• Author / Uploaded
• jmolina1

• Categories
• División (Matemáticas)
• Número racional
• Fracción (Matemáticas)
• Exponenciación
• Números

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS CURSO INTRODUCTORIO UNIVERSITARIO CIU 2014 CARTILLA TEÓRICO - PRÁCTICA

Docentes específicos: Jesús Arias, Gonzalo Maximiliano López, Mario Ávila, Clara Pamela Pérez, Nilsa Sarmiento, Franco Zanek, Eduardo Gómez, José García, Nélida Zulema Fonseca, Belinda Casimiro

Docentes Virtuales: María Laura Masse, Carina Reyes

Docente de Comprensión y Producción de Textos: María de las Mercedes Funes

Responsable del Servicio de Orientación y Tutoría de la Facultad (SOYT): Dalcy Flores

Coordinador: José Molina El equipo CIU 2014 de la facultad te da la bienvenida y esperamos que este curso te sirva como adaptación a la vida universitaria y que sea el principio para lograr el objetivo de que seas una mejor persona y un excelente profesional.

SERVICIO DE ORIENTACIÓN Y TUTORÍA En el Servicio de Orientación y Tutoría de la Facultad (SOYT) encontraras acompañamiento a través de: 

Información sobre todo lo relacionado a la vida académica y cultural, derechos y

obligaciones de los estudiantes. 

Orientación para realizar trámites académicos, de elección curricular.



Asesoramiento para: organizar tus horarios, cursado de las materias, forma de estudiar,

Coordinamos grupos de estudio para las materias, acompañados por tutores alumnos Buscamos fortalecer la inclusión y permanencia de los ingresantes a la Facultad de Ciencias Exactas, facilitando la adaptación a la vida universitaria.

¡Acércate y plantea tus inquietudes! Responsable: Prof. Dalcy A. Flores. Comunicate a través del Correo electrónico: [email protected] Facebook: soyt exactas https://www.facebook.com/soyt.exactas

Tutoría con estudiantes de Pueblos Originarios “Si perteneces a alguna Comunidad Originaria comunícate, hay un grupo de docentes, tutores pares y estudiantes indígenas que trabajan para contribuir a preservar y fortalecer las pautas culturales, la cosmovisión e identidad étnica”. Tutor estudiantil en Facultad de Ciencias Exactas: Natalia E. Aguirre

Te esperamos y acompañamos todo el año en el Servicio de Orientación y Tutoría (SOYT) ubicado a la par del al anfiteatro “D”

1

PROYECTO DE TRABAJO CON ESTUDIANTES PROVENIENTES DE COMUNIDADES ORIGINARIAS Res. CS Nº 196/10 y 243/10 La presencia de jóvenes indígenas en las universidades argentinas es un fenómeno que tiende a incrementarse. Desde hace al menos una década, la región ha venido experimentando un desplazamiento de la demanda indígena desde el nivel de la educación básica hacia el de la educación superior, incluida la universitaria. Ello no ha significado en lo absoluto el abandono de demandas esenciales que tienen que ver con una educación básica de mayor pertinencia y calidad, sino más bien la extensión de tales reivindicaciones para trascender la educación básica –hasta entonces constituida en una suerte de umbral. La Constitución Nacional en el inciso 17 del artículo 75 expresa: “Reconocer la preexistencia étnica y cultural de los pueblos indígenas argentinos. Garantizar el respeto a su identidad y el derecho a una educación bilingüe e intercultural… La Ley de Educación Nacional 26.206 en su Capítulo XI, artículos 52 a 54, garantiza el derecho constitucional de los pueblos indígenas a recibir una educación que contribuya a preservar y fortalecer sus pautas culturales, su lengua, su cosmovisión e identidad étnica. En este sentido, la Universidad Nacional de Salta desde el año 2009 lleva adelante un Proyecto de Trabajo con estudiantes provenientes de Comunidades Originarias. El Proyecto tiene como objetivos:  Conformar un equipo de trabajo a fin de identificar problemáticas, necesidades y expectativas de los estudiantes de pueblos originarios, en las áreas académicas, personales y sociales.  Acompañar a los estudiantes originarios en su integración a la vida universitaria.  Incorporar a los jóvenes provenientes de comunidades originarias al Proyecto de Orientación (Tutoría de Pares) como una estrategia permanente que ayude a disminuir el impacto del fenómeno de la deserción y desgranamiento de los alumnos en el Primer año de cursado de la carrera reconociendo sus particularidades.  Generar espacios de diálogo y reflexión acerca de sus expectativas y necesidades y las de sus comunidades. Los jóvenes que ya participamos del Proyecto te invitamos a sumarte para: amistad



consolidarnos como grupo, creando lazos y espacios de interacción, contención, apoyo y

    

mostrar que todos podemos y tenemos la capacidad para realizar nuestros sueños formarnos profesionalmente para poder elegir un estilo de vida aprender otras formas de ayudar y defender a nuestras comunidades Participar de los espacios tutoriales académicos y sociales. Fortalecer nuestros conocimientos sin dejar de lado nuestra identidad

Cada Facultad y Sede Regional cuenta con un tutor. Durante el CIU consultá con tus docentes para sumarte al proyecto. También podrás acercarte al Servicio de Orientación y Tutoría de la Facultad de Ciencias de la Salud ubicado en el Box Nº 3 de Edificio Multifuncional Tel: 0387 4258629 TE ESPERAMOS!!!

2

Manual del Alumno en Moodle Curso de Ingreso 2014 - Facultad de Ciencias Exactas - UNSa Autoras: Lic. Carina Reyes, Lic. María Laura Massé

1. 1.1.

Introducción ¿Qué es Moodle?

El aula virtual del CIU 2014 de la Facultad de Ciencias Exactas está basada en una plataforma Web llamada MOODLE (Modular Object Oriented Distance Learning Enviroment). Esta plataforma diseñada por Martin Dougiamas está orientada a producir cursos en internet y páginas Web. Moodle es una aplicación Web a la que se accede por medio de un navegador Web (Microsoft Internet Explorer, Mozilla Firefox, Opera, etc.), esto quiere decir que para que accedas al aula virtual necesitarás una computadora con al menos un navegador Web instalado y con conexión a Internet. Te recomendamos que accedas a la plataforma utilizando el navegador Mozilla Firefox para que la visualización del aula sea mejor.

1.2.

¿Por qué registrarse?

El Proyecto CIU 2014 te propone trabajos en Comisión, asistencia a paneles de debate y diferentes tipos de actividades para conocer aspectos del contexto universitario y profundizar saberes específicos a la carrera que elegiste. Por tal motivo deberás desarrollar actividades en la virtualidad y necesitarás para ello estar registrado en al aula virtual CIU de la Facultad de Ciencias Exactas. Los administradores del aula virtual gestionarán tu registro. En tu cuenta de correo electrónico tendrás una invitación y las indicaciones para completar el proceso de registración.

2.

Acceso a Moodle

1. Ya estás registrado en el curso CIU de la Facultad de Ciencias Exactas. La dirección de acceso al aula virtual es: http://www.aulanet.com.ar/unsa/aulavirtual/course/view.php?id=80, escríbela en la barra de direcciones de tu navegador. 2. Te aparecerá una imagen similar a la que se muestra a continuación:

Figura 1: Ingreso a la plataforma Moodle

3

3. Para ingresar al aula virtual debes introducir tu nombre de usuario y contraseña. Nombre de usuario: será tu DNI. Contraseña de usuario: será tu DNI. Por ejemplo si tu DNI es 39.789.256 tu usuario y contraseña serán: 39789256

Figura 2: Acceso al aula virtual El acceso puedes hacerlo de dos maneras posibles, una vez introducidos usuario y contraseña, pulsando sobre cualquiera de los dos “Entrar” (en la parte superior derecha o en la parte inferior centrada). 4. Al Ingresar al Aula aparecerá una página como la siguiente:

Figura 3: Página principal del curso

2.1.

Recuperar Clave

Figura 4: Acceso a Moodle

4

Figura 5: Contraseña olvidada Solo debes completar tu nombre de usuario ó tu dirección de correo. No necesariamente ambos. Moodle generará una nueva contraseña que enviará a tu dirección de correo registrada en la plataforma.

3.

Utilización básica de Moodle

A continuación se muestran unas normas básicas de comprensión del aula virtual en Moodle: 1. Si posas el mouse sobre algún texto y aparece una manito blanca, indica que es un enlace, y permitirá desplegar nuevas páginas si cliqueas sobre ellos. , se reduce dicho bloque. Antes de reducirlo, 2. En cualquiera de los bloques, cliqueando sobre el ícono se puede ver el contenido completo del bloque, luego de clicearlo solo su título. 3. El siguiente menú muestra el lugar en el que te encuentras dentro del curso Moodle:

En este caso te encuentras dentro del foro de Asistencia Técnica, que está dentro de AV Exactas CIU y a su vez está incluido en UNSa. Cliqueando en “AV Exactas CIU” o “UNSa” regresarás a esas páginas. 4. El icono circular color naranja (que intenta ser un signo de pregunta) a modo de ayuda sobre la funcionalidad del enlace.

, muestra un texto explicativo

5. Un ícono MUY IMPORTANTE y muy poco usado es . Si cliqueas sobre este icono en alguno de los bloques de temas todo el curso se resumirá a ese diagrama. Para volver a ver el curso con todos los temas debes hacer cicl nuevamente en 6. Para salir del curso solo se debe hacer click en cualquiera de los dos enlaces “Salir”, uno situado en la parte superior derecha y otro en la parte inferior centrada de la página. 7. Cualquier editor que aparezca en Moodle tendrá el siguiente aspecto y permitirá: cambiar tipo y tamaño de letra, formatos, idiomas, subrayado, cursiva, negrita, tachado, subíndice, superíndice, hacer y deshacer, colores, iconos, caracteres especiales, buscar y reemplazar, enumeraciones, tabulación, usar vínculos, crear anclas, crear tablas, insertar imágenes, escribir líneas, y sangrías. En definitiva, permitirá prácticamente lo mismo que cualquier editor de textos que puedes utilizar habitualmente. Para obtener ayuda sobre lo

5

que hace cada botón del editor, debes posar el puntero del mouse sobre el botón y automáticamente se despliega un mensaje de ayuda.

Figura 6: Editor de texto

4. 4.1.

Los Bloques del aula virtual Bloque Principal del Aula Virtual

El curso está organizado en dos grandes zonas. El lado izquierdo con un serie de bloques que se describen en las siguientes secciones y un lado derecho con el contenido del curso. El contenido del curso se orgniza en varias partes: 4.1.1.

Presentación

Esta sección del aula tiene como objetivo darles la bienvenida y presnetarles la primera actividad que deben realizar en el aula virtual.

Figura 7: Presentación 4.1.2.

Panel de Anuncios

El panel de anuncios tiene la finalidad de publicar información importante durante el desarrollo de las clases del curso de ingreso. Toda la información que allí s epublique, también será enviada a sus correos electrónicos por medio del foro de Novedades. Deben estar muy atentos a lo que aquí se ponga para no perderse de ningún evento importante para poder cursar el ingreso con éxtio.

6

Figura 8: Panel de Anuncios 4.1.3.

Foros Generales

Los foros son la vía de comunicación principal, además de las clases presenciales, con la que vas a estar en contacto con tus compañeros y los docentes del curso de ingreso. Vamos a trabajar con tres foros en esta sección: 1. Foro de Novedades: Este foro solo está destinado a que los profes del curso les envíen novedades importantes que deben saber para poder cursar con éxito el ingreso. En este foro no pueden hacer participaciones. 2. Foro de Asistencia Técnica: Este foro te servirá para hacer consultas relacionadas con la organización del CIU tanto a nivel presencial como virtual. Cualquier duda que tengas respecto a este tipo de cosas, como horarios de clase, aulas, dónde encontrar material de trabajo, cómo desarrollar un aactividad, etc. podés preguntarlo por aquí. Este foro estará moderado por los docentes virtuales y el coordinado del CIU. 3. Foro Encuentro: Este foro es para ustedes, es para que se conozcan con sus compañeros, compartan expriencias, gustos y puedan hacerse de un grupo de amigos. Este foro no es moderado por un docente, es decir que no participan en las conversaciones, pero sí monitoreado permanentemente por el equipo virtual para controlar los modos y temas que se debaten. Recuerden que las conversasiones siempre deben ser respetuosas, con modos adecuados al espacio virtual en el que están navegando. Este foro puede ser accedido por todos los estuiantes del CIU de la Facultad de Ciencias Exactas.

Figura 9: Foros Generales 4.1.4.

Biblioteca

La Biblioteca contiene todo el material de interés general que puedas necesitar para el curso de ingreso. Además podrás disponer de los pdf para imprimir de los apuntes teóricos y trabajos prácticos que se utilizan durante el cursado del CIU.

7

Figura 10: Biblioteca 4.1.5.

Los temas del contenido del curso

Los temas que se abordan durante el CIU son 5: Sistemas Numéricos, Polinomios, Ecuaciones, Inecuaciones y Funciones. Cada uno de estos temas tendrá un bloque en el aula virtual destinado a su desarrollo. El trabajo en el aula virtual es de acompañamiento y complementación de las actividades que realices en las clases presenciales. Recuerda que debes cumplir con el 60 % de trabajo en el aula virtual, además de los requisitos presenciales, para aprobar el CIU. En cada uno de estos bloques encontrarás: 1. Foro de Asistencia Temática: Este foro está previsto para que hagas todas las consultas que necesites respecto del tema que se está estudiando en cada sección. El foro estará moderado por tu profe y el tutor estudiantil de clases prácticas y solo puede ser accedido por tus compañeros de la comisión. Es importante que todas las dudas que tengas respecto al desarrollo del Trabjo Práctico las realices a través de este foro y NO a través de los foros de Encuentro ni Asistencia Técnica. Todas las dudas que vos tengas serán atendidas por tus profes y es importante que todos tus compañeros puedan acceder a la respuesta que ellos te brindan para que de esa manera la duda quede aclarada para todo el grupo. 2. Material para clases presenciales: Aquí siempre encontrarás el libro (apunte teórico) del tema y el trabjo práctico que se desarrolla en la clase presencial. Recuerda que el libro en formato pdf lo puedes encontrar en la biblioteca. 3. Actividades virtuales OBLIGATORIAS: Como te explicamos anteriromente, debes cumplir con un porcentaje de las actividades virtuales propuestas. En general van a ser dos, una de ellas un cuestionario de autoevaluación (Actividad 2 en la Figura 14). Este cuestionario es de tipo verdadero/falso y respuesta múltiple y se se corrige en el momento en el que lo desarrollás. Es importante que lo realices porque te servirá para poder saber si los temas que estás estudiando te resultan dificiles o no. Todas son actividades que están pensadas para ayudarte en un mejor desempeño en el cursado del ingreso.

