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Matemática

1er Ciclo de Educación Media Modalidad Flexible

MATEMÁT Cartilla de apoyo docente

Ministerio de Educación Coordinación Nacional de Educación de Adultos

Cartilla de apoyo docente Matemática. 1er Ciclo de Educación Media de Adultos Ministerio de Educación División de Educación General Coordinación Nacional de Educación de Adultos Modalidad Flexible de Nivelación de Estudios Propiedad intelectual Ministerio de Educación Diseño y diagramación: Ramiro Leiva Zamorano

Cartilla de apoyo docente Matemática. 1er Ciclo de Educación Media de Adultos

ÍNDICE INTRODUCCIÓN

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MÓDULO 1 NÚMEROS Y OPERACIONES Tema 1: Operaciones aritméticas básicas Tema 2: Proporcionalidad y porcentaje.

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MÓDULO 2 ÁLGEBRA Y FUNCIONES Tema 1: Lenguaje algebraico básico y ecuaciones de primer grado. Tema 2: La Función Lineal

16 16 24

MÓDULO 3 ESTADÍSTICA Tema 1: Organización e interpretación de información

27 27

MÓDULO 4 GEOMETRÍA Tema 1: Figuras Geométricas

31 31

BIBLIOGRAFÍA

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INTRODUCCIÓN El propósito de esta cartilla de apoyo para el trabajo docente, es entregar a Ud., profesor y profesora, un recurso para complementar sus clases, elaborado a partir de una selección de elementos curriculares entregados en el Decreto Supremo de Educación Nº 211. En general e históricamente la matemática ha sido un área de difícil aprendizaje por parte de estudiantes jóvenes y adultos, no por el contenido propiamente tal, sino por la falta de vinculación y la pérdida de sentido de su estudio, ya que se accede al conocimiento matemático de una manera descontextualizada, con contenidos desvinculados del mundo cotidiano en el que se desempeñan las personas, en resumen, porque aprender matemática carece de sentido para las y los estudiantes adultos. En la educación de personas jóvenes y adultas es necesario promover una matemática que profundice el conocimiento y dominio del lenguaje matemático que los estudiantes portan, de modo de mejorar su capacidad de razonar en forma lógica. Una matemática que tome en cuenta los distintos ámbitos en que se desenvuelve la vida de las personas adultas, que los conecte con su realidad, necesidades y sueños. Cabe aquí señalar que existe un prejuicio de género instalado en mayor o menor grado dentro del profesorado, que apunta a que las mujeres tienen menos habilidades matemáticas. Este prejuicio hace que tanto profesores como profesoras tengan expectativas menores en cuanto al rendimiento de las mujeres, impactando negativamente en el desempeño de las estudiantes. Por tanto, la sugerencia es a incentivar y atender de manera igualitaria tanto a hombres como mujeres, poniendo especial atención a la participación femenina dentro de las actividades del aula, discriminando positivamente en esta área de aprendizaje. Esta cartilla, tomando en cuenta las consideraciones antes descritas, pretende ser un real apoyo, que permita a los docentes optimizar recursos; tener a mano propuestas de trabajo en aula a través de actividades significativas para sus alumnos y alumnas; y diversificar las actividades a desarrollar a partir de un mismo contenido.

Estructura: La estructura de esta cartilla está planteada para el trabajo docente, para la planificación de actividades en aula, y para su trabajo previo y posterior. En algunos casos, las actividades pueden ser replicadas directamente con sus estudiantes, siempre considerando el contexto particular en que el docente realiza su labor.

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La cartilla está dividida en módulos, de acuerdo a los contenidos detallados en el Decreto Supremo de Educación N° 211: a. b. c. d.

NÚMEROS Y OPERACIONES ÁLGEBRA Y FUNCIONES ESTADÍSTICA GEOMETRÍA.

Cada módulo a su vez, está dividido en algunas unidades o temas. La presentación de cada tema será a partir de un mapa conceptual, que relacione contenidos con aprendizajes esperados y algunas de las tareas evaluadas1 para ese aprendizaje, entendiendo que para cada contenido pueden existir varios aprendizajes esperados, y para estos, diversas tareas evaluadas, que al relacionarlas con los aprendizajes esperados nos permitirán realizar o planificar diferentes actividades. Luego, este mapa podrá dar una pauta al docente, para planificar diversas actividades para desarrollar en aula.

Contenido

Aprendizaje Esperado

Contenido

Aprendizaje Esperado

Tarea Evaluada Tarea Evaluada La estructura final de cada unidad será: a. b. c. d. 1

Mapa conceptual Sugerencias metodológicas para el docente Actividades contextualizadas propuestas para el aula Problemas matemáticos en contexto

Tareas Evaluadas obtenidas de los documentos desarrollados para SNEC, accesibles para los docentes.

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MÓDULO 1

Números y Operaciones Tema 1: Operaciones aritméticas básicas

Contenidos: ●● Números enteros y decimales. ●● Las operaciones aritméticas básicas (adición, sustracción, multiplicación y división), uso de la calculadora simple. ●● Propiedades de las operaciones, su uso en la realización del cálculo escrito y mental. ●● Resolución de problemas que involucren operatoria aritmética.

Mapa Conceptual

Contenido

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Operaciones aritméticas básicas.

Aprendizaje Esperado

Resuelve problemas utilizando operatoria combinada.

Resuelve problemas utilizando operatoria simple con grandes y pequeños números.

Tarea Evaluada

Aplica operatoria combinada en problemas que involucran más de una operación para su resolución.

Resolver un problema que requiere calcular un total, a partir de datos particulares en un contexto de venta.

