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• Christian Erick La Rosa Rojas

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A0253 INGENIERÍA SISMO RESISTENTE

ECUACIONES DE MOVIMIENTO Ing. Franz Estrada Porras

ECUACIONES DE MOVIMIENTO 3.1 Estructuras simples 3.2 Sistemas de 1 Grado de Libertad 3.3 Relación Fuerza - Desplazamiento 3.4 Fuerzas de Amortiguamiento 3.5 Ecuación de movimiento: Fuerza Externa 3.6 Sistema Masa – Resorte – Amortiguador 3.7 Ecuación de movimiento: Excitación Sísmica

ESTRUCTURAS SIMPLES El estudio de la dinámica estructural se inicia con estructuras simples. El objetivo es comprender la vibración de este tipo de estructuras cuando se les aplica una carga lateral o un movimiento en el terreno. Una estructura simple es aquella que puede idealizarse como una masa m concentrada o soportada por otra estructura sin masa pero con rigidez k en la dirección lateral.

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ESTRUCTURAS SIMPLES

Fuente: Dinámica de Estructuras, Anil Chopra

ESTRUCTURAS SIMPLES Se asume que el movimiento lateral es pequeño que supone un comportamiento elástico lineal.

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SISTEMAS DE 1GDL El sistema es una idealización de una estructura de un nivel.

Donde cada elemento contribuye a las propiedades inerciales, elásticas y de disipación de energía.

SISTEMAS DE 1GDL En el sistema idealizado cada una de las propiedades se concentra en tres componentes puros distintos. El número de desplazamientos independientes requerido para definir las posiciones desplazadas de todas las masas en relación con su posición original se denomina numero de grados de libertad (GDL) para el análisis dinámico. En el caso de pórticos para el análisis estático se deben formular 3 GDL para determinar la rigidez lateral, pero para el análisis dinámico se considera 1 GDL (desplazamiento lateral) y se idealiza como una masa concentrada en una ubicación.

RELACIÓN FUERZA DESPLAZAMIENTO

RELACIÓN FUERZA DESPLAZAMIENTO



Si 𝐸𝐼𝑏 = ∞ 𝑘=



Si 𝐸𝐼𝑏 = 0

෍ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

𝑘=

12𝐸𝐼𝑐 24𝐸𝐼𝑐 = 3 ℎ ℎ3

෍ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

3𝐸𝐼𝑐 6𝐸𝐼𝑐 = 3 ℎ3 ℎ

FUERZAS DE AMORTIGUAMIENTO Amortiguamiento es el proceso mediante el cual la amplitud de vibración libre disminuye. En el amortiguamiento la energía de la estructura en vibración se disipa por diversos mecanismos. En estructuras de 1GDL el amortiguamiento se puede idealizar por un amortiguador viscoso lineal.

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FUERZAS DE AMORTIGUAMIENTO

𝑓𝐷 = 𝑐 ∙ ů c: coeficiente de amortiguamiento viscoso (tiempo/longitud) El coeficiente de amortiguamiento no puede calcularse a partir de las dimensiones de la estructura. Es complicado identificar los mecanismos que disipan la energía por vibración.

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: FUERZA EXTERNA

P(t) es una fuerza externa aplicada en la dirección del GDL u. El desplazamiento de la masa varía con el tiempo u(t). 3.5.1. Uso de la Segunda ley de movimiento de Newton 3.5.2. Equilibrio dinámico 3.5.3 Componentes rigidez, amortiguamiento y masa

3.5.1. Uso de la Segunda ley de movimiento de Newton

𝑝 𝑡 − 𝑓𝑆 − 𝑓𝐷 = 𝑚 ∙ ü 𝑝 𝑡 = 𝑚∙ü+𝑐∙ů+𝑘∙𝑢

3.5.2. Equilibrio dinámico

Este principio se basa en una fuerza inercial ficticia, una que es producto de la masa por la aceleración y que actúa en dirección opuesta a la aceleración. Se establece que con las fuerzas de inercia incluidas, un sistema está en equilibrio en cada instante de tiempo. De esa manera se puede dibujar un diagrama de cuerpo libre de masa en movimiento y pueden usarse los principios de la estática para desarrollar la ecuación de movimiento.

3.5.3 Componentes rigidez, amortiguamiento y masa

𝑓𝑆 = 𝑢(𝑡) ∙ 𝑘 𝑓𝐷 = ů(𝑡) ∙ 𝑐 𝑓𝐼 = ü(𝑡) ∙ 𝑚

SISTEMA MASA – RESORTE - AMORTIGUADOR

SISTEMA MASA – RESORTE - AMORTIGUADOR Ejemplo: El sistema de la figura se compone de un peso w unido a una barra infinitamente rígida sin masa de longitud L, la cual se conecta a un soporte mediante un resorte rotacional de rigidez k. Deducir la ecuación de movimiento. Desprecie la inercia rotacional y suponga deflexiones pequeñas. ¿Cuál es el peso de pandeo?

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: EXCITACIÓN SÍSMICA

El principal problema de dinámica estructural es el de estructuras sometidas al movimiento de la base inducidos por sismos. 𝑢𝑔 𝑡 : 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 𝑢 𝑡 : 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑦 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 𝑢 ′ 𝑡 = 𝑢 𝑡 + 𝑢𝑔 𝑡

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: EXCITACIÓN SÍSMICA

𝑓𝐼 = 𝑚 ∙ ü′ −𝑚 ∙ ü𝑔 𝑡 = 𝑚 ∙ ü + 𝑐 ∙ ů + 𝑘 ∙ 𝑢 𝑃𝑒𝑓 𝑡 = −𝑚 ∙ ü𝑔 𝑡

EJERCICIOS 1.

A partir de la definición básica de rigidez, determine la rigidez efectiva del resorte combinado y escriba la ecuación de movimiento para los sistemas masa-resorte que se muestran en las siguientes figuras:

EJERCICIOS 2. Deduzca la ecuación que controla el movimiento libre de un péndulo simple consistente en una barra infinitamente rígida sin masa, articulada en el punto O, con una masa m conectada. Linealice la ecuación para oscilaciones pequeñas y determine la frecuencia natural de oscilación.

EJERCICIOS 3. Considere el movimiento libre en el plano xy de un péndulo compuesto que consta de una barra infinitamente rígida suspendida en un punto. La longitud de la barra es L y su masa m se distribuye uniformemente. El desplazamiento angular de la línea central del péndulo medida desde el eje y se indica mediante θ(t). a. Deduzca la ecuación que controla θ(t). b. Linealice la ecuación para θ pequeños. c. Determine la frecuencia natural de oscilaciones pequeñas.

EJERCICIOS 4. Desarrolle la ecuación que controla el movimiento longitudinal del siguiente sistema. La barra está hecha de un material elástico con módulo de Elasticidad E; el área de su sección transversal es A y su longitud L. Desprecie la masa de la barra y mida u desde la posición de equilibrio estático.

EJERCICIOS 5. Un disco rígido de masa m está montado en el extremo de un eje flexible. Desprecie el peso del eje y el amortiguamiento, y deduzca la ecuación de vibración torsional libre del disco. El módulo cortante del eje es G.

EJERCICIOS 6. Escriba la ecuación que controla la vibración libre de los sistemas mostrados en las siguientes figuras. Suponer que la viga carece de masa, cada sistema tiene solo un GDL definido como la deflexión vertical bajo el peso w. La rigidez a flexión de la viga es EI y su longitud es L.

EJERCICIOS 7. Deduzca la ecuación de movimiento del siguiente pórtico. La rigidez a flexión de la viga y columnas es como se indica en la figura. La masa concentrada en la viga es m; suponga que el pórtico no tiene masa y desprecie su amortiguamiento.

EJERCICIOS 8. Deduzca la ecuación de movimiento del siguiente pórtico. La rigidez a flexión de la viga y columnas es como se indica en la figura. La masa concentrada en la viga es m; suponga que el pórtico no tiene masa y desprecie su amortiguamiento.

EJERCICIOS 9. Un automóvil se idealiza de manera aproximada como una masa concentrada m apoyada en un sistema resorte-amortiguador, como se muestra en la siguiente figura. El automóvil se desplaza a una velocidad constante v sobre el camino, cuyas irregularidades se conocen como una función de la posición a lo largo de dicho camino. Deduzca la ecuación de movimiento.

EJERCICIOS 10. Determine la ecuación de movimiento del siguiente sistema, se tiene un bloque que pesa 50lb, unido a el extremo de una viga en volado mediante un resorte de rigidez k2. La sección de la viga es 0.25inx1in., el modulo de elasticidad E=30x106psi, y una longitud de 12.5 pies. El resorte tiene un rigidez de 1oolib/in.