Figura 11: Tema específico 1 4.1.6.

Los temas de cada área de la Facultad

En nuestra Facultad hay cuatro áreas en las que se organizan las carreras que dictamos: Química, Física, Matemática e Informática. En el aula presentamos, por cada una de ellas, páginas y recursos virtuales interesantes que te pueden servir para orientarte en reñación a los contenidos que se abordan en cada una de las carreras que se dictan en la Facultad.

8

Figura 12: Contenidos específicos por áreas Como se puede ver en la Figura 9, el aula tiene en su lado izquierdo un listado de bloques con diferentes contenidos y objetivos. A continuación te explicamos para qué sirve cada uno de ellos.

4.2.

Bloque Administración

Figura 13: Bloque Administración Este menú te permitirá consultar las calificaciones obtenidas en el curso, desmatricularse del curso y además de mostrar y modificar tu perfil. 4.2.1.

Calificaciones

Figura 14: Pantalla de Clasificaciones Objetivo: Monitorear las calificaciones de las actividades planteadas. 4.2.2.

Desmatricular en AV Exactas CIU

Te recomendamos

NO aceptar la desmatriculación, porque de hacerlo ya no podrás acceder al aula virtual.

9

4.2.3.

Perfil

Figura 15: Pantalla de edición de perfil Objetivos: Actualizar los datos del usuario, agregar descripciones e incluir una fotografía en la plataforma. A partir de aquí puede realizar diferentes acciones. Describiremos a continuación las más importantes: 1. Botón Cambiar Contraseña Te recomendamos que cambies tu contraseña personal para que sea segura y solamente tú la conozcas, por favor hazlo inmediatamente después de ingresar por primera vez al aula virtual. Oprime el botón Cambiar Contraseña y podrás realizar el cambio. Elige una contraseña personal contenga al menos 8 caracteres, alternando letras minúsculas y mayúsculas, números y caracteres especiales como por ejemplo, @ o _. Pulsando sobre Guardar Cambios, se modificará la contraseña. 2. Botón Desmatricular en AV Exactas CIU Esta acción ya fue descripta en la sección 4.1.2 3. Pestaña Editar Información Oprima la pestaña “Editar Información” para que aparezca la siguiente pantalla donde podrá modificar sus datos personales.

Figura 16: Pantalla para editar información personal (parte superior) Para incluir una imagen en tu perfil, oprime el botón Examinar... y busca la foto que deseas publicar. Recuerda registrar todos los campos resaltados con rojo y asterisco, y oprime el botón Actualizar Información Personal.

10

Figura 17: Pantalla para editar información personal (parte inferior) El botón Mostrar Avanzadas, que se encuentra a la derecha de la imagen, al pulsarlo mostrará otras características de configuración personal. 4. Pestaña Mensajes Oprima la pestaña Mensajes para que aparezca la pantalla donde podrá visualizar los mensajes que ha recibido.

4.3.

Bloque Actividades

Son varias las actividades que pueden aparecer en este menú. Este menú permite acceder a todas las actividades que el profesor ha creado para el curso. Éstas se irán incluyendo automáticamente en el bloque a medida que el profesor las vaya proponiendo.

Figura 18: Bloque de Actividades 4.3.1.

Foros

Objetivos: Iniciar una conversación en el foro de debate y adjuntar un archivo para que el resto de los compañeros puedan leer el mensaje y descargar información adicional.

Figura 19: Pantalla General de Foros del aula virtual

11

En esta pantalla se pueden ver todos los foros habilitados en el aula virtual. En la parte superior se puede acceder a la opción “Suscribir a todos los foros” esta opción habilita el envío de todos los mensajes de todos los foros a tu cuenta de correo. La opción “Dar de baja de todos los foros” deshabilita esta opción. El foro Novedades obliga a la suscripción de todos los miembros del curso, por lo que siempre estarás suscripto a este foro. Si deseas solo suscribirte o darte de baja de un foro en particular, lo puedes hacer usando los botones de cada foro ubicados en la parte derecha de esta pantalla. Acceder a los foros

Si pulsas en el “Foro de Asistencia Técnica” veras una pantalla similar a la siguiente:

Figura 20: Pantalla del foro Asistencia Técnica Para agregar un nuevo tema debes pulsar en el botón Colocar un nuevo tema de discusión aquí. Para responder a un tema ya creado debes hacer click en ese tema en particular. Responder un tema del foro Oprimiendo sobre el nombre del tema elegido, aparecerá la siguiente pantalla con el mensaje propuesto. Por ejemplo en la figua solo está creado el tema “Prueba” si deseas participar en esa conversación, hacé click en el asunto. Luego se abre una pantalla como la siguiente:

Figura 21: Pantalla de discusión de un tema en el foro de Asistencia Técnica Dentro de esta pantalla se pueden ver todos los mensajes del foro. Cada mensaje contiene además de su contenido en sí mismo, los datos de quien lo envió , la fecha del envío y si contiene o no un archivo relacionado (adjunto). Para responder a un mensaje debes hacer click en Responder. Solo podrás eliminar y editar los mensajes que hayas creado vos. Agregar un nuevo tema al foro Pulsando sobre el botón Colocar un nuevo tema de discusión aquí de la pantalla que se muestra en la Figura 17, aparecerá la siguiente pantalla:

12

Figura 22: Pantalla para agregar un nuevo tema al foro (parte superior) En la ventana añadir un nuevo tema tendremos que definir el asunto y el texto del mensaje en los espacios dedicados para ello. También te da la posibilidad de añadir un fichero adjunto utilizando el botón Examinar... . Las opciones de fromato y suscripción no son de mayor importancia, por lo que te sugerimos no modificarlas. A continuación pulsa sobre el botón Enviar al Foro.

Figura 23: Pantalla para agregar un nuevo tema al foro (parte inferior) Una vez realizados estos pasos, el mensaje aparecerá publicado en el Foro junto al archivo adjunto. 4.3.2.

Recursos

Objetivos: Acceder a cualquier tipo de elementos tales como: páginas de texto, páginas Web, enlaces a archivos o Web, publicados por el Docente como material de estudio o de información. La forma en la que se mostrará el recurso depende del tipo del mismo y de cómo esté configurado el navegador de la computadora que estés usando.

4.4.

Bloque Personas

Figura 24: Bloque Personas Este menú proporciona vínculos a la lista de todos los participantes del curso.

13

4.4.1.

Participantes

Figura 25: Pantalla de Participantes Objetivos: Acceder a las fichas de cualquiera de los participantes del curso, tanto de profesores como de alumnos del curso. Si oprimes sobre el nombre de alguno de ellos, se abrirá la ficha personal con aquellos datos que la persona haya querido hacer públicos.

4.5.

Bloque Novedades

En este menú aparecerán los avisos importantes y nuevos que el Profesor quiera comunicarle a todos los usuarios. Para acceder basta con hacer clic sobre dicho aviso.

4.6.

Bloque Eventos Próximos

Este menú muestra los eventos que se aproximan, permite también acceder al calendario y crear un nuevo evento a nivel personal o de grupo.

4.7.

Bloque Mensajes

Figura 26: Bloque Mensajes En esta sección del aul apodrás recibir mensajes privados de otros participantes del curso. Para leer los mensajes debes hacer click en el icono del sobrecito. En la siguiente figura se muestra el bloque con 3 mensajes recibidos de un participante del aula.

14

1

Conjuntos Numéricos.

Autores: Arias, Jesús; López, Gonzalo.

1.1

Números Naturales.

Es el conjunto de números que sirven para contar, son los primeros números que aparecieron en la historia. N = f1; 2; 3; 4;

g

El conjunto de los números naurales admite un orden y los podemos representar sobre una recta numérica de la siguiente manera:

Observamos que el cero no pertenece al conjunto de los números naturales, sin embargo, si es necesario podemos trabajar con el siguiente conjunto, donde hemos incluido al cero como primer elemento: N0 = f0; 1; 2; 3; 4;

g

En N están de…nidas las operaciones suma y producto. Si sumamos o multiplicamos dos números naturales el resultado es siempre un número natural, lo que nos dice que el conjunto de los números naturales es cerrado tanto como para la suma como para el producto. Propiedad conmutativa El resultado de una suma es siempre el mismo, independientemente del orden en el que se efectúe la adición. Esta misma propiedad es válida para el producto, el resultado del producto de dos números es independiente del orden de los factores. 2+5=5+2 2 5=5 2 Propiedad asociativa Para tres o más números, la suma es la misma, independientemente del orden en el cual los números se adicionen. Del mismo modo para el producto, el resultado es el mismo independientemente del orden en el cual se multipliquen los números. (3 + 2) + 5 = 3 + (2 + 5) (3 2) 5 = 3 (2 5)

1.2

Números Enteros.

No siempre podemos restar dentro del conjunto de los Naturales. Para solucionar el problema de la resta, necesitamos contar con el cero y los números negativos 1, 2, 3, etc. como opuestos de los números naturales. Además se incorpora el cero para dar solución a la resta de un número consigo mismo. El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y el cero constituyen el conjunto de los números enteros. Z=f

; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3;

15

g

Podemos llamar a los naturales ahora como el conjunto de los enteros positivos. Z+ = f1; 2; 3; g En este sentido, tenemos el conjunto de los enteros negativos. Z = f ; 3; 2; 1g Luego: Z = Z [ f0g [ Z+ Su representación sobre la recta numérica es la siguiente:

Dos números se dicen opuestos si estan a la misma distancia del cero en la recta numérica, así por ejemplo, decimos que 2 es el opuesto de 2, de la misma manera 2 es el opuesto de 2. En general, si k es un número entero, k es su opuesto. Orden en Z Dados dos números enteros a y b, podemos decidir si a es mayor, igual o menor que b, puesto que existe un “orden”en los enteros. Esto es, dados a; b 2 Z diremos que a es menor que b, cuando a esta a la izquierda de b en la recta numérica; esta relación se denota con a < b. 1.2.1

Operaciones en el conjunto de los números enteros

En este conjunto numérico estan de…nidas las operaciones suma, producto y resta. En cuanto a la operación producto recordemos que: Siendo a; b 2 Z, si ambos tienen igual signo, entonces ab es positivo. En cambio si tienen diferente signo, ab es negativo. Para los cálculos combinados. En ese caso, hay que respetar la prioridad de las operaciones separando en términos, resolver los paréntesis, corchetes y llaves. Al separar en términos se debe tener en cuenta que primero debemos resolver primero los productos y divisiones y …nalmente las sumas y restas. Ejemplo: 3 5 8 = 15 8 = 7 Ejemplo: 3 (5 8) + 1 = 3 ( 3) + 1 = 9+1= 8 Ahora bien, si tenemos en cuenta la operación división con números enteros podemos ver que este conjunto no es cerrado con respecto a esta operación. Si tomamos los números 24 y 3, sabemos que la división 24 2 = Z. 24 : 3 = 8, con 8 2 Z. Pero si tomamos 24 y 5, la división 24 : 5 no está de…nida en Z, esto es 5 Para que la división a : b este de…nida es necesario que el dividendo a sea múltiplo del divisor b, esto es que a = kb para algún k 2 Z. Ejemplo: 24 es múltiplo de 3 puesto que 24 = 8 3 Algoritmo de la división. Sean a; b 2 Z, existen únicos c; r 2 Z, tales que: b = a c + r, con 0 donde jbj denota el "valor absoluto" de b.

16

r < jbj

Nota: El valor absoluto o módulo de un número entero puede interpretarse como la distancia entre el cero y el número dado sobre la recta numérica. Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de 3.1

En este sentido, observemos que el resto r de la división de dos números enteros nunca es negativo. Ejemplo: Para la división 30 : ( 7), observamos que por el algoritmo de la división tenemos: 30 = ( 7) ( 4) + 2 Donde el cociente es c = 4 y el resto r = 2. Si r = 0, resulta b = a c, es decir que a divide exactamente a b, o que b es múltiplo de a, o que b es divisible por a, o que a es divisor de b.

1.3

Números Racionales.

Este conjunto está compuesto de todos aquellos números que pueden expresarse como cocientes de dos enteros, siempre que el denominador no sea cero.

Q=

p : p; q 2 Z y q 6= 0 q

Representemos en la recta numérica algunos números racionales:

Veamos algunos ejemplos de números racionales: 7 5

es racional pues es el cociente de 7 y 5, que son números enteros. 4 3

es racional pues es el cociente de

4 es racional pues

1.3.1

4 1

4 y 3, que son números enteros.

= 4 donde 4 y 1 son enteros.

Clasi…cación de números racionales escritos en forma de fracción.

Según la relación entre el numerador y el denominador: Fracción propia: fracción que tiene su denominador mayor que su numerador:

1 3 5 3, 5, 8,

Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el denominador: 1 De…niremos

luego formalmente el valor absoluto para cualquier número real.

17

etc.

3 13 18 2, 6 , 8 ,

etc.

1.3.2

Clasi…cación de números racionales escritos en forma decimal. Decimales …nitos: Son los que tienen una cantidad …ja de decimales después de la coma. 0; 3 es la expresión decimal de un número racional porque 0; 3 =

3 10

donde 3 y 10 son números enteros.

Decimales in…nitos periódicos: Son todos aquellos que poseen una parte decimal que se repite in…nitamente. Se clasi…can en: – Periódicos Puros: Toda la parte decimal se repite inde…nidamente. 0; b 5 = 0; 5555::: es la expresión decimal de un número racional porque 0; b 5 = 5=9 donde 5 y 9 son números enteros.