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Sugerencias Metodológicas Es importante considerar que este contenido es relevante para toda persona inserta en un mundo donde el lenguaje matemático es parte de nuestro lenguaje cotidiano, por ello en este contenido es más relevante entregar un contexto adecuado que el concepto abstracto. Cada concepto solo tiene sentido cuando se inserta en un contexto real y presente cotidianamente. Proponemos entonces tratar el contenido a partir de actividades prácticas como las siguientes a modo de ejemplo.

Es importante proponer algunos contextos donde encontremos este contenido, pero también, permitir que los contextos los entreguen las y los estudiantes.

Aplicaciones de los números enteros en situaciones de la vida diaria: Una forma de familiarizarse con este contenido, los números negativos, es descubrir sus aplicaciones. Luego proponemos formalizar los ejemplos, usando la recta numérica, y ejercicios de operatoria con cada ejemplo.

Los números negativos aparecen en muchas situaciones de la vida diaria. Considerando que están relacionados con la diferencia de dos números, es decir, están vinculados a la operatoria, se hacen presentes en el manejo cotidiano de los números, por ejemplo: ●● Para señalar el número de pisos de un edificio, en el ascensor. Los números negativos nos indican los pisos que están por debajo del nivel de la calle, es decir, los subterráneos.

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●● Para medir altitudes, si se considera 0 el nivel del mar, los niveles por encima del mar se expresan por números enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar se expresan por números enteros negativos.

●● Para medir temperaturas, en un termómetro, las temperaturas muy bajas suelen ser llamadas temperaturas bajo cero. Es decir, las temperaturas por encima de 0 grados se indican con números enteros positivos y las temperaturas por debajo de 0 grados se indican con números enteros negativos.

Actividades propuestas, problemas de aplicación de operatoria combinada: Es importante incorporar operatoria combinada en los problemas de aplicación, porque en lo cotidiano todo problema requiere resolverse con varias operaciones. Plantear una situación de contexto como un paseo de un grupo de personas: Un grupo de personas, desea realizar un paseo, para ello necesita organizarse en la etapa de preparación. Los temas que deben tener en cuenta son variados, algunos los detallamos a continuación: ●● Elegir un lugar a visitar, ver el mapa, caminos posibles, distancias a recorrer. ●● Elegir alternativas de alojamiento, averiguando precios, de modo de calcular los costos por día, semana y por persona. ●● Elaborar un menú para cada día y calcular los gastos de alimentación. ●● Determinar los costos totales del paseo, por el grupo y por persona.

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Es posible que la situación planteada nos permita aplicar conocimientos matemáticos en la organización, cálculo de costos, distancias, distribución de actividades, etc. ¿Cuáles son los problemas que se pueden plantear asociados a la situación descrita? Ejemplos Elaborar un detalle aproximado de los alimentos que se consumirán diariamente, para un grupo de 8 personas:

Alimentación del día Desayuno:

2 litros de leche, 8 panes, 1/8 de margarina, ¼ mermelada

Almuerzo:

2 paquetes de fideos, 2 tarros de salsa, 16 vienesas, 8 manzanas.

Once- Cena:

2 litros leche, 8 panes, 8 huevos, ¼ queso, 4 tomates, 3 tarros de atún, 8 manzanas.

A partir de esta lista es posible realizar muchas preguntas asociadas que involucren operatoria combinada de números enteros. Puede incentivar aquí el uso de la calculadora.

Preguntas sugeridas: a. b. c. d. e.

¿Cuál es el costo total diario? ¿Cuál es el costo por persona diario? Si se quedan tres días. ¿Cuál es el costo por persona? Hacer los cálculos estimados para el grupo de 32 personas y para 40 personas. ¿De qué manera se puede realizar el cálculo del mismo menú para 5 personas?

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Problemas matemáticos en contexto: 1.- Un grupo de 17 personas tiene dos alternativas de alojamiento. ●● Cabañas para 6 personas a $20.700 diario ●● Hostería a $13.050 por persona los tres días. Considerando que se quedan tres días ¿cuál alternativa resulta más económica?

2.- El paseo de un grupo de 36 alumnos tiene como presupuesto: $180.000 en transporte, $115.200 en alojamiento y $162.000 en alimentación. ¿Cuál es el costo por persona si los gastos se reparten en partes iguales?

3.- Un grupo de 27 personas organiza un paseo de tres días. La cuota a pagar por cada una es de $23.500.- Dos personas no pueden pagar y el grupo decide asumir sus gastos. ¿Cuánto debe pagar cada persona?

Adicionalmente se pueden presentar otros problemas desarrollados en contextos diferentes.

4.- En un campeonato de fútbol el equipo femenino de la “U” de Chile jugó seis partidos obteniendo los siguientes resultados: 1º partido ganó 3 - 2 2º partido ganó 2 - 0 3º partido perdió 1 - 3 4º partido empató 1 - 1 5º partido perdió 2 - 5 6º partido ganó 1 - 0 ¿Con cuántos goles a favor o en contra terminó el campeonato, el equipo?

5.- La dueña de una librería en Talca, invirtió $72.000 en comprar cierto número de libros iguales en Feria del Libro de Santiago. En cuanto los puso en vitrina, vendió 8 de ellos por $32.000 ganando $1.000 en cada uno. ¿Cuántos libros compró en total?

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Tema 2: Proporcionalidad y porcentaje

Contenidos:

Proporcionalidad y porcentaje, dibujo a escala, ganancias, pérdidas, impuestos, interés simple, leyes sociales, entre otros.

