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Elasticidad Lineal Introducci´ on

RR AD

3.1.

OR

Cap´ıtulo 3

Queda fuera del marco de estos apuntes el abordar conceptos b´asicos de la mec´anica de medios continuos (tensi´on, deformaci´on, ecuaciones de balance, etc). Se remite al lector interesado en ellos a consultar las referencias sobre este tema citadas en la bibliograf´ıa [17, 9] No obstante, en este apartado se pasa revista de forma somera a algunos de ellos con objeto de introducir la notaci´on y poner en contexto los desarrollos que se abordar´an en el cap´ıtulo. Sea σ el tensor de tensiones de Cauchy, u el vector desplazamiento y b el vector de fuerzas volum´etricas. Consideraremos el tensor de deformaciones infinitesimales, que se define como la parte sim´etrica del tensor gradiente de desplazamientos:   1 ∂ui ∂uj s + (3.1) ε = ∇ u, εij = u(i,j) = 2 ∂xj ∂xi

BO

Observaci´ on. El tensor de deformaciones infinitesimales depende linealmente de las derivadas del campo de desplazamientos. Este tensor se considera v´alido cuando el s´olido experimenta peque˜ nas deformaciones (las derivadas del campo de desplazamientos son mucho menores que la unidad). En un s´olido sometido a grandes deformaciones es preciso considerar en la definici´on del tensor de deformaciones t´erminos no lineales del gradiente de desplazamientos. La relaci´on entre tensi´on y deformaci´on m´as sencilla es la ley de Hooke, que para el caso uniaxial establece que la deformaci´on es proporcional a la tensi´on: σ = Eε (3.2) siendo E el m´odulo de elasticidad o m´odulo de Young. En el caso m´as general de un s´olido tridimensional esta relaci´on se establece entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones. Como extensi´on natural de la ley de Hooke, las componentes del tensor de tensiones se expresan como combinaci´on lineal de las componentes del tensor de deformaciones mediante un

56

Elasticidad Lineal

tensor de cuarto orden C (Ley de Hooke generalizada), cuyas componentes Cijkl son constantes y se denominan “coeficientes el´asticos”: σ = Cε,

σij = Cijkl εkl

(3.3)

D = AB,

OR

Observaci´ on. En este cap´ıtulo se utilizar´an los criterios de notaci´on ya descritos en el apartado 2.2. Asimismo, la aplicaci´on de un tensor de cuarto orden A sobre uno de segundo orden B para obtener un tensor de segundo orden D, se expresa con AB: Dij = Aijkl Bkl

(3.4)

Observaci´ on. Cuando se considere necesario por motivos de claridad se emplear´a la notaci´on indicial, siguiendo el convenio de Einstein (suma de ´ındices repetidos).

RR AD

El tensor de m´odulos el´asticos tiene las siguientes propiedades: 1. Simetr´ıa mayor:

Cijkl = Cklij

(3.5)

Cijkl = Cjikl Cijkl = Cijlk

(3.6) (3.7)

Cijkl Φij Φkl ≥ 0 ∀Φij sim´etrico Cijkl Φij Φkl = 0 ⇒ Φij = 0

(3.8) (3.9)

2. Simetr´ıa menor:

3. Es definido positivo:

BO

Observaci´ on. Como el tensor de deformaciones infinitesimales ε es sim´etrico, la propiedad de simetr´ıa mayor de C implica que el tensor de tensiones de Cauchy σ es tambi´en sim´etrico. En el planteamiento de la mec´anica de medios continuos, la simetr´ıa del tensor σ se deduce a partir de la ecuaci´on de balance del momento cin´etico. De las simetr´ıas del tensor C se deduce que la descripci´on constitutiva m´as general de un s´olido el´astico anis´otropo requiere de la definici´on de 21 constantes el´asticas. Ciertos materiales tienen un comportamiento mec´anico que es sim´etrico respecto de ciertos planos, reduci´endose el n´ umero de constantes el´asticas desde 21 hasta 9 en el caso de los s´olidos ort´otropos, y a 2 constantes en el caso de los s´olidos is´otropos. Si consideramos un s´olido el´astico definido por el conjunto abierto Ω ⊂ ndim R , tal y como se indica en la figura 3.1 para cada direcci´on i = 1 . . . ndim del espacio, el contorno de Ω verifica: ∂Ω = ∂ui Ω ∪ ∂ti Ω ∅ = ∂ui Ω ∩ ∂ti Ω

(3.10) (3.11)

Formulaci´ on fuerte

57

OR

siendo ∂ui Ω la parte del contorno con desplazamientos impuestos en direcci´on i, y ∂ti Ω la parte con tensiones impuestas en direcci´on i. El sobrerayado en (3.10) indica que en la definici´on de ∂Ω entran los conjuntos abiertos ∂ui Ω, ∂ti Ω y los correspondientes bordes.

∂ui Ω Ω ∂ti Ω

3.2.

RR AD

Figura 3.1: Condiciones de contorno en un s´olido el´astico

Formulaci´ on fuerte

Sea Ω = Ω ∪ ∂Ω un cuerpo el´astico (Ω ⊂ Rndim conjunto abierto), cuyo contorno ∂Ω admite la descomposici´on ∂Ω = ∂ui Ω ∪ ∂ti Ω, ∂ui Ω∩∂ti Ω = ∅, i = 1 . . . ndim . Sea n el vector normal exterior en un punto de ∂Ω. La formulaci´on fuerte del problema se establece en los siguientes t´erminos: Dados b : Ω → Rndim , u : ∂u Ω → Rndim , t : ∂t Ω → Rndim , encontrar el campo u : Ω → Rndim que cumple: div σ + b = 0 en Ω u = u en ∂u Ω σn = t en ∂t Ω

(3.12) (3.13) (3.14)

estando relacionados el tensor de tensiones σ y el vector desplazamiento u a trav´es de la ecuaci´on constitutiva (3.3) y de la relaci´on de compatibilidad (3.1).

BO

Observaci´ on. Por abuso de la notaci´on, las expresiones (3.13) y (3.14) realmente indican: ui = ui en ∂ui Ω, σij nj = ti en ∂ti Ω,

i = 1 . . . ndim i, j = 1 . . . ndim

(3.15) (3.16)

Observaci´ on. En el marco de la mec´anica de medios continuos, la ecuaci´on (3.12) establece el equilibrio en cada punto de Ω. Observaci´ on. Los vectores u y t se denominan “desplazamientos impuestos” y “tensiones impuestas”, respectivamente. Observaci´ on. La formulaci´on fuerte del problema de la elasticidad es un problema de contorno mixto, que cuando se verifican ciertas hip´otesis en los datos tiene soluci´on u ´nica. En este sentido puede consultarse [3].

58

3.3.