– Periódicos Mixtos: Hay una parte decimal que no se repite periódicamente. 0; 1b 5 = 0; 1555::: es la expresión decimal de un número racional porque 0; 1b 5= son números enteros

14 90

donde 14 y 90

Pasaje de la forma decimal a fracciones. Veremos como todo numero racional en su forma decimal puede expresarse como cociente de dos enteros. Decimales …nitos: En este caso, multiplicamos y dividimos por un número formado por un 1 y tantos ceros como cifras decimales tenga. Ejemplo: 2; 25 100 225 2; 25 = = 100 100 0; 125 1000 125 0; 125 = = 1000 1000 Decimales in…nitos periódicos: Para hallar esta fracción, existe una regla muy simple; colocamos en el numerador la resta de todas las cifras del número menos todo lo que no sea periódico. Luego en el denominador escribimos tantos 9 como decimales periódicos tengamos y tantos 0 como decimales no periódicos tengamos. Podemos resumir esta regla de la siguiente manera:

(Todas las cifras de la expresión) (las cifras no periódicas de la expresión) tantos 9 como cifras decimales periódicas y tantos 0 como cifras decimales no periódicas

Ejemplo: Supongamos que nos dan el número decimal 23; 3b 5. Es una expresión decimal periódica mixta, así que ya sabemos que es un número racional y por lo tanto se tiene que poder expresar como una fracción. Aplicando esta regla obtenemos: (2335 233) 2102 1051 23; 3b 5= = = 90 90 45 Otro ejemplo: d = (321427 321) = 321106 = 160553 : 32; 1427 99900 99900 4995

Pasaje de fracciones a decimales. Todo número racional escrito como fracción, puede escribirse como una expresión decimal cuya parte decimal puede tener un número …nito de cifras o puede tener un número in…nito de cifras pero periódicas, pura o mixta. Lo único que hay que hacer es la división del numerador por el denominador.

18

1.3.3

Ley de Orden

Dentro de los racionales existe un orden, es decir, dado dos números racionales distintos se puede saber cuál es el mayor. a c < () a d = b c con b y d positivos b d 1.3.4

Porcentaje

El porcentaje es una forma de expresar un número racional como una fracción con denominador 100. Se usa para de…nir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, se re…ere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad. Ejemplo: El 35% signi…ca ‘treinta y cinco de cada cien partes de 1 entero. También puede ser representado de las siguientes formas: 1 35 35% = 35 = = 0; 35 100 100

1.4

Números Irracionales.

Es el conjunto de números que no pueden expresarse como cociente de dos enteros, en este sentido su expresión decimal no es …nita ni periódica. Algunos ejemplos son: = 3; 1415926535 p 2 = 1; 414213562 p 5 = 2; 236067977 e = 2; 7182828 Los números irracionales (I) también tienen su ubicación en la recta numérica.

Nota: La suma de dos números irracionales no siempre da un número irracional, también el producto de dos números irracionales no siempre da un número irracional.

1.5

Números Reales.

El conjunto de los números reales es la unión de dos conjuntos, los racionales y los irracionales: R=Q[I Notemos que, por esta de…nición Q R. Los números reales llenan por completo la recta numérica, por eso se la llama recta real. Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un número real y, a cada número real, le corresponde un punto de la recta.

19

1.5.1

Propiedades de los Números Reales.

La suma y el producto son operaciones cerradas en los reales, es decir que. 8a; b 2 R, a + b 2 R y a b 2 R En el uso para el cálculo con los números reales, contamos con las siguientes propiedades básicas que necesitamos conocer para realizar justi…cadamente cualquier operación. Propiedades de la suma Conmutativa: 8a; b 2 R; a + b = b + a Asociativa: 8a; b; c 2 R; a + (b + c) = (a + b) + c Neutro aditivo: 90 tal que 8a 2 R; a + 0 = 0 + a = a Inverso aditivo u opuesto: 8a 2 R; 9 a 2 R tal que a + ( a) = ( a) + a = 0 Propiedades de la multiplicación Conmutativa: 8a; b 2 R; a b = b a Asociativa: 8a; b; c 2 R; a (b c) = (a b) c Neutro multiplicativo: 91 tal que 8a 2 R; a 1 = 1 a = a Inverso multiplicativo o recíproco: 8a 2 R con a 6= 0, 9a 1 2 R tal que a a Propiedad distributiva: 8a; b; c 2 R; a (b + c) = a b + a c

1

=a

1

a=1

Productos que involucran al cero. 8a 2 R; a 0 = 0 8a; b 2 R; a b = 0 =) a = 0 o b = 0. Ley Uniforme. Para la suma: 8a; b; c 2 R, si a = b, entonces a + c = b + c. Para el producto: 8a; b; c 2 R, si a = b, entonces a c = b c. Propiedad de Consistencia. Para la suma: 8a; b; c 2 R, si a < b, entonces a + c < b + c. Para el producto: 8a; b; c 2 R, si a < b y c > 0, entonces a c < b c: si a < b y c < 0, entonces a c > b c:

1.5.2

Valor Absoluto o Módulo.

De…nición 1.1 Para a 2 R, de…nimos módulo o valor absoluto de a de la siguiente manera: a si a 0 jaj = a si a < 0

Propiedades del Valor absoluto Sean a; b 2 Z, se cumple que: jaj

0.

jaj = 0, si y sólo si a = 0. ja bj = jaj jbj ja + bj

jaj + jbj

20

A partir de estas propiedades se pueden obtener otros resultados de importancia como: j aj = jaj jaj a = b jbj ja

bj = jb

jaj

jbj

jaj

b es equivalente a :

jaj

aj

ja

bj

b es equivalente a: a

b

a

b

boa

b

Estas tambien son válidas con los signos < y >.

1.5.3

Potenciación.

=a a ::: a} .2 | a {z n veces Es decir, se multiplica el valor de a n-veces. Se lee a a la n, donde n se denomina exponente y el número real a base. De…nición 1.2 Sea a 2 R, y n 2 N, de…nimos an

Ejemplo: 85 = 8 8 8 8 8 Propiedades de la potenciación. Sean a; b 2 R y m; n 2 N, se cumple las siguientes proposiciones: 1 En el producto de potencias con igual base se suman los exponentes. am an = am+n Ejemplo: 73 74 = 7 7 7 7 7 7 7 = 73+4 = 77 2 En la división de potencias con igual base se resta el exponente del numerador menos el del denominador. am : an =

am = am an

Ejemplo: 95 : 93 =

n

95 9 9 9 9 9 = = 95 3 9 9 9 9

3

= 92

3 La potencia se distribuye en un producto. n

(a b) = an bn 4

4

Ejemplo: (35) = (5 7) = 54 74 4 La potencia se distribuye en una división. a b

n

(a : b) =

4 9

3

Ejemplo:

n

=

an = an : bn bn

=

44 93

2 Si bién consideraremos para esta de…nición n 2 N, veremos a continuación que n tambien puede ser un entero negativo e incluso un racional.

21

5 En la Potencia de otra potencia se multiplican los exponentes. m

(an )

= an m

Ejemplo: 42

3

= 42

42

42 = 4 4 4 4 4 4 = 42 3 = 46

Es importante tener en cuenta también: Para cualquier número real a no nulo con potencia cero, tenemos: a0 = 1 La potencia negativa de un número real a no nulo invierte la base. 1 1 Ejemplo: 2 1 = a 1= a 2 1 1 a n= n Ejemplo: 2 3 = 3 a 2 n n 4 4 a = ab = 75 Ejemplo: 75 b Importante: Una potencia con exponente distinto de 1, jamás se distribuye en una suma o resta. n (a + b) 6= an + bn 2

Ejemplo: (3 + 4) = 6 32 + 42 2 7 6= 9 + 16 49 = 6 25 1.5.4

Radicación.

De…nición 1.3 Sea n un entero positivo mayor a 1, y sea a un número real. Se llama raíz n-ésima de un número a, al número b tal que b elevado a la potencia n resulta a. p p n a = b , bn = a, siempre que n a exista. Por ejemplo:

p 4

81 = 3, porque 34 = 81

Si a = 0, entonces

p n

0=0

Si a > 0, entonces

p n

a = b tal que b es un número real positivo y bn = a

Si a < 0 y: p – n es impar, entonces n a = b tal que b es un número real negativo. p – n es par, entonces n a no es un número real. No estan de…nidas dentro de los números reales las raíces con índice par de números negativos. p 2 92 = R, porque ningún número al cuadrado es 9. Sin embargo: p 3 3 8 = 2, porque ( 2) = ( 2) ( 2) ( 2) = 8 Propiedades de Raíces Sean n y m enteros positivos, a y b números reales. Se tienen las siguientes propiedades siempre que tales raíces existan.

22

1. La raíz es distributiva respecto al producto. p p p n a b= na nb p p p p Ejemplo: 2 196 = 2 4 49 = 2 4 2 49 = 2 7 2. La raíz es distributiva respecto al cociente. r p n p p p a a n a:b= n = p = na: nb n b b r p 2 16 16 4 Ejemplo: 2 = p = 2 25 5 25 3. Para calcular la raíz de otra raíz se multiplican los índices. p p p n m a= nma p p p p 3 2 Ejemplo: 64 = 3 2 64 = 6 64 = 2

4. Se puede cancelar si el índice de la raíz es múltiplo exponente del radicando. p p n k n a= ak con k 2 Z+ p p p 3 2 62 = 3 6 Ejemplo: 6 36 =

Potencias fraccionarias p m Sea un número racional, donde n es un entero positivo mayor a 1. Si a es un número real tal que n a n existe, entonces: p 1 an = n a p m a n = n am Si el índice de la raíz es impar se puede simpli…car siempre sin tener en cuenta el signo de la base del radicando. Por ejemplo: q 5 5 ( 2) = 2 (dividimos índice y exponente por 5) s 21 3 2 2 7 = (dividimos índice y exponente por 7) 3 3 Si el índice de la raíz es par, sólo se puede simpli…car si la base es positiva, ya que si la base fuera negativa podría presentarse el siguiente caso: q p 4 4 ( 2) = 4 16 = 2 q 4 4 ( 2) = 2 (si dividimos índice y exponente en 4)

Observamos que los resultados no coinciden. Por lo tanto: Cuando el índice es par y el radicando es negativo, no se puede simpli…car.

Notemos que la única diferencia en el resultado es el signo y que las raíces de índice par dan como resultado siempre un número positivo. Podemos entonces escribir: q 4 4 ( 2) = j 2j = 2 Conclusión: p Si n es impar, n an = a p Si n es par, n an = jaj.

23

Racionalización de denominadores. Sabemos p efectuar divisiones cuando el divisor es un número racional, pero ¿qué sucede si hacemos la división de 3 en 2 ? Podemos solucionar este inconveniente si encontramos un cociente equivalente al anterior cuyo denominador sea un número racional. Al procedimiento que nos permite hallar tal cociente equivalente se lo denomina racionalización de denominadores. Veamos algunos ejemplos: p p p 21 21 21 1 1 p =p p = p 2 = 21 21 21 21 21 p p p p p p 7 7 7 7 7 7 5 5 36 54 5 36 54 5 36 54 5 36 54 5 36 54 36 54 p p p p p p p = 7 = 7 = 7 = 7 = = 7 7 7 15 3 3 53 3 53 36 54 3 36 53 54 37 57 37 57 1 con m < n y b 2 N, lo que se hizo En ambos casos, para racionalizar una expresión del tipo p n m b p n fue multiplicar p y dividir dicha expresión por bn m . De esto resulta una expresión cuyo denominador es p n m n n n m b b = b , y así podemos simpli…car índice y exponente para eliminar la raíz del denominador. Para racionalizar el denominador de una fracción que consta de un binomio hay que multiplicar al numerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador. ¿A qué se llama conjugado de un binomio? Se llama conjugado de un binomio a otro binomio igual al primero pero con la diferencia de que el signo del segundo término es opuesto al que tenía antes: Ejemplo: p p p p p p p p 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 p p = p p p p = p 2 =2 3 2 p 2 = 3 2 3+ 2 3+ 2 3 2 3 2

1.6

Notación Cientí…ca.

Es común encontrarse con números que son muy grandes o extremadamente pequeños, por ejemplo, cada átomo del elemento Hidrógeno tiene una masa de apenas 0; 00000000000000000000000166g. El manejo de estos números es engorroso y su uso en los cálculos conlleva a cometer errores. Para manejar mejor estas cantidades muy grandes o muy pequeñas se usa la llamada notación cientí…ca. No importa cuál sea la magnitud, todos los números se pueden expresar en la forma N

10n

Siendo N un número entre 1 y 9, y n un número entero positivo o negativo. Para expresar un valor usando notación cientí…ca se cuenta el número de lugares que se necesita mover la coma para poder obtener el número N . Si la coma se mueve hacia la izquierda, entonces n es un entero positivo, por ejemplo para el número 560000, se corre la coma cinco lugares hacia la izquierda (n = 5) y se obtiene N = 5; 6, por lo tanto este número expresado en notación cientí…ca será 5; 6 105 . Sin embargo, si se mueve hacia la derecha n será un entero negativo, por ejemplo 0; 0000089 expresado en notación cientí…ca será 8; 9 10 6 . Ejemplos: 1520000000 = 1; 52 109 0; 00000062152 = 6; 2152 10 7 Para multiplicar o dividir números en notación cientí…ca hacemos uso de las propiedades de los números reales, en particular de las propiedades de potencias. Como ejemplo, multipliquemos los anteriores números. 1520000000 0; 00000062152 = (1; 52 109 ) (6; 2152 10 7 ) = 1; 52 6; 2152 109 10 7 = 9; 447104 109 10 7 = 9; 447104 109+( 7) = 9; 447104 102

24

Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Exactas

Curso de Ingreso 2014

Trabajo Práctico N 1 : Conjuntos Numéricos. Ejercicio 1: Marcar con una cruz los conjuntos numéricos a los cuales pertenece cada número, siempre que corresponda. N Z Q I R 0 p1 3 3; 1 p0; 5 1 3 2

e Ejercicio 2: Indicar cuales de las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsas. Justi…car. 1. Todo número real es racional. 2. Todo número natural es un número entero. 3. Todos los números irracionales son números reales. 4. Existe un número que es racional e irracional a la vez. 5. El módulo de un número entero es igual al módulo de su opuesto aditivo. 6. El módulo de un número entero es igual al módulo de su inverso multiplicativo. 7. El módulo de un número real no siempre es positivo. 8. El módulo de la suma de dos números es mayor que la suma de los módulos de los sumandos.