Mapa Conceptual Contenido

Aprendizaje Esperado

Tarea Evaluada

Proporcionalidad y porcentaje

Resuelve problemas que implican calcular e interpretar porcentajes.

Resuelve problemas que involucran variaciones proporcionales, en contextos numéricos y geométricos.

Resolver un problema que requiere determinar el porcentaje de descuento de una unidad, en un contexto de ventas.

Resolver un problema que requiere aplicar proporcionalidad directa en un contexto de publicidad.

Sugerencias metodológicas El concepto de proporcionalidad está asociado al concepto de comparar cantidades, y la comparación está implícita en cualquier acción humana. Mediante la comparación obtenemos información valiosa sobre el entorno: semejanzas, diferencias, tendencias, cambios… Lo importante para este contenido es indicar a las y los estudiantes que la matemática nos entrega formas precisas de comparar, a partir del estudio de las proporciones y los porcentajes.

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Una manera de aproximarse al concepto de proporcionalidad es hacer comparaciones en un contexto de compra y venta.

Actividad Propuesta Entregar una lista de precios de un almacén, que esté detallada en cantidades fijas, y solicitar los valores de otras cantidades del mismo producto. En el almacén de la esquina hay un letrero que dice “¼ de queso por $1.200”, entonces, ¿Cuánto cuesta el kilo de queso? ¿El medio kilo? Cualquier estudiante sabrá comprender intuitivamente que cantidad de queso y precio son variables que cambian proporcionalmente, por ello es posible a partir del ejemplo definir formalmente el concepto de proporción directa. Luego de entregar el concepto formal y escribir una igualdad de dos razones, completamos el problema con las siguientes preguntas: ●● ¿Cuánto valen los 100 gramos de queso? ●● Si al pesar, el trozo que vas a comprar indica 438 gramos, ¿cuál es el valor a pagar por esa cantidad de queso? Entregamos entonces la comparación escrita en un lenguaje matemático, una igualdad de dos razones que comparan cantidad y precio: Cantidad Precio 250 gramos………………………$ 1200 438 gramos………………………$ X

¿Y los porcentajes, %? El cálculo de porcentajes es una herramienta de gran utilidad en la vida cotidiana. El concepto de porcentaje puede ser introducido a partir del concepto de proporcionalidad, entendiendo que un porcentaje es una parte de un total que denominamos 100%. Entonces si al total le asignamos el valor 100, toda parte de ese total será un % de este.

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Ejemplo propuesto: En una tienda leemos un letrero que dice: “Gran liquidación todo con un 20% de descuento” ¿Qué significa esto? ¿Cuánto es efectivamente el descuento? Formalmente, 20% significa tomar 20 unidades de un total de 100 partes, entonces, si un objeto que se va a comprar tiene un valor de $100, se descontarán $20 y pagaremos solo $80. Pero, ¿si el objeto cuesta $350? Calculamos el porcentaje, haciendo una proporción directa: precio

porcentaje

$350

100%

X

20%

Nuestro descuento esta vez será $70, y pagaremos solo $180. Colega, para este contenido es importante considerar siempre el concepto de proporcionalidad y conectarlo con el concepto de porcentaje, como una proporción directa entre el todo y sus partes, de modo que el cálculo de porcentaje no se limite a la operatoria. El cálculo de porcentajes tiene múltiples aplicaciones en problemas de comercio, geometría, encuestas de opinión, medición de índices de producción, natalidad, mortalidad, etc.

Otros ejemplos propuestos Además del ejemplo de las liquidaciones, otra aplicación importante del concepto de porcentaje, es el que se refiere al recargo por concepto del IVA (Impuesto al Valor Agregado) sobre los productos. 1.- Un producto que vale $ 1.500, debe ser vendido con IVA, si este corresponde a un 19%, ¿Cuál es el valor de venta de ese producto? Calculamos el 19% del valor $1.500. precio

porcentaje

$1.500

100%

X

19%

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(19 • 15.00) / 100 = $285. Entonces el precio de venta final con IVA incluido será $1.785.

2.- Un CD valía $5.900 y ahora está rebajado en un 15%. ¿Cuánto deberá pagar el cliente? a) 1er método Calculamos el 15% del total $5.900 (15 • 5.900) / 100 = $885 es la rebaja $5.900 - $ 885 = $5.015 es el precio rebajado. Respuesta: el cliente deberá cancelar $ 5.015.

b) 2do método Este método permite obtener el precio rebajado directamente 100% - 15% = 85% este porcentaje corresponde al precio final con la rebaja incluida. Calculamos el 85% del total $5.900. (85 • 5.900) / 100 = $5.015. Respuesta: el cliente deberá cancelar con la rebaja y es $5.015. Todo ejemplo de aplicación para este contenido debería estar de acuerdo al contexto real de compra y venta. Usar el concepto de IVA, o los descuentos ofrecidos nos permite trabajar con temas de interés para el mundo adulto. Proponemos estos dos ejemplos para ambos casos de aplicación de porcentajes.

