SEGUNDO  TRIMESTRE.       N   CUOTA   INTERÉS   CAPITAL     SALDO     0             1             2             3             4             ..             18               5.   -­   CALCULAR   LA   CUOTA   Y   ELABORAR   LA   TABLA   DE   AMORTIZACION   DE     $   8.000.000   A   LA   IBR   +   9   CON   UN   PLAZO   18   MESES   SI   LAS   CUOTAS   DE   AMORTIZACION   SON   CRECIENTES   MENSUALMENTE   EN   UN   5%   Y   EXISTEN   ABONOS  EXTRAORDINARIOS  TRIMESTRALES  DE  $  3.000.000.     N   CUOTA   INTERÉS   CAPITAL     SALDO     0             1             2             3             4             ..             18                

 

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EVALUACIÓN  DE  PROYECTOS     Valor  Presente  Neto     1.   Usted  es  el  gerente  de  una  cadena  de  librerías  y  está  pensando  en  ofrecer   al   público   un   servicio   de   fotocopias   y   de   reducciones.     En   el   mercado   encuentra  dos  máquinas  que  le  prestarían  un  servicio  muy  similar  durante  6   años.    La  primera  máquina  tiene  un  precio  de  $6.000.000  y  gastos  anuales   de  operación  de  $800.000.    La  segunda  cuesta  $10.000.000  y  tiene  un  costo   anual  de  operación  de  $500.000.   Con  una  tasa  mínima  de  interés  de  oportunidad  del  15%  anual.  Determine   cuál  de  las  dos  máquinas  debería  adquirir.                           2.   Un   amigo   suyo   le   propone   el   siguiente   negocio:   Invertir   $10.000.000   en   este   momento   para   obtener   una   utilidad   de   $5.000.000   dentro   de   un   semestre,  $4.000.000  dentro  de  un  año,  $3.000.000  dentro  de  año  y  medio   y  $2.000.000  dentro  de  dos  años.    Sabiendo  que  la  tasa  de  descuento  es  del   2%  mensual,  ¿Debe  aceptar  el  negocio  o  no?                                

 

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  3.-­   Luisa   Fernanda   decide   adquirir   un   vehículo   cuando   advierte   que   ha   logrado   ahorrar   $3.800.000   el   auto   de   su   agrado   lo   encuentra   en   una   concesionaria   con   un   precio   de   $17.100.000.   Ante   esta   situación,   consigue   un   préstamo   de   su   empleador   por   $   4.100.000   y   logra   conmover   a   sus   padres   para   que   le   presten  $  7.200.000.  La  concesionaria  esta  dispuesta  a  concederle  un  plazo  de   4   meses   por   los   $2.000.000   que   le   faltan,   con   un   interés   simple   del   3%   mensual.     ¿Cuál   será   el   VPN   del   vehículo   que   adquirió   si   su   tasa   de   interés   de   oportunidad  es  del  1.5%?  y  los  prestamos  tienen  las  siguientes  condiciones:   A)   Con   su   empleador   plazo   de   12   meses,   cuotas   mensuales   iguales   con   un   interés  compuesto  del  2.5  %  mensual   B)   Con   sus   padres   plazo   de   18   meses   cuotas   mensuales   iguales,   con   un   interés  del  4%  mensual.                    

4.   Una   empresa   enfrenta   la   decisión   de   elegir   entre   fabricar   un   modelo   de   indumentaria  deportiva  con  un  ciclo  de  vida  del  producto  de  2  años  o  producir   otro   producto   que   tiene   un   horizonte   de   venta   de   4   años.   Ambos   proyectos   requieren  una  inversión  inicial  de  $  800.000  y  las  tasas  de  costo  de  capital  de   ambos  productos  son  el  18%  y  15%  respectivamente     Los  flujos  proyectados  de  ambos  proyectos  son  los  siguientes:                  A                  B   1     500.000       300.000   2     600.000       350.000     3             350.000     4             300.000     ¿Cuál  de  los  dos  modelos  de  indumentaria  deportiva  debería  implementar?                