Ejercicio 3: Resolver las siguientes ejercicios combinados ¿Cuáles son la jerarquías a la hora de resolver los ejercicios combinados ? 1. 8 2.

f9 + [10

(2

6)] + j 9j

j4jg =

4( 3)( 2) + 12 : ( 6) j 2j =

3. j15j

( 8

2) + [ (4 + 8) + 3

7]

j 3 + (23

11)

5( 2)j =

Ejercicio 4: Usando fracciones equivalentes, ordenar los siguientes conjuntos de mayor a menor. 13 1 1. f 91 ; 20 90 ; 10 ; 3 g

2. f 91 ; 0; b 3; 1; b 3; 0; b 5g

7 3. f 10 ; 0; 1b 9; 0; 2b 9; 0; b 4g

25

b b b 4. f 10 9 ; 1; 8; 1; 2; 3; 91g

Ejercicio 5: Encontrar un número racional entre cada uno de los siguientes pares de números racionales y luego ubicarlos a los mismos en la recta real ¿Qué signi…ca que el conjunto de números racionales es un conjunto denso en R? 1 ;1 ii) 2; 1 i) 9 7 6 1 2 ; iv) ; iii) 2 3 6 10 Ejercicio 6: Indicar cuáles de las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsas. Justi…car 1. La raíz cuadrada es distributiva con respecto al producto. Esto es, para todo par de números reales p p p x; y se cumple que x y = x y. 2. La raíz cuadrada es distributiva con respecto a la suma. Esto es, para todo par de números reales x; y p p p se cumple que x + y = x + y. 3. Todo número distinto de cero elevado a una potencia nula es igual a cero. Esto es, para todo número no nulo x se cumple que x0 = 0. 4. Todo número negativo elevado a una potencia par, es positivo. 5. El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes dados 6. Potencia de otra potencia, es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la división de los exponentes dados.

Ejercicio 7: Usando las propiedades de potencias y de radicación simpli…car las siguientes expresiones: i) 35 3 3 25 : 22 ii) q 214 : 2 11 ( 2)15 : ( 2) 13 p p 22 2 iii) (35 )6 : (313 )2 2(33 ) iv) 4 q 2 p p 2 7 4 v) 5 1 : 15 vi) 2 1 : 4 12 q 2 vii) 5 (0; b 3)3 : (0; b 3)0:4 ( 13 ) 5

Ejercicio 8: Resolver los siguientes ejercicios combinados con potencias y raíces, aplique propiedades de potencia y radicación cuando sea posible: 1. (0; 3)4 : (0; 3)5 2. 3.

4. 5. 6.

p ( 5)2

(0; b 3)6 (0; b 3)

4

=

( 2)3 : (32

( 5)2 ( 2)3

q 0; b 3 + 0; b 1 + 0; b 6 0; b 7 + 0; b 2 5 3

3

:

1; b 6

2

2

q 1

0; b 3 (1; 3 + 2; 3) + 3 (0; 8 + 1)

0; b 3

0; 75 0; b 6+1 4 2; 5

p 3

=

1

2

2

= 2

(0; 75) 1

1 2

1)

h

2 + 1; 375 +

p 5

0; 03125 =

0; b 6 (1; 75

3 4 7

1; b 6

i 2; 25) =

2

26

=

4 7. 9 8.

1

pp

1 3

7 8 4

3

:

1 2

p 3

2

2

1

:

+

p

p

16 +

2

6

+3

2

q p 3

8

= 1

:2=

Ejercicio 9: Resolver las siguientes operaciones con radicales, no sin antes imponer las condiciones necesarias para las variables a; b; c; x; y; z de los respectivos radicandos. a) Extraer factores fuera del radical. p p 3 i) 27 314 54 ii) p x8 y 4 z 10 p 4 3 iv) 125y 7 z 2 v) a9 b5 c4

p iii) py 6 + 2a2 y 4 + a4 y 2 vi) x5 y 10 z 10

b) Introducir en el radical todos los factores que se encuentren fuera de él. p 2 3 32 4 6 p iv) 4x2 3 xy 2

p ii) by 2y

i)

v)

0; 1xb4

iii)

p 3 10x2 y 5

vi)

Ejercicio 10: Racionalizar las siguientes expresiones. 2 3 2 i) p ii) p iii) p 7 3 7 6 63p 5 1 2 3 p p p vi) vii) v) 6 4 4 2 1 7 2

r 3 53 4 2 x x 2 5p (x 1) x2

iv) viii)

1

1 p 6 5 2 p 2+ 3

Ejercicio 11: a) Expresar los números en notación cientí…ca con 3 decimales. i)

0; 0004031

ii)

8120000

iii)

5; 698742

b) Expresar en la forma normal a los números dados en notación cientí…ca. i)

1; 455631

109

ii)

3; 12437

10

5

iii)

6; 91732

100

c) Dados los siguientes números en notación cientí…ca, resolver: i)

3; 002

107 : 1; 15

10

4

ii)

5; 21

108

3; 15

105

Ejercicio 12: Resuelver los siguientes problemas. 1. Los

7 de un terreno miden 2:800m2 . ¿Cuál es la Super…cie total del terreno? 9

2. ¿Qué fracción del día es una hora? ¿Qué porcentaje del día es una hora? Si el 25% del día lo ocupo en dormir ¿Cuántas horas duermo? 3. Un número aumentado en un 14% es 57. ¿Cuál es el número?. 3 de las mujeres tienen menos de 20 años. Si hay 93 mujeres menores de 20 años y los 7 1 varones superan en a las mujeres, 7

4. En un club, los

27

a) ¿ Cuántos socios hay en el club ? b) ¿ Cuántas son mujeres son socias del club ? 5. El padre de Anibal compra un equipo de música que cuesta 680 pesos, pagando 138 pesos en efectivo y el resto en 4 cuotas. La primer cuota es la cuarta parte de lo que vale el equipo, la segunda cuota es 10 pesos más elevada que la primera y la tercera cuota es la 23 de la segunda ¿Cuánto tiene que valer la cuarta cuota? 6. Una persona compra una heladera que cuesta 1170 pesos pagando las 25 partes en efectivo y el resto en 3 cuotas. Las 3 cuotas cumplen con las siguientes condiciones: La primera es las 34 partes de la segunda y la segunda es 32 partes de la tercera ¿Cuál es el importe de la primera cuota? 7. El recipiente de alimento balanceado del conejo está parcialmente lleno hasta sus 65 parte. Si en conejo 3 partes del total del recipiente primero, y luego la cuarta parte del mismo. come las 10 a) ¿Qué fracción del recipiente tiene aun para comer? b) ¿Qué fracción del recipiente debe ser respuesta para llenar el mismo? c) ¿Qué fracción del recipiente debe ser respuesta para darle la mitad el mismo? d) Si un paquete de esta misma comida balanceada se puede llenar exactamente dos veces el recipiente completo cuando esté vacío ¿Qué fracción del recipiente debe ser respuesta para darle la mitad del mismo? 8. Las aguas cubren el 70; 8% de la super…cie del planeta, lo que equivale a 3; 61 108 km2 . Calcular el área de la super…cie terrestre que no está bajo las aguas. Expresa el resultado en notación cientí…ca.

Ejercicios Adicionales de Resolución Optativa. Ejercicio 13: Indicar cuáles de las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsas. Justi…car la respuesta: 1. La división en Q no es conmutativa.. 2. La división en Q no es asociativa. 3. Existen números racionales que no son enteros. 4. La razón entre el perímetro de un círculo y su diámetro es un número racional. 5. La razón entre la super…cie y el perímetro de la circunferencia es racional. 6. Si b2 = 5 , b es racional. 7. Entre dos números racionales existen in…nitos racionales. 8. Entre dos números enteros existen in…nitos racionales. 9. Entre dos números enteros existen in…nitos enteros. 10. La suma de in…nitos números positivos es in…nito. 11. La multiplicación en los racionales es cerrada. 12. La multiplicación en los irracionales es cerrada. 13. La multiplicación en los reales es cerrada. 14. Todos los enteros poseen opuesto aditivo.

28

15. Todos los reales poseen inverso multiplicativo.

Ejercicio 14: Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justi…car. p p p p p 2 p p p 2 n x y = n x n y ii) n x + y = n x + n y iii) x2 = ( 2 x) i) 1 1 p 1 vi) xn : xm = xm iv) n x = x n v) (xm ) n = (xm r ) n r Ejercicio 15: Convertir a fracción y representarlos en la recta real. i) 1; 25 ii) 0; 27 iii) 2; b 3 iv) 1; 025 v) 1; 2b 3 Representar en la recta real los siguientes irracionales. p p p p i) 2 ii) 3 iii) 5 iv) 11

p

v)

n

12

Ejercicio 16: Escribir el exponente que falta aplicando las propiedades de potencia: i) iii) v)

1 3 1 " 2

6

34

::::

::::

ii)

a4

3

: a:::: = a7

c0 c3

2

: c2 c2

a2

2 5

12

( 2) 1 5

2

1 3

=

::::

1 5

= ( 2) #

iv)

3

8

vi) b9 : b:::: b4

= ( 5)

2

0

= c::::

=b

Ejercicio 17: Expresar en notación cientí…ca: 1. La super…cie de la tierra, calculada en 510 millones de kilómetros cuadrados. 2. La cantidad de segundos que tiene un año (considerar un año de 365 días). 3. Un milimetro, expresado en kilómetros.

Ejercicio 18: Pensar y resolver 1. Un explorador extraviado cae en un pozo de 30 metros en medio de la selva, sin posibilidad de recibir ayuda deberá salir por su cuenta. Durante las horas del día logra trepar 3 metros, pero durante la noche se duerme y resbala 2 metros, ¿Cuántos días se demora en salir?. 2. Un condenado queda en libertad cuando alcance el …nal de una escalera de 100 escalones. Pero no puede avanzar a su antojo puesto que está obligado a subir un sólo escalón por día de los meses impares y a bajar un escalón por día de los meses pares. Comenzó el 1 de enero de 2014 ¿Qué día quedará en libertad?, ¿Qué día quedará en libertad si la escalera fuera de 99 escalones?. 3. Un vendedor de pollos entra a un barrio; en la primera cuadra vende la mitad de los pollos más la mitad de uno, en la segunda cuadra vende la mitad de los pollos que le quedaban más la mitad de uno, y por último en la tercera cuadra vende la mitad de los pollos que le quedaban más la mitad de uno, y se le acabaron los pollos ¿Cuántos pollos tenía para la venta?. Nota: los pollos los vendió todos vivos.

29

Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Exactas CIU 2014 Comprensión y Producción de Textos Autora: María de las Mercedes Funes Trabajo Práctico presencial N° 1 Tema: Sistemas Numéricos 1. Leer el siguiente texto

--------------------------------------------------------A lo largo de la historia, las civilizaciones han utilizado diferentes sistemas de numeración, de algunos de los cuales todavía quedan algunos vestigios: se siguen utilizando números romanos para señalar las horas en algunos relojes, para numerar los siglos o los capítulos de algunos libros, se utiliza el sistema sexagesimal de numeración de la antigua Babilonia cuando se mide el tiempo o se cuentan huevos. En la actualidad, la cultura occidental, utiliza generalmente el sistema de numeración decimal que convive con otros sistemas como el binario, octal y hexadecimal. En el sistema binario dos unidades de un orden equivalen a una del orden superior, por eso es un sistema que utiliza solamente unos y ceros. En el sistema octal la equivalencia entre unidades es de 8. En el sistema hexadecimal, 16 unidades de un orden equivalen a una del orden superior, por eso se emplean 16 dígitos: a los diez del sistema decimal se añaden las letras A, B, C, D, E, y F. Se denomina decimal porque diez unidades de un determinado orden equivalen a una unidad del orden superior. Así, diez unidades son una decena; diez decenas son una centena, diez centenas forman un millar, etc. Por ello, un número es igual a la suma de los productos de sus cifras por sus valores respectivos. Por ejemplo, el número 75.269 se puede descomponer de la siguiente manera: 75.269 = 70.000 + 5.000 + 200 + 60 + 9 = = 7x10.000 + 5x1.000 + 2x100 + 6x10 + 9 Para representar números menores que la unidad utilizamos las mismas relaciones de equivalencia entre órdenes de unidades, pero ahora en orden decreciente. Surgen así las décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas. El sistema decimal es considerado posicional porque el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número: el primer 7 del número 757 no vale lo mismo que el segundo 7. El valor del segundo 7 es siete unidades, pero el valor del primer 7 es de 700 unidades.

2. En el texto, ¿qué significa la palabra vestigios?

30

3. A partir de la lectura del texto, ¿cuáles son las palabras que se vinculan al vocablo civilizaciones? 4.

Según el texto, ¿cuál es la definición de binario?

5. En el texto, ¿a qué se refiere la palabra equivalen? 6. Elegir, a partir de la información del texto, una definición de la siguiente expresión: a) Producto es un material elaborado de forma industrial. b) Producto es la ganancia de una actividad comercial. c) Producto es el resultado de una operación matemática. d) Producto es una operación entre números. 7. En el texto, ¿a qué se hace referencia con la expresión números menores que la unidad? 8. Completar el siguiente cuadro con breves definiciones presentes en el texto:

Sistema decimal

Sistema posicional

9. Escribir al margen de cada párrafo una palabra clave. 10. A partir de la información que proporciona el texto, escribir el título del mismo.

31

Notas Teóricas Tema II Polinomios. Avila, Mario U.; Pérez, Clara P.