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Problemas matemáticos en contexto: 1. Sandra trabaja como promotora de artículos de computación. En las primeras 5 semanas ha ganado $120.000. Si se mantiene la proporción en su sueldo, ¿Cuánto habrá ganado Sandra en total en las 12 semanas siguientes? 2. Para fabricar 30 kg. de chocolate se necesitan 10 kg. de cacao. ¿Cuántos kg. de chocolates se podrán fabricar con 64 kg. de cacao? 3. Un cajón que pesa 9,6 kg contiene 1.152 clavos. ¿Cuántos clavos, del mismo tamaño de los anteriores, habrá en un cajón que pesa 17 kg? 4. En un plano aparece un potrero con un largo de 7 cm. y un ancho de 4,8 cm. Ese terreno en la realidad mide 105 metros de largo. ¿Cuál es el ancho del potrero si los datos en el plano y en el terreno son proporcionales? 5. El sueldo líquido de un empleado se calcula restando los descuentos legales al sueldo imponible. Los descuentos legales son un 12,5% para la AFP y un 7% para salud. ¿Cuál es el sueldo imponible de un empleado si recibe como sueldo líquido un monto de $257.600? 6. Durante mucho tiempo el pasaje de las micros en Santiago costaba $320. Con las alzas del petróleo y el costo de la implementación del Transantiago, este valor tuvo que reajustarse varias veces, de modo que hoy está en $540. ¿En qué porcentaje aumentó el valor del pasaje, finalmente?

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MÓDULO 2

Algebra y Funciones Tema 1: Lenguaje algebraico básico y ecuaciones de primer grado Contenidos: ●● Lenguaje algebraico básico: sentido y uso de las letras, reducción de términos semejantes, productos notables, factorización. ●● Resoluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita, con coeficientes numéricos.

Mapa Conceptual

Contenido

Lenguaje algebraico y ecuaciones de primer grado

Aprendizaje Esperado

Escribe en lenguaje algebraico una expresión que representa una situación descrita en forma verbal y viceversa.

Resuelve problemas que requieren plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Escribir la expresión algebraica que representa una operatoria entre cantidades expresadas en forma literal, en un contexto de dinero.

Escribir y resolver una ecuación de primer grado que permite establecer la relación entre dos variables, en un contexto de aviso publicitario.

Tarea Evaluada

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Sugerencias Metodológicas Para comenzar este contenido, es relevante recordar que la matemática nos permite resolver problemas cotidianos que requieren el uso de operatoria. Dado que no siempre es posible estudiar caso a caso las diferentes problemáticas que se pueden resolver con las operaciones matemáticas, se genera un nuevo lenguaje llamado Álgebra. Es importante insistir en la necesidad de manejar un lenguaje que generalice, que permita resolver un problema matemático aun cuando no conozcamos todos los datos para cada caso. Proponemos presentar el Álgebra como un lenguaje útil, que se usa en la vida real habitualmente y a partir de ahí tomar ejemplos en contexto. ¿Qué es el álgebra? Podemos decir que es un lenguaje, una rama de la matemática que entrega las bases para hacer planteamientos de operaciones numéricas con un lenguaje que represente la realidad.

Actividad Propuesta Utilizar el dinero para plantear el manejo del lenguaje algebraico, a partir del siguiente ejemplo u otro similar: Por ejemplo, practiquemos el lenguaje algebraico con billetes de mil pesos que podamos tener o no tener, podemos sumar o restar la cantidad de billetes de mil pesos que tenemos o debemos, abreviando con símbolos, por ejemplo, La expresión "tengo siete billetes de mil pesos" la representamos simbólicamente con 7m, donde la letra m representa a "un billete de mil pesos". De manera que la expresión algebraica:

7m + 5m significa tener 12m, es decir doce billetes de mil pesos.

Y si queremos representar la expresión “un pago de 3 mil pesos”, escribimos la expresión algebraica:

12m – 3m significa que ahora solo tengo 9m, es decir nueve billetes de mil pesos.

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De igual manera, es posible que la letra m represente otro elemento como “un paquete de dulces”, entonces la expresión

7m + 5m significa tener 12m, y está representando que tengo doce paquetes de dulces.

Este nuevo lenguaje nos permite operar matemáticamente con distintas unidades. Por ejemplo, ¿que interpretación le podríamos dar a la expresión 7a + 5b + 2a - 3b?

En primer lugar, tenemos "unidades distintas" de cosas, hay objetos de clase "a", y objetos de clase "b": Podríamos establecer que "a" represente "una moneda de $500 " y "b" represente "un billete de dos mil pesos", Entonces la expresión 7a + 5b + 2a - 3b puede significar que, en total tengo:

9a (nueve monedas de $ 500) y 2b (dos billetes de dos mil pesos).

En cada una de las operaciones efectuadas, la suma de los términos en "a", y la suma de los términos en "b", tienen su respectiva interpretación. Sumar o restar los términos que tienen la misma letra (la misma unidad) es lo que llamamos "reducir los términos semejantes".

Explicar aquí que eventualmente, podemos no considerar lo que cada letra representa, y operar con los términos que son semejantes. Entregar luego un ejemplo con mayor grado de dificultad.

Veamos otro ejemplo más complejo: Si la unidad es m, y representa un billete de mil pesos o "una luca", como se dice en términos chilenos, ¿Cómo puede usted expresar "media luca", o quinientos pesos? Es claro que la “media luca” es la mitad de una luca, de manera que en términos de la unidad m, la "media luca" se escribe como 0.5m o lo que es lo mismo ½ m

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De manera que podemos trabajar con expresiones algebraicas del tipo: 0.7a + 3b - 0.4a + 0.5b y cuyo resultado es 0.3a + 3.5b Los términos semejantes se suman o restan de la manera habitual, como operamos con los números naturales, enteros o decimales. Un procedimiento ordenado sería: 0.7a + 3b - 0.4a + 0.5b = 0.7a - 0.4a + 3b + 0.5b = 0.3a + 3.5b

Ejemplo propuesto: Suponga que usted tiene 2 billetes de mil pesos (2 "lucas"), y tiene cinco monedas de cien pesos (cinco "gambas"). ¿Cómo puede usted expresar la suma total de estas cantidades de dinero mediante una expresión algebraica? Supongamos que la letra "m" representa un billete de mil pesos (una "luca"), luego si tengo dos billetes de luca, lo representamos por 2m. Por otro lado, cinco monedas de cien pesos (cinco "gambas") equivalen a "media luca", esto es 0.5m. Por lo tanto, la cantidad de dinero total es: 2m + 0.5m.