 

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5.      

                     

6.    

   

 La   empresa   está   analizando   entre   2   modelos   de   máquinas   prensadora   que   permiten  cubrir  las  necesidades  de  producción  con  las  mismas  prestaciones,   con  los  siguientes  perfiles:   -­   Modelo   A   tiene   un   costo   de   $5000,   tiene   una   vida   útil   de   3   años,   tendrá   costos   de   manteniendo   de   $1.200   anuales   y   al   final   de   los   3   años   la   maquina  tendrá  un  valor  de  $1.000.     -­  Modelo  B  tiene  un  costo  de  $6.000,  tiene  una  vida  útil  de  4  años,  tendrá   costos   de   mantenimiento   de   $1.000   anuales   y   al   final   de   los   3   años   la   maquina  tendrá  un  valor  de  $500.   Con  una  tasa  mínima  de  interés  de  oportunidad  del  10%  anual.  Determine   cuál  de  los  dos  modelos  cubre  las  necesidades  de  producción  de  la  empresa.  

        Una   empresa   realizo   una   inversión   de   $5.000.000   a   4   años   de   plazo   y   ha   estimado  que  el  flujo  de  fondos  del  1er  y  2do  año  es  de  $1.500.000.  Si  el   VPN  de  un  proyecto  mutuamente  excluyente  es  de  $224.537.03  y  la  tasa  de   oportunidad  es  del  20%,  determine  cuáles  deberían  ser  los  flujos  3ero  y  4to   suponiendo  que  el  4to  es  cuatro  veces  más  grande  que  el  tercero.  

 

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Tasa  Interna  de  Retorno     1.   Calcule  la  TIR  efectiva  del  proyecto  de  inversión  cuyo  diagrama  de  flujo  es   el  siguiente:       $  5.000     $  4.000                                   $  3.000   $  2.000                             SEMESTRES                                                                                                                                                                                                           $  11.687     2.   Una  máquina  tiene  un  costo  inicial  de  $18.000.000  y  una  vida  útil  de  6  años   al  cabo  de  los  cuales  su  valor  de  mercado  es  de  $  4.500.000.    Los  costos  de   operación   y   mantenimiento   cancelados   al   principio   de   cada   año   son   $300.000/año   y   cada   año   se   ajustan   en   el   10%   del   mantenimiento   del   primer   año   y   se   espera   que   los   ingresos   anuales   por   la   explotación   económica  asciendan  a  $5.000.000  durante  la  vida  útil  de  la  máquina.  ¿Cuál   es   la   TIR   de   este   proyecto   de   inversión?   Si   los   recursos   para   comprar   la   maquina   rentan   la   DTF   menos   la   retención   en   una   Entidad   Bancaria   es   viable  financieramente  el  negocio.  

 

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  3.          

Halle  la  TIR  efectiva  del  siguiente  proyecto  de  inversión  (millones  de  pesos).   Indique  si  el  proyecto  es  viable  financieramente  si  la  tasa  de  oportunidad  es   la  DTF.                                 3000

 

2800 2600

     

3300

2000 0

1

2

3

4

5

2200

6

7

2400

8

9

10

11

12 TRIMESTRES

    $2.000

              4.    

   

 

Se   prevé   la   instalación   de   una   planta   de   reciclaje   de   residuos   que   implica   una   inversión   de   $60.000.   Sin   embargo,   una   consultora   aconseja   que   una   inversión   adicional   en   máquinas   de   $40.000   acrecentará   los   ingresos   proyectados.     1   2   3   4  

         

Sin  inversión  adicional     30.000       30.000       50.000       40.000    

         

Con  inversión  adicional       40.000       50.000       70.000       60.000  

¿Halle   la   TIR   de   las   dos   alternativas   de   inversión   y   determine   cuál   es   la   mejor  opción?                

                                       

 

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