Introducción. Es muy frecuente, que en la vida cotidiana te hayas encontrado con enunciados, que luego de ser escritos y trabajados en forma simbólica, te resultasen más amigables. Por ejemplo: el cuadrado de la suma de dos números; la mitad de un número más su triplo; el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Estos enunciados y otros que se te pueden ocurrir, establecen relaciones entre cantidades desconocidas, que pueden asumir cualquier valor. Por ejemplo, el enunciado “el cuadrado de la suma de dos números” se puede representar mediante la expresión (𝒙 + 𝒚)𝟐 . En esta expresión, 𝑥 e 𝑦 representan a cualquier par de números reales cuya suma se eleva al cuadrado. Este proceso mental que utilizaron los matemáticos, para establecer relaciones entre cualquier tipo de números, es el que dio origen al Algebra que hoy conocemos. En su primera aparición, el Algebra que utilizaban los matemáticos tenía como materia prima el uso de la palabra, en tal caso estábamos en presencia de un Algebra Retórica. Luego se pasó a un estado en el que se utilizaban combinaciones de algunos símbolos y palabras, ésta se denominó Algebra Sincopada. Por último se pasó al uso total de símbolos matemáticos para representar los problemas, ésta se denominó Algebra Simbólica En muchos de los problemas que encontrarás a lo largo de tu carrera, el éxito que tengas en el mismo dependerá de la capacidad que tengas para, traducirlos simbólicamente, operando convenientemente con tal expresión algebraica, para reducirla a una expresión más sencilla de manejar. En tal sentido, el objetivo de este capítulo es que seas capaz de:    

Caracterizar polinomios, de acuerdo a su grado, número de términos, coeficientes, etc. Operar con fluidez con distintos tipos de polinomios. Aplicar la regla de Ruffini y el Teorema del Resto, como herramientas eficientes para determinar divisores de un polinimios. Descomponer polinomios utilizando los diversos casos de factoreo.

Algunas definiciones. Se llama expresión algebraica, a cualquier combinación de números y letras, relacionadas entre sí a través de las distintas operaciones. Por ejemplo: 𝑥 + 𝑦 2;

4𝑥 − 𝜋 𝑏 + 2𝑦;

ℎ2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ;

𝑥+3𝑎 2𝑦

Las expresiones algebraicas, en general provienen de fórmulas de la física, de la geometría, de la química de la economía, entre otras. En una expresión algebraica, identificaremos: 

Variables: son las letras que aparecen en dicha expresión algebraica. Por ejemplo 𝒙, 𝒚, 𝒉 …

32



Constantes: son los números o expresiones de un número que tienen un valor determinado. Por ejemplo. 𝟒. 𝝅, 𝟐, 𝒆…

Se llama monomio a aquellas expresiones algebraicas en las cuales no aparecen sumas ni restas. Es decir, las variables y las constantes, están multiplicadas entre sí. Por ejemplo, son monomios las siguientes expresiones: 𝟑𝒙𝟐 𝒚;

𝟑 𝟐

𝒙𝒕; 𝝅𝒓𝟐; 𝟐 𝟑𝒂𝒕𝟑 .

Las constantes de los monomios, se denominan coeficientes, por ejemplo, en los monomios 𝟑 anteriores, las constantes son: 𝟑, , 𝝅, 𝟐 𝟑, respectivamente. 𝟐

El grado de un monomio, se calcula sumando los exponentes de las variables. Por ejemplo: 𝟑𝒙𝟐 𝒚

Monomio de grado 3

𝟑 𝒙𝒕 𝟐

Monomio de grado 2

𝝅𝒓𝟐

Monomio de grado 2

𝟐 𝟑𝒂𝒕𝟑

Monomio de grado 4

Las constantes, son monomios de grado 0. Dos monomios se llaman semejantes, si tienen el mismo grado, con las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 y −𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟑 , son monomios semejantes. También son semejantes 𝟒𝒙𝟓 y 𝟐𝒙𝟓 . No son semejantes −𝟐𝒙𝟓 y 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 , dado que si bien tienen el mismo grado, no tienen las mismas variables.

Polinomios en una variable. Se llama polinomio a la suma de monomios no semejantes. Por ejemplo son polinomios los siguientes: a. 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒚 + 𝟐𝒙𝒚

b. 𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟐

Nos ocuparemos del estudio de polinomios en una única variable, como el del ejemplo b).

Definición: Se llama polinomio de variable 𝒙, a toda expresión algebraica de la forma: 𝑷 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏 𝒙𝒏 , donde 𝒏 ∈ ℕ Donde:     

𝒂𝟎 , 𝒂𝟏, 𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒏−𝟏 , 𝒂𝒏 son números reales y se llamarán coeficientes del polinomio. 𝒙 es la variable del polinomio. Si 𝒂𝒏 ≠ 𝟎, el polinomio se dice de grado 𝒏 y el coeficiente 𝒂𝒏 se llama coeficiente principal. Cada expresión de la forma 𝒂𝒌𝒙𝒌 (que es un monomio de grado 𝑘), se llama término del polinomio. El término 𝒂𝟎 se llama término independiente.

33

Un polinomio se llama completo, si tiene todas las potencias de la variable, con coeficientes no nulos. En caso contrario se llamará polinomio incompleto. Para completar un polinomio, se agregan los términos faltantes con coeficiente nulos. Veamos algunos ejemplos: 𝟏 𝑷 𝒙 = 𝟓𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 𝟐

Este es un polinomio de grado 4, con cinco 𝟏 términos, los coeficientes son 𝟓, −𝟏, 𝟑, , −𝟏; el 𝟐 coeficiente principal es 𝟓; el término independiente es – 𝟏. Está completo.

𝑸 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒

Este es un polinomio de grado 2, con tres términos, los coeficientes son 𝟑, − 𝟐, 𝟒; el coeficiente principal es 3; el término independiente es 𝟒. Está completo.

𝑹 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟑

Este es un polinomio de grado 2 con dos términos, los coeficientes son 𝟏, 𝒚 𝟑; el coeficiente principal es 𝟏; el término independiente es 𝟑. Está incompleto, pues falta el término de grado 1.

𝑺 𝒙 =𝟒

Este es un polinomio de grado 0 con un único término, el único coeficiente y coeficiente principal es 𝟒. Está completo.

Operaciones con polinomios. Estudiaremos la forma de proceder para sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios.

Suma y resta. Para sumar o restar dos polinomios, debemos ordenarlos uno debajo del otro, de modo que los términos semejantes queden en columna, si es necesario completamos los polinomios. La suma o resta se calcula, sumando o restando los respectivos coeficientes de los términos semejantes. Veamos algunos ejemplos. 𝑷 𝒙 = 𝟓𝒙𝟒

− 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑

+𝑸 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑

+ 𝟑𝒙 − 𝟒

𝑷 𝒙 + 𝑸 𝒙 = 𝟖𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟕 La resta de polinomios, se puede realizar en forma sencilla, calculando la suma entre el minuendo y el opuesto del sustraendo. Por ejemplo: Sea 𝑻 𝒙 = 𝟕𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟑 y 𝑺 𝒙 = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐. Si deseamos calcular 𝑻 𝒙 − 𝑺(𝒙), calculamos el opuesto del sustraendo 𝑺(𝒙), cambiando los signos de todos los términos del polinomio. Así tendremos −𝑺 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐. La resta se calculará de la siguiente manera:

34

+

𝑻 𝒙 = 𝟕𝒙𝟑 −𝑺 𝒙 =

𝟐𝒙𝟐

+ 𝟒𝒙 − 𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐

𝑻 𝒙 − 𝑺 𝒙 = 𝟕𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏

Producto. Para realizar el producto de polinomios, haremos uso de la propiedad de la potenciación para el producto de potencias de igual base. Recordamos que si se desean multiplicar dos potencias de igual base, el resultado es una potencia, cuya base es la misma que la de los factores y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores. Es decir: 𝒂𝒎 . 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 Comencemos con el caso más sencillo.

Producto de monomios. El producto de dos monomios es otro monomio, cuyo coeficiente, es el producto de los coeficientes de los factores, y cuya variable tiene como exponente la suma de los exponentes de la variable de los factores, de acuerdo con la propiedad anterior. Ejemplo. −𝟑𝒙𝟐 . 𝟐𝒙 = −𝟑. 𝟐 𝒙𝟐 . 𝒙 = −𝟔𝒙𝟐+𝟏 = −𝟔𝒙𝟑

Producto de un monomio y un polinomio. Para calcular el producto entre un monomio y un polinomio, se utiliza la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y la resta: 𝒂. 𝒃 ± 𝒄 = 𝒂. 𝒃 ± 𝒂. 𝒄. Ejemplo: 𝟑𝒙 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = (𝟑𝒙). 𝟒𝒙𝟐 + (𝟑𝒙). 𝟐𝒙 + (𝟑𝒙). −𝟑 = 𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒙

Producto de Polinomios. Para realizar el producto de dos polinomios 𝑷(𝒙) y 𝑸(𝒙), se ubica un polinomio sobre otro, el primer factor debe estar ordenado y completo, y el segundo sólo ordenado. La multiplicación se calcula, realizando el producto entre el primer polinomio y cada término del segundo. Veamos un ejemplo: Sea 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟓𝒙 − 𝟏 y 𝑸 𝒙 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑. Calcular 𝑷 𝒙 . 𝑸(𝒙) 𝟐𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏 𝑷 debe estar ordenado y completo ×

𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 𝑸 debe estar ordenado

𝟔𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 − 𝟑 Calculamos el producto 𝟑. 𝑷(𝒙) +

𝟒𝒙𝟒 + 𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

Calculamos el producto 𝟐𝒙. 𝑷(𝒙) Calculamos el producto 𝟒𝒙𝟐 . 𝑷(𝒙)

𝟖𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 + 𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐

𝟖𝒙𝟓 + 𝟒𝒙𝟒 + 𝟐𝟔𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 − 𝟑 Sumamos los resultados de los productos

35

Así tenemos que 𝑷 𝒙 . 𝑸 𝒙 = 𝟖𝒙𝟓 + 𝟒𝒙𝟒 + 𝟐𝟔𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 − 𝟑.

División. División de Monomios. Para la división de monomios, tendremos en cuenta la propiedad del cociente de potencias de igual bases: el cociente de potencias de igual base, es otra potencia de bases idéntica, y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes del dividendo y divisor. Es decir: 𝒃𝒎 : 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎−𝒏 La división de un monomio, por otro de grado menor o igual, se calculará dividiendo los coeficientes entre sí, y las variables, utilizando la propiedad anterior. Veamos un ejemplo: 𝟔𝒙𝟒 : 𝟑𝒙 = 𝟔: 𝟑 𝒙𝟒 : 𝒙 = 𝟐𝒙𝟒−𝟏 = 𝟐𝒙𝟑

División de Polinomios. Dados dos polinomios 𝑷 𝒙 y 𝑸 𝒙 , con 𝑸 𝒙 ≠ 𝟎, la división de 𝑷 𝒙 por 𝑸 𝒙 , puede realizarse, siempre que el grado de 𝑷, sea mayor o igual que el grado de 𝑸. Bajo estas condiciones, existen los polinomios cociente 𝑪 𝒙 y resto 𝑹 𝒙 , tal que 𝑷 𝒙 = 𝑸 𝒙 . 𝑪 𝒙 + 𝑹 𝒙 , donde el grado de 𝑹(𝒙) es menor que el el grado de 𝑸(𝒙). 𝑷(𝒙)

𝑸(𝒙)

𝑹(𝒙)

𝑪(𝒙)

Donde 𝑷 𝒙 = 𝑸 𝒙 . 𝑪 𝒙 + 𝑹 𝒙

Ejemplo: Calcular el cociente y el resto de la división de de 𝑷 𝒙 por 𝑸 𝒙 , siendo 𝑷 𝒙 = 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 y 𝑸 𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟔. Tenemos que tener en cuenta que el polinomio dividendo, debe estar completo y ordenado en forma decreciente. 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 −(𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒙)

𝟒𝒙 + 𝟔 𝟓𝒙 − 𝟕

−𝟐𝟖𝒙 − 𝟏𝟎 −(−𝟐𝟖𝒙 − 𝟒𝟐) 𝟑𝟐 El primer término del cociente, se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo, por el primer término del divisor. 𝟐𝟎𝒙𝟐 : 𝟒𝒙 = 𝟓𝒙. El producto de 𝟓𝒙 por el polinomio 𝑸(𝒙) se coloca debajo del dividendo, encolumnando los términos semejantes, para luego calcular la resta. Como el grado del primer resto parcial −𝟐𝟖𝒙 − 𝟏𝟎, tienen igual grado al del divisor, seguimos dividiendo, repitiendo los mismo pasos, hasta obtener un resto de grado menor que el del divisor.

36

Así obtenemos que 𝑪 𝒙 = 𝟓𝒙 − 𝟕 y 𝑹 𝒙 = 𝟑𝟐. Entonces al polinomio 𝑷(𝒙) lo podemos escribir como: 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝟒𝒙 + 𝟔)(𝟓𝒙 − 𝟕) + 𝟑𝟐 Veamos otro ejemplo: 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 −(𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙)

𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟔

−𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 −(−𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐) 𝟎 Se obtuvo que 𝑪 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟔 y 𝑹 𝒙 = 𝟎. Por lo tanto, podemos escribir: 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 = (𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙 − 𝟔) Cuando el resto en la división de polinomios es igual a cero, diremos que la división es exacta, y que el polinomio 𝑷(𝒙) es divisible por el polinomio 𝑸(𝒙). En particular, no interesará encontrar los factores de un polinomio, para que la división sea exacta.

División de un polinomio por uno de la forma (𝒙 − 𝒂) Regla de Ruffini. Un recurso importante que utilizaremos para encontrar os factores de un polinomio, es la conocida Regla de Ruffini. La Regla se aplica para obtener el cociente y el resto de la división de un polinomio 𝑷(𝒙), por otro de la forma (𝒙 − 𝒂). Ejemplo: Calcular el cociente y el resto de la división de 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 por 𝑸 𝒙 = 𝒙 − 𝟑. Recordemos que en la división de polinomios, el dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente. Para aplicar la Regla, adoptaremos una disposición en formas de tabla: 2

Valor de 𝒂

3 2

-5

4

6

3

1

7

Coeficientes del dividendo

En la primera fila, se ubican los coeficientes del dividendo y en la izquierda de la segunda fila, el valor 𝒂 del polinomio divisor. Se baja el primer coeficiente de 𝑷(𝒙) y se lo multiplica por 𝟑. Al resultado se lo ubica debajo del segundo coeficiente de 𝑷(𝒙) y se suma. Se repiten estos pasos reiteradamente hasta agotar los coeficientes.