Ahora si consideramos a "m" como un billete de 1.000 pesos, y a "c" como una moneda de cien pesos, lo anterior también se puede expresar como 2m + 5c

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Problemas matemáticos en contexto: Es importante entregar variados ejemplos de expresiones algebraicas, donde se muestre claramente la traducción del lenguaje usual, a un lenguaje algebraico que permita simplificar la operatoria. Decida entregar expresiones algebraicas con ejemplos simples tomados de contextos conocidos. Suponga que en una Municipalidad se desea hacer un estudio sobre los datos de la población que habita en la comuna. Para ello se decide realizar una encuesta, con el fin de recopilar información acerca de los habitantes y llevar una estadística de las características del grupo.

Para ello se confecciona una tabla, en la que se indican las variables. Por ejemplo, se definen “el número de mujeres mayores de 60 años” o “el número de estudiantes de educación básica”, a través de una letra o combinación de ellas. Complete la tabla asignando una letra a las variables que a continuación se muestran, y añada otras que se puedan considerar. Frase

Variable

Mujeres menores de 60 años

M1

Mujeres mayores de 60 años

M2

Hombres menores de 60 años

H1

Hombres mayores de 60 años

H2

Estudiantes educación básica Estudiantes educación media Estudiantes universitarios Hombres que fuman Mujeres que fuman Estudiantes que utilizan Transantiago Estudiantes que utilizan metro Estudiantes que utilizan automóvil Estudiantes que utilizan bicicleta Hombres propietarios de vivienda Mujeres propietarias de vivienda Hombres con trabajo remunerado Mujeres con trabajo remunerado Mujeres casadas Mujeres solteras

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A partir de la tabla anterior, elabore una nueva con los siguientes campos: Expresión algebraica y Significado de la expresión. Luego, tomando las variables ya definidas, construya expresiones algebraicas usando las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, tal como se muestra en el ejemplo. Expresión algebraica

Significado de la expresión

M1 + H1

N° de personas menores de 60 años que habitan en la comuna

Para iniciar el contenido sobre ecuaciones de primer grado, recomendamos utilizar las actividades anteriores, y a partir de ellas diferenciar el concepto de igualdad y ecuación. Cuando alguno de los términos de la igualdad es desconocido, la expresión es una ecuación. Es importante explicitar la diferencia entre una igualdad y una ecuación. También explicitar que resolver una ecuación es encontrar el término desconocido que hace verdadera la igualdad. Por ejemplo, para la expresión anterior M1 + H1 (N° de personas menores de 60 años de la comuna) Si conocemos el total de personas menores de 60 años de la comuna (por ejemplo 354 personas), la expresión algebraica se transforma en una ecuación, una igualdad donde no conocemos algunos de sus términos. La ecuación planteada es: M1 + H1 = 354

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Otras ecuaciones posibles podrían ser: 7m + 3a = 23 5m + 4 = 10 12x - 3 = 5x + 4 Donde cada una de las letras representa un término desconocido. Para explicar la resolución de ecuaciones de primer grado, es importante aplicar la operatoria básica utilizando la propiedad uniforme. Ejemplo de resolución de una ecuación: 12x - 3 = 5x + 4 / - 5x 12x – 3 - 5x = 5x + 4 – 5x 7x – 3 =4 / +3 7x – 3 + 3 = 4 + 3 7x = 7 /:7 7x: 7 = 7: 7 X = 1

Actividad propuesta Proponemos utilizar una actividad de contexto de consumo para aplicar los conceptos de expresión algebraica y ecuación de primer grado. Puede solicitar a los alumnos el usar sus propias boletas de consumo, de modo que los datos obtenidos tengan sentido para ellos. Conociendo nuestras boletas Las boletas de consumo de los servicios básicos traen información que permite a las personas estudiar cuánto gastan durante el mes y saber cómo las compañías calculan el cobro. Por ejemplo, las boletas de luz entregan el detalle del cobro por concepto de cargo fijo, cargo según la energía consumida e intereses.

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RUT: 96.800.570-7 BOLETA ELECTRÓNICA N° 0 000 00 00 00

Sr(a) NONBRE COMPLETO CLIENTE Dirección: CALLE, N°, COMUNA.

SII Santiago Centro

Su número de Cliente es: zzzzzzzz-z Ruta: 33 333 3333-3 Fecha de Emisión: DÍA - MES - AÑO Fecha de Vencimiento: DÍA - MES - AÑO Detalle de sus lecturas

Detalle de sus compensaciones Compensación SEC por interrupciones internas y externas del período JUL/2008 - JUN/2009 • Total de interrupciones no autorizadas: 0 • Tiempo total interrup. no autorizado (seg): 0 • Tiempo total a compensar (seg): 0,00011301 • Consumo promedio (kWh/seg): 0.00 • Energía no suministrada (kWh): 184,1110 • Costo de falla ($/kWh): • Monto a compensar ($): (*) Equivalente 0 hora(s) y 0 minuto(s)

Detalle de su suministro • Asociado a S/E: • Area típica: • Tarifa: • Potencia conectada (kWh): • Fecha término contrato • del suministro: • Fecha limite de mod. de • su contrato de tarifa: • Propiedad de empalme: • Dirección del suministro:

• Período de Lectura 05 ABR 0007 AL 08 MAR 2007 N° Medidor Propiedad Lectura Anterior Lectura Actual Constante Consumo 10043828 CLIENTE 10546 10731 1 177

• Fecha estimada de la próxima lectura: DÍA - MES - AÑO

Su limite de Invierno es: 302KWh Detalle de su cuente

Cisterna 1A BT1 3.5

• Servicio Eléctrico

A opción del cliente A opción del cliente Cliente Calle N°, Comuna

Cargo Fijo Energía Base Sencillo Actual Sencillo Anterior Intereses Pago fuera de plazo Saldo Anterior de Energía

$ $ $ $

934 15.714 -37 30

Detalle de sus consumos Consumo de os últimos 13 meses KWH

FECHA DE VENCIMIENTO DÍA - MES - AÑO Su gasto diario en energía fue:

TOTAL A PAGAR

$

16.250

$ 370

MONTO ÚLTIMO PAGO$ 12.000

●● Escriba la expresión algebraica que representa el cobro a pagar (C), considerando solo una cantidad “x” de Kwh. consumidos y el cargo fijo. ●● Usando la expresión anterior, ¿cuánto debiera pagar un mes que consume 235 Kwh?

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Tema 2: La Función Lineal Contenidos:

●● La función lineal y la función afín como modelos de diversos fenómenos de variados ámbitos. ●● Ecuación de la recta

Mapa Conceptual Contenido

Aprendizaje Esperado

Tarea Evaluada

La función lineal

Utiliza la función lineal y afín para modelar diversos fenómenos, así como para representar y organizar información entregada en tablas y gráficos.

Expresar algebraicamente, con una función lineal, la dependencia entre dos variables en un contexto de consumo.

Sugerencias Metodológicas Este contenido está totalmente ligado al anterior. Luego de comprender el sentido de usar lenguaje algebraico, se hará simple comprender que se puede modelar la relación entre dos variables con una función. El concepto de función, entendido como la dependencia entre dos variables puede ser entregado a partir de contextos reales como por ejemplo: ●● ●● ●● ●●

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El cobro de la carrera de un taxi El cobro del consumo de luz en una casa La cantidad de basura generada en función de la cantidad de personas La ganancia de la venta de pan en un negocio en función del costo del pan.

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Es necesario aquí mostrar una diversidad de ejemplos de función lineal, haciendo énfasis en la relación entre dos variables. Más adelante, se retoman los ejemplos para escribirlos con lenguaje algebraico, y llegar a la expresión de una función lineal ax + b

Actividad Propuesta Para entender el concepto de función, tomemos como ejemplo el costo de una carrera en un taxi. Habitualmente el taxi tiene un precio fijo por “bajada de bandera”, y sobre ese valor se va agregando un costo por una cantidad de metros recorridos. Entonces, si la bajada de bandera es de $ 250, y el cobro adicional es de $ 90 por cada 200 metros, ¿Cuánto dinero costará la carrera si se recorren 4.600 metros? Para calcular el valor debemos realizar la siguiente operación: 250 + 90 . 4.600 = 2.320. 200

Es decir la carrera costó $ 2.320

¿Cómo escribir una expresión que le permita al taxista y al pasajero calcular siempre el costo, para cualquier valor de metros recorridos? Lo que varía es el costo total y depende de los metros recorridos. Si llamamos C al costo total y M a los metros recorridos, la relación entre ambas variables sería: C = 250 + 90 M 200 Esta expresión es una función lineal, una expresión algebraica que explica la relación entre costo y metros recorridos. Usando la expresión algebraica de una función lineal, Ud. puede proponer el cálculo de varios valores de la función, en este caso, el costo del taxi; con ello completar una tabla y graficar estos valores en un plano cartesiano. Así llegamos a visualizar la representación grafica de una función lineal como una recta. Con la expresión algebraica de la función anterior: COSTO C en función de METROS M

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Complete la siguiente tabla calculando los diferentes valores a pagar de acuerdo a los metros recorridos:

COSTO C METROS M

1.000

1.500

2.500

3.500

4.500

5.500

Luego traslade los valores al siguiente gráfico: COSTO C

METROS M

Preguntas Posibles: ¿Cuánto paga una persona al subirse a un taxi, sin haber recorrido nada? ¿Qué punto en el gráfico representa este valor? ¿Qué figura se forma al unir los puntos graficados? ¿Cuántos metros se recorrieron si el valor pagado es de $ 3.450? La idea es que las y los estudiantes se familiaricen con la expresión algebraica y = ax + b, y que además observen que las variables se relacionan proporcionalmente en este tipo de situaciones,

Problemas matemáticos en contexto: Determinar la expresión algebraica que describe las siguientes funciones lineales: ●● El sueldo de un vendedor de tienda, que tiene un sueldo base y comisiones por venta, en función de la cantidad de productos que vende. ●● La cantidad de semilla a sembrar en función de la superficie del terreno. ●● La distancia recorrida por un auto sobre un camino recto a velocidad constante, en función del tiempo. Graficar cada una de las relaciones anteriores.

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MÓDULO 3 Estadística

Tema 1: Organización e interpretación de información Contenidos: ●● Tablas, gráficos y expresiones algebraicas que sintetizan y relacionan información. ●● Indicadores estadísticos básicos: media aritmética, moda, mediana, deciles y percentiles.

Mapa Conceptual

Contenido

Tablas, gráficos y expresiones algebraicas para sintetizar información

Aprendizaje Esperado

Lee datos en tablas de doble entrada o en gráficos, dibuja un gráfico a partir de datos entregados en una tabla y construye una tabla a partir de datos entregados en un gráfico.

