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CAPITULO VII

ESCURRIMIENTO DE FLUIDOS EN OBJETOS SUMERGIDOS 7.1. COEFICIENTE DE ARRASTRE PARA EL FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS 7.1.1.Introducción y tipos de arrastre (1) El flujo de fluidos en torno, a cuerpos sumergidos aparece en muchas aplicaciones de ingeniería química y en otras aplicaciones de procesamiento tales como: en el flujo a través de esferas empacadas en secado y filtración, en el flujo alrededor de tubos en los intercambiadores de calor, sedimentación de partículas (minerales y otros), etc. En estas diversas aplicaciones es necesario predecir las pérdidas por fricción y la fuerza ejercida sobre los objetos sumergidos.

En los ejemplos que se presentan en el capítulo 4 sobre fricción de fluidos dentro de conductos, la transferencia de momento lineal perpendicular a la superficie origina un esfuerzo cortante o arrastre tangencial sobre la superficie lisa paralela a la dirección del flujo. Esta fuerza ejercida por el fluido sobre el sólido en la dirección del flujo se llama arrastre de superficie o de pared. La fricción superficial existirá para cualquier superficie que esté en contacto con un fluido en movimiento. Además, de esta fricción superficial, si el fluido no está fluyendo en forma paralela a la superficie, sino que debe cambiar de dirección para pasar alrededor de un cuerpo sólido como una esfera, ocurrirán significativas pérdidas adicionales, existe dos tipos de arrastre: •

Arrastre de superficie o de pared

•

Arrastre de forma, que depende de la geometría del sólido y de las propiedades del fluido.

En la figura 7.1.1 se muestra el flujo externo alrededor de cuerpo sumergido, donde el cuerpo sumergido puede presentar una geometría regular o irregular. Así, en la Fig. 7.1-(a)

7-2

el flujo de fluidos es paralelo a la superficie lisa de la placa plana sólida, y el esfuerzo cortante o roce de pared τw, es proporcional a la energía cinética del fluido, pudiendo expresar para la superficie plana como(1);

τw =

FD A



  2  2

∞ ρ Vo 

(7.1)

Donde al igualar esta expresión aparece la constante de proporcionalidad definida como factor de fricción f definido como la razón de fuerza de arrastre total por unidad de área y la energía cinética del fluido:

FD

f =

A  Vo2   ρ   2 

(7.2)

Siendo f el factor de roce superficial o coeficiente de roce (adimensional), FD es la fuerza de arrastre o roce al flujo total en (Newton), A es el área en m2, Vo es la velocidad de la corriente libre en m/s y ρ es la densidad del fluido. El área A, que se usa es el área obtenida al proyectar el cuerpo en un plano perpendicular a la línea de flujo.

Sin embargo, cuando se trata de un cuerpo sumergido con una determinada geometría irregular presenta varios ángulos a la dirección de flujo del fluido. Como se muestra en la figura 7.1-(b), la velocidad de la corriente libre es Vo y es uniforme alrededor del cuerpo de forma irregular suspendido en un conducto muy largo. Las líneas llamadas líneas de flujo representan la trayectoria de los elementos del fluido alrededor del cuerpo suspendido. La fina capa límite adyacente a la superficie sólida se muestra como una línea punteada, y en el borde de esta capa, la velocidad es esencialmente igual a la velocidad del flujo global adyacente a él.

En el centro de la cara frontal del cuerpo, llamado punto de

estancamiento, la velocidad del fluido será cero; en este punto empieza el crecimiento de la capa límite y continúa sobre la superficie hasta que la capa se separa.

El esfuerzo

tangencial sobre el cuerpo debido al gradiente de velocidad en la capa límite es la fricción superficial. Por fuera de la capa límite, el fluido cambia de dirección para pasar alrededor del sólido; se acelera cerca del frente y luego se desacelera. A causa de estos efectos, el

7-3

fluido ejerce una fuerza adicional sobre el cuerpo. Este fenómeno, llamado arrastre de forma, se agrega al arrastre superficial en la capa límite.

En la figura 7.1-(b) ocurre la separación de la capa límite, como se muestra, y cuando se forman grandes remolinos que contribuyen a crear el arrastre se produce una estela, que cubre toda la parte posterior del objeto. El punto de separación depende de la forma de la partícula, del número de Reynolds y de otros factores.

El arrastre de forma para cuerpos ovalados puede minimizar haciendo aerodinámico el cuerpo (figura 7.1-c), lo que fuerza al punto de separación hacia la parte posterior del cuerpo y reduce en gran medida el tamaño del remolino.

Fig. 7.1. Flujo alrededor de objetos sumergidos: a) placa plana, b) esfera, c) objeto aerodinámico

7.1.2. Coeficiente de arrastre

(1)

.

De acuerdo al análisis, es evidente, que la

geometría del sólido sumergido es un factor fundamental para determinar la cantidad de la fuerza de arrastre total ejercida sobre el cuerpo. Las correlaciones de la geometría y las características del flujo para los objetos sólidos suspendidos o mantenidos en una corriente libre (objetos sumergidos) son semejantes en concepto y forma a la correlación del factor de fricción y el número de Reynolds dada para el flujo dentro de conductos. En el flujo a través de conductos, el factor de fricción se definió como la razón entre la fuerza de arrastre por área unitaria (esfuerzo cortante) y el producto de la densidad por la carga de velocidad.

7-4

De la misma manera, a partir de la Ec. (7.2) para el flujo alrededor de objetos inmersos el coeficiente de arrastre o de fricción f = CD se define como la razón entre la fuerza de

 Vo2 arrastre total por área unitaria y la energía cinética del fluido, ρ   2 FD CD =

  . 

Ap

V 2 ρ  o  2

  

(7.3-a)

Por otro lado, despejando de esta misma ecuación se calcula la fuerza de arrastre total

V 2  FD = C D ρ  o  A p  2 

(7.3-b)

Donde: FD = Fuerza de arrastre o resistencia que el fluido ejerce sobre el sólido, (Newton) Ap = Área transversal del sólido, m2 CD = Coeficiente de arrastre (drag coeficient), adimensional. Vo = Velocidad libre del fluido, m/s ρ

= Densidad del fluido en kg/m3.

El área Ap, que se usa es el área obtenida al proyectar el cuerpo en un plano perpendicular a la línea de flujo. Así tenemos:

Para una esfera:

Para un cilindro cuyo eje es perpendicular a la dirección de flujo es:

7-5

Por otra parte, por análisis dimensional se llega que el coeficiente de arrastre, CD , es función de una forma particular de número de Reynolds, Re p , y de los factores de forma necesarios. C D = C D (Re p )

(7.4) Re p =

ρ Vod µ

p

Siendo: ρ, µ = Densidad y viscosidad del fluido (kg/m3, kg/m.s) Vo

= Velocidad relativa partícula – fluido, m/s

dp

= Diámetro equivalente de partícula, m

Para partículas esféricas existen correlaciones para CD en distintas zonas fluidodinámicas reflejadas en la tabla (7.1).

Tabla 7.1. Coeficiente de rozamiento para partículas esféricas Zona fluidodinámica

Rep

CD

Stokes (laminar)

< 0,2

24 Re p

0,2 - 500

24 1 + 0,15 Re 0,687  p Re p 

De Newton (turbulento)

500 – 2x105

0,44

De turbulencia elevada

> 2x105

0,10

de transición

Para algunas formas más complejas (discos, cilindros, etc.) existen curvas que proporcionan el coeficiente de rozamiento en función del número de Reynolds. El número de Reynolds se calcula utilizado un diámetro característico de la partícula.

La variación de CD con respecto a Re p (figura 7.2) es bastante complicada debido a la interacción de los factores que controlan el arrastre superficial y el arrastre de forma. Para una esfera, conforme el número de Reynolds aumenta más allá del intervalo de la ley de Stokes, va ocurriendo una separación y se forma una estela. Mayores incrementos de Re p ocasionan desplazamientos del punto de separación.

7-6

Así, de la figura 7.2 se observa lo siguiente(1) : a aproximadamente Rep = 3 x 105, la súbita caída de CD, es resultado de que la capa límite se vuelve completamente turbulenta y el punto de separación se mueve corriente abajo. En la región de Re p de alrededor de 1 x l03 a 2 x 105, el coeficiente de arrastre es prácticamente constante para cada forma y CD = 0.44 para una esfera. Por encima de un Re p de cerca de 5 x 105, el coeficiente de arrastre otra vez es aproximadamente constante, y CD para una esfera es de 0,13, para un cilindro es de 0,33 y para un disco es de 1,12.

Fig. 7.2. Variación de Coeficientes de arrastre para el flujo alrededor de esferas, cilindros largos y discos inmersos (1).

7.2. FLUJO A TRAVÉS DE LECHOS EMPACADOS O FIJOS (1, 2, 3, 10, 11) Los lechos empacados o empacados de partículas sólidas, más comúnmente llamados lechos porosos, tienen gran aplicación en diversas áreas de Ingeniería Química y otros campos de la ingeniería de procesos. Los equipos por lo general son columnas o “tachos” vacío que aumentan en su interior con lechos empacados, fijos a través de los cuales se mueven uno o varios fluidos, tal como sucede en las siguientes operaciones: • Destilación, absorción, adsorción, humidificación, intercambio iónico, lixiviación (transferencia de masa) • Filtración (separación sólido fluido).

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• Catálisis heterogénea, combustión, gasificación de sólidos (reacciones químicas fluido/sólido) Los materiales de empaque pueden ser esféricas, partículas irregulares, cilindros o varias clases de empaques comerciales. Para fines de diseño se debe tomar en cuenta la siguiente relación para el caso de una columna de destilación con empaques de relleno: diámetro columna 8 10 = a diámetro de lecho 1 1

Esta relación es considerada como valor mínimo para reducir los efectos de canalización del fluido. 7.2.1. Características y Propiedades de las Partículas de un Lecho empacado (1, 2) Las partículas que actúan como lecho empacado quedan caracterizados por una serie de parámetros que aparecen en las diferentes ecuaciones de diseño (lecho empacado y lecho fluidizado), entre los que cabe destacar: •

Esfericidad de una partícula, ф

•

Diámetro de las partículas, dp

•

Superficie específica de una partícula, av

•

Porosidad o fracción de huecos, ε

•

Superficie específica total del lecho, a

•

Velocidad intersticial promedio en el lecho

•

Diámetro equivalente, de

•

Número de Reynolds en el lecho, Re p

1. Esfericidad de una partícula, φ (2) Es la medida para caracterizar la forma de las partículas irregulares y otras no esféricas. Se define como:  sup erficie de la esfera 

Ο

 φ =  =  ≤ 1,0 sup erficie de la partícula   igual volumen  Ω  igual volumen

(7,5)

7-8

2. Diámetro de la partícula, dp (2) El diámetro medio de un conjunto de partículas puede definirse de diversas maneras: •

Diámetro medio basado en la superficie esférica dp =

1

(7.6)

n

∑

Xi / di

i =1

Para partículas de forma irregular

dp =

1 n

∑

i =1

(7.7)

Xi φ di

Donde Xi = fracción volumétrica o fracción másica •

Diámetro medio efectivo para la mezcla de partículas en base al porcentaje de volumen de partículas: 1

dpm =

∑ x /( φ d i =1

•

(7.8)

n

i

)

Diámetro medio en masa dm =

n

∑X i =1

i

di

(7.9)

El más comúnmente utilizado es el basado en la superficie esférica, dp. •

Otra forma de caracterizar el diámetro de la partícula (>1,0 mm) es: dp = φ d esf

(7.10)

Donde ф se estima de la tabla 7.2 3. Superficie específica de una partícula, av (1, 2) La superficie de una partícula, av, se define como la relación entre la superficie por unidad de volumen de las partículas de un lecho poroso, expresado en la siguiente forma:

7-9

av =

Area de la sup erficie de una partícula ( Sp ) Volumen de una partícula (Vp )

(7.11)

av = Sp/Vp , [m-1]

(7.12)

Tabla 7.2. Esfericidad de partículas (2) Forma de la partícula Esfera Cubo h=d Cilindros: h = 5d h = 10d h = d/3 Discos: h = d/6 h = d/10 Arena de playa Arena de río Promedio para diversos tipos de arena Sólidos triturados Partículas granulados Trigo Anillos Rasching Sillas de Berl Sillas de niquel

Esfericiad Ф 1.00 0.81 0.87 0.7 0.58 0.76 0.6 0.47 tan alta como 0,86 tan baja como 0,53 0.75 0,50 - 0,70 0,70 - 0,80 0.85 0,26 - 0,53 0,30 - 0,37 0.14

Para una partícula esférica

av =

πdp 2 6 = π 3 dp dp

(m −1 )

6

av =

6 , (m −1 ) dp

(7.13)

Para partículas no esféricas: ejemplo cubo

(7.14)

7-10

4. Porosidad o fracción de huecos, ε (1, 3) La fracción de huecos o vacíos en un lecho empacado se define como:

ε =

Volumen de hue cos en el lecho Volumen total del lecho (hue cos + sólidos )

(7.15)

ε =

Volumen total de lecho − volumen de partículas sólidas Volumen total del lecho

(7.16)

Para el caso de la partícula sólida:

1− ε =

Volumen de partículas sólidas Volumen total del lecho

(7.17)

5. Superficie específica total del lecho, a

La superficie específica total del lecho corresponde a las partículas sólidas contenidas en la columna, por tanto es necesario definir la fracción de volumen ocupado por las partículas en el lecho (1-ε), luego a se define como la razón entre el área superficial total del lecho y el volumen total del lecho en m-1:

a=

Area sup erficial total del lecho Volumen total del lecho (volumen de vacios + volumen de partículas ) a = aV (1 − ε ) =

6 (1 − ε ) dp

(7.18)

(7.19)

7-11

6. Velocidad intersticial dentro del lecho, V (m/s)

Viene hacer la velocidad axial en el lecho y está relacionada con la velocidad superficial en el tubo vacío (Vo) por la ecuación: V = Velocidad axial en el lecho V = Vo

Vo

ε

(7.20)

ε

Vo = velocidad superficial en el tubo vacío

7. Diámetro equivalente, de

El diámetro equivalente de las partículas dentro del lecho se define como:

De = 4 rH

(7.21)

Donde el radio hidráulico, rH, viene dada por la relación: rH =

Area transversal disponible para el flujo perímetro mojado

rH =

volumen vacío disponible para el flujo sup erficie total húmedo de sólidos

rH =

rH =

volumen vacíos / volumen lecho ε ε = = volumen mojado / volumen lecho a 6(1 − ε ) dp

ε 6(1 − ε )

dp

Por tanto, el diámetro equivalente es igual a:

(7.22)

(7.23)

7-12

 4  ε  de =     dp  6   (1 − ε ) 

(7.24)

8. Número de Reynolds en el lecho, Re,p

Re p =

deρV

µ

 4   ε   Vo  ρ  4  1  dp Vo ρ  =      dp   =    6  1 − ε   ε  µ  6  (1 − ε )  µ 

(7.25)

Para lecho empacado ERGUN define el número de Reynolds como acaba de mostrar sin el término de (4/6);

Por otro lado, el flujo másico podemos calcular como: Go = Vo ρ Siendo el número Reynolds expresado como:

ρ 1  dpGo  1  Re p =  dpVo =   µ (1 − ε )  µ 1 − ε 

  , donde Go = ρVo 

(7.26)

NOTA: Sin embargo en la literatura se ha encontrado dos formas de definir el número de Reynolds para un lecho fijo: a) Primer caso: Geankoplis define la ecuación antes mostrada, b) Segundo caso: Levenspiel define el número de Reynolds como(2):

Re p =

dpVo ρ

µ

(7.27)

Donde: ρ = densidad del fluido y Vo = velocidad superficial del fluido. Esta es la velocidad que tendría el fluido si el recipiente no contendría sólidos. 7.2.2. Caída de Presión a través de Lechos Empacados (1, 2, 3, 4, 6, 10) La caída de presión que sufre un fluido al pasar a través de un lecho empacado es difícil de determinar teóricamente, dada la diversa naturaleza, forma y tamaño de los sólidos. Sin embargo, puede establecerse una analogía entre el flujo a través de los huecos o canales de un lecho poroso y el flujo interno a través de una tubería o ducto, en cuyo caso se puede

7-13

aplicarse las ecuaciones deducidas para el flujo interno. la siguiente figura esquematiza un lecho empacado fijo o de relleno.

Fig. 7.3. Flujo a través de un lecho de relleno o empacado

La caída de presión debido a la fricción para un flujo a través del lecho empacado se puede formular a través de una ecuación mas general que abarque un amplio intervalo de régimen laminar y régimen turbulento y el factor de forma, siendo la expresión final como(1, 2, 3)

1, 75 ρ (V o ) ∆ L (1 − ε ) 150 µ V o ∆ L (1 − ε ) 2 ∆ Pf = + 2 2 3 φ dp ε φ dp ε3 2

Pérdidas vis cos as de Blake − K ozeny

,

(N / m2)

(7.28)

Pérdidas turbulentas Ec . de Burke − Plum er

Esta es la ecuación general propuesta por ERGUN que toma en cuenta régimen viscoso y régimen turbulento. Cuando Rep < 20 el término de pérdida viscosa domina y puede utilizar sólo con un error despreciable. Por otro lado, cuando Rep > 1000 sólo se utiliza el término de pérdida turbulento.

La ecuación anterior, también podemos expresar en forma de energía debido a la pérdida por fricción: (2)

150 µVo ∆L (1 − ε ) 2 1,75 (Vo ) ∆L (1 − ε ) , + ∑F f = 2 2 3 ϕ dp ρ ε ϕ dp ε3 2

Pérdidas vis cos as de Blake − Kozeny

Pérdidas turbulenta s Ec. de Burke − Plumer

( J / kg ) (7.29)

7-14

7.2.3. Balance de Energía Mecánica para Lechos Rellenos (2)

Un balance de energía mecánica para siguiente sistema que se muestra en la Fig. 7.4 resulta:

∆Z +

∫

V 2   + Ws + + ∆ ρ  2 

dp

∑F

f

=0

J   kg   

(7.30)

Análisis de términos individuales:

1. Termino de fricción, ∑Ff Suele considerarse solo la perdida friccional a través del lecho de relleno debido a que presenta área interfacial muy grande respecto al resto de sistema de tubería, o sea:

∑F

f ,total

≅ ∑ Ff ,sección relleno = ΣFf

; (J/ kg)

(7.31)

2. Termino de energía potencial, g Z • Para gases normalmente es despreciable, gZ = 0 • Para líquidos puede ser un término importante en el balance de energía mecánica

7-15

3. Termino d e trabajo debido al flujo en sistema con pequeños cambios de densidad, dp

∫ρ

Cuando la densidad del fluido no varía mucho al escurrir a través del lecho del relleno, se puede utilizar una densidad promedio del fluido en el sistema:

dp

∫ρ

≅

∆p

(7.32)

ρ

Esta condición lo satisface los líquidos y también los gases cuando la variación relativa de presión en menor que un 10 %, o sea:

( )

∆p < 0,1 p

4. Términos de trabajo debido al flujo para gases grandes cambios de densidad,

dp

∫ρ

Cuando la pérdida de presión friccional es grande, es decir, cuando ∆p => 0,1p, se debe tener en cuenta la variación de la densidad con la presión.

Considérese el lecho de relleno entre los puntos 3 y 4, la ecuación de balance de energía, despreciando los términos de energía cinética y potencial se tiene:

dp

∫ρ

+

∑F

f

=0

(7.33)

Esta expresión se combina con la ecuación de pérdida de energía debido a la fricción en el relleno y se obtiene la siguiente ecuación:

150 µVo ∆ L (1 − ε ) 2 1,75 (Vo ) ∆ L (1 − ε ) + + , ∫ 2 2 3 ρ ϕ dp ρ ε ϕ dp ε3 2

dp

( J / kg )

(7.34)

Dividiendo entre (Vo)2 a toda la expresión y considerando Go = Vo ρ , se tiene

∫

ρ G dp Go

+

150 µ∆L (1 − ε ) 2 1,75 ∆L (1 − ε ) + , 2 2 3 ϕ dp G o ε ϕ dp ε3

( J / kg )

(7.35)

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Considerando un flujo de gas isotérmico e ideal,  Mw  p  RT 

ρG = 

la integración entre los puntos 3 al 4 da:

 1   Mw 1 2 150µ∆L (1− ε )2 1,75∆L (1− ε ) 2  2   + ,  ( p4 − p3 ) + 2 2 ϕ dp Go ε 3 ϕ dp ε 3  Go   RT  2

( J / kg)

(7.36)

V 2  5. Término de energía cinética, ∆   :  2  Normalmente es despreciable tanto para líquidos como gases, ya que rara vez se consigue velocidades muy altas en los lechos. 6. Término de trabajo, (- Ws) Depende del tipo de fluido si es gas o líquido, para mayor detalle referirse al texto de O. Levenspiel, “Flujo de Fluidos e Intercambiador de Calor”, pags. 6, 7. 128 y 129.

7.3. FLUJO EN LECHOS FLUIDIZADOS (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10) El auge experimentado en las últimas décadas por las técnicas de fluidización se ha visto incrementado recientemente por el desarrollo y “revalorización” de los procesos de combustión, gasificación, craqueo catalítico y secado en lecho fluidizado.

La amplia gama de aplicaciones de esta técnica se basa esencialmente en las siguientes ventajas: • La semejanza global del lecho a un líquido facilita las operaciones con el sólido trabajando en continuo. • Transmisión de calor entre el fluido (normalmente en gas) o el sólido o entre el lecho y una superficie. • Reacciones químicas entre gas que es catalizados por un sólido, o aire caliente. • Secado de sólidos particulados con gases de combustión o aire caliente. • Aglomeración y recubrimiento de sólidos particulados en soluciones dispersados sobre los sólidos.

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7.3.1. Hidrodinámica de la fluidización (2, 4, 5, 6)

A medida que se incrementa el flujo de gas que pasan a través de un lecho granular de sólidos particulados, la agitación y la suspensión de este crece, produciendo tres estados sólido/fluido. Estos estados se observan claramente en una curva de caída de presión versus la velocidad superficial basado en la sección transversal libre de la columna.

Fig. 7.5. Curva de pérdida de presión frente a velocidad en lecho fijo y lecho fluidizado

La descripción general de la transición desde un lecho de relleno a uno fluidizado a medida que se eleva la velocidad superficial ascendente del fluido se muestra en la siguiente figura (7.6).

Zona II

Zona III

Zona I

Lmf

Lf

Lm

Vo > Vmf LECHO FIJO

Vo = Vmf FLUIDIZACIÓN MINIMA

Vo < Vmf FLUIDIZACIÓN PARTICULADA

Vo