37

Los valores que se obtienen en la tercera fila, son los coeficientes del polinomio cociente y resto respectivamente. El cociente, será un polinomio de grado menor en una unidad, que el grado del dividendo. Así el cociente será 𝑪 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏, y el resto será 𝑹(𝒙) = 𝟕. Así escribiremos que 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝒙 − 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟕. Veamos otro ejemplo: Calcular el cociente y el resto de la siguiente división 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙 : (𝒙 + 𝟏) Lo primero que hacemos es ordenar y completar el polinomio dividendo −𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟎 Al divisor, lo podemos escribir de la siguiente manera, para identificar el valor 𝒂 𝒙 + 𝟏 = 𝒙 − (−𝟏) Por lo tanto 𝒂 = −𝟏. Aplicamos la Regla: -2

-1 -2

3

0

1

0

2

-5

5

-6

5

-5

6

-6

Así tendremos que el cociente es 𝑪 𝒙 = −𝟐𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 y el resto es 𝑹 𝒙 = −𝟔.

Teorema del Resto. Este teorema, nos permite verificar el resto de la división de un polinomio 𝑷(𝒙), por otro de la forma (𝒙 − 𝒂). Para trabajar este teorema, debemos dar una definición previa:

Definición: Valor Numérico de un Polinomio para 𝒙 = 𝒂 El valor numérico de un polinomio 𝑷(𝒙) para 𝒙 = 𝒂, es el valor que se obtiene al reemplazar en el polinomio 𝒙, por el valor 𝒂. Al valor numérico de un polinomio 𝑷(𝒙) para 𝒙 = 𝒂, lo identificaremos con 𝑷(𝒂). Veamos algunos ejemplos: a. Calcular el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒, para 𝒙 = 𝟑. Obtenemos: 𝑷 𝟑 =𝟐 𝟑

𝟐

− 𝟓 𝟑 + 𝟒 = 𝟕.

b. Calcular el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙, para 𝒙 = −𝟏. Obtenemos: 𝑷 −𝟏 = 𝟑(−𝟏)𝟑 − 𝟐 −𝟏 Observación:

38

𝟒

+ −𝟏 = −𝟔

Tenga en cuenta que los valores obtenidos anteriormente, coinciden con los restos de las divisiones de los respectivos polinomios, por 𝒙 − 𝟑 y por 𝒙 + 𝟏, respectivamente. Este resultado no es casual, según veremos a continuación.

Teorema del Resto. El resto de la división de un polinomio 𝑷(𝒙) por 𝒙 − 𝒂, es igual al valor numérico del polinomio cuando 𝒙 = 𝒂. Es decir 𝑹(𝒙) = 𝑷(𝒂). Es necesario, comprender lo que nos dice el Teorema del Resto:  

Si dividimos un polinomio 𝑷(𝒙) por 𝒙 − 𝒂, obtenemos un cociente 𝑪(𝒙) y un resto 𝑹(𝒙). Si calculamos el valor numérico de 𝑷(𝒙), para 𝒙 = 𝒂, obtenemos un número que identificamos con 𝑷(𝒂). El Teorema del Resto nos dice que 𝑹(𝒙) = 𝑷(𝒂).



Ejemplo. a. Calcular el resto de la división de 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟖𝒙 + 𝟑 por (𝒙 − 𝟐) Por el Teorema del Resto, obtenemos que 𝑹 𝒙 = 𝑷 𝟐 = 𝟐𝟑 − 𝟖. 𝟐 + 𝟑 = 𝟖 − 𝟏𝟔 + 𝟑 = −𝟓 b. Calcular el resto de la división de 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟓 por (𝒙 − 𝟓) Por el Teorema del Resto, obtenemos que 𝑹 𝒙 = 𝑷 𝟓 = 𝟓𝟑 − 𝟒. 𝟓𝟐 − 𝟒. 𝟓 − 𝟓 = 𝟏𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝟎 − 𝟐𝟎 − 𝟓 = 𝟎 Por lo tanto, podemos decir que el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟓 es divisible por el polinomio (𝒙 − 𝟓), dado que el resto en la división es igual a cero.

Definición: Raíces de un polinomio. Un número real 𝒂, se llama raíz de un polinomio 𝑷(𝒙), si se cumple que 𝑷 𝒂 = 𝟎. Con esta definición, podemos obtener algunas consecuencias importantes:   

Si 𝑷 𝒂 = 𝟎, decimos que 𝒂 es una raíz de 𝑷(𝒙). Si 𝑷 𝒂 = 𝟎, decimos que el resto de la división de 𝑷(𝒙) por (𝒙 − 𝒂) es igual a cero. Si 𝑷 𝒂 = 𝟎, decimos que 𝑷(𝒙) es divisible por (𝒙 − 𝒂).

Luego tenemos que: 𝑷 𝒙 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝒙 − 𝒂 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒙 = 𝒂 𝒆𝒔 𝒓𝒂í𝒛 𝒅𝒆 𝑷(𝒙) Entonces 𝑷(𝒙) puede expresarse como producto de polinomios, de la siguiente manera: 𝑷 𝒙 = 𝑪 𝒙 . (𝒙 − 𝒂) Donde 𝑪(𝒙) es el cociente de la división de 𝑷(𝒙) por (𝒙 − 𝒂) y puede calcularse con la Regla de Ruffini. Ejemplo: Verificar si el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 es divisible por el polinomio (𝒙 − 𝟑). Veamos que 𝒙 = 𝟑 es una raíz del polinomio: 𝑷 𝟑 = 𝟐. 𝟑𝟐 + 𝟐. 𝟑 − 𝟐𝟒 = 𝟏𝟖 + 𝟔 − 𝟐𝟒 = 𝟎

39

Por lo tanto el polinomio planteado es divisible por (𝒙 − 𝟑). Hallemos el cociente con ayuda de la Regla de Ruffini. Vemos que: 𝑪 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟖

2

2

-24

2

6 8

24 0

3 Por la tanto el polinomio puede escribirse de la siguiente manera

𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 = (𝟐𝒙 + 𝟖)(𝒙 − 𝟑) Al polinomio 𝑪(𝒙) lo podemos escribir de la siguiente manera 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟐(𝒙 + 𝟒). De esta manera, el polinomio original queda escrito de la siguiente manera: 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟐(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟑) Esta última expresión, se denomina factorización completa de 𝑷(𝒙).

Definición: Sea 𝑷(𝒙) un polinomio con coeficientes reales de grado 𝒏, entonces 𝑷(𝒙) tiene 𝒏 raíces. Sean 𝒓𝟏 , 𝒓𝟐 , 𝒓𝟑 , … , 𝒓𝒏 las 𝒏 raíces del polinomio 𝑷(𝒙) y 𝒂𝒏 su coeficiente principal, el polinomio 𝑷(𝒙) se puede factorizar de la siguiente manera: 𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏 𝒙 − 𝒓𝟏 𝒙 − 𝒓𝟐 𝒙 − 𝒓𝟑 … (𝒙 − 𝒓𝒏 ) Observaciones. De acuerdo a estas últimas consideraciones, podemos decir que en el polinomio analizado en el ejemplo anterior, −𝟒 y 𝟑 son raíces de 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 (polinomio de grado 2).

Factorización de Polinomios. Definición: Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de polinomios. Por ejemplo, el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟐(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟑), está factorizado, pues está escrito como producto de polinomios más sencillos. Lo que nos interesa ahora, es saber que técnicas podemos utilizar para lograr factorizar un polinomio. Expondremos los casos más usuales:

1 Caso. Factor Común. Para este caso, debemos tener en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma y de la resta. 𝒂 𝒃 ± 𝒄 = 𝒂. 𝒃 ± 𝒂. 𝒄 En la expresión anterior, el factor común es 𝒂, pues es un factor que se repite en cada término de la expresión. El factor común en un polinomio, puede ser la variable, elevada al menor exponente y/o el máximo común divisor de todos los coeficientes. Una vez que se identifica el factor común, se divide cada término del polinomio por él. Ejemplo: a. 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟐𝒙. 𝒙 − 𝟐. 𝟐𝒙, el factor común es 𝟐𝒙, por lo tanto la factorización queda: 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟐𝒙(𝒙 − 𝟐)

40

b. −𝟏𝟐𝒙𝟔 + 𝟔𝒙𝟓 − 𝟏𝟓𝒙𝟑 = 𝟑𝒙𝟑 −𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓 c.

𝟒 𝟑 𝒙 𝟏𝟓

−

𝟔 𝟐 𝒙 𝟏𝟐

𝟐 𝟑

= 𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝟓

𝟑 𝟒

−

2 Caso. Factor Común por Grupos. Se aplica generalmente a polinomios que no tienen factor común en todos sus términos. Se forman grupos de igual cantidad de términos, de forma tal, que en cada uno de ellos haya un factor común. Si es posible, se extrae más de una vez el factor común. Ejemplo: a. 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒙 − 𝟔 = 𝒙𝟒 𝒙 − 𝟐 + 𝟑 𝒙 − 𝟐 = (𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟒 + 𝟑) b. 𝟑𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 𝒙 + 𝟏 + 𝟐 𝒙 + 𝟏 = (𝒙 + 𝟏)(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)

3 Caso. Trinomio Cuadrado Perfecto. Para reconocer un Trinomio cuadrado Perfecto, haremos uso de la fórmula que permite calcular el cuadrado de un binomio. 𝒂±𝒃

𝟐

= 𝒂𝟐 ± 𝟐. 𝒂. 𝒃 + 𝒃𝟐

𝑬𝒙𝒑.𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝑻𝒓𝒊𝒏𝒐𝒎.𝑪𝒖𝒂𝒅.𝑷𝒆𝒓𝒇.

𝑻𝒓𝒊𝒏𝒐𝒎. 𝑪𝒖𝒂𝒅.𝑷𝒆𝒓𝒇.

Un trinomio es cuadrado perfecto, si dos de sus términos son cuadrados perfectos y el tercero es igual al doble producto de las bases de los cuadrados. Ejemplo. a. 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 = 𝒙𝟐 + 𝟐. 𝟑. 𝒙 + 𝟑𝟐 = (𝒙 + 𝟑)𝟐 b. 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝒙𝟐 − 𝟐. 𝟐. 𝒙 + 𝟐𝟐 = (𝒙 − 𝟐)𝟐

4 Caso. Cuatrinomio Cubo Perfecto. Para reconocer un Cuatrinomio Cubo Perfecto, haremos uso de la fórmula que permite calcular el cubo de un binomio. 𝒂±𝒃

𝟑

𝑬𝒙𝒑.𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝑪𝒖𝒂𝒕.𝑪𝒖𝒃𝒐 𝑷𝒆𝒓𝒇.

= 𝒂𝟑 ± 𝟑. 𝒂𝟐 . 𝒃 + 𝟑. 𝒂. 𝒃𝟐 ± 𝒃𝟑 𝑪𝒖𝒂𝒕𝒓𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝑪𝒖𝒃𝒐 𝑷𝒆𝒓𝒇.

Un cuatrinomio es cubo perfecto, si dos de sus términos son cubos perfectos, y de los otros dos restantes, son alternadamente el triple del producto entre el cuadrado de una de las bases y la otra. Ejemplo: a. 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝒙𝟑 + 𝟑. 𝟐. 𝒙𝟐 + 𝟑. 𝟐𝟐 . 𝒙 + 𝟐𝟑 = 𝒙 + 𝟐

5 Caso. Diferencia de Cuadrados. Una diferencia de cuadrados se factoriza de la siguiente manera: 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) Ejemplo. a. 𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟔 𝟗 𝟑 𝟑 b. − 𝟏𝟔𝒙𝟐 = + 𝟒𝒙 − 𝟒𝒙 𝟐𝟓

𝟓

𝟓

41

𝟑

6 Caso. Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado. Se presentan los siguientes casos: Si 𝒏 es par: 1. El polinomio 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏 es irreducible. No se puede factorizar. 2. El polinomio 𝒙𝒏 − 𝒂𝒏 , es divisible por 𝒙 − 𝒂 y por 𝒙 + 𝒂. Si 𝒏 es impar: 1. El polinomio 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏 es divisible por 𝒙 + 𝒂. 2. El polinomio 𝒙𝒏 − 𝒂𝒏 , es divisible por 𝒙 − 𝒂. La factorización se logra dividiendo el polinomio a factorizar, por el divisor correspondiente, utilizando la Regla de Ruffini. Ejemplo. Factorizar los siguientes polinomios: a.

𝒙 𝟑 + 𝟖 = 𝒙 𝟑 + 𝟐𝟑

Aquí tenemos el caso en que 𝒏 es impar, por lo tanto debemos dividir el polinomio dado por (𝒙 + 𝟐) 1

0

0

8

1

-2 -2

4 4

-8 0

-2

La factorización resulta de la siguiente manera: 𝒙𝟑 + 𝟖 = (𝒙 + 𝟐)(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒) b. 𝒙𝟔 + 𝟔𝟒 = 𝒙𝟔 + 𝟐𝟔 no puede factorizarse.

Ejemplos de caso de factoreo combinados. Para factorizar algunos polinomios, a veces debemos aplicar los diferentes casos de factoreo, hasta lograr una factorización completa. Veamos algunos ejemplos. a. 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏) = 𝒙𝟐 𝒙 − 𝟏 𝑭𝑨𝑪𝑻𝑶𝑹 𝑪𝑶𝑴Ú𝑵 𝒙𝟐

b. 𝑸 𝒙 =

𝟐

𝑻𝑹𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶 𝑪𝑼𝑨𝑫. 𝑷𝑬𝑹𝑭𝑬𝑪𝑻𝑶

𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐

= 𝒙𝟐 𝒙 − 𝟑 − 𝟒 𝒙 − 𝟑 = 𝒙 − 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟒 𝑫𝑰𝑭.𝑫𝑬 𝑪𝑼𝑨𝑫.