Describe características de población o situaciones a partir de datos estadísticos, y resuelve problemas que requieren esta descripción.

Tarea Evaluada

Seleccionar datos de un gráfico de barras dobles para calcular un promedio, en un contexto de estadísticas de consumo.

Resolver un problema que requiere seleccionar datos de una tabla de doble entrada para describir características de una población, en un contexto de estadísticas demográficas.

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Sugerencias Metodológicas Es importante iniciar este contenido con una definición conceptual como: La estadística generalmente es definida como la rama de la matemática que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones.

Es conveniente mostrar a las y los estudiantes que este contenido será útil en la medida en que aprendamos a aprovecharlo en nuestra vida cotidiana, ya que es seguro que en un futuro necesitaremos tener estas nociones de estadística. Como cada vez es más habitual el uso de gráficos o imágenes para representar la información obtenida, podemos ver a través de los diferentes medios escritos y televisivos de comunicación, la presentación de los datos estadísticos sobre algún comportamiento de variables económicas y sociales, nacionales e internacionales Proponemos, entonces, tratar este contenido empleando información tomada de los medios de comunicación, encontrando en ellos los contextos para presentar datos, tablas y gráficos. El dicho “una imagen vale más que mil palabras'' se puede aplicar al ámbito de la estadística afirmando que “un gráfico bien elaborado vale más que mil tablas de datos''. Enfatizar en que la confección de un gráfico debe ser cuidadosa, ya que un mínimo error en la representación de una tabla de datos puede cambiar por completo la perspectiva de lo que en realidad desea mostrarse.

Actividad Propuesta Usar información que aparece en los medios de comunicación como la siguiente, puede ser el punto de partida para diversas preguntas asociadas. Los canales de televisión utilizan las mediciones de rating para evaluar qué programas son más exitosos y cuánta sintonía tienen en relación con otros canales, lo que les permite planificar mejor su programación. El rating representa el porcentaje de hogares o personas, del universo objetivo, que están viendo un programa de televisión en un momento determinado. Un punto de rating significa que el 1% de los hogares o personas han sido espectadores del canal o programa.

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Por ejemplo, el día lunes 19 de enero de 2009, una empresa que mide el rating entregó la siguiente información: TVN

●● ¿A qué hora tuvo el rating más alto el canal TVN? ●● Aproximadamente, ¿cuál es el rating promedio entre las 21:00 y 00:00 hrs? ●● ¿En qué rangos de horario sería más conveniente poner un aviso publicitario ese día en el canal? Discuta y fundamente su opinión.

Actividad Propuesta Para trabajar con los indicadores promedio, moda, mediana, se sugiere trabajar una actividad como la siguiente: La definición de estas medidas de posición en estadística, debe estar relacionada con su utilidad, por ello el presentar una actividad donde se aplique el cálculo de promedio, moda y mediana como factores en la toma de decisiones, permite al alumno aplicar y entender la utilidad de cada cálculo. El entrenador de un equipo de natación debe elegir a uno de sus integrantes para la próxima competencia de estilo libre. Según los tiempos en segundos que obtuvieron los postulantes de las cinco últimas carreras de 100 m de estilo libre, ¿qué nadador le conviene elegir? Diego Tomás Sergio

61,7 61,5 60,7

61,7 62,9 62,4

62,3 62,9 62,7

62,9 63,7 62,7

63,1 63,7 63,2

Para poder decidir, calcula las medidas de posición de cada uno.

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Diego Tomás Sergio

promedio

moda

mediana

62,34

61,7

62,3

En promedio, los nadadores más rápidos son................................ y ................................., pero esto no significa que hayan tenido el mismo rendimiento; por eso necesitamos las otras medidas de posición: de ellos dos, tanto la moda como la mediana indican que ...............................fue más veloz.

Problemas matemáticos en contexto: En una empresa del sector público se realiza una negociación colectiva en donde las dirigentes gremiales solicitan un aumento del 20% en las remuneraciones. La empresa ofrece un aumento para cada trabajador o trabajadora de 100.000 pesos. Si el salario promedio antes de la negociación es de $300.000, determine: a. El nuevo salario promedio a partir del aumento solicitado por las dirigentes gremiales. b. El nuevo salario promedio a partir del aumento ofrecido por la empresa. c. Cuáles serían las consecuencias lógicas sobre la distribución de ingresos, de aplicarse una u otra medida. ¿Cómo le afectaría a los trabajadores y trabajadoras de mayores y a los de menores ingresos de la empresa?

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MÓDULO 4 Geometría

Tema 1: Figuras Geométricas Contenidos: ●● Figuras geométricas bidimensionales y tridimensionales. ●● Áreas y perímetros de polígonos diversos, especialmente triángulos y rectángulos. ●● Volúmenes de prismas, pirámides, conos, cilindros y esferas.

Mapa Conceptual

Contenido

Perímetros, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos

Aprendizaje Esperado

Resuelve problemas que involucran el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos simples o combinaciones de ellos.

Tarea Evaluada

Calcular el área de un rectángulo conocidas sus dimensiones, en un contexto agrícola.

Calcular el volumen de un prisma de base cuadrada, dadas sus dimensiones en un contexto de publicidad.

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Sugerencias Metodológicas Los contenidos que son parte de la geometría, están absolutamente vinculados a nuestro entorno cotidiano. Entendemos que esta rama de la matemática nace de la observación del mundo y la necesidad de modelarlo.

Para introducir el trabajo con este contenido, es importante dar un contexto de la utilidad del lenguaje geométrico, definiendo qué es la geometría y dónde está presente, para luego introducir los cálculos asociados. La geometría forma parte de nuestro lenguaje cotidiano, si necesitamos comunicarnos con otros acerca de la ubicación, el tamaño o la forma de un objeto la terminología geométrica es útil y esencial. En general un vocabulario geométrico básico nos permite comunicarnos y entendernos con mayor precisión acerca de observaciones sobre el mundo en que vivimos. Tiene variadas e importantes aplicaciones en problemas de la vida real, por ejemplo, está relacionada con problemas de medidas que a diario nos ocupan, como diseñar un envase o una pieza de cerámica o un folleto, cubrir una superficie, pintar una pared o calcular la capacidad de una caja, con leer mapas y planos, con dibujar o construir un techo con determinada inclinación, entre otras.

¿Qué es la geometría? Cuando hablamos de geometría en lo primero que pensamos es en cuadrados, círculos, ángulos, rectas, etc. Pero si tuviéramos que definir el concepto de geometría, ¿cómo lo haríamos? Si nos enfocamos en que la geometría es una ciencia y en lo que estudia, podríamos definirla como: “Ciencia que estudia las representaciones espaciales, puntos, rectas, planos, polígonos, superficies, etc.”

¿Dónde está presente la geometría? Miremos a nuestro alrededor, y seleccionemos algunos elementos cotidianos: ●● una caja de fósforos ●● la mesa del comedor ●● la puerta de la casa

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●● ●● ●● ●●

la olla el letrero del negocio un tarro de café etc.

¿Cómo dimensionamos el tamaño de estos elementos? Podemos medirlos, pero ¿Qué medir? Medimos tres elementos: Perímetro, Área y Volumen.

Para definir los conceptos de perímetro, área y volumen es importante buscar contextos donde sea necesario hacer las mediciones. A continuación se proponen algunos de esos ejemplos. También es posible pedir a los alumnos que tengan en su poder elementos de los nombrados y en forma concreta acceder a sus dimensiones.

Para esto definimos el perímetro de una figura geométrica como la medida de su contorno.

Si medimos el contorno del marco de la ventana, estamos midiendo su perímetro

Si medimos el contorno de la cabeza de un niño, estamos midiendo su perímetro

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Definimos el área de una figura como la medida de la superficie que encierra.

Si medimos la superficie del techo que debemos pintar estamos midiendo su área.

Si medimos la superficie del papel para forrar la caja, estamos midiendo el área de las caras de la caja.

Definimos el volumen de un cuerpo geométrico como la cantidad de espacio que ocupa, la capacidad.

Si medimos la capacidad que contiene este vaso estamos midiendo su volumen.

Si medimos la capacidad que contiene esta caja de cartón estamos midiendo su volumen.

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Actividad Propuesta Proponemos utilizar un aviso publicitario relacionado con el tema de cálculo de áreas y perímetros para ser leído y comentado y luego trabajar posibles preguntas que involucren la aplicación contextualizada del contenido.

Trabajemos los conceptos de área y perímetro desarrollando una actividad en un contexto de construcción. Usamos entonces la información aparecida en el siguiente aviso:

Preguntas posibles: 1. En un terreno cuadrado de 20 m de lado, se colocan 3 casas del modelo A. ¿Cuánto mide la superficie que queda disponible? 2. Don Carlos compra una casa del modelo B y la ubica en su terreno, además desea instalar una cañería alrededor de toda la casa, ¿Cuántos metros de cañería debe comprar? 3. ¿Cuál es la diferencia de superficie entre ambos modelos de casas?

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Problemas matemáticos en contexto: 1.- Don Carlos necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo de los animales. Si el terreno tiene forma rectangular y mide 50 m. de largo y 20 m. de ancho, ¿cuántos metros de alambre necesita para la cerca? 2.- En una escuela han organizado una campaña de invierno de confección de frazadas a partir de cuadrados de lana de 20 cm. por 20 cm. Si desean hacer frazadas que midan 2 metros de largo y 1 metro 60 cm. de ancho: a. ¿Cuántos cuadrados de lana se necesitan para una frazada? b. Si logran reunir 1.000 cuadrados de lana ¿cuántas frazadas se pueden confeccionar? c. ¿Sobran cuadrados? 3.- Don Ángel es maestro y le han pedido que instale baldosa en el piso de una sala del colegio, ¿cuántas baldosas de 30 cm. por 30 cm. se necesitan para cubrir el piso de la sala si mide 6 por 12 metros? 4.- Si también le piden hacer un trabajo en una cocina instalando azulejos, ¿cuántos azulejos de 20 cm. por 20 cm. se necesitan para cubrir una parte de la cocina que mide 2 por 2 m.? 5.- En un almacén de dimensiones 5 m. de largo, 3 m. de ancho y 2 m. de alto, se quiere almacenar cajas de dimensiones 100 cm. de largo, 60 cm. de ancho y 40 cm. de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?

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El material entregado aquí, pretende ser un aporte y un apoyo real para la preparación y desarrollo de las clases con estudiantes adultos. Todo material puede ser mejorado, en la medida en que cada docente considere las metodologías mas apropiadas para utilizar con sus estudiantes, entendiendo que es él quien mejor los conoce.

BIBLIOGRAFÍA Matemática Activa – Texto del estudiante 1º Medio. Ed. Mare Nostrum Ltda. Matemática Aplicada – 1º Medio Ed. Zig-Zag.

De la Web

www.sectormatematica.cl www.matematicas.net www.mineduc.cl

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