Elasticidad Lineal

Formulaci´ on d´ ebil

OR

La formulaci´on d´ebil del problema de contorno del s´olido el´astico lineal se establece en los siguientes t´erminos: Dados b : Ω → Rndim y las funciones u : ∂u Ω → Rndim , t : ∂t Ω → Rndim , encontrar el campo de desplazamientos u ∈ U | ∀δu ∈ V cumple: Z Z s (σ · ∇ δu − b · δu) dΩ − t · δu dΓ = 0 (3.17) Ω

∂t Ω

siendo:

 U = u ∈ H 1 (Ω, Rndim ) | u(x) = u ∀ x ∈ ∂u Ω  V = δu ∈ H 1 (Ω, Rndim ) | δu(x) = 0 ∀ x ∈ ∂u Ω

RR AD

y H 1 (Ω, Rndim ) el espacio de Sobolev de grado 1 y orden 2:   Z ndim ndim 1 )= u:Ω→R | kuk2,1 dΩ < ∞ H (Ω, R

(3.18) (3.19)

(3.20)

Ω

Observaci´ on. En la ecuaci´on (3.17) la integral de contorno se expresa de forma compacta, siendo su expresi´on desarrollada: Z Z Z t · δu dΓ = t1 δu1 dΓ + . . . + tndim δundim dΓ (3.21) ∂t Ω

∂t1 Ω

∂tn

dim

Ω

Observaci´ on. En el marco de la mec´anica de s´olidos, la formulaci´on d´ebil se interpreta como el “Principio de los Trabajos Virtuales”, siendo δu los desplazamientos virtuales. Observaci´ on. Una discusi´on sobre la existencia y unicidad de las formulaci´on d´ebil descrita en este apartado puede consultarse en [2, 3].

3.4.

Equivalencia de las formulaciones fuerte y d´ ebil

BO

Para demostrar la equivalencia de las formulaciones fuerte y d´ebil descritas en los dos apartados anteriores demostraremos que si un campo de desplazamientos u es soluci´on del problema fuerte, entonces tambi´en es soluci´on del problema d´ebil, y viceversa. Antes de hacer la demostraci´on es necesario establecer dos teoremas:

Teorema 3.4.1 (Descomposici´on eucl´ıdea de un tensor de orden 2). Todo tensor de segundo orden se puede descomponer en suma de un tensor sim´etrico y de un tensor antisim´etrico. En efecto, denominando sij a sus componentes, se tiene: sij + sji sij − sji sij = s(ij) + s[ij] ; s(ij) = , s[ij] = (3.22) 2 2 |{z} |{z} sim´ etrico

hemisim´ etrico

Equivalencia de las formulaciones fuerte y d´ebil

59

En lo sucesivo denominaremos s(ij) a las componentes de la parte sim´etrica de sij , y s[ij] a las componentes de la parte hemisim´etrica.

OR

Teorema 3.4.2. Sea sij un tensor sim´etrico y tij un tensor no sim´etrico. Entonces, sij tij = sij t(ij) (3.23) El teorema queda demostrado si sij t[ij] = 0. En efecto: sij t[ij] = −sij t[ji] = −sji t[ji] = −sij t[ij]

(3.24)

RR AD

La demostraci´on de la equivalencia entre las dos formulaciones se realizar´a demostrando las dos proposiciones siguientes: Proposici´ on 3.1. Si u es soluci´on de la formulaci´on fuerte del problema, entonces tambi´en es soluci´on de la formulaci´on d´ebil. Demostraci´ on Multiplicando (3.12) por δu ∈ V e integrando en Ω, al aplicar el teorema de la divergencia y el resultado del teorema 3.4.2, se obtiene: Z Z Z Z 0 = (div σ + b) · δudΩ = div(σδu)dΩ − σ · ∇δudΩ + b · δudΩ Ω ΩZ Ω Z Z Ω = − σ · ∇s δudΩ + b · δudΩ + t · δudΓ Ω

Ω

∂t Ω

(3.25)

Por tanto u verifica (3.17), y es en consecuencia soluci´on del problema d´ebil. 

BO

Proposici´ on 3.2. Si u es soluci´on de la formulaci´on d´ebil del problema, entonces tambi´en es soluci´on de la formulaci´on fuerte. Demostraci´ on Sea u soluci´on del problema d´ebil. Dado que u ∈ U entonces u = u en ∂u Ω, y verifica por tanto (3.13). A partir de (3.17) y teniendo en cuenta el teorema 3.4.2: Z Z Z s 0 = − σ · ∇ δudΩ + b · δudΩ + t · δudΓ ∂t Ω Ω Ω Z Z Z = − div(σδu)dΩ + (div σ + b) · δudΩ + t · δudΓ Ω Ω ∂t Ω Z Z = (div σ + b) · δudΩ − (σn − t)δudΓ (3.26) Ω

∂t Ω

60

Elasticidad Lineal

Sean las funciones α : Ω → Rndim y β : ∂Ω → Rndim : def

(3.27)

def

(3.28)

α = div σ + b β = σn − t

OR

La proposici´on estar´a demostrada si se verifica que α = 0 en Ω y β = 0 en ∂t Ω. En efecto, sean δu = αφ(x), donde φ(x) : Ω → R es una funci´on que verifica: φ(x) > 0, ∀x ∈ Ω φ(x) = 0, ∀x ∈ ∂Ω φ(x) suave

RR AD

Con estas tres condiciones queda garantizado que δu ∈ V. Sustituyendo en (3.26) la funci´on δu as´ı definida: Z α · (α φ(x))dΩ ⇒ α = 0 en Ω (3.29) 0= Ω | {z } | {z } ≥0

>0

An´alogamente, definimos ahora δu ∈ V mediante la expresi´on en componentes: δui = δi1 β1 ψ(x), i = 1 . . . ndim (3.30) siendo δij la “delta de Kronecker” de orden 2, y ψ(x) : ∂Ω → R una funci´on que cumple: ψ(x) > 0, ∀x ∈ ∂t1 Ω ψ(x) = 0, ∀x ∈ ∂u1 Ω ψ(x) suave

Sustituyendo la expresi´on (3.30) en (3.26), y teniendo en cuenta que ya est´a demostrado que α = 0, resulta: Z 0= (3.31) β1 (β1 ψ )dΓ ⇒ β1 = 0 en ∂t1 Ω |{z} ∂t Ω | {z } 1

≥0

>0

BO

De la misma manera se demuestra β2 = . . . = βn = 0.

3.5.



El principio de la m´ınima energ´ıa potencial

Sean U ε = u+εδu las variaciones arbitrarias del campo de desplazamientos u ∈ U que satisfacen las condiciones esenciales de contorno, con δu ∈ V y ε ∈ R. Se define el funcional de la energ´ıa potencial como: Z Z Z 1 s s Π(U ε ) = ∇ U ε · C∇ U ε dΩ − b · U ε dΩ − t · U ε dΓ (3.32) 2 Ω Ω ∂t Ω

El principio de la m´ınima energ´ıa potencial

61

La energ´ıa potencial toma un valor estacionario si y solo si se satisface la ecuaci´on variacional (3.17), con σ = Cε. En efecto, la condici´on de estacionariedad de Π(U ε ) se expresa: dΠ(U ε ) δΠ(U ε ) = 0 ⇒ =0 dε ε=0

OR

(3.33)

Teniendo en cuenta:

∇s U ε = ∇s u + ε∇s δu dU ε = δu dε d∇s U ε = ∇s δu dε

(3.34) (3.35)

RR AD

(3.36)

operando en (3.33) resulta: dΠ(U ε ) = dε y para ε = 0:

Z

Z

s

(u + εδu) · C∇ δudΩ − Ω

Z

b · δudΩ −

Ω

t · δudΓ

(3.37)

∂t Ω

Z Z Z dΠ(U ε ) s = u · C∇ δudΩ − b · δudΩ − t · δudΓ = 0 (3.38) dε ε=0 Ω Ω ∂t Ω Asimismo, para el campo u que hace U ε estacionario, el funcional toma un valor m´ınimo: Z d2 Π(U ε ) = δu · C∇s δudΩ ≥ 0 (3.39) dε2 Ω

BO

por ser C definido positivo. Se puede interpretar que las ecuaciones variacionales se pueden obtener a partir de la derivada de un funcional. Cuando esto es posible se dice que existe un principio variacional asociado a las ecuaciones variacionales, denomin´andose ´estas ecuaciones de Euler–Lagrange asociadas al principio variacional. El teorema de Veinberg establece que la existencia de un principio variacional es equivalente a la simetr´ıa de la forma bilineal: Z

a(u, u) =

∇s u · C∇s udΩ

(3.40)

Ω

Cabe destacar que la formulaci´on del m´etodo de los elementos finitos no requiere de la existencia de un principio variacional, ya que ´esta se desarrolla a partir de la formulaci´on d´ebil de un problema de contorno.

62

Elasticidad Lineal

3.6.

Formulaci´ on de Galerkin

OR

Sean V h y U h aproximaciones de dimensi´on finita de los espacios funcionales V y U, definidos en (3.18) y (3.19), respectivamente. Admitiremos que las funciones de uh ∈ U h se pueden descomponer en la forma: uh = v h + u h

(3.41)

RR AD

donde v h ∈ V h , y uh satisface la condici´on de contorno (3.13) en los nodos de ∂u Ω. La formulaci´on de Galerkin del problema de contorno descrito se establece en los siguientes t´erminos: Dados b : Ω → Rndim y las funciones u : ∂u Ω → Rndim , t : ∂t Ω → Rndim , encontrar el campo de desplazamientos uh = v h + uh , con v h ∈ V h , tal que ∀δuh ∈ V h se cumple: Z Z Z s s h h h ∇ δu · C∇ v dΩ = b · δu dΩ + t · δuh dΓ Ω Ω ∂t Ω Z (3.42) − ∇s uh · C∇s δuh dΩ Ω

3.7.

Formulaci´ on matricial

En este apartado generalizaremos los desarrollos del apartado 2.6 pasando de 1 a ngdl grados de libertad por nodo. Se consideran los mismos aspectos en cuanto a la discretizaci´on que los descritos en dicho apartado. El dominio Ω se discretiza en nelm elementos Ωe : Ω=

n[ elm

Ωe

Ωi ∩ Ωj = ∅, si i 6= j

(3.43)

e=1

BO

Los puntos en los que se calculan los desplazamientos se denominan nodos. Recordando que en el apartado 2.6 denomin´abamos η a los cardinales correspondientes a la numeraci´on global de los nodos, ahora ηui es el conjunto de nodos con desplazamientos impuestos en direcci´on i, y η − ηui al conjunto complementario de ηui en η. Los subespacios de dimensi´on finita U h y V h se definen mediante unas funciones de interpolaci´on NA , A = 1 . . . nnod (polin´omicas), que se denominan “funciones de forma”: X

U h = {uh ∈ U | uhi =

diA NA +

A∈η−ηui

|

{z

V h = {δuh ∈ V | δuhi =

X

vh

A∈η−ηui

X

uiA NA }

(3.44)

A∈ηui

}

|

δuiA NA ;

{z uh

}

δuhi = 0 ∀x ∈ ∂ui Ω}

(3.45)

Formulaci´ on matricial

63

Observaci´ on. Las inc´ognitas en cada nodo son los desplazamientos. En consecuencia, el n´ umero de grados de libertad por nodo ngdl coincide con la dimensi´on del espacio ndim .

OR

Antes de sustituir las expresiones de v h y δuh definidas en (3.44) y (3.45), en la expresi´on de la formulaci´on d´ebil (3.42), re-escribiremos en forma matricial la interpolaci´on del campo de desplazamientos y del correspondiente tensor gradiente. Interpolaci´ on del campo de desplazamientos. La expresi´on matricial de la interpolaci´on del campo de desplazamiento es: vh =

n dim X

X

diA NA ei

(3.46)

δuiA NA ei

(3.47)

i=1 A∈η−ηui

X

RR AD

δuh =

n dim X

i=1 A∈η−ηui

uh =

n dim X

X

uiA NA ei

(3.48)

i=1 A∈ηui

siendo ei , (i = 1 . . . ndim ) los versores de la base eucl´ıdea.

Observaci´ on. En lo sucesivo se adoptar´a como convenio de notaci´on para las expresiones matriciales que un vector e se expresa en forma de matriz columna {ei }, y un vector eTi en forma de matriz fila ||ei ||. Interpolaci´ on del gradiente de desplazamientos. La interpolaci´on del gradiente de desplazamientos lo expresaremos en forma matricial mediante: h

∇v =

n dim X

X

ei ⊗ ∇NA diA =

i=1 A∈η−ηui

n dim X

X

{ei } || ∇NA || diA

(3.49)

i=1 A∈η−ηui

BO

donde ⊗ indica el producto tensorial o di´adico.

Interpolaci´ on de las deformaciones infinitesimales. A continuaci´on el tensor de deformaciones infinitesimales ε lo expresaremos como un vector . Las componentes del vector  en funci´on de las del gradiente de desplazamientos ∇s v son:   v   1,1         v   2,2   v1,1     v3,3 v2,2 = para ndim = 2, = para ndim = 3 v1,2 + v2,1       v1,2 + v2,1   v1,3 + v3,1         v2,3 + v3,2 (3.50)

64

Elasticidad Lineal

Sustituyendo en (3.50) la expresi´on (3.49) de las componentes de ∇v h , obtenemos la interpolaci´on de las deformaciones. Considerando un u ´nico sumando, correspondiente al movimiento del nodo A ∈ η−ηui en direcci´on i, en la expresi´on (3.49) para el caso ndim = 2 resultan las componentes: =

n dim X

ei ⊗ ||

i=1

∂NA ∂NA , || diA ∂x1 ∂x2

OR

∇v hA

(3.51)

Sustituyendo las componentes de ∇v hA que se obtienen con la expresi´on (3.51) en (3.50): n dim X A = B A ei diA (3.52) i=1

siendo:

∂NA ∂x1

0



RR AD

 BA = 

0

∂NA ∂x2

∂NA ∂x2 ∂NA ∂x1

,

ndim = 2

(3.53)

Procediendo de forma an´aloga para el caso 3D, la matriz de interpolaci´on de deformaciones B resulta:   ∂NA 0 0 ∂x1 ∂NA  0 0    ∂x2  0 ∂NA  0   (3.54) B A =  ∂NA ∂NA ∂x3  , ndim = 3 0   ∂x2 ∂x1  ∂NA ∂NA    ∂x 0 ∂x1 3 ∂NA ∂NA 0 ∂x3 ∂x2 La expresi´on (3.52) se generaliza de manera inmediata para la malla completa: n dim X X = B A ei diA (3.55) i=1 A∈η−ηui

BO

Por u ´ltimo el tensor de cuarto orden C lo re-escribimos como un tensor de segundo orden C, y as´ı poder finalmente escribir (3.42) usando productos de matrices y vectores. La relaci´on entre los sub´ındices {i, j, k, l} del tensor constitutivo C y los sub´ındices {I, J} del tensor constitutivo C se obtiene identificando los productos contra´ıdos: ∇s v · C∇s v = T · C

(3.56)

resultando las tablas del cuadro 3.1

Observaci´ on. Con la definici´on hecha del tensor de segundo orden C a partir del tensor de cuarto orden C y con las simetr´ıas de ´este descritas en (3.5) a (3.7), es inmediato verificar que C es tambi´en sim´etrico: C = CT

(3.57)

Formulaci´ on matricial

i/k 1 2 1 2

j/l 1 2 2 1

ndim

I/J 1 2 3 4 =3→ 4 5 5 6 6

i/k 1 2 3 1 2 1 3 2 3

j/l 1 2 3 2 1 3 1 3 2

OR

ndim

I/J 1 =2→ 2 3 3

65

RR AD

Cuadro 3.1: Transformaci´on de ´ındices para pasar del tensor constitutivo de cuarto orden al de segundo orden Sustituyendo estos resultados en (3.42) se obtiene:    n n dim dim X X Z X X δuiA eTi · B TA CB B ej djB dΩ  i=1 A∈η−ηui

=

n dim X

X

δuiA eTi

Z

·

NA bdΩ +

Ω

i=1 A∈η−ηui

−

Ω

j=1 B∈η−ηuj



n dim X

X

δuiA eTi ·

n dim X

δuiA eTi

i=1 A∈η−ηui

n dim X

X Z

Z ·

NA tdΓ ∂t Ω





B TA CB B ej ujB dΩ  (3.58)

Ω

j=1 B∈ηuj

i=1 A∈η−ηui

X

pasando todo a la izquierda y operando:   Z n n dim dim X X X X Z T T  δuiA ei · B A CB B dΩ ej djB − NA bdΩ i=1 A∈η−ηui

Ω

j=1 B∈η−ηuj

BO

Z −

NA tdΓ +

∂t Ω

n dim X

X Z

j=1 B∈ηuj

B TA CB B dΩ

Ω





ej ujB  = 0 (3.59)

Ω

Como los coeficientes δuiA son arbitrarios, todos y cada uno de los corchetes en (3.59) deben ser nulos. En consecuencia se obtienen el siguiente sistema de neq ecuaciones (neq = ndim × ◦(η − ηui , i = 1 . . . ndim )):  Z Z n dim X X Z T T T T NA tdΓ ei · B A CB B dΩ ej djB = ei · NA bdΩ + ei · j=1 B∈η−ηuj

Ω

∂t Ω

Ω

− eTi ·

n dim X Z X j=1 B∈ηuj

Ω



B TA CB B dΩ ej ujB (3.60)

66

Elasticidad Lineal

OR

Para expresar el sistema de ecuaciones (3.60) en forma matricial es necesario definir la numeraci´on global de las ecuaciones del problema, generalizando la definici´on dada en (2.57). Como en el caso del problema de elasticidad el n´ umero de grados de libertad por nodo es ngdl = ndim , la matriz id es:  P si A ∈ η − ηui id(i, A) = (3.61) 0 si A ∈ ηui siendo A el n´ umero global del nodo, y el ´ındice i el n´ umero correspondiente al grado de libertad considerado. Observaci´ on. Haciendo ngdl = 1 en (3.61), la definici´on de la matriz id coincide con la dada en (2.57) Ahora el sistema (3.60) se expresa en forma matricial:

siendo:

RR AD

Kd = F

d = {dQ },

K = [KP Q ],

F = {FP },

1 ≤ P, Q ≤ neq

y las componentes correspondientes: Z T KP Q = ei · B TA CB B dΩ ej

(3.62)

(3.63)

(3.64)

Ω

dQ = djB

FP = eTi ·

Z

NA bdΩ + eTi ·

Ω

P = id(i, A),

3.7.1.

Z

NA tdΓ − eTi ·

∂ti Ω

(3.65) Z

B TA CB B dΩ ej ujB

Ω

Q = id(j, B)

(3.66) (3.67)

Propiedades de la matriz de rigidez

BO

Definici´ on 3.7.1 (Movimiento de s´olido r´ıgido). . Sea el vector w : Ω → ndim R . Se dice que w es un movimiento de s´olido r´ıgido si w(i,j) = 0. Un movimiento infinitesimal de s´olido r´ıgido se expresa de forma general mediante: ∧ x} w(x) = |{z} c +ω (3.68) | {z traslaci´ on

rotaci´ on

siendo c un vector constante, y ω el vector representativo de la rotaci´on infinitesimal. Observaci´ on. La expresi´on (3.68) se puede identificar con el campo de velocidades del s´olido r´ıgido: dr dr O dϕ = + ∧ ρ ⇒ dr = dr O + dϕ ∧ ρ dt dt dt

(3.69)

Formulaci´ on matricial

67

En (3.68) w y c son elementos de la variedad tangente del espacio de configuraciones, sin que sea necesario que su m´odulo tenga un valor infinitesimal. Estos aspectos se pueden consultar en la referencia [14].

OR

Las dos propiedades m´as relevantes de la matriz de rigidez las estableceremos con sendos teoremas. Teorema 3.7.1. La matriz de rigidez K es sim´etrica.

Demostraci´ on Esta demostraci´on es inmediata a partir de la expresi´on (3.64) de las componentes de K: KP Q =

eTi

Z

B TA CB B dΩ ej

=

eTj

B TB C T B A dΩ ei Ω Z T = ej B TB CB A dΩ ei = KQP (3.70)

RR AD

Ω

Z

Ω



Teorema 3.7.2. La matriz de rigidez K es definida positiva. Demostraci´ on Al igual que en la demostraci´on del P teorema 2.6.2, esta demostraci´ohn h se realiza en dos pasos. Sea δwi = on de V . A∈η−ηui δciA NA una funci´ Llamando δcP = δciA con P = id(i, A), los coeficientes δcP , P = 1 . . . neq definen las componentes del vector δc. a) δcT · Kδc ≥ 0 En efecto, T



δc · Kδc = δcP · KP Q δcQ = δciA

eTi

Z

·

B TA CB B dΩeTj

 δcjB

(3.71)

BO

Ω

De acuerdo con (3.55), la expresi´on anterior se puede reescribir como: Z Z T T  (δw) · C(δw)dΩ = ∇s δw · C∇s δwdΩ ≥ 0 (3.72) δc · Kδc = Ω

Ω

que es no negativo de acuerdo con (3.8). b) δcT · Kδc = 0 ⇒ δc = 0 Suponiendo que δcT · Kδc = 0, de acuerdo con la demostraci´on de la parte (a): ∇s δw · C∇s δw = 0 (3.73)

68

Elasticidad Lineal

y teniendo en cuenta (3.9): ∇s δw = 0

(3.74)

∇s δw = 0 ⇒

δw = 0 ⇒

OR

por lo que δw es un movimiento infinitesimal de s´olido r´ıgido. De acuerdo con la condici´on de contorno homog´enea que seg´ un se ha deh h h finido en (3.45) satisfacen los elementos de V , si δr ∈ V es un movimiento infinitesimal de s´olido r´ıgido, entonces δr h = 0. En consecuencia: δcP = 0, P = 1 . . . neq ⇒

δc = 0

(3.75) 

Observaci´ on. La propiedad de la matriz K de ser definida positiva se apoya en dos requisitos:

RR AD

1. El tensor constitutivo C es definido positivo.

2. Las condiciones de contorno homog´eneas incorporadas en la definici´on del espacio funcional V.

3.8.

Formulaci´ on de elementos finitos

La matriz K y el vector F se pueden descomponer en suma de las contribuciones elementales. El procedimiento es id´entico al descrito en el apartado 2.7, por lo que aqu´ı u ´nicamente se expresan las matrices y vectores elementales. En la discretizaci´on de un problema de ndim dimensiones, para un elemento e con nen nodos, la matriz de rigidez elemental es: e ke = [kpq ], Z e T kpq = ei ·

B Ta CB b dΩeTj ,

BO

Ωe

1 ≤ p, q ≤ nen ngdl

(3.76)

p = ngdl (a − 1) + i

(3.77)

q = ngdl (b − 1) + j a = 1 . . . nen , i = 1 . . . ndim ,

(3.78) (3.79) (3.80)

b = 1 . . . nen j = 1 . . . ndim

siendo B a las matrices nodales de interpolaci´on de deformaciones definidas en (3.53) y (3.54) para ndim = 2 y ndim = 3, respectivamente. Es inmediato comprobar a partir de (3.76) hasta (3.80), que la matriz de rigidez elemental se puede expresar de forma compacta: Z e k = B T CBdΩ, B = (B 1 | B 2 | . . . | B en ) (3.81) Ωe

siendo de hecho esta expresi´on la que se utiliza en la implementaci´on computacional.

Formulaci´ on de elementos finitos

69

La expresi´on de las componentes del vector de fuerzas elemental es: nen ngdl Z Z X e e fp = Na bi dΩ + Na ti dΓ − kpq uq , uq = ujb (3.82) Ωe

∂ti Ω

q=1

OR

siendo ujb = 0 si el nodo b no tiene desplazamiento impuesto en direcci´on j. Los vectores y matrices formulados a nivel elemento en (3.81) y (3.82) se ensamblan mediante el operador A[·], descrito en el siguiente apartado, para obtener el vector de fuerzas y la matriz de rigidez globales: nelm

K=

Ak

e

Af

e

(3.83)

e=1 nelm

F =

Ensamble de las ecuaciones

RR AD

3.8.1.

(3.84)

e=1

Para ensamblar las matrices locales se generaliza el procedimiento descrito en el apartado 2.7.1 para el caso en el que cada nodo tenga ngdl grados de libertad. La conectividad se define con la misma matriz ix que se ha definido en el cap´ıtulo anterior: ix( |{z} a , |{z} e )= nodo local elemento

A |{z}

(3.85)

nodo global

La numeraci´on de las ecuaciones se realiza asign´andole a cada nodo y grado de libertad un n´ umero de ecuaci´on: id(

i |{z}

,

A ) = |{z} P |{z}

grado de libertad nodo global

(3.86)

ecuaci´ on

La matriz ld construida a partir de ix e id es en este caso: ld(i, a, e) = id(i, ix(a, e))

(3.87)

BO

El algoritmo de ensamble se hace directamente a partir de los datos almacenados en ld, explic´andose el procedimiento a seguir mediante el siguiente ejemplo. Ejemplo

128 (4)

En la figura adjunta se muestra el detalle de uno de los elementos de cuatro nodos de una malla de elementos finitos, utilizada en la soluci´on de un problema de elasticidad en dos dimensiones. Se muestra la numeraci´on global y de los nodos y entre par´entesis la numeraci´on 57 x (1) 12 local. (2) Suponemos que la matriz id ya se ha creado y las entradas correspondientes 79 (3)

70

Elasticidad Lineal

al elemento de la figura son: id(2, 12) = 10 id(2, 57) = 49 id(2, 79) = 68 id(2, 128) = −27

OR

id(1, 12) = 9 id(1, 57) = −13 id(1, 79) = 67 id(1, 128) = 115

donde los n´ umeros negativos corresponden a los grados de libertad con movimientos impuestos. La matriz ix se construye a partir de la topolog´ıa definida en la figura:

RR AD

ix(1, e) = 57 ix(2, e) = 12 ix(3, e) = 79 ix(4, e) = 128

y la matriz ld a partir de id e ix, de acuerdo con la expresi´on (3.87): ld(1, 1, e) = −13 ld(2, 1, e) = 49 ld(1, 2, e) = 9 ld(2, 2, e) = 10 ld(1, 3, e) = 67 ld(2, 3, e) = 68 ld(1, 4, e) = 115 ld(2, 4, e) = −27

Las contribuciones de las matrices y vectores locales a los globales se deducen directamente a partir de la matriz ld: Matriz de rigidez:

e K9,10 ← K9,10 + k3,4

e K9,49 ← K9,49 + k2,3

e K9,67 ← K9,67 + k3,5

e K9,68 ← K9,68 + k3,6

e K9,115 ← K9,115 + k3,7

e K10,10 ← K10,10 + k4,4

e K10,49 ← K10,49 + k2,4

e K10,67 ← K10,67 + k4,5

e K10,68 ← K10,68 + k4,6

e K10,115 ← K10,115 + k4,7

e K49,49 ← K49,49 + k2,2

e K49,67 ← K49,67 + k2,5

e K49,68 ← K49,68 + k2,6

e K49,115 ← K49,115 + k2,7

e K67,67 ← K67,67 + k5,5

e K67,68 ← K67,68 + k5,6

e K67,115 ← K67,115 + k5,7

e K68,68 ← K68,68 + k6,6

e K68,115 ← K68,115 + k6,7

BO

e K9,9 ← K9,9 + k3,3

e K115,115 ← K115,115 + k7,7

Ecuaciones constitutivas de la elasticidad lineal

71

Vector de fuerzas: ← F9 + f3e ← F10 + f4e ← F49 + f2e ← F67 + f5e ← F68 + f6e ← F115 + f7e

OR

F9 F10 F49 F67 F68 F115

3.9.

RR AD

Obs´ervese que en la construcci´on de la matriz de rigidez global se ha tenido en cuenta la simetr´ıa de la misma, as´ı como la simetr´ıa de la matriz de rigidez elemental.

Ecuaciones constitutivas de la elasticidad lineal

Las ecuaciones constitutivas de un material el´astico lineal se expresan en el caso m´as general con la expresi´on (3.3). Como ya se ha comentado en el apartado 3.1 son necesarias 21 constantes para definir el tensor de m´odulos el´asticos C de un s´olido anis´otropo. El n´ umero de constantes el´asticas se reduce a 9 en el caso del s´olido el´astico ort´otropo. En este apartado, de acuerdo con (3.50) y el cuadro 3.1, emplearemos la notaci´on en la que tensiones y deformaciones se expresan en forma vectorial. Considerando un sistema de referencia cartesiano Oxyz, las ecuaciones constitutivas de un s´olido el´astico lineal ort´otropo se escriben:        



    =          

1 Ex − νEyxx − νEzxx

0 0 0

− νExyy − νExzz 1 − νEyzz Ey 1 − νEzyy Ez 0 0 0 0 0 0

BO

 εxx     εyy    εzz γ  xy    γ    xz γyz

0 0 0

1 Gxy

0 0

0 0 0 0

1 Gxz

0

0 0 0 0 0

1 Gyz

                

σxx σyy σzz τxy τxz τyz

       

(3.88)

      

siendo γij = 2εij . De las doce constantes que intervienen en la matriz de la expresi´on anterior s´olo nueve son independientes ya que se deben verificar las tres relaciones correspondientes a la simetr´ıa del tensor constitutivo: Ey Ex = ; νyx νxy

Ey Ez = ; νzy νyz

Ez Ex = νxz νzx

(3.89)

Los materiales transversalmente is´otropos se caracterizan mediante cinco

72

Elasticidad Lineal

                

σxx σyy σzz τxy τxz τyz

       

(3.90)

      

OR

constantes. Llamando z a la direcci´on de anisotrop´ıa:    1 − Eν − Eνzz 0 0 0 ε  E xx    νz 1    −ν   − 0 0 0 εyy    Ez      − νEz −Eνz 1 0 0 0 εzz  Ez Ez =  Ez 2(1+ν) γxy    0 0 0 0 0   E    1   γ   0  0 0 0 0  Gz  xz   γyz 0 0 0 0 0 G1z

RR AD

Finalmente, un material is´otropo se caracteriza u ´nicamente con dos constantes el´asticas. La relaci´on tensi´on-deformaci´on es en este caso:   σ   xx       σ   yy     E σzz = τxy     (1 + ν)(1 − 2ν)   τxz         τyz    1−ν ν ν 0 0 0 ε   xx       ν  1 − ν ν 0 0 0 ε  yy         ν ν 1 − ν 0 0 0 ε zz   (3.91) 1−2ν  0 0 0  0 0 γxy   2       1−2ν  0 0 0 0 0  γ    2   xz   1−2ν 0 0 0 0 0 γyz 2 Las ecuaciones constitutivas de los materiales el´asticos is´otropos es habitual expresarlas en funci´on de las constantes de Lam´e λ y µ, relacionadas con el m´odulo de Young E y el coeficiente de Poisson ν mediante las expresiones: Eν (3.92) λ= (1 + ν)(1 − 2ν) E µ= (3.93) 2(1 + ν)

BO

e inversamente:

µ(3λ + 2µ) λ+µ λ ν= 2(λ + µ)

E=

(3.94) (3.95)

La expresi´on de las ecuaciones constitutivas en funci´on de los coeficientes de Lam´e es:      σxx  λ + 2µ λ λ 0 0 0 εxx                 σ λ λ + 2µ λ 0 0 0 ε     yy yy             σzz λ λ λ + 2µ 0 0 0 ε zz  = (3.96)  τxy  0 0 0 µ 0 0  γxy                τxz  0 0 0 0 µ 0  γxz              τyz 0 0 0 0 0 µ γyz

Ecuaciones constitutivas de la elasticidad lineal

73

Observaci´ on. Para un material is´otropo las componentes del tensor constitutivo de cuarto orden se expresan de manera muy sencilla en t´erminos de los coeficientes de Lam´e:

3.9.1.

(3.97)

OR

Cijkl = µ(δik δjl + δil δjk ) + µδij δkl

Modelos 2D

Aunque actualmente con cualquier ordenador personal se pueden realizar an´alisis tridimensionales de elementos finitos en un tiempo razonable, en numerosas situaciones pr´acticas se presentan geometr´ıas y distribuciones de carga que reducen el problema de tres a dos dimensiones. En este apartado se describen los modelos que permiten analizar un problema de mec´anica de s´olidos en dos dimensiones.

RR AD

Deformaci´ on plana

Los cuerpos con una dimensi´on considerablemente mayor que las otras dos, y con un estado de cargas que no var´ıa significativamente en la direcci´on correspondiente a la dimensi´on predominante pueden analizarse con modelos de deformaci´on plana. Consideraremos que el problema est´a definido en el plano Oxy, por lo que las variables del problema no dependen de la coordenada z. En la hip´otesis de deformaci´on plana se supone que los desplazamientos en direcci´on perpendicular al plano del modelo son nulos: uz = 0

(3.98)

En consecuencia, tambi´en son nulas las componentes de la deformaci´on εzz , γxz y γyz . Las componentes no nulas son: ∂ux ∂x ∂uy = ∂y ∂ux ∂uy + = ∂y ∂x

εxx =

BO

εyy

γxy

Sustituyendo εzz = 0 en (3.91) y operando se obtiene: σzz = ν(σxx + σyy )

(3.99)

Las ecuaciones que relacionan las tensiones y las deformaciones son:      1−ν ν 0 εxx   σxx   E  ν 1−ν 0  εyy σyy (3.100) =     (1 + ν)(1 − 2ν) 1−2ν γ 0 0 τxy xy 2

En los modelos de deformaci´on plana, por convenio, suele considerarse de valor unidad el espesor correspondiente a la dimensi´on seg´ un Oz.

74

Elasticidad Lineal

Tensi´ on plana

OR

En la hip´otesis de tensi´on plana la tensi´on en direcci´on perpendicular al plano del s´olido es nula, y se aplica a s´olidos que presentan una dimensi´on mucho menor que las dos restantes, que sin perdida de generalidad consideraremos que es Oz. Una aplicaci´on cl´asica de la hip´otesis de tensi´on plana corresponde a una laja de peque˜ no espesor cargada u ´nicamente en el propio plano de la laja. Dado que en direcci´on Oz no hay cargas aplicadas y el espesor es peque˜ no, a lo largo de Oz se verifica que: σzz = τxz = τyz = 0

(3.101)

γxz = γyz = 0

(3.102)

y en consecuencia:

RR AD

Las componentes de la tensi´on σxx , σyy y τxy se promedian en el espesor de la laja, suponiendo que son independientes de la coordenada z. Imponiendo σzz = 0 en (3.91), resulta: εzz = −

ν (εxx + εyy ) 1−ν

Finalmente, la relaci´on tensi´on–deformaci´on viene dada por:      1 ν 0 εxx   σxx   E  σyy εyy ν 1 0  =  1 − ν2    τxy γ 0 0 1−ν xy 2

(3.103)

(3.104)

Problemas axisim´ etricos

BO

En numerosos problemas de ingenier´ıa se aborda el caso de s´olidos de revoluci´on sometidos a cargas tambi´en con simetr´ıa axial: cilindros y esferas sometidos a presi´on interna, espacios “semi-infinitos” cargados en un ´area circular, etc. En estos casos interesa formular el problema de contorno que nos ocupa en coordenadas cil´ındricas, que denominaremos {r, θ, z}. Por la simetr´ıa de revoluci´on existente todas las variables son independientes de θ (todas las derivadas respecto de θ se anulan). Adem´as se supone que uθ = 0. Por tanto γrθ , γθz , τrθ y τθz son cero. Las relaciones deformaci´on-desplazamiento no nulas son: ∂ur ∂r ∂uz = ∂z ur = r ∂ur ∂uz = + ∂z ∂r

εrr =

(3.105)

εzz

(3.106)

εθθ γrz

(3.107) (3.108)

Ejercicios

75

y las ecuaciones constitutivas:    σrr  1−ν ν       E σzz 1−ν  ν =  τrz  0 0  (1 + ν)(1 − 2ν)     σθθ ν ν

  ν εrr       ν  ε zz  1−2ν 0  γrz  2     0 1−ν εθθ (3.109) Debido a la simetr´ıa de revoluci´on se ha de considerar un factor de 2πr en todos los integrandos de la formulaci´on d´ebil (no obstante, en la pr´actica el factor 2π se simplifica al aparecer en todos los t´erminos).

OR

0 0

Observaci´ on. Las ecuaciones de equilibrio en 3D expresadas en coordenadas cil´ındricas son:

RR AD

1 ∂ 1 ∂ ∂ σθθ (rσrr ) + (τrθ ) + τrz − + br = 0 r ∂r r ∂θ ∂z r 1 ∂ 1 ∂ (rτzr ) + τzθ + σzz + bz = 0 r ∂r r ∂z 1 ∂ 2 1 ∂ ∂ (r τ ) + σ + τθz + bθ = 0 θr θθ r2 ∂r r ∂θ ∂z

(3.110)

(3.111) (3.112)

y con la hip´otesis de simetr´ıa de revoluci´on (τrθ = τzθ = bθ = 0): 1 ∂ ∂ σθθ (rσrr ) + τrz − + br = 0 r ∂r ∂z r 1 ∂ ∂ (rτzr ) + σzz + bz = 0 r ∂r ∂z

(3.113) (3.114)

La expresi´on de la matriz de interpolaci´on de deformaciones es: 

BO

 BA =  

∂NA ∂r

0

∂NA ∂z NA r

0



∂NA ∂z ∂NA ∂r

  

(3.115)

0

Esta expresi´on puede asimilarse a la expresi´on (3.53) correspondiente a los casos 2D de tensi´on y deformaci´on plana.

3.10.

Ejercicios

1. Sea un conjunto abierto Ω ⊂ R2 , cuyo contorno se descompone de la forma ∂Ω = ∂Ω1 ∪ ∂Ω2 ∪ ∂Ω3 ∪ ∂Ω4 , siendo ∂Ωi partes de ∂Ω que no se solapan. Sea n el versor normal exterior en un punto x ∈ ∂Ω y s el versor normal a n en x, tal que {s, n} es una base cuya orientaci´on es positiva (ver

76

Elasticidad Lineal

figura). Se considera el siguiente problema de contorno de elasticidad lineal: σij,j + fi = 0 en Ω ui = ui en ∂Ω1

OR

σij nj = ti en ∂Ω2 ) ui n i = un en ∂Ω3 σij nj si = ts ) u i si = us en ∂Ω4 σij nj ni = tn siendo σij = Cijkl εkl . Se pide

(3.116) (3.117) (3.118) (3.119) (3.120)

RR AD

1. Establecer la formulaci´on d´ebil del problema considerando que todas las condiciones de contorno correspondientes a desplazamientos impuestos son esenciales, y todas las correspondientes a tensiones impuestas son condiciones naturales. 2. Establecer los requisitos de los espacios funcionales de la funciones de prueba, U, y de las variaciones, V. NOTA: Descomponer los desplazamientos virtuales seg´ un las direcciones normal y tangencial: δu = δun n + δus s, δui = δun ni + δus si . (Ejercicio 5, p´agina 105, de la referencia [11]) 2. En la teor´ıa (linealizada) de peque˜ nos desplazamientos superpuestos con los grandes [11], la contribuci´on de las tensiones iniciales se considera mediante una matriz (denominada matriz de rigidez de tensiones iniciales), de modo que el t´ermino de rigidez de la ecuaci´on variacional: Z δu(i,j) Cijkl u(k,l) dΩ (3.121)

BO

Ω

se remplaza por:

Z δui,j Dijkl uk,l dΩ

(3.122)

Ω

donde:

0 Dijkl = Cijkl + δik σjl 0 σjl

=

σlj0

(3.123) (3.124)

0 siendo δik la delta de Kronecker de segundo orden y σjl las componentes del tensor de tensiones iniciales, que es funci´on del punto x ∈ Ω. Se pide:

1. Establecer las simetr´ıas del tensor Dijkl

Ejercicios

77

Ωe

OR

2. En el caso ndim = 2, expresando el trabajo virtual de las fuerzas internas mediante la notaci´on:   u   1,1   Z   u2,2 ||δu1,1 , δu2,2 , δu1,2 + δu2,1 , δu1,2 − δu2,1 || D dΩ u1,2 + δu2,1   Ω     u1,2 − δu2,1 (3.125) se obtienen las componentes de la matriz de rigidez: Z T kpq = ei · B Ta DB b dΩeTj (3.126) siendo D una matriz de 4 × 4 y B a una matriz de 4 × 2. Obtener:

RR AD

a) Expresi´on de la matriz B a en funci´on de las funciones de forma y sus derivadas. b) Componentes expl´ıcitas de la matriz D en funci´on de los coeficientes Dijkl c) Expresar claramente la contribuci´on de las tensiones iniciales σij0 a la matriz de rigidez. (Ejercicio 4, p´agina 104, de la referencia [11])

3. La ecuaci´on constitutiva de un material el´astico lineal se puede expresar en forma m´as general mediante: σij = Cijkl (εkl − ε0kl ) + σij0

(3.127)

BO

siendo ε0kl y σij0 las deformaciones iniciales y las tensiones iniciales, funciones conocidas de x. Los t´erminos correspondientes a las deformaciones iniciales pueden emplearse para representar efectos de dilataci´on t´ermica de acuerdo, por ejemplo para el caso lineal, con la expresi´on: ε0kl = θαkl

(3.128)

siendo θ la variaci´on de temperatura y αkl los coeficientes de expansi´on t´ermica. Se pide: 1. Expresar la formulaci´on d´ebil del problema de la elasticidad considerando la ecuaci´on constitutiva (3.127), y la relaci´on (3.128) para las deformaciones iniciales. 2. Obtener la expresi´on del vector de fuerzas nodales en t´erminos de las matrices de interpolaci´on de deformaciones B y de m´odulos el´asticos C, y de los datos del problema.

(Ejercicio 6, p´agina 105, de la referencia [11])

78

Elasticidad Lineal

OR

4. Para conocer la respuesta mec´anica de un tubo de secci´on circular y gran longitud, sometido a presi´on interna, se realizan dos modelos de elementos finitos en 2D: uno de deformaci´on plana y otro axisim´etrico (ver figura). El radio interior es a = 0.5 y el radio exterior b = 1. El material es el´astico is´otropo. El m´odulo de Young y el coeficiente de Poisson valen E = 2.1 · 1011 Pa y ν = 0.3, respectivamente. La presi´on aplicada es de 300 MPa. Obtener la distribuci´on de tensiones radiales, circunferenciales y axiales, y la distribuci´on de desplazamientos radiales. Dibujar un perfil con la variaci´on seg´ un un radio del cilindro de dichos resultados y compararlos con las expresiones anal´ıticas:

(b/r)2 − 1 (b/a)2 − 1 (b/r)2 + 1 =p (b/a)2 − 1

RR AD

σrr = −p σθθ

(3.129) (3.130)

2 σzz = ν(σrr + σθθ ) = νp (b/a)2 − 1   (1 + ν)p b2 ur = (1 − 2ν)r + E[(b/a)2 − 1] r

(3.131) (3.132)

y

z

p

h

b

a

BO

b

Modelo Axisim´etrico

a

p x Def. Plana

5. Obtener mediante un modelo de elementos finitos axisim´etrico el campo de desplazamientos y la distribuci´on de tensiones radiales y circunferenciales en la pared de una esfera sometida a presi´on interna p. El radio interior de la esfera es a = 0.8 m., el radio exterior b = 1.0 m. y la presi´on p = 5 · 108 Pa. Considerar un material el´astico lineal con m´odulo de elasticidad E = 2.1·1011 y coeficiente de Poisson ν = 0.3. Comparar los resultados obtenidos con la

Ejercicios

79

soluci´on anal´ıtica: b3 − r 3 r3 (a3 − b3 ) 2r3 + b3 σθθ = pa3 3 3 2r (b − a3 )   pa3 2(1 − 2ν)r3 + (1 + ν)b3 ur = 3 3 2 2E(b − a )r

(3.133) (3.134)

OR

σrr = pa3

(3.135)

RR AD

6. El s´olido de la figura es una chapa rectangular de 1 mm de espesor que tiene un taladro circular. La chapa est´a perfectamente anclada en su borde inferior a una base r´ıgida, y a una barra r´ıgida en su borde superior. El material es el´astico lineal, de caracter´ısticas mec´anicas E = 210 GPa y ν = 0.3. Las dimensiones en mil´ımetros son H = 33, L = 38, R = 10, l = 22, h = 14. Se desea conocer los valores de la tensi´on de Von Mises que resultan de imponer en la barra r´ıgida movimientos correspondientes a traslaciones en direcci´on x y en direcci´on y, y rotaciones alrededor de sus extremos. Se considerar´a la hip´otesis de tensi´on plana.

Barra rígida

111111111111111111 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111 R

H

h

l

L

BO

(Ejercicio C.6.4 , p´agina 255, de la referencia [4])

7. Un dep´osito esf´erico tiene una salida cil´ındrica en su parte superior, tal y como se muestra en la secci´on transversal de la figura. En las partes interior y exterior de la zona de uni´on entre el cilindro y la esfera se hace un engrosamiento con simetr´ıa de revoluci´on de manera que en la parte interior AB es perpendicular al eje de revoluci´on, y en la parte exterior CD es tangente a la esfera. El material es el´astico lineal con caracter´ısticas mec´anicas E = 36 GPa y ν = 0.2. Las dimensiones en metros son rc = 1.5, rs = 4.9, h0 = 0.65, hi = 0.6, ts = 0.7, hc = 2, tc = 2ts rc /rs . Cuando el dep´osito est´a sometido a presi´on interna se desea conocer los valores m´aximos del desplazamiento y de la tensi´on de Von Mises, y en que zonas se presentan. Comparar los resultados en los casos con y sin engrosamiento.

80

Elasticidad Lineal

tc hc

rc

C

hi

OR

h0

D

B

A

ts

RR AD

Rs

(Ejercicio C.14.5, p´agina 529, de la referencia [4]) 8. Una presa de gravedad de 150 metros de longitud, y cuya secci´on transversal se representa en la figura, debe ser analizada mediante elementos finitos con objeto de conocer su estado tensional. Para ello se realizar´an dos modelos: Un modelo tridimensional.

Un modelo 2D con la hip´otesis de deformaci´on plana. 4

4

BO

Cotas en metros

E = 3.5 · 104 N/mm2 ν = 0.2

42

35

Las acciones est´aticas a considerar son: 1. Peso propio.

Ejercicios

81

2. Presi´on hidrost´atica para un nivel de embalse H = 42 m. en las hip´otesis correspondientes a las siguientes condiciones de contorno para el modelo 3D: 1. Estribos con todos los desplazamientos impedidos

OR

2. Estribos con los desplazamientos horizontales impedidos

Asimismo se considerar´an las situaciones correspondientes a una cimentaci´on directamente en roca (que se considerar´a infinitamente r´ıgida) y a una cimentaci´on flexible, que se modelizar´a con coeficientes de balasto de igual valor k = 6.5 · 106 N/m3 en todas direcciones. Para las dos hip´otesis de carga (consider´andolas tanto individualmente como de manera conjunta), se pide:

RR AD

1. Deformadas

2. Contornos de tensiones principales m´aximas y m´ınimas 3. Desplazamientos en la coronaci´on de la presa

comparando los resultados obtenidos con el modelo 3D y con el modelo de deformaci´on plana. Discutir los valores de dichos resultados en relaci´on a las condiciones de contorno consideradas. 9. Una escuadra de acero estructural (E = 2.1 · 105 MPa), que se arma con dos chapas de 2.5 cm. de espesor, se empotra en un soporte que se considera totalmente r´ıgido. La chapa superior (0.6 × 0.175 m2 ) soporta una carga distribuida de 2.76 MPa. Analizar mediante un modelo tridimensional de elementos finitos empleando elementos s´olidos de 8 nodos, los siguientes aspectos: 1. Geometr´ıa deformada y flecha en el extremo libre, comparando el resultado obtenido con el que se obtiene de la Resistencia de Materiales.

BO

2. Distribuci´on de las tensiones principales m´aximas y de las tensiones principales m´ınimas.

Discutir los resultados obtenidos. 0.025

0.150

PLANTA 0.025 0.100

Cotas en m. ALZADO 0.600