𝑭𝑨𝑪𝑻𝑶𝑹 𝑪𝑶𝑴Ú𝑵 𝑷𝑶𝑹 𝑮𝑹𝑼𝑷𝑶𝑺

= 𝒙 − 𝟑 𝒙 − 𝟐 (𝒙 + 𝟐) En algunos casos es necesario aplicar la Regla de Ruffini y el Teorema de Resto para factorizar un polinomio. c. Verificar que el binomio 𝒙 − 𝟏 es un factor de 𝑻 𝒙 = −𝟑𝒙𝟑 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟏𝟐. Factorizar en forma completa el polinomio planteado. Aplicamos el Teorema del Resto para ver si el resto de la división es igual a cero. Para ello calculamos el valor del polinomio 𝑻(𝒙) para 𝒙 = 𝟏. 𝑻 𝟏 = −𝟑. 𝟏𝟑 + 𝟏𝟓. 𝟏𝟐 − 𝟐𝟒. 𝟏 + 𝟏𝟐 = −𝟑 + 𝟏𝟓 − 𝟐𝟒 + 𝟏𝟐 = 𝟎

42

Podemos aplicar la Regla de Ruffini para encontrar el cociente: Así tenemos que el polinomio 𝑻(𝒙) puede escribirse como:

-3

𝑻 𝒙 = −𝟑𝒙𝟑 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 = (−𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐) (𝒙 − 𝟏)

15 -24

12

-3

12

-12

12 -12

0

𝑪𝑶𝑪𝑰𝑬𝑵𝑻𝑬

Podemos intentar factorizar el polinomio cociente: −𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 = −𝟑 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = −𝟑(𝒙 − 𝟐)𝟐 𝑭𝑨𝑪𝑻𝑶𝑹 𝑪𝑶𝑴Ú𝑵

1 -3

𝑻𝑹𝑰𝑵.𝑪𝑼𝑨𝑫.𝑷𝑬𝑹𝑭.

Entonces el polinomo puede escribirse como 𝑻(𝒙) puedes escribirse como: 𝑻 𝒙 = −𝟑𝒙𝟑 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 𝒙 − 𝟏 = −𝟑 𝒙 − 𝟐 𝟐 (𝒙 − 𝟏) Así hemos logrado una factorización completa del polinomio. d. 𝑺 𝒙 = 𝒙𝟔 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 𝑭𝑨𝑪𝑻𝑶𝑹 𝑪𝑶𝑴Ú𝑵

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔

= 𝒙𝟐 𝒙 − 𝟐

𝑫𝑰𝑭.𝑫𝑬 𝑷𝑶𝑻. 𝑫𝑬 𝑰𝑮𝑼𝑨𝑳 𝑬𝑿𝑷. (𝟏)

𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 +

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟖 = 𝑭𝑨𝑪𝑻𝑶𝑹 𝑪𝑶𝑴𝑼𝑵 𝑷𝑶𝑹 𝑮𝑹𝑼𝑷𝑶𝑺 (𝟐) 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟐)

(1) 𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 se factoriza dividiendo el polinomio dado por el binomio (𝒙 − 𝟐), aplicando la Regla de Ruffini, de la siguiente manera: 1

2 1

0

0

0

-16

2

4

8

16

2

4

8

0

El polinomio se puede factorizar como: 𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 = (𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟖)

(2) 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟖 = 𝒙𝟐 𝒙 + 𝟐 + 𝟐 𝒙 + 𝟐 = (𝒙 + 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟐)

Bibliografía. Berio, A.; Colombo, M.; D´albano, C.; Sardella, O.; (2010) “Matemática 2 Activa” Ed. Puerto de Palos, Boulogne. Camuyrano, M.; Net, G.; Aragón, M.; (2005) “Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar la realidad”. Ed. Estrada; Buenos Aires. De Guzmán, M.; Colera, J.; Salvador, A. (1987) “Matemáticas Bachillerato”; Ed. Anaya, Madrid. De Simone, I.; Turner, M. (2012) “Matemática. Funciones y Estadística”; Az Editora. CABA. Apuntes Teóricos del CILEU 2008. Fac. Ciencias Exactas. Universidad Nacional de Salta.

43

TRABAJO PRÁCTICO

N º2

POLINOMIOS

Ejercicio 1.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Efectúa las siguientes operaciones con monomios

2x3 =5x3 = 3x4 =2x4 + 7x4 = (2x3 ) · (5x3 ) = (2x3 y 2 ) · (5x3 yz 2 ) = (12x3) · (4x) = (18x3 y 2 z 5 ) · (6x3 yz 2 ) = (2x3 y 2) 3 = (2x3 y 2 z 5 )5 = 3x3 =5x3 =2x3 = (12x3 y 5 z 4 ) : (3x2 y 2 z 3 ) =

Decidir si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso armativo, señala cuál es su grado y término independiente Ejercicio 2.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

4 x√ =3x5 + 2x2 + 5 2 x + 7x2 + 2 1=x4 x3 + x5 + x2 x=2x=3 + 8 2 x2 − x − 7

Ejercicio 3.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Escribe un polinomio que cumpla con las condiciones indicadas en cada caso.

Un polinomio ordenado sin término independiente. Un polinomio no ordenado y completo. Un polinomio completo sin término independiente. Un polinomio de grado 4, completo y con coecientes impares. Un polinomio de grado 5, ordenado en forma decreciente, con coeciente principal 1. Un polinomio de grado 7, de tal forma que el término independiente sea igual a 2, esté ordenado en forma creciente, completo y que cada coeciente sea el doble que el anterior.

Ejercicio 4.

Escribe dos polinomios p (x) y q (x), ambos de grado 3, tales que el grado de p (x) + q (x) sea: 3,

Ejercicio 5.

Dados los polinomios:

2, 1 y 0

p (x) = 4x3 − 2x2 + x − 1 q (x) = −3x3 + 4x2 − x − 2 s (x) = x3 − x2 − 1

encuentra: 1. 2. 3. 4. 5.

p (x) − q (x) + s (x) p (x) + q (x) − 2 · s (x) q (x) · s (x) p (x) · 5q (x) + s (x) s (x) · p (x) · q (x)

Ejercicio 6.

En los siguientes casos encuentra el cociente c (x) y el resto r (x) de dividir p (x) por q (x)

1. p (x) = 2x4 − x3 + 7x + 3 y q (x) = x2 + 2x − 5 2. p (x) = x3 − x2 + 4 y q (x) = x2 − 4x 3. p (x) = 6x + 9 y q (x) = 9x2 + 6

44

TRABAJO PRÁCTICO N º2

4. p (x) = x4 + x3 − x2 + 4x − 3 y q (x) = 2x3 + x2 − 4x + 1 Ejercicio 7.

1. 2. 3. 4. 5.

Utiliza la regla de Runi para hallar el cociente y el resto de la división entre p (x) y q (x).

p (x) = x3 + x2 + 4x − 5 y q (x) = x − 5 p (x) = x4 − 16 y q (x) = x − 2 p (x) = x3 + 2x + 70 y q (x) = x + 4 p (x) = x5 =2x2 =3 y q (x) = x=1 p (x) = 2x4 =2x3 + 3x2 + 5x + 10 y q (x) = x + 2

Ejercicio 8.

Usa el teorema del resto para vericar el resto de las divisiones realizadas en el ejercicio 5.

Ejercicio 9.

Se sabe que al dividir p (x) = x3 − kx + 5 entre x − 2, el resto es 1. Determina k.

Ejercicio 10.

Determina el valor de k:

1. para que p (x) = x3 − kx2 + 3x + 7k sea divisible por x + 2. 2. para que al dividir p (x) = 2x2 =kx + 2 por x=2 dé por resto 4. Ejercicio 11.

Mostrar que x − 3 es un factor de p (x) = x4 − 2x3 + x2 − 8x − 12.

Escribe un polinomio: 1. Del menor grado posible, que tenga como raíces a 0, −2 y 1. 2. Con raíces 0, 3 y −5, de multiplicidades 2, 2 y 1, respectivamente. ¾Cuál es su grado?

Ejercicio 12.

Utilizando convenientemente los teoremas, resuelve 1. Sabiendo que p (4) = 0, factoriza: p (x) = 2x3 − 11x2 + 10x + 8 de la forma más completa posible. 2. Si se sabe que 3 es una raíz de p (x) = x3 − 3x2 + x − 3, encuentra las otras raices y factoriza al polinomio dado.

Ejercicio 13.

Factoriza de la forma más completa los siguientes polinomios, en cada caso indica cúal es el caso de factoreo que utilizaste: Ejercicio 14.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

81x2 − 16 x3 + 1 x3 − 6x2 − 16x x4 − 3x3 − x2 + 3x x4 − 1 4x5 + x4 − 4x3 − x2 x5 − x3 − x2 + 1 x5 − 32 x4 − x2 − 2x − 1 4x3 − 6x2 − 6x + 9 x5 − x4 + x3 − x2 xy =2x=3y + 6 = 25x2 =1 = 36x6 =49 = x2 =2x + 1 = x2 =6x + 9 = x2 =20x + 100 = x2 + 10x + 25 = x2 + 14x + 49 = x3 =4x2 + 4x = 3x7 =27x = x2 =11x + 30 = 3x2 + 10x + 3 = 2x2 =x=1 =

45

Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Exactas CIU 2014 Comprensión y Producción de Textos Autora: María de las Mercedes Funes Trabajo Práctico presencial N° 2 1. Leer el siguiente texto.

Historia del Algebra Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo x2-bx=c, con b>0, c>0, aunque estos símbolos (b, c, x, +,=) no se usaban entonces. Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios. Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe Al-Jwârizmî (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma, ax2+bx+c=0 donde a, b y c pueden ser números cualesquiera. En tanto que la fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica) no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma a.x3+bx2+cx+d=0 donde a, b, c y d son números cualesquiera, y por supuesto que a≠0 Lo que tienen todas estas

46

ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita. Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo. La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro. Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna". Fragmento extraído de http:/escritorioalumno.educ.ar

2. A partir de la lectura del texto, señalar las expresiones científicas que les parecen confusas o desconocidas. 3. Consultar a los docentes acerca de sus posibles definiciones. 4. Según lo expuesto en el texto, escribir las definiciones de las siguientes palabras: a) exponentes: b) incógnita: c) proeza: 5. ¿Quiénes fueron los babilonios? 6. ¿De dónde procedían las llamadas ciencias extranjeras? 7. Realizar notas al margen del texto utilizando palabras claves. 8. Completar el siguiente esquema utilizando la información del texto.

Historia de los polinomios

9. Explicar qué llevó a la construcción de la fórmula de Cardano.

47

TEMA 3 ECUACIONES Autores: Sarmiento, Nilsa; Zanek,Franco Colaboradores: Jaime, Fernando; Espinoza,Cecilia

3.1 Introducción- Un poco de historia Los primeros en tratar con ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado “Tratado de la cosa, y a la ciencia de Hacerlo, Álgebra”. La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha en latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval, los matemáticos españoles llamaron a la cosa “x” y así sigue… Parece ser que en el Renacimiento, los matemáticos de Bolonia resolvieron por métodos algebraicos la ecuación de tercer grado (se cree que Scipio del Ferro fue el primero en resolverla), pero la solución permaneció en secreto. En 1535, Niccolo Fontana (más conocido como Tartaglia) demostró que era capaz de resolver la ecuación de tercer grado, pero no explicó cómo. Sólo se dedico a ganar un concurso público con su método sin develar detalles. Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano, quien juró mantener secreta la solución de Tartaglia pero la publicó unos cuantos años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado “Ars Magna” (Gran arte). No obstante, el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia. En gran parte debido a Cardamo, las matemáticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. El éxito de los matemáticos italianos produjo un gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna había sobrepasado las conquistas de los antiguos. El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen (1651-1708) creyó haber encontrado un método general de solución. Su método estaba basado en la transformación de una ecuación en otra más simple, pero ésta sola transformación requería de algunas ecuaciones auxiliares. El famoso matemático francés Lagrange en su trabajo “Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebracias” publicado en 1770-1771, críticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas en la época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Consecuentemente fue para sorpresa enorme de todos los matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik (1802-1829). Pero las respuestas a los grandes problemas que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matemático francés Evariste Galois (1811-1832). A pesar de su corta vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su época en muchas ramas de las matemáticas y en particular, dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teoría de las ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado “Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales”, que fue escrito en treinta y un páginas casi ininteligibles.

48

3.2 Ecuación en Una Variable. Se llama ecuación en la variable x a toda igualdad entre dos expresiones algebraicas. Simbólicamente = .

Las dos expresiones están separadas por el signo = y cada una de ellas recibe el nombre de miembros (1º y 2ºmiembro) Ejemplo 1: i) ii) iii)

−5 2 =

+3 −6 =

−1

−3

|3 − 5| =

3.2.1 Dominio (D o Dom). Se llama Dominio al conjunto de valores numéricos que puede asumir la/s variable/s de una ecuación. Es decir, se debe tener en cuenta las restricciones de la/s variable/s presentes. Ejemplo 2: i)

ii)

2 +3=5; =ℝ El Dominio en esta ecuación es el conjunto de todos los reales, ya que las operaciones presentes (producto y suma) están definidas para todo número real, por lo que x puede ser cualquier valor real. =4;

= ℝ − {1}

En este caso, la variable x no puede tomar el valor 1, ya que la división por cero no puede realizarse. 3.2.2 Solución o Raíz o Cero de una Ecuación. Se llama solución o raíz o cero de una ecuación a todo valor numérico que verifica la igualdad. Ejemplo 3: 2 es raíz o solución de la ecuación

+ 6 = 5 porque si

2 + 6 = 5.2

= 2:

4 + 6 = 10

3.2.3 Conjunto Solución: Se llama Conjunto Solución de una ecuación al conjunto formado por todas las soluciones de la ecuación, es decir todos los valores que verifican la igualdad, teniendo en cuenta las restricciones del dominio D. Ejemplo 4: Como ya se verificó 2 es raíz de conjunto solución de + 6 = 5 es

+ 6 = 5 , pero también 3 es solución. Por tanto el = {2,3}.

3.2.4 Ecuaciones Equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. Ejemplo 5: Las ecuaciones:

49

+6 = 5

y

2

+3 +4=

+8 −2

Son equivalentes, dado que tienen el mismo conjunto solución. De la ecuación +6=5 = {2,3}, mientras que la otra ecuación al aplicar las propiedades y/o al resolverla el axiomas de los números reales se transforma en la misma ecuación anterior y por tanto tendrá el mismo conjunto solución. 2

+3 +4=

+8 −2→2

−

+3 −8 +4+2= 0→

−5 +6=0

3.2.5 Operaciones Permitidas. Obtendremos ecuaciones equivalentes siempre que: 1. Sumemos o restemos en ambos lados de la ecuación el mismo número, o expresión. Por ley uniforme de la suma. 2. Multipliquemos o dividamos ambos lados por el mismo número, o expresión, que sea distinto de cero. Por ley uniforme del Producto. La forma de resolver una ecuación es usar las operaciones permitidas para obtener ecuaciones equivalentes a la dada, hasta obtener una igualdad donde la incógnita aparezca solamente en un miembro. La idea es llevar a un miembro todos los términos que contengan la variable y en el otro miembro todos los términos que no contengan la variable, es decir los términos independientes. Debe quedar claro que el hecho de pasar de un miembro al otro equivale a usar la propiedad uniforme ya sea del producto o de la suma. Ejemplo 6:

La ecuación 3 − 5 = 7 es una ecuación lineal, encontrar su solución. Solución

Partimos de la ecuación dada

3 − 5 = 7 (1)

Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:

3 − 5 + 5 = 7 + 5 (2) Operamos

3 = 12 (3)

Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3, 3

producto

= , por propiedad uniforme del

= 4 (4)

Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4), = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución % = {4}.

3.2.6 Clasificación de las Ecuaciones

Las ecuaciones se clasifican según el tipo de expresiones matemáticas que aparecen en ambos miembros. Por ahora solo estudiaremos:

50

•

• •

Ecuaciones Polinómicas: cuando su expresión corresponde a polinomios, como en el primer caso, a su vez estudiaremos en mayor profundidad las lineales y cuadráticas. Ecuaciones Racionales: cuando adoptan la forma de fracciones entre polinomios. Ecuaciones con Valor Absoluto: cuando la expresión algebraica se encuentra entre barras de valor absoluto.

3.3 Ecuaciones Polinómicas Se denominan Ecuaciones Polinómicas a las ecuaciones que responden a la forma: &' + &

+ ⋯ + &)

)

= 0 con &* ∈ ℝ para , = 0,1, … , ..

Donde sus soluciones coinciden con las raíces del polinomio.

De allí que es muy importante la factorización de polinomios, porque de ésta se deducen las raíces. Para poder resolverlas es importante que primero se escriba como lo indica la definición, es decir, que se iguale a cero y luego se factorice. Ejemplo 7: Dada la ecuación

−

+3=−

+ 7 + 9 , determinar el conjunto solución.

Los pasos a seguir para su resolución son:

Primero se iguala a cero. Esto se logra al sumar −

+3+

− 7 − 9 en ambos miembros

−7 −9=0

− 7 − 6 = 0.

Obtuvimos así una ecuación equivalente a la original. Ahora se deben buscar las raíces del polinomio hallado, se deja como ejercicio para el lector realizar la factorización del mismo, que son -2,-1 y 3. Verifiquemos estos valores:

= −2; −2 = −1; −1 = 3; 3

+ 2 ∗ 7 − 6 = −8 + 14 − 6 = −14 + 14 = 0. + 1 ∗ 7 − 6 = −1 + 7 − 6 = −7 + 7 = 0.

− 3 ∗ 7 − 6 = 27 − 21 − 6 = 27 − 27 = 0.

Por lo tanto el conjunto solución es

= {−2, −1,3}.

3.3.1 Ecuación Lineal o de Primer Grado con una incógnita Una ecuación lineal en la variable “x” puede escribirse en la forma: & =2

Donde & y 2 son constantes y pertenecen a los números reales, con “&” distinto de cero.

Para resolver una ecuación lineal, se aplican las propiedades que garantizan obtener ecuaciones equivalentes, cuyas soluciones son evidentes. Esto significa obtener una nueva ecuación en la cual la variable se encuentra en un solo miembro de la igualdad; es decir en su mínima expresión de la forma & = 2.

51

3.3.1.1 Tipos de Soluciones. Las ecuaciones lineales pueden tener distintos tipos de soluciones. El estudio de las soluciones de la ecuación siguiente manera:

a.x = b (con a y b∈R) se puede resumir de la

a.x = b

a=0

a≠

b≠

b=0

0 3

Existe única solución, = 4

0

No existe Solución Existen infinitas soluciones (todo número real x es solución). A las ecuaciones que tienen infinitas soluciones se denomina Identidad. A continuación anteriormente.

se analizará algunos ejemplos donde se aplicará el estudio realizado

Resolver y determinar el conjunto solución de: Ejemplo 8:

2 − 4 = −12

2 − 4 + 4 = −12 + 4 2 = −8

2 ∗

1 1 = −8 ∗ 2 2 = −4

Aquí se puede ver que la mínima expresión es = −4, y el valor de a = 1; es decir que a es distinto de cero, por tanto la ecuación tiene única solución, = {−4} Ejemplo 9:

4 +1 6 +2 = 2 3 3 4 +1 =2 6 +2 12 + 3 = 12 + 4 12 − 12 = 4 − 3 0 =1

52

En este caso no existe solución, porque el valor de &= 0 y el valor de b = 1. Entonces el conjunto solución es vacío 56 = {} Ejemplo 10:

6 +2 =4 +3 +2 6 + 12 = 4 + 12 + 2 6 − 4 − 2 = 12 − 12 0 =0

En este caso el valor de &= 0 y el de 2 = 0; es decir se verifica ∀ ∈ 8, lo cual significa que tiene infinitas soluciones. 3.3.1.2 Ecuación con Parámetros. Existen algunos ejercicios en los cuales se va solicitar estudiar el valor que tiene que tomar un determinado parámetro real para que la ecuación tenga o no solución. Ejemplo 11:

Analizar el valor del parámetro “k” para que la ecuación 9

i) Única solución

ii) infinitas soluciones

+1=9+

tenga:

iii) ninguna solución

En la ecuación 9 + 1 = 9 + aplicando las propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma :.x=;

9

−

=9−1

9 −1 =9−1

9−1 9+1 = 9−1

Ahora en nuestro caso & = 9 + 1 9 − 1 determinar lo que se nos solicita.

y 2 = 9 − 1, estos valores no ayudaran a

i) Única solución cuando k ≠ 1 ó k ≠ −1 porque son los valores del parámetro k que no anulan el coeficiente de la variable x. ii) Infinitas soluciones cuando k = 1, es el valor del parámetro k que anula al coeficiente de la variable x y al términos independiente de la ecuación. iii) Ninguna solución cuando k = -1 es el valor del parámetro k que anula al coeficiente de la variable x pero no anula al términos independiente de la ecuación.

3.3.2 Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado en Una Variable. Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión de la forma: &

+ 2

+ < = 0

Donde &, 2, < son los coeficientes y son números reales y & ≠ 0. El valor & recibe el nombre de coeficiente cuadrático, el valor de 2 de coeficiente lineal y c es el término independiente. 3.3.2.1 Resolución de Una Ecuación Cuadrática. Para determinar el conjunto solución de una ecuación cuadrática contamos con dos métodos conocidos, aplicando: a) La Fórmula para determinar las raíces o soluciones:

53

x1, 2 =

− b ± b 2 − 4.a.c 2a

Ejemplo 12: Determinar el conjunto solución de

+ –2 = 0

En este caso tenemos que & = 1, 2 = 1 ? < = −2

x1= 1

x=

= {−2,1}

− 1 ± 12 − 4.1.(−2) = 2.1 x2= -2

b) El Método de Completar Cuadrados: Para aplicar el método de Completar Cuadrados, se sigue los siguientes pasos 1. Dividir toda la ecuación Cuadrática por el coeficiente del término cuadrático. 2. De un lado de la igualdad asociar el término cuadrático y lineal de la ecuación. Mientras que en el segundo miembro, el término independiente. 3. Sumamos a ambos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal. En el primer término nos va a quedar un trinomio cuadrado perfecto. 4. Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros y usando propiedades de módulo resolvemos la ecuación. Ejemplo 13:

Sea la ecuación 4

– 17

−

+ 15 = 0

17 17 + − 4 8

17 15 + =0 4 4 17 15 − =− 4 4 17 15 17 = − =− + − 8 4 8

@

−

−

17 8

49 =@ 64

A partir de esta última ecuación, obtenemos los valores de x. Por propiedad de Módulo, nos queda

17 7 A= 8 8 17 7 − =± 8 8 7 17 =± + 8 8

A −

De donde

54

=

49 64

7 17 + =3 8 8 7 17 5 =− + = 8 8 4 =

Entonces

D E

= C , 3F.

3.3.2.1Natualeza de las Raíces de una Ecuación Cuadrática La naturaleza de las raíces indica si éstas son reales o no lo cual depende del valor del discriminante. Se llama discriminante de la ecuación &

+ 2

+ < = 0 a la expresión:

∆ = b 2 − 4 ac

Esta naturaleza se puede resumir de la siguiente manera: Si ∆ > 0

Las raíces son reales y distintas.

− b + b 2 − 4ac x1 = 2a − b − b 2 − 4ac x2 = 2a

Si ∆ = 0

Las raíces son reales e iguales (raíz doble).

Si ∆ < 0

No tiene solución en los reales.

Ejemplo 14:

x1, 2 = −

b 2a

+ 3 + 9 = 0 tenga:

Determinar el valor de “k” para que la ecuación

i) Raíces reales y distintas ii) raíces reales e iguales

iii) raíces complejas

Para analizar la naturaleza de las raíces se debe determinar el valor del discriminante ∆ = 9 − 4 ∗ 1 ∗ k = 9 − 4k Raíces reales y distintas cuando 9 – 4k > 0 ⇒ k < Raíces reales e iguales cuando 9 – 4k = 0 ⇒ k = Raíces complejas cuando 9 – 4k < 0 ⇒ k > 3.3.2.1 Propiedades des Raices.

En toda ecuación cuadrática & las raíces y :

+ 2

9 4

9 4

9 4

+ < = 0 se verifican las siguientes propiedades de

55

La suma de las raíces es el cociente cambiado de signo entre el coeficiente del término lineal y el coeficiente cuadrático. Simbólicamente: x1 + x 2 = −

b a

El producto de las raíces es el cociente entre el término independiente y el coeficiente cuadrático. Simbólicamente: x1 .x 2 =

c a

Toda ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 se la puede expresar como el siguiente producto:

(

)(

)

Simbólicamente: a x − x1 . x − x 2 = ax 2 + bx + c Esta expresión se conoce como la Forma Factorizada de una ecuación cuadrática. Ejemplo: Dada la ecuación 2

− – 3 = 0.

Tenemos que: a = 2 ; b = −1 ; c = −3 . Sustituyendo estos valores en la fórmula cuadrática, resulta:

x1, 2

1 + 5 = − (−1) ± (−1) 2 − 4.2.(−3) 1 ± 1 + 24 1 ± 25 1 ± 5  4 = = = = = 4 2.2 4 4 1 − 5 =  4

Por lo tanto las soluciones de la ecuación son: x =

6 3 = 4 2 −4 = −1 4

3 y x = −1 . 2

Luego, podemos escribirla en su forma factorizada:

Verificación:

3 + –2 = 2H − I 2

+1

Para probar la igualdad vamos a desarrollar el segundo miembro.

3 2( x − )( x + 1) = (2 x − 3)( x + 1) 2 = 2 x 2 + 2 x − 3x − 3 = 2x2 − x − 3 Y de esta manera comprobamos que llegamos a obtener el primer miembro de la igualdad.

56

3.4 Ecuaciones Racionales Una ecuación racional es una expresión de la forma

P( x ) Q( x )

= 0 donde Q( x ) ≠ 0

Los pasos para resolver una ecuación racional son los siguientes: Condicionar el denominador, que sea distinto de cero; en este caso Q( x ) ≠ 0 de allí se obtiene el conjunto formado por estos valores que lo denominaremos C1. Resolver la expresión realizando pasajes de términos y/o factores, de forma tal que la nueva expresión quede igualada a cero.

La solución final debe cumplir las condiciones anteriores, es decir S = Ejemplo 15:

J

Determinar el conjunto solución de

K

=

L

1

I

C

C

Igualar la nueva expresión del numerador a cero y despejar la variable, de allí se obtiene el conjunto formado por estos nuevos valores, denominado C2. 2

M

Si se sigue los pasos anteriormente indicados, se tendrá: 1) x ≠ 4 y x ≠ 3, con lo cual se determina el conjunto: = { ∈ 8/ ≠ 4 ∧

≠ 3}

2) Se realizan los pasajes correspondientes: J

De donde

= {9}.

J L − =P −K −M −M −L −K =P −K −M

5 −3 −6 −4 =0 5 − 15 − 6 + 24 = 0 6 − 5 = 24 − 15 =9

3) La solución final se determina con entonces = {9}.

=

∩

dado que 9 es distinto de 4 y de 3

3.5 Ecuaciones con Valor Absoluto Para resolver este tipo de ecuaciones haremos uso de la definición de módulo y de las propiedades vistas en el capítulo 1. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 16: Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto | − 3| = 2 ⇔ − 3 = 2 ∨ − 3 = −2 ⇔ Entonces 56 = {T, J} | − 4| = −3

=5∨

57

= 1 , esto es por definición de módulo.

Si se tiene en cuenta la definición de valor absoluto, éste siempre es mayor o igual a cero, entonces la ecuación no tiene solución; es decir que 5U = {} − 2 = 25 ⟺ W = −3.

= √25 ⟺ | − 2| = 5 ⟺

−2

−2=5 ∨

− 2 = −5 ⟺

=7∨

Aquí se sacó raíz cuadrada en ambos miembros para luego aplicar la propiedad  2   x = x ∀x ∈ R  de valor absoluto y posteriormente se aplicamos la definición de   módulo. Entonces 56 = {−M, Y} | − 3| = 2 + Se resuelve aplicando la definición de valor absoluto

− 3 Z,

| − 3| =

≥3

− + 3 Z,

Si x < 3

Si x ≥ 3

x−3 =2+ x

x−3 =2+ x

x−3=2+ x

− x+3= 2+ x

x−x=2+3

− x− x=2−3

0x = 5

− 2 x = −1 ⇒ x =

S ={